28.1.1正弦函数 课件(共40张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件
文档属性
| 名称 | 28.1.1正弦函数 课件(共40张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-19 06:18:43 | ||
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文档简介
(共40张PPT)
第 1 页：封面
标题：28.1.1 正弦函数
副标题：人教版九年级数学下册
配图：含 30°、45°、60° 的直角三角形示意图（标注直角、锐角及对应边，如 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，AB=2）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
理解直角三角形中锐角的正弦函数定义（\(\sin A=\frac{ è }{ è }\)），明确 “对边”“斜边” 的对应关系
掌握 0°、30°、45°、60°、90° 等特殊角的正弦值，能准确记忆并直接运用
会根据正弦函数定义计算直角三角形中未知的边或角，解决简单的实际问题
过程与方法：
通过观察、测量、计算等活动，经历正弦函数概念的形成过程，提升数形结合能力
借助特殊直角三角形（如含 30°、45° 的三角形）推导特殊角正弦值，培养逻辑推理能力
情感态度：
感受三角函数在解决几何问题和实际问题中的工具性价值，增强学习兴趣
在探究特殊角正弦值的过程中，体会数学的规律性与严谨性
第 3 页：情境引入 —— 直角三角形的边角关系
实例展示（配图呈现）：
实例 1：小明要测量一棵大树的高度，他站在离树底 10 米处，测得视线与水平线的夹角为 30°，已知小明身高 1.6 米，如何计算树高？
实例 2：斜拉桥的钢索与桥塔成 60° 角，钢索长度为 20 米，如何求桥塔的高度？
思考提问：
问题 1：这些实例都涉及直角三角形，已知一个锐角和一条边，如何求另一条边？
问题 2：在直角三角形中，一个锐角确定后，它的对边与斜边的比值是否固定？
引入课题：今天我们将学习直角三角形中锐角的正弦函数，用它来解决这类边角计算问题。
第 4 页：正弦函数的定义
定义推导：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 是一个锐角：
定义：∠A 的对边（BC）与斜边（AB）的比叫做∠A 的正弦，记作\(\sin A\)
数学表达式：\(\sin A = \frac{ A è }{ è } = \frac{BC}{AB}\)
关键强调：
“对边” 是相对于指定锐角而言（如∠B 的对边是 AC，而非 BC）
斜边是直角三角形中最长的边，始终与直角相对（即 AB 边）
概念辨析（互动环节）：
在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=45°，DE=5，DF=3，EF=4，求\(\sin D\)和\(\sin E\)
解析：\(\sin D = \frac{EF}{DE} = \frac{4}{5}\)，\(\sin E = \frac{DF}{DE} = \frac{3}{5}\)
取值范围：
因直角三角形中，对边长度 < 斜边长度，且边长为正数，故 0 < \(\sin A\) < 1（A 为锐角）
特殊情况：∠A=0° 时，\(\sin 0 °=0\)；∠A=90° 时，\(\sin 90 °=1\)
第 5 页：特殊角的正弦值
推导特殊角正弦值：
（1）30° 角的正弦值：
如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，设 BC=1，则 AB=2（30° 角所对直角边是斜边的一半）
\(\sin 30 ° = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}\)
（2）45° 角的正弦值：
如图，Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=45°，设 DF=EF=1，则 DE=\(\sqrt{2}\)（勾股定理）
\(\sin 45 ° = \frac{EF}{DE} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)（分母有理化）
（3）60° 角的正弦值：
沿用 30° 角的 Rt△ABC，∠B=60°，对边是 AC，设 BC=1，AB=2，则 AC=\(\sqrt{3}\)
\(\sin 60 ° = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
特殊角正弦值总结表：
锐角 α
0°
30°
45°
60°
90°
\(\sin ±\)
0
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
1
记忆技巧：结合特殊三角形的边长关系（如 1:2:\(\sqrt{3}\)、1:1:\(\sqrt{2}\)）辅助记忆
第 6 页：正弦函数的基础应用（求边长）
例 1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，求 BC 的长。
解析：
由正弦定义，\(\sin A = \frac{BC}{AB}\)
代入已知：\(\sin 30 ° = \frac{BC}{8}\)
因\(\sin 30 ° = \frac{1}{2}\)，故\(BC = 8 \frac{1}{2} = 4\)
例 2：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠E=60°，DE=10，求 EF 的长（提示：先求∠D 的度数，再用正弦定义）。
解析：
∠D=90°-60°=30°，∠D 的对边是 EF
\(\sin D = \frac{EF}{DE}\)，即\(\sin 30 ° = \frac{EF}{10}\)
解得\(EF = 10 \frac{1}{2} = 5\)
方法总结：已知直角三角形的一个锐角和斜边，求锐角的对边，用 “对边 = 斜边 ×\(\sin\)锐角” 计算。
第 7 页：正弦函数的基础应用（求角度）
例 3：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5，AB=10，求∠A 的度数。
解析：
由正弦定义，\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)
查表或结合特殊角正弦值，得∠A=30°
例 4：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，EF=7，DE=7\(\sqrt{2}\)，求∠D 的度数。
解析：
\(\sin D = \frac{EF}{DE} = \frac{7}{7\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
故∠D=45°
注意事项：若\(\sin ±\)的值不是特殊角的正弦值，需用计算器计算角度（后续学习），现阶段重点掌握特殊角的应用。
第 8 页：正弦函数的实际应用
例 5：（测量高度问题）小明用测角仪测量旗杆高度，测角仪高 1.5 米，测得旗杆顶端的仰角为 45°，测角仪到旗杆的水平距离为 12 米，求旗杆的高度。
解析：
如图，设旗杆顶端为 A，底部为 B，测角仪顶端为 C，底部为 D，則 CD=1.5 米，BD=12 米，∠ACD=45°，四边形 CDB E 为矩形（E 为 A 在 CD 延长线上的垂足），故 CE=BD=12 米，AE 为旗杆超出测角仪的高度
在 Rt△ACE 中，\(\sin 45 ° = \frac{AE}{AC}\)，但此处已知邻边 CE，可先求 AE：因∠ACE=45°，故△ACE 为等腰直角三角形，AE=CE=12 米
旗杆高度 AB=AE+EB=12+1.5=13.5 米
例 6：（斜面问题）一个斜坡的坡角为 30°，斜坡长度为 20 米，求斜坡的垂直高度。
解析：
坡角为斜坡与水平面的夹角，垂直高度为坡角的对边
设垂直高度为 h，由\(\sin 30 ° = \frac{h}{20}\)，得\(h = 20 \frac{1}{2} = 10\)米
第 9 页：巩固练习
选择题：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若\(\sin A = \frac{1}{2}\)，则∠A 的度数为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
（2）已知 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=60°，DF=2，则 DE 的长为（ ）
A. 4 B. 2\(\sqrt{3}\) C. \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) D. \(\sqrt{3}\)
填空题：
（1）\(\sin 45 ° = \)，\(\sin 60 ° = \)；
（2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则\(\sin A = \)______。
解答题：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，AC=6，求 AB 和 BC 的长。
第 10 页：课堂小结
知识梳理：
正弦定义：Rt△中，锐角的对边与斜边的比（\(\sin A = \frac{ è }{ è }\)）
特殊角正弦值：30°（1/2）、45°（\(\sqrt{2}/2\)）、60°（\(\sqrt{3}/2\)）
应用场景：求直角三角形的对边、斜边或锐角，解决测量、斜面等实际问题
思想方法：
数形结合：通过图形明确边角对应关系，辅助计算
转化思想：将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题
易错点回顾：
混淆 “对边” 与 “邻边”，导致正弦定义应用错误
特殊角正弦值记忆不准确（如将\(\sin 45 °\)记为\(\sqrt{3}/2\)）
第 11 页：布置作业
基础作业：教材对应习题，完成 3 道定义应用题、2 道特殊角计算题
提升作业：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，\(\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，BC=6\(\sqrt{3}\)，求 AB 和 AC 的长；
（2）探究：在直角三角形中，若一个锐角的正弦值为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，这个锐角还可以是多少度？为什么？
实践作业：用测角仪（或自制简易测角工具）测量家中阳台护栏的高度，记录测量数据（仰角、水平距离），用正弦函数计算护栏高度并验证
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
28.1.1正弦函数
第二十八章 锐角三角函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情景引入
比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，是一组古罗马建筑群中的钟楼.该塔于 1174 年动工兴建，1350 年完工，是 8 层圆柱形建筑，全部用白色大理石砌成，塔高 AB = 54.5 米，塔体总重量达 1.42 万吨.由于地面塌陷，该塔逐渐倾斜，现在塔顶偏离“自然姿势”的水平距离 BC = 5.2 米. 仔细观察下图，你能求出比萨斜塔现在的倾斜角 α 是多少吗？
A
B
C
“斜而未倒”
BC = 5.2 m
AB = 54.5 m
α
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使
出水口的高度达到
35 m，需要准备多
长的水管？
情境引入
30°
已知直角三角形的边长求正弦值
从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
A
B
C
30°
35 m
合作探究
A
B
C
30°
35 m
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求 AB.
根据“直角三角形中30°角所对的
边等于斜边的一半”，可知
∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m).
故需要准备 70 m 长的水管.
如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的
对边与斜边的比都等于 .
归纳：
在 Rt△ABC 中，如果∠C = 90°，∠A = 45°， 那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？
解：因为∠A = 45°，∠C = 90°，所以 AC = BC，
由勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2，
思考1：
所以 ，
因此
在直角三角形中，如果一个锐角等于 45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与
斜边的比都等于 .
归纳：
当∠A 是直角三角形中一个大小确定的任意的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
思考2：
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．
归纳：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即
例如，当∠A＝30° 时，我们有
当∠A＝45° 时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
归纳：
∠A的对边
斜边
sin A =
例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sinA 和
sinB 的值.
A
B
C
4
3
图①
？
A
B
C
13
5
图②
？
典例精析
解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此
如图②，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此
A
B
C
4
3
图①
？
A
B
C
13
5
图②
？
sinA = ( )
sinA = ( )
1. 如图，判断对错：
A
10 m
6 m
B
C
√
×
练一练
sinB = ( )
×
sinA = 0.6 ( )
sinB = 0.8 ( )
√
√
2. 在 △ABC中，∠C = 90°，AB = 7，BC = 3，则 sinA
的值为 ( )
A. B.
C. D.
C
例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4．
A (3，0)
在 Rt△APO 中，由勾股定理得
因此
α
方法总结：在平面直角坐标系求某角的正弦值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴引垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( )
O
x
y
P (a，b)
α
A. B.
C. D.
练一练
D
已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
A
B
C
提示：已知 sinA 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
解：∵∠C = 90°， ，∴ ，
∴ AB = 3BC = 3×3 = 9.
∴
∴
∴
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，BC = 6，则
AB 的长为 ( )
D
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
2. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果 sinA = ，AB = 6，
那么 BC =_____.
2
练一练
例 4 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm，sinA = ，求这个三角形的周长．
解：由 sinA = ，设 BC = 7x cm，则 AB = 25x cm.
即 24x = 24，解得 x = 1.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
∴ △ABC 的周长为 BC+AC+AB = 7+24+25 = 56 (cm).
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
方法总结：已知一边及其邻角的正弦值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题.
C
返回
1．
如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，则下列比值中不等于sin A的是( )
返回
A
2．
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，则sin∠BAC的值是( )
asinθ km
返回
3．
2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a km，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为________．
4．
返回
5．
如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，求sin∠ECM的值．
返回
6．
如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，与各边分别相切于点E，F，G，H，则∠1的正弦值等于( )
【点拨】
【答案】A
返回
7．
返回
【点拨】
【答案】D
8．
【点拨】
【答案】A
返回
正弦函数
正弦函数的概念
正弦函数的应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
∠A的对边
斜边
sin A =
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面
标题：28.1.1 正弦函数
副标题：人教版九年级数学下册
配图：含 30°、45°、60° 的直角三角形示意图（标注直角、锐角及对应边，如 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，AB=2）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
理解直角三角形中锐角的正弦函数定义（\(\sin A=\frac{ è }{ è }\)），明确 “对边”“斜边” 的对应关系
掌握 0°、30°、45°、60°、90° 等特殊角的正弦值，能准确记忆并直接运用
会根据正弦函数定义计算直角三角形中未知的边或角，解决简单的实际问题
过程与方法：
通过观察、测量、计算等活动，经历正弦函数概念的形成过程，提升数形结合能力
借助特殊直角三角形（如含 30°、45° 的三角形）推导特殊角正弦值，培养逻辑推理能力
情感态度：
感受三角函数在解决几何问题和实际问题中的工具性价值，增强学习兴趣
在探究特殊角正弦值的过程中，体会数学的规律性与严谨性
第 3 页：情境引入 —— 直角三角形的边角关系
实例展示（配图呈现）：
实例 1：小明要测量一棵大树的高度，他站在离树底 10 米处，测得视线与水平线的夹角为 30°，已知小明身高 1.6 米，如何计算树高？
实例 2：斜拉桥的钢索与桥塔成 60° 角，钢索长度为 20 米，如何求桥塔的高度？
思考提问：
问题 1：这些实例都涉及直角三角形，已知一个锐角和一条边，如何求另一条边？
问题 2：在直角三角形中，一个锐角确定后，它的对边与斜边的比值是否固定？
引入课题：今天我们将学习直角三角形中锐角的正弦函数，用它来解决这类边角计算问题。
第 4 页：正弦函数的定义
定义推导：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 是一个锐角：
定义：∠A 的对边（BC）与斜边（AB）的比叫做∠A 的正弦，记作\(\sin A\)
数学表达式：\(\sin A = \frac{ A è }{ è } = \frac{BC}{AB}\)
关键强调：
“对边” 是相对于指定锐角而言（如∠B 的对边是 AC，而非 BC）
斜边是直角三角形中最长的边，始终与直角相对（即 AB 边）
概念辨析（互动环节）：
在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=45°，DE=5，DF=3，EF=4，求\(\sin D\)和\(\sin E\)
解析：\(\sin D = \frac{EF}{DE} = \frac{4}{5}\)，\(\sin E = \frac{DF}{DE} = \frac{3}{5}\)
取值范围：
因直角三角形中，对边长度 < 斜边长度，且边长为正数，故 0 < \(\sin A\) < 1（A 为锐角）
特殊情况：∠A=0° 时，\(\sin 0 °=0\)；∠A=90° 时，\(\sin 90 °=1\)
第 5 页：特殊角的正弦值
推导特殊角正弦值：
（1）30° 角的正弦值：
如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，设 BC=1，则 AB=2（30° 角所对直角边是斜边的一半）
\(\sin 30 ° = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}\)
（2）45° 角的正弦值：
如图，Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=45°，设 DF=EF=1，则 DE=\(\sqrt{2}\)（勾股定理）
\(\sin 45 ° = \frac{EF}{DE} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)（分母有理化）
（3）60° 角的正弦值：
沿用 30° 角的 Rt△ABC，∠B=60°，对边是 AC，设 BC=1，AB=2，则 AC=\(\sqrt{3}\)
\(\sin 60 ° = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
特殊角正弦值总结表：
锐角 α
0°
30°
45°
60°
90°
\(\sin ±\)
0
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
1
记忆技巧：结合特殊三角形的边长关系（如 1:2:\(\sqrt{3}\)、1:1:\(\sqrt{2}\)）辅助记忆
第 6 页：正弦函数的基础应用（求边长）
例 1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，求 BC 的长。
解析：
由正弦定义，\(\sin A = \frac{BC}{AB}\)
代入已知：\(\sin 30 ° = \frac{BC}{8}\)
因\(\sin 30 ° = \frac{1}{2}\)，故\(BC = 8 \frac{1}{2} = 4\)
例 2：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠E=60°，DE=10，求 EF 的长（提示：先求∠D 的度数，再用正弦定义）。
解析：
∠D=90°-60°=30°，∠D 的对边是 EF
\(\sin D = \frac{EF}{DE}\)，即\(\sin 30 ° = \frac{EF}{10}\)
解得\(EF = 10 \frac{1}{2} = 5\)
方法总结：已知直角三角形的一个锐角和斜边，求锐角的对边，用 “对边 = 斜边 ×\(\sin\)锐角” 计算。
第 7 页：正弦函数的基础应用（求角度）
例 3：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5，AB=10，求∠A 的度数。
解析：
由正弦定义，\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)
查表或结合特殊角正弦值，得∠A=30°
例 4：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，EF=7，DE=7\(\sqrt{2}\)，求∠D 的度数。
解析：
\(\sin D = \frac{EF}{DE} = \frac{7}{7\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
故∠D=45°
注意事项：若\(\sin ±\)的值不是特殊角的正弦值，需用计算器计算角度（后续学习），现阶段重点掌握特殊角的应用。
第 8 页：正弦函数的实际应用
例 5：（测量高度问题）小明用测角仪测量旗杆高度，测角仪高 1.5 米，测得旗杆顶端的仰角为 45°，测角仪到旗杆的水平距离为 12 米，求旗杆的高度。
解析：
如图，设旗杆顶端为 A，底部为 B，测角仪顶端为 C，底部为 D，則 CD=1.5 米，BD=12 米，∠ACD=45°，四边形 CDB E 为矩形（E 为 A 在 CD 延长线上的垂足），故 CE=BD=12 米，AE 为旗杆超出测角仪的高度
在 Rt△ACE 中，\(\sin 45 ° = \frac{AE}{AC}\)，但此处已知邻边 CE，可先求 AE：因∠ACE=45°，故△ACE 为等腰直角三角形，AE=CE=12 米
旗杆高度 AB=AE+EB=12+1.5=13.5 米
例 6：（斜面问题）一个斜坡的坡角为 30°，斜坡长度为 20 米，求斜坡的垂直高度。
解析：
坡角为斜坡与水平面的夹角，垂直高度为坡角的对边
设垂直高度为 h，由\(\sin 30 ° = \frac{h}{20}\)，得\(h = 20 \frac{1}{2} = 10\)米
第 9 页：巩固练习
选择题：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若\(\sin A = \frac{1}{2}\)，则∠A 的度数为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
（2）已知 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=60°，DF=2，则 DE 的长为（ ）
A. 4 B. 2\(\sqrt{3}\) C. \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) D. \(\sqrt{3}\)
填空题：
（1）\(\sin 45 ° = \)，\(\sin 60 ° = \)；
（2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则\(\sin A = \)______。
解答题：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，AC=6，求 AB 和 BC 的长。
第 10 页：课堂小结
知识梳理：
正弦定义：Rt△中，锐角的对边与斜边的比（\(\sin A = \frac{ è }{ è }\)）
特殊角正弦值：30°（1/2）、45°（\(\sqrt{2}/2\)）、60°（\(\sqrt{3}/2\)）
应用场景：求直角三角形的对边、斜边或锐角，解决测量、斜面等实际问题
思想方法：
数形结合：通过图形明确边角对应关系，辅助计算
转化思想：将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题
易错点回顾：
混淆 “对边” 与 “邻边”，导致正弦定义应用错误
特殊角正弦值记忆不准确（如将\(\sin 45 °\)记为\(\sqrt{3}/2\)）
第 11 页：布置作业
基础作业：教材对应习题，完成 3 道定义应用题、2 道特殊角计算题
提升作业：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，\(\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，BC=6\(\sqrt{3}\)，求 AB 和 AC 的长；
（2）探究：在直角三角形中，若一个锐角的正弦值为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，这个锐角还可以是多少度？为什么？
实践作业：用测角仪（或自制简易测角工具）测量家中阳台护栏的高度，记录测量数据（仰角、水平距离），用正弦函数计算护栏高度并验证
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
28.1.1正弦函数
第二十八章 锐角三角函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情景引入
比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，是一组古罗马建筑群中的钟楼.该塔于 1174 年动工兴建，1350 年完工，是 8 层圆柱形建筑，全部用白色大理石砌成，塔高 AB = 54.5 米，塔体总重量达 1.42 万吨.由于地面塌陷，该塔逐渐倾斜，现在塔顶偏离“自然姿势”的水平距离 BC = 5.2 米. 仔细观察下图，你能求出比萨斜塔现在的倾斜角 α 是多少吗？
A
B
C
“斜而未倒”
BC = 5.2 m
AB = 54.5 m
α
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使
出水口的高度达到
35 m，需要准备多
长的水管？
情境引入
30°
已知直角三角形的边长求正弦值
从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
A
B
C
30°
35 m
合作探究
A
B
C
30°
35 m
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求 AB.
根据“直角三角形中30°角所对的
边等于斜边的一半”，可知
∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m).
故需要准备 70 m 长的水管.
如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的
对边与斜边的比都等于 .
归纳：
在 Rt△ABC 中，如果∠C = 90°，∠A = 45°， 那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？
解：因为∠A = 45°，∠C = 90°，所以 AC = BC，
由勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2，
思考1：
所以 ，
因此
在直角三角形中，如果一个锐角等于 45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与
斜边的比都等于 .
归纳：
当∠A 是直角三角形中一个大小确定的任意的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
思考2：
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．
归纳：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即
例如，当∠A＝30° 时，我们有
当∠A＝45° 时，我们有
A
B
C
c
a
b
对边
斜边
归纳：
∠A的对边
斜边
sin A =
例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sinA 和
sinB 的值.
A
B
C
4
3
图①
？
A
B
C
13
5
图②
？
典例精析
解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此
如图②，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此
A
B
C
4
3
图①
？
A
B
C
13
5
图②
？
sinA = ( )
sinA = ( )
1. 如图，判断对错：
A
10 m
6 m
B
C
√
×
练一练
sinB = ( )
×
sinA = 0.6 ( )
sinB = 0.8 ( )
√
√
2. 在 △ABC中，∠C = 90°，AB = 7，BC = 3，则 sinA
的值为 ( )
A. B.
C. D.
C
例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4．
A (3，0)
在 Rt△APO 中，由勾股定理得
因此
α
方法总结：在平面直角坐标系求某角的正弦值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴引垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( )
O
x
y
P (a，b)
α
A. B.
C. D.
练一练
D
已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ，BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
A
B
C
提示：已知 sinA 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
解：∵∠C = 90°， ，∴ ，
∴ AB = 3BC = 3×3 = 9.
∴
∴
∴
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，BC = 6，则
AB 的长为 ( )
D
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
2. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果 sinA = ，AB = 6，
那么 BC =_____.
2
练一练
例 4 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm，sinA = ，求这个三角形的周长．
解：由 sinA = ，设 BC = 7x cm，则 AB = 25x cm.
即 24x = 24，解得 x = 1.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
∴ △ABC 的周长为 BC+AC+AB = 7+24+25 = 56 (cm).
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
方法总结：已知一边及其邻角的正弦值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题.
C
返回
1．
如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，则下列比值中不等于sin A的是( )
返回
A
2．
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，则sin∠BAC的值是( )
asinθ km
返回
3．
2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a km，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为________．
4．
返回
5．
如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，求sin∠ECM的值．
返回
6．
如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，与各边分别相切于点E，F，G，H，则∠1的正弦值等于( )
【点拨】
【答案】A
返回
7．
返回
【点拨】
【答案】D
8．
【点拨】
【答案】A
返回
正弦函数
正弦函数的概念
正弦函数的应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
∠A的对边
斜边
sin A =
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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