27.3.2平面直角坐标系中的位似 课件(共36张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

(共36张PPT)
第 1 页：封面
标题：27.3.2 平面直角坐标系中的位似
副标题：人教版九年级数学下册
配图：平面直角坐标系中两组位似图形 —— 左侧以原点为中心（标注对应点坐标及位似比 k=2），右侧以点 P (1,1) 为中心（标注对应点连线过 P）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
掌握以原点为位似中心时，位似图形对应点的坐标变化规律（横纵坐标比等于 k 或 - k）
理解非原点为位似中心的位似坐标变换原理，能准确计算对应点坐标
能在平面直角坐标系中完成位似图形的绘制，并根据坐标求位似比
过程与方法：
通过计算、对比、推理等活动，经历坐标规律的探究过程，提升数形结合能力
类比平移、旋转的坐标变化，建立变换与坐标的关联思维
情感态度：
感受坐标系在几何变换中的工具价值，体会数学的严谨性与规律性
在实际应用中（如地图缩放），增强数学与生活的联系意识
第 3 页：复习回顾与情境引入
复习旧知：
位似图形的核心特征：相似、对应点连线共点、对应边平行 / 共线
前序变换的坐标规律：
平移：“左减右加，上加下减”
中心对称（原点）：(x,y)→(-x,-y)
情境引入：
实例：在坐标系中，△ABC 的顶点坐标为 A (2,4)、B (2,0)、C (0,0)，将其以原点为中心缩小为原来的 1/2，得到△A'B'C'。
思考：A'、B'、C' 的坐标是什么？坐标变化与位似比有何关系？
引出课题：今天我们将探究平面直角坐标系中，位似图形的坐标变化规律及应用。
第 4 页：探究一：以原点为位似中心的坐标规律
实例探究：
案例 1（缩小，k=1/2）：
原点点 A (4,4)→对应点 A'(2,2) 或 A''(-2,-2)
原点点 B (6,0)→对应点 B'(3,0) 或 B''(-3,0)
案例 2（放大，k=2）：
原点点 C (-2,3)→对应点 C'(-4,6) 或 C''(4,-6)
规律总结：
核心结论：以原点为位似中心，位似比为 k 时，原图形上任意一点 (x,y) 的对应点坐标为 **(kx, ky)** 或 **(-kx, -ky)** 。
符号意义：
(kx, ky)：与原图形在原点同侧（同向位似）
(-kx, -ky)：与原图形在原点两侧（反向位似）
缩放性质：k>1 时放大，0即时验证：
原点点 D (-3,-5)，以原点为中心，k=3 的对应点坐标为______。（答案：(-9,-15) 或 (9,15)）
第 5 页：探究二：非原点为位似中心的坐标规律
变换原理：
分步转化法：将非原点中心转化为原点中心处理，步骤为：
平移坐标系：将位似中心 O'(a,b) 平移至新原点，原坐标 (x,y) 变为 (x-a, y-b)
实施位似：按规律计算新坐标 [(k (x-a)), k (y-b)] 或 [-k (x-a), -k (y-b)]
还原坐标系：将新坐标平移回原坐标系，得到最终坐标 [(k (x-a)+a), k (y-b)+b] 或 [-k (x-a)+a, -k (y-b)+b]
实例推导：
已知位似中心 O'(1,2)，位似比 k=2，原点点 E (3,4)：
平移后：(3-1, 4-2)=(2,2)
位似后：(4,4) 或 (-4,-4)
还原后：(4+1,4+2)=(5,6) 或 (-4+1,-4+2)=(-3,-2)
性质强调：对应点与位似中心的连线仍共线，距离比等于 k。
第 6 页：坐标系中位似图形的画法（步骤详解）
通用步骤：
① 确定位似中心（原点或非原点）及位似比 k；
② 求出原图形关键点的对应点坐标（按坐标规律计算）；
③ 在坐标系中描出对应点；
④ 顺次连接对应点，标注图形及位似比。
实例 1（原点为中心）：
已知△ABC 顶点 A (2,3)、B (4,1)、C (1,-2)，以原点为中心，k=1/2 作位似图形。
对应点计算：
A'(1, 1.5)、B'(2, 0.5)、C'(0.5, -1)（同向）
A''(-1, -1.5)、B''(-2, -0.5)、C''(-0.5, 1)（反向）
作图标注：描点连线，标注位似中心 O、位似比 1/2。
实例 2（非原点为中心）：
已知四边形 ABCD 顶点 A (0,0)、B (2,0)、C (3,2)、D (1,2)，以 O'(2,1) 为中心，k=3 作位似图形。
对应点计算（以 A 为例）：
平移：(0-2, 0-1)=(-2,-1)
位似：(-6,-3)
还原：(-6+2, -3+1)=(-4,-2)
作图验证：连接 A 与 O' 并延长，确认 A' 在延长线上，且 O'A'=3O'A。
第 7 页：基础应用 —— 坐标计算与位似比求解
例 1：由原坐标求对应点坐标
问题：△DEF 的顶点 D (-4,6)、E (-2,0)、F (0,4)，以原点为中心，位似比 k=3/2，求反向位似图形的顶点坐标。
解析：反向位似对应 (-kx,-ky)，计算得：
D'(-4×3/2, 6×3/2)→(-6,9)→反向为 (6,-9)
E'(3,-0)=(3,0)，F'(-0,-6)=(0,-6)
答案：D'(6,-9)、E'(3,0)、F'(0,-6)
例 2：由对应点坐标求位似比
问题：以原点为中心，△ABC 与△A'B'C' 位似，A (3,6) 对应 A'(1,2)，求位似比 k。
解析：k=A' 横坐标 / A 横坐标 = 1/3（或 k=A' 纵坐标 / A 纵坐标 = 2/6=1/3）
答案：k=1/3
第 8 页：综合应用 —— 复杂图形与实际问题
例 3：直线上的位似变换
问题：直线 y=2x+1 与 x 轴交于 A (-0.5,0)，与 y 轴交于 B (0,1)，以 A 为位似中心，k=2 作△AOB 的位似图形，求 B' 的坐标。
解析：
平移：B (0,1)→(0+0.5,1-0)= (0.5,1)
位似：(1,2) 或 (-1,-2)
还原：(1-0.5,2+0)=(0.5,2) 或 (-1-0.5,-2+0)=(-1.5,-2)
答案：B'(0.5,2) 或 (-1.5,-2)
例 4：实际应用 —— 地图缩放
问题：在比例尺为 1:1000 的地图上，景点 A 的坐标为 (2,3)（单位：cm），若将地图放大为比例尺 1:500，以原点为中心，求新地图上 A' 的坐标。
解析：位似比 k=1000/500=2，对应坐标为 (4,6) 或 (-4,-6)，结合实际取正向 (4,6)。
答案：A'(4,6) cm
第 9 页：四种几何变换的坐标规律对比
变换类型
坐标变化规律（以点 (x,y) 为例）
核心特征
平移（向右 a，向上 b）
(x+a, y+b)
图形位置改变，形状大小不变
轴对称（x 轴）
(x, -y)
关于对称轴折叠，对应点连线垂直对称轴
旋转（原点 180°）
(-x, -y)
对应点与中心连线共线，距离相等
位似（原点，k）
(kx, ky) 或 (-kx, -ky)
对应点与中心连线共线，距离比为 k
第 10 页：巩固练习
选择题：
（1）以原点为位似中心，k=2，点 (2,-3) 的对应点坐标为（ ）
A. (4,-6) B. (-4,6) C. (4,-6) 或 (-4,6) D. (1,-1.5)
（2）△ABC 与△A'B'C' 位似，中心为 O (2,3)，A (4,5) 对应 A'(5,7)，则位似比 k=（ ）
A. 1/2 B. 2 C. 1/3 D. 3
填空题：
（1）以原点为中心，k=1/3，点 (-9,6) 的同向位似点为______；
（2）以 (1,-2) 为中心，k=2，点 (3,1) 的反向位似点为______。
作图题：
已知四边形 OABC 顶点 O (0,0)、A (1,0)、B (2,3)、C (-1,2)，以原点为中心，作位似比为 2 的位似图形，保留作图痕迹。
第 11 页：课堂小结
知识梳理：
核心规律：原点中心→(kx,ky) 或 (-kx,-ky)；非原点中心→平移转化法。
作图关键：先算坐标再描点，确保对应点共线、距离比为 k。
思想方法：
数形结合：将几何位似变换转化为代数坐标计算。
转化思想：非原点问题转化为原点问题求解。
易错点回顾：
遗漏反向位似的坐标（符号错误）；
非原点中心计算时，平移与还原步骤颠倒。
第 12 页：布置作业
基础作业：教材对应习题，完成 3 道坐标计算题和 2 道原点中心作图题。
提升作业：
（1）△ABC 顶点 A (1,2)、B (3,4)、C (5,0)，以 (2,1) 为中心，k=1/2 作位似图形，写出对应顶点坐标；
（2）已知位似图形对应点 A (2,3) 与 A'(4,6)、B (5,1) 与 B'(10,2)，判断位似中心是否为原点，并说明理由。
实践作业：
（1）在方格纸上建立坐标系，绘制简单图案，分别以原点和图案顶点为中心，作 k=2 的放大图形；
（2）测量地图上两个城市的坐标，按比例尺计算实际距离，验证位似比的实际意义。
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
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27.3.2平面直角坐标系中的位似
第二十七章 相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
1. 两个相似图形，如果它们的所有对应点的连线都经
过同一个点，我们就把这两个图形叫做 ，
这个交点叫做 ．位似图形上任意一对对应
点到位似中心的距离之比等于 ，
对应线段 .
2. 如何判断两个多边形是不是位似多边形
位似图形
位似中心
相似比 (或位似比)
平行或者在一条直线上
3. 画位似图形的一般步骤有哪些？
4. 基本模型：
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (含中心对称). 那么，对于位似，是否也可以用两个图形上对应点的坐标之间的关系来表示呢？
平面直角坐标系中的位似变换
1. 在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)．
以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩
小，观察对应点之间坐标的变化.
合作探究
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
A"
B"
O
如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A′ ( ， )，
B' ( ， )；
A" ( ， )，
B" ( ， ).
2
1
2
0
－2
－1
－2
0
2. △AOC 三个顶点坐标分别为 A(4，4)，O(0，0)，
C(5，0)，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △AOC 放大，观察对应顶点坐标的变化.
A'
C'
A"
C"
o
-8
8
2
4
4
6
-2
-4
-4
x
y
A
2
8
10
C
-2
-6
-8
-10
-6
6
如图，把 △AOC 放大后
点 A，C 的对应点为
A' ( ， )，
C' ( ， )；
A" ( ， )，
C" ( ， ).
8
8
10
0
－8
－8
－10
0
问题 1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形，可以作出几个？
问题 2 如果所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？
1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个
图形的位似图形可以作出两个．
2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的
比等于相似比 k；当位似图形在原点两侧时，其
对应顶点的坐标的比等于相似比的相反数－k．
3. 当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1
时，图形缩小为原来的 k 倍．
归纳：
位似中的相似比，一般指新图形与原图形的比
1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，
B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内
将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则
端点 D 的坐标为 ( )
A. (2，2) B. (2，1)
C. (3，2) D. (3，1)
练一练
D
x
y
A
B
C
D
O
2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)，
以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 三
个顶点分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )，
则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 .
1 : 3
例 1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，
B (－2，0)，O (0，0). 以
原点 O 为位似中心，画出
一个位似三角形使它与
△ABO 的相似比为 .
典例精析
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
－2
提示：画三角形关键是确
定它各顶点的坐标. 根据
前面的归纳可知，点 A 的
对应点 A′ 的坐标为
， ，即(－3，6)，类似地，可以确定其
他顶点的坐标.
解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′(－3，6)，B′(－3，0)，O(0，0).
A′
B′
顺次连接点 A′，B′，O，所得的△A′B′O 就是要画的一个图形.
2
4
6
2
－2
－4
x
y
A
B
O
－2
还有其他画法吗？自己试一试.
在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相似是 2 : 3.
练一练
O
C
解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐
标都乘 ；在平面直
角坐标系中描点 O (0，
0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)，顺次连接 O，A'，B'，C'.
2
4
6
4
6
B'
－2
－4
－4
x
y
A
B
A'
C'
－2
2
画法二：将四边形 OABC
各顶点的坐标都乘 ；
在平面直角坐标系中描点
O (0，0)，A″ (－4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2，
－2)，顺次连接点 O，
A″，B″，C″.
O
C
y
A
B
2
4
6
－2
－4
4
6
x
－2
2
－4
C″
B″
A″
平面直角坐标系中的图形变换
至此，我们已经学习了四种图形变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在如图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化．（每个小方格的边长均为 1 个单位长度）
(1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度；
(2) 关于 x 轴对称；
(3) 在点C的左侧，以 C点 为位似中
心，将△ABC 放大为原来的 2 倍；
(4) 以 C 为中心，将△ABC 顺时针
旋转180°．
x
y
A
B
C
O
练一练
1. 将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标做如下变化，其中属于位似变换的是 ( )
A. 将各点的纵坐标乘 2，横坐标不变
B. 将各点的横坐标除以 2，纵坐标不变
C. 将各点的横坐标、纵坐标都乘 2
D. 将各点的纵坐标减去 2，横坐标加上 2
C
2. 如图，小朋在坐标系中以 A 为位似中心画了两个位
似的直角三角形，可不小心把 E 点弄脏了，则点 E
坐标为 ( )
A．(4，－3)
B．(4，－2)
C．(4，－4)
D．(4，－6)
A
3. 如图，某学习小组在讨论 “变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点 (a，b) 对应大鱼上的点
.
(－2a，－2b)
B
返回
1．
A．(－2，1) B．(－2，1)或(2，－1)
C．(－8，4) D．(－8，4)或(8，－4)
返回
D
2．
3．
A．(3，2) B．(－3，－2)
C．(3，2)或(－3，－2) D．(2，3)或(－2，－3)
【点拨】
【答案】C
返回
4．
返回
C
如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作矩形ABCD，使它与矩形EFGO位似，且点B，F的坐标分别为(－4，4)，(2，1)，则位似中心的坐标为(　　)
A．(0，3) B．(0，2.5)
C．(0，2) D．(0，1.5)
5．
【解】如图所示，△A1B1C1即为所求．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2)，B(2，－1)，C(4，－3)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，在第一象限中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1.
返回
【解】如图所示，△A2B2C2即为所求．
6．
【点拨】
【答案】A
由M，N，P，Q的坐标可知，线段MN与线段PQ位似，且相似比为3：2.∵MN＝6，∴PQ＝4.
返回
7．
返回
A
[2024重庆八中月考]如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△FED关于原点O位似，且OB＝2OE，若S△ABC＝4，则S△DEF为(　　)
8．
(6－2t，－2)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，点A是位似中心，已知A(2，0)，C(t，1)，则点C′的坐标为_____________．(结果用含t的式子表示)
9．
(673，676)
[2024枣庄滕州期中]如图，在平面直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为
P(－3，0)，A1(－2，1)，
A2(－1，0)，A3(－2，－1)，
则顶点A2 026的坐标为_________．
平面直角坐标系中的位似
平面直角坐标系中的位似变换
平面直角坐标系中的图形变换
坐标变化规律
平面直角坐标系中的位似图形的画法
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！