28.1.3 特殊角的三角函数值 课件(共34张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

(共34张PPT)
第 1 页：封面
标题：28.1.3 特殊角的三角函数值
副标题：人教版九年级数学下册
配图：左侧为含 30°、45°、60° 的两个直角三角形（标注边长），右侧为空白的三角函数值表格（供课堂填写）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
熟练掌握 0°、30°、45°、60°、90° 的正弦、余弦、正切值，能准确默写并快速调用
理解特殊角三角函数值的推导过程，明确其与特殊直角三角形边长的关联
能运用特殊角的三角函数值解决直角三角形的边角计算、代数式求值等问题
过程与方法：
通过动手推导、表格整理、口诀记忆等活动，经历 “理解 — 记忆 — 应用” 的过程，提升归纳总结能力
结合图形与代数计算，体会数形结合思想在三角函数中的应用
情感态度：
感受特殊角三角函数值的规律性，体会数学的简洁美与逻辑性
在练习与应用中，增强解题信心，激发对三角函数的学习兴趣
第 3 页：复习回顾 —— 特殊直角三角形的边长关系
两种特殊直角三角形：
（1）含 30°、60° 的直角三角形：
性质：30° 角所对的直角边是斜边的一半
设最短直角边（30° 对边）为 1，则斜边 = 2，另一直角边 =\(\sqrt{3}\)（勾股定理）
边长比：1 : \(\sqrt{3}\) : 2
（2）含 45° 的等腰直角三角形：
性质：两直角边相等，斜边长为直角边的\(\sqrt{2}\)倍
设直角边为 1，则斜边 =\(\sqrt{2}\)
边长比：1 : 1 : \(\sqrt{2}\)
思考提问：
这些特殊三角形的边长比，如何帮助我们计算对应锐角的三角函数值？
第 4 页：推导 30°、45°、60° 的三角函数值（一）
推导 30° 和 60° 的三角函数值：
以含 30°、60° 的直角三角形为例（边长：BC=1，AC=\(\sqrt{3}\)，AB=2，∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°）
计算 30° 角的三角函数值：
\(\sin 30 ° = \frac{ A è }{ è } = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}\)
\(\cos 30 ° = \frac{ A é è }{ è } = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\tan 30 ° = \frac{ A è }{ A é è } = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)（分母有理化）
计算 60° 角的三角函数值：
\(\sin 60 ° = \frac{ B è }{ è } = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos 60 ° = \frac{ B é è }{ è } = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}\)
\(\tan 60 ° = \frac{ B è }{ B é è } = \frac{AC}{BC} = \sqrt{3}\)
规律发现：30° 与 60° 的正弦值、余弦值恰好互换（\(\sin 30 °=\cos 60 °\)，\(\sin 60 °=\cos 30 °\)）
第 5 页：推导 30°、45°、60° 的三角函数值（二）
推导 45° 角的三角函数值：
以等腰直角三角形为例（边长：DF=EF=1，DE=\(\sqrt{2}\)，∠F=90°，∠D=∠E=45°）
\(\sin 45 ° = \frac{ D è }{ è } = \frac{EF}{DE} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos 45 ° = \frac{ D é è }{ è } = \frac{DF}{DE} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\tan 45 ° = \frac{ D è }{ D é è } = \frac{EF}{DF} = 1\)
特殊角 0°、90° 的三角函数值（结合极限思想）：
0°：可看作锐角趋近于 0，对边趋近于 0，邻边趋近于斜边
\(\sin 0 ° = 0\)，\(\cos 0 ° = 1\)，\(\tan 0 ° = 0\)
90°：可看作锐角趋近于 90°，邻边趋近于 0，对边趋近于斜边
\(\sin 90 ° = 1\)，\(\cos 90 ° = 0\)，\(\tan 90 °\)无意义（分母为 0）
第 6 页：特殊角三角函数值汇总与记忆技巧
完整汇总表：
锐角 α
0°
30°
45°
60°
90°
\(\sin ±\)
0
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
1
\(\cos ±\)
1
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
0
\(\tan ±\)
0
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
1
\(\sqrt{3}\)
无意义
记忆技巧：
口诀记忆：
正弦值：0→\(\frac{1}{2}\)→\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)→\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)→1（分子：0，1，\(\sqrt{2}\)，\(\sqrt{3}\)，2，分母均为 2）
余弦值：与正弦值 “倒序”（1→\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)→\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)→\(\frac{1}{2}\)→0）
正切值：0→\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)→1→\(\sqrt{3}\)（可记为 “小、中、大”，比值递增）
图形联想：结合两种特殊直角三角形的边长，随时推导，避免遗忘
第 7 页：基础应用 —— 直接代入求值
例 1：代数式求值：
计算：（1）\(\sin 30 ° + \cos 60 °\)；（2）\(\tan 45 ° - \sin 60 ° \cdot \cos 30 °\)
解析：
（1）\(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)
（2）\(1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\)
例 2：比较大小：
比较下列各组值的大小：（1）\(\sin 45 °\)与\(\sin 60 °\)；（2）\(\cos 30 °\)与\(\cos 45 °\)
解析：
（1）正弦值随锐角增大而增大，故\(\sin 45 ° < \sin 60 °\)（\(\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 < \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)）
（2）余弦值随锐角增大而减小，故\(\cos 30 ° > \cos 45 °\)（\(\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}\)）
第 8 页：进阶应用 —— 直角三角形边角计算
例 3：已知角度求边长：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，求 BC 和 AC 的长。
解析：
\(BC = AB \cdot \sin 30 ° = 8 \times \frac{1}{2} = 4\)
\(AC = AB \cdot \cos 30 ° = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\)
例 4：已知边长求角度：
在 Rt△DEF 中，∠F=90°，DF=2，DE=4，求∠D 的度数。
解析：
\(\cos D = \frac{DF}{DE} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)，故∠D=60°
例 5：综合计算：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=45°，AC=5，求△ABC 的周长和面积。
解析：
∠B=45°，故△ABC 为等腰直角三角形，BC=AC=5，AB=5\(\sqrt{2}\)
周长 = 5+5+5\(\sqrt{2}\)=10+5\(\sqrt{2}\)
面积 =\(\frac{1}{2} \times 5 \times 5 = 12.5\)
第 9 页：拓展应用 —— 实际问题解决
例 6：测量高度：
小明站在离建筑物底部 20 米处，测得建筑物顶端的仰角为 60°，小明身高 1.6 米，求建筑物的高度（结果保留根号）。
解析：
设建筑物超出小明身高的部分为 h，由\(\tan 60 ° = \frac{h}{20}\)，得\(h = 20\sqrt{3}\)
建筑物高度 = 20\(\sqrt{3}\)+1.6≈35.9 米
例 7：坡度问题：
某滑雪道的坡度为 1:\(\sqrt{3}\)（垂直高度与水平宽度的比），求滑雪道的坡角（即斜面与水平面的夹角）。
解析：
设坡角为 α，\(\tan ± = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)，故 α=30°
第 10 页：易错点警示与针对性练习
常见易错点：
特殊角值记忆错误（如\(\sin 45 °\)记为\(\frac{1}{2}\)，\(\tan 30 °\)记为\(\sqrt{3}\)）
混淆正弦与余弦的增减性（正弦随角增大而增大，余弦随角增大而减小）
忽略\(\tan 90 °\)无意义，错误代入计算
针对性练习：
（1）判断：\(\sin 60 ° = \cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)（ ）；\(\tan 45 ° = \sin 45 °\)（ ）
（2）计算：\(\sin^2 30 ° + \cos^2 30 °\)（提示：\(\sin^2 ± = (\sin ±)^2\)）
第 11 页：巩固练习
选择题：
（1）下列各式中，值为\(\frac{1}{2}\)的是（ ）
A. \(\sin 30 °\) B. \(\cos 30 °\) C. \(\tan 30 °\) D. \(\sin 60 °\)
（2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若\(\tan A = 1\)，则∠A 的度数为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
填空题：
（1）\(\sin 90 ° + \cos 0 ° = \)；\(\tan 60 ° - \tan 30 ° = \)；
（2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6\(\sqrt{3}\)，则 AB=，AC=。
解答题：
计算：\(\frac{\sin 45 ° \cdot \cos 45 °}{\tan 45 °} + \sin 60 ° \cdot \cos 30 °\)
第 12 页：课堂小结与布置作业
课堂小结：
核心内容：0°、30°、45°、60°、90° 的正弦、余弦、正切值（熟记汇总表）
推导依据：特殊直角三角形的边长关系（1:\(\sqrt{3}\):2 和 1:1:\(\sqrt{2}\)）
应用场景：代数式求值、直角三角形边角计算、实际测量问题
布置作业：
基础作业：教材对应习题，完成 5 道特殊角值计算题和 2 道直角三角形应用题
提升作业：
（1）已知 α 为锐角，且\(\sin ± = \cos 30 °\)，求 α 的度数及\(\tan ±\)的值；
（2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，\(\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，周长为 12+4\(\sqrt{3}\)，求△ABC 的各边长。
实践作业：用特殊角的三角函数值验证家中直角三角形物品（如书桌、门框）的边角关系，记录测量数据并计算
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
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28.1.3 特殊角的三角函数值
第二十八章 锐角三角函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
A
B
C
∠A 的邻边
∠A
的
对
边
斜边
∠A 的对边
斜边
sin A =
∠A 的邻边
斜边
cos A =
∠A 的对边
∠A 的邻边
tan A =
互余的两角之间的三角函数值之间的关系：
若∠A +∠B = 90°，则 sinA cosB，cosA sinB，
tanA · tanB = .
=
=
1
30°、45°、60° 角的三角函数值
两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
合作探究
30°
60°
45°
45°
如图，设 30° 角所对的直角边长为 a，那么斜边长为 2a，
另一条直角边长为
∴
30°
60°
如图，设两条直角边长为 a，则斜边长为
∴
45°
45°
30°、45°、60° 角的正弦值、余弦值和正切值如右表．
锐角 α 三角 函数值 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
归纳：
1
例 1 求下列各式的值：
提示：cos260° 表示(cos60°)2，即 (cos60°)×(cos60°).
解：cos260° + sin260°
典例精析
(1) cos260° + sin260°；
(2)
解：
练一练
计算：
(1) sin30° + cos45°；
解：原式 =
(2) sin230° + cos230°－tan45°.
解：原式 =
通过三角函数值求角度
A
B
C
例 2 (1) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = ，
BC = ，求∠A 的度数；
∴∠A = 45°.
解：∵
A
B
O
∴ α = 60°.
解：∵ tanα = ，
(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO =
OB，求 α 的度数.
求满足下列条件的锐角 α .
练一练
(1) 2sinα － = 0； (2) tanα－1 = 0.
解：(1) sinα = ，
∴ α = 60°.
(2) tanα =1，
∴ α = 45°.
例 3 已知 △ABC 中的∠A 与锐角∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，试判断 △ABC 的形状．
解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB－ |＝0，
∴ tanA＝1，sinB＝
∴∠A＝45°，锐角∠B＝60°．
∴∠C＝180°－45°－60°＝75°．
∴△ABC 是锐角三角形．
练一练
1. 已知 △ABC 中的锐角∠A 和∠B 满足 | tanB－ | ＋ (2sinA－ )2 ＝0，求∠A，∠B 的度数.
解：∵ | tanB－ | ＋ (2sinA－ )2＝0，
∴ tanB＝ ，sinA＝ ．
∴∠B＝60°，∠A＝60°.
1. tan (α + 20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( )
A. 40° B. 30° C. 20° D. 10°
D
A. cosA = B. cosA =
C. tanA = 1 D. tanA =
2. 已知∠A 为锐角，sinA = ，则下面正确的是 ( )
B
A
返回
1．
[2024重庆八中月考]tan 45°的值为(　　)
返回
C
2．
下列各式不正确的是(　　)
A．cos 30°＝sin 60°
B．tan 45°＝2sin 30°
C．sin 30°＋cos 30°＝1
D．tan 60°·cos 60°＝sin 60°
A
返回
3．
4．
返回
C
已知∠A为锐角，且cos A＝tan 30°，则(　　)
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°
【点拨】
5．
返回
若一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则此三角形中最大锐角的正弦值为________．
6．
返回
如图，一束平行于主光轴的光线AB经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝160°，∠2＝25°，则∠3的正弦值为________．
7．
①
小明的一道错题如下所示，请仔细观察并解决以下问题：
(1)错误步骤：______；(填最先出错的步骤序号即可)
(2)写出正确的解答步骤．
返回
8．
返回
C
9．
返回
B
[2024商丘期末]已知实数a＝tan 30°，b＝cos 60°，c＝sin 45°，则下列判断正确的是(　　)
A．b＞a＞c
B．c＞a＞b
C．b＞c＞a
D．a＞c＞b
10．
返回
C
A．α＝60°，β＝45°
B．α＝30°，β＝45°
C．α＝30°，β＝30°
D．α＝45°，β＝30°
11．
如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC＝120°，则tan A的值为(　　)
【点拨】
【答案】A
返回
12．
【点拨】
【答案】A
返回
30°、45°、60° 角的三角函数值
根据特殊三角函数值求角度
特殊角的
三角函数值
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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