28.1.2余弦函数和正切函数 课件(共38张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

(共38张PPT)
第 1 页：封面
标题：28.1.2 余弦函数和正切函数
副标题：人教版九年级数学下册
配图：Rt△ABC（∠C=90°），标注∠A 的对边（BC）、邻边（AC）、斜边（AB），旁注余弦、正切的定义表达式
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
理解直角三角形中锐角的余弦函数（\(\cos A=\frac{é è }{ è }\)）和正切函数（\(\tan A=\frac{ è }{é è }\)）定义，明确 “邻边” 的对应关系
掌握 0°、30°、45°、60°、90° 的余弦值与正切值，能准确记忆并对比正弦值
会运用余弦、正切函数解决直角三角形的边角计算及简单实际问题
过程与方法：
类比正弦函数的学习思路，通过观察、推导、计算，构建三角函数的知识体系
结合特殊直角三角形，推导特殊角的余弦、正切值，提升逻辑推理与归纳能力
情感态度：
体会三角函数的系统性，感受数学知识间的内在联系
在实际应用中，增强用数学解决问题的信心，激发学习兴趣
第 3 页：复习回顾与情境引入
复习旧知：
正弦函数定义：在 Rt△ABC 中，\(\sin A = \frac{ A è }{ è }\)
特殊角正弦值：\(\sin 30 °=\frac{1}{2}\)，\(\sin 45 °=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sin 60 °=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
情境延伸：
实例：小明测量大树高度时，若测得仰角 30°，测角仪到树的水平距离（邻边）为 10 米，如何求斜边（视线长度）？若已知对边和邻边，如何求锐角大小？
引入课题：要解决这类问题，需要学习另外两种三角函数 —— 余弦函数和正切函数。
第 4 页：余弦函数的定义
定义推导：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 为锐角：
定义：∠A 的邻边（与∠A 相邻的直角边 AC）与斜边（AB）的比叫做∠A 的余弦，记作\(\cos A\)
数学表达式：\(\cos A = \frac{ A é è }{ è } = \frac{AC}{AB}\)
关键强调：
“邻边” 是相对于指定锐角，且不包含对边（如∠B 的邻边是 BC）
斜边始终是直角三角形中最长的边（AB）
概念辨析：
在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=45°，DE=5，DF=3，EF=4，求\(\cos D\)和\(\cos E\)
解析：\(\cos D = \frac{DF}{DE} = \frac{3}{5}\)（∠D 的邻边是 DF），\(\cos E = \frac{EF}{DE} = \frac{4}{5}\)（∠E 的邻边是 EF）
取值范围：
邻边长度 < 斜边长度，且边长为正，故 0 < \(\cos A\) < 1（A 为锐角）
特殊情况：\(\cos 0 °=1\)，\(\cos 90 °=0\)
第 5 页：正切函数的定义
定义推导：
仍以 Rt△ABC（∠C=90°）为例：
定义：∠A 的对边（BC）与邻边（AC）的比叫做∠A 的正切，记作\(\tan A\)
数学表达式：\(\tan A = \frac{ A è }{ A é è } = \frac{BC}{AC}\)
关键强调：
正切是 “对边与邻边” 的比，无斜边参与，与正弦、余弦区分
邻边不能为 0（故∠A≠90°）
概念辨析：
沿用 Rt△DEF（∠F=90°，DF=3，EF=4），求\(\tan D\)和\(\tan E\)
解析：\(\tan D = \frac{EF}{DF} = \frac{4}{3}\)（∠D 的对边 EF，邻边 DF），\(\tan E = \frac{DF}{EF} = \frac{3}{4}\)（∠E 的对边 DF，邻边 EF）
取值范围：
对边、邻边均为正数，故\(\tan A > 0\)（A 为锐角）
特殊情况：\(\tan 0 °=0\)，\(\tan 90 °\)无意义（邻边为 0）
第 6 页：特殊角的余弦值与正切值
推导过程（结合特殊直角三角形）：
（1）30° 角：Rt△ABC 中，∠A=30°，BC=1，AB=2，AC=\(\sqrt{3}\)
\(\cos 30 ° = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\tan 30 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
（2）45° 角：Rt△DEF 中，∠D=45°，DF=EF=1，DE=\(\sqrt{2}\)
\(\cos 45 ° = \frac{DF}{DE} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\tan 45 ° = \frac{EF}{DF} = 1\)
（3）60° 角：沿用 30° 角的 Rt△ABC，∠B=60°，邻边 BC=1，对边 AC=\(\sqrt{3}\)
\(\cos 60 ° = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2}\)，\(\tan 60 ° = \frac{AC}{BC} = \sqrt{3}\)
特殊角三角函数值汇总表：
锐角 α
0°
30°
45°
60°
90°
\(\sin ±\)
0
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
1
\(\cos ±\)
1
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
0
\(\tan ±\)
0
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
1
\(\sqrt{3}\)
无意义
记忆技巧：
余弦值与正弦值 “互补”：\(\cos ± = \sin (90 °- ±)\)（如\(\cos 30 °=\sin 60 °\)）
正切值：30°→\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，45°→1，60°→\(\sqrt{3}\)，按 “小→中→大” 递增
第 7 页：余弦与正切函数的基础应用（求边长）
例 1（余弦应用）：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AB=10，求 AC 的长。
解析：\(\cos A = \frac{AC}{AB}\)，即\(\cos 60 ° = \frac{AC}{10}\)，故\(AC = 10 \frac{1}{2} = 5\)
例 2（正切应用）：
在 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=30°，DF=6\(\sqrt{3}\)，求 EF 的长。
解析：\(\tan D = \frac{EF}{DF}\)，即\(\tan 30 ° = \frac{EF}{6\sqrt{3}}\)，故\(EF = 6\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3} = 6\)
方法总结：
已知锐角和斜边，求邻边→用余弦（邻边 = 斜边 ×\(\cos\)锐角）
已知锐角和邻边，求对边→用正切（对边 = 邻边 ×\(\tan\)锐角）
第 8 页：余弦与正切函数的基础应用（求角度）
例 3（余弦应用）：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=6，求∠A 的度数。
解析：\(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)，故∠A=60°
例 4（正切应用）：
在 Rt△DEF 中，∠F=90°，EF=5，DF=5，求∠D 的度数。
解析：\(\tan D = \frac{EF}{DF} = 1\)，故∠D=45°
综合对比：
求角度时，优先选择已知边能直接对应三角函数定义的（如已知对边和邻边→用正切）
第 9 页：三角函数的实际应用（综合）
例 5（测量距离问题）：
一艘船从港口 A 出发，向东北方向（45°）航行，2 小时后到达 B 点，已知船速为 15 海里 / 时。此时测得港口 A 在船的西南方向，求港口 A 到航线 AB 的垂直距离（即 AC，C 为垂足）。
解析：
AB=15×2=30 海里，∠BAC=45°（东北方向）
在 Rt△ABC 中，\(\cos 45 ° = \frac{AC}{AB}\)，故\(AC = 30 \frac{\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}\)≈21.2 海里
例 6（斜面坡度问题）：
某山坡的坡度（坡面的垂直高度与水平宽度的比，即\(\tan ±\)）为 1:2，若坡面长度为 10 米，求山坡的垂直高度。
解析：
设垂直高度为 h，水平宽度为 2h（坡度 1:2）
由勾股定理，坡面长度 =\(\sqrt{h +(2h) }=\sqrt{5}h=10\)，解得 h=2\(\sqrt{5}\)≈4.5 米
（或用正弦：\(\sin ± = \frac{h}{10}\)，\(\tan ±=\frac{1}{2}\)，得\(\sin ±=\frac{1}{\sqrt{5}}\)，故 h=10×\(\frac{1}{\sqrt{5}}\)=2\(\sqrt{5}\)）
第 10 页：巩固练习
选择题：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若\(\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，则∠A 的度数为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
（2）已知 Rt△DEF 中，∠F=90°，∠D=45°，EF=3，则 DF 的长为（ ）
A. 3 B. 3\(\sqrt{2}\) C. \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\) D. \(\sqrt{3}\)
填空题：
（1）\(\cos 60 ° = \)，\(\tan 30 ° = \)；
（2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则\(\cos B = \)，\(\tan A = \)。
解答题：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6\(\sqrt{3}\)，求 AB 和 BC 的长及\(\tan B\)的值。
第 11 页：课堂小结
知识梳理：
三大三角函数定义（Rt△中，∠C=90°）：
函数
定义
表达式
正弦（\(\sin A\)）
对边 / 斜边
\(\frac{BC}{AB}\)
余弦（\(\cos A\)）
邻边 / 斜边
\(\frac{AC}{AB}\)
正切（\(\tan A\)）
对边 / 邻边
\(\frac{BC}{AC}\)
特殊角值：牢记 30°、45°、60° 的三者函数值，掌握互补关系（\(\cos ±=\sin(90 °- ±)\)）
思想方法：
类比思想：通过正弦函数类比学习余弦、正切，构建统一的三角函数认知
数形结合：借助直角三角形图形，明确边角对应关系，避免定义混淆
易错点回顾：
混淆 “邻边” 的对应角（如将∠A 的邻边错记为 BC）
特殊角正切值记忆错误（如\(\tan 30 °\)记为\(\sqrt{3}\)）
第 12 页：布置作业
基础作业：教材对应习题，完成 3 道余弦 / 正切定义应用题、2 道特殊角计算题
提升作业：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，\(\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}\)，AB=8，求 AC 和 BC 的长；
（2）探究：在 Rt△中，\(\sin A + \cos A = 1\)是否成立？用 30°、45° 角验证，并说明理由。
实践作业：用测角仪测量小区内倾斜的树干与地面的夹角（坡角），记录树干底部到测量点的水平距离，用正切函数计算树干的垂直高度（忽略树干弯曲）
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
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28.1.2余弦函数和正切函数
第二十八章 锐角三角函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题引入
A
B
C
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定.
此时，其他边之间的比是否也确定了呢？
余弦
合作探究
如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中
∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？
为什么？
A
B
C
D
E
F
我们来试着证明前面的问题：
∵
∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，
∴
∠B =∠E．
从而 sinB = sinE，
因此
A
B
C
D
E
F
在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如右图所示，在直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即
归纳：
A
B
C
斜边
邻边
∠A 的邻边
斜边
cosA =
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，有
cosα = sin(90°－α)．
从而有
sinα = cos(90°－α)．
练一练
1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，
则 cosA＝ .
2. 已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7∶5，α 为
其最小的锐角，求 α 的正弦值和余弦值．
cosα =
∴ sinα =
解：由题意设斜边为 7x，则该直角边为 5x，另一直角边为 ＜5x，
合作探究
如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中
∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？
为什么？
A
B
C
D
E
F
正切
∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF.
∠A =∠D ，∠C =∠F = 90°，
∵
∴
∴
A
B
C
D
E
F
由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
归纳：
　　如下图，在直角三角形 ABC 中，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA， 即
A
B
C
邻边
对边
　 锐角 A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数.
∠A 的对边
∠A 的邻边
tanA =
如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？
想一想：
互为倒数.
3. 如图，在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)，连接 OP，则 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正切值
为_____.
练一练
α
4. 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O
相切与点 C，若 BC = 4，AB = 5，则 tanA =___.
·
A
O
B
C
例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，BC = 6，求 sinA，cosA，tanA 的值.
A
B
C
10
6
解：由勾股定理得 ，
∴
典例精析
锐角三角函数
5. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13.
sinA =______，cosA =______，tanA =____，
sinB =______，cosB =______，tanB =____.
练一练
A
B
C
12
13
2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 3.
sinA =_______，cosA =_______，tanA =_____，
sinB =_______，cosB =_______，tanB =_____.
在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值
B
C
2
3
A
A
B
C
6
例 2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6，sinA
= ，求 cosA，tanB 的值．
解：在 Rt△ABC 中，∵
又∵
∴
在直角三角形中，如果已知一
边长及一个锐角的某个三角函
数值，即可求出其他所有
锐角的三角函数值
A
B
C
8
解：∵
练一练
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，tanA =
， 求 sinA，cosA 的值．
∴
∴
∴
2.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，且 sinA = ，则下列
结论正确的是 （ ）
A. cosA = B. tanA =
C. cosA = D. tanA =
D
1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，
∠A = 35°，则直角边 BC 的长是 ( )
A.
B.
C.
D.
A
A
B
C
2. sin70°，cos70°，tan70° 的大小关系是 ( )
A. tan70°＜cos70°＜sin70°
B. cos70°＜tan70°＜sin70°
C. sin70°＜cos70°＜tan70°
D. cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1. 又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着锐角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°. 故选 D.
D
B
返回
1．
如图是一把遮阳伞的示意图，遮阳伞立柱OA垂直于BC，垂足为点D，OB＝1.6 m．当遮阳伞撑开至如图所示的位置时，∠OBD＝20°，则此时伞内半径BD的长度为(　　)
返回
D
2．
A
返回
3．
如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tan D等于(　　)
4．
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”. 若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，BC≥AC，则tan B＝(　　)
【点拨】
【答案】B
返回
5．
如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝6，BC＝13，CD＝5，则tan C 等于________．
【点拨】
返回
6．
7．
如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，则tan∠BOD的值是(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
【点拨】
如图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，连接OD，此时点D到弦OB的距离最大．
∵A(8，0)，B(0，6)，
∴AO＝8，BO＝6.
∵∠BOA＝90°，
【答案】B
返回
8．
[2024眉山]如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC 边上的点F处，则cos∠CEF的值为(　　)
【点拨】
【答案】A
返回
余弦函数和
正切函数
在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦
锐角∠A 的大小确定的情况下，cosA，tanA 为定值，与直角三角形的大小无关
在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切
余弦
正切
性质
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！