28.2.1 解直角三角形 课件(共43张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

(共43张PPT)
第 1 页：封面
标题：28.2.1 解直角三角形
副标题：人教版九年级数学下册
配图：Rt△ABC（标注∠C=90°，∠A、∠B、AB、BC、AC），旁注 “已知 2 个元素（至少 1 边）→求其余 3 个元素”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
理解解直角三角形的定义（已知 2 个元素，至少 1 边，求其余 3 个元素）
掌握解直角三角形的工具（勾股定理、三角函数、三角形内角和）
能根据已知条件（已知一边一角、已知两边）分类求解直角三角形的未知元素
结合解直角三角形解决简单的实际问题（如仰角、俯角）
过程与方法：
通过分类讨论、例题演练，经历 “分析条件 — 选择工具 — 计算验证” 的解题过程，提升逻辑思维
体会 “数形结合”“转化思想” 在解直角三角形中的应用
情感态度：
感受解直角三角形在实际生活中的实用性，增强数学应用意识
在复杂问题求解中，培养严谨的计算习惯与耐心
第 3 页：复习回顾与概念引入
知识储备：
勾股定理：在 Rt△ABC 中，\(a + b = c \)（a、b 为直角边，c 为斜边）
三角函数：\(\sin A = \frac{a}{c}\)，\(\cos A = \frac{b}{c}\)，\(\tan A = \frac{a}{b}\)
三角形内角和：∠A + ∠B = 90°（∠C=90°）
概念引入：
定义：在直角三角形中，由已知的边和角，求出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形。
关键条件：已知 2 个元素，且至少有 1 个是边（若已知 2 个角，无法确定三角形大小，不能解）
思考提问：
已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，如何求∠B、BC、AC？
第 4 页：解直角三角形的工具与原则
核心工具：
工具类型
适用场景
数学表达式
勾股定理
已知两边，求第三边
\(a + b = c \)
三角函数
已知一边一角，求其他边 / 角
\(\sin A = \frac{ è }{ è }\)等
内角和
已知一个锐角，求另一个锐角
∠B = 90° - ∠A
解题原则：
“有斜用弦”：已知斜边或求斜边，用正弦、余弦
“无斜用切”：已知直角边或求直角边，用正切
“宁乘勿除”：优先用乘法计算（如\(a = c ·\sin A\)），减少除法误差
“取原避中”：尽量用原始数据计算，避免中间结果近似导致误差
第 5 页：类型一：已知一边一角解直角三角形
细分场景 1：已知斜边和一个锐角
例 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，c=20，∠A=45°，解这个直角三角形。
解析：
求角：∠B = 90° - 45° = 45°
求边：\(a = c ·\sin A = 20 \sin 45 ° = 20 \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}\)；\(b = c ·\cos A = 10\sqrt{2}\)（或用勾股定理）
细分场景 2：已知直角边和一个锐角
例 2：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=6，∠A=60°，解这个直角三角形（结果保留根号）。
解析：
求角：∠B = 90° - 60° = 30°
求边：\(\tan A = \frac{a}{b}\)→\(b = \frac{a}{\tan 60 °} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\)；\(c = \frac{a}{\sin 60 °} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3}\)
方法总结：先求未知角（内角和），再根据三角函数求未知边，最后用勾股定理验证。
第 6 页：类型二：已知两边解直角三角形
细分场景 1：已知两条直角边
例 3：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=3，b=4，解这个直角三角形。
解析：
求斜边：\(c = \sqrt{a + b } = \sqrt{3 + 4 } = 5\)
求角：\(\tan A = \frac{a}{b} = \frac{3}{4}\)→用计算器得∠A≈36.9°；∠B = 90° - 36.9°≈53.1°
细分场景 2：已知一条直角边和斜边
例 4：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=5，c=10，解这个直角三角形。
解析：
求另一直角边：\(b = \sqrt{c - a } = \sqrt{10 - 5 } = 5\sqrt{3}\)
求角：\(\sin A = \frac{a}{c} = \frac{5}{10} = 0.5\)→∠A=30°；∠B=60°
方法总结：先求未知边（勾股定理），再用三角函数求未知角，最后验证内角和为 90°。
第 7 页：进阶应用 —— 含特殊角的复杂解直角三角形
例 5：含 30° 角的组合计算
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，D 是 AB 的中点，CD=2，解这个直角三角形。
解析：
直角三角形斜边中线等于斜边一半→AB=2CD=4
∠A=60°，\(a = AB ·\sin A = 4 \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\)；\(b = AB ·\sin B = 4 \frac{1}{2} = 2\)
例 6：含高的双直角三角形
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，CD⊥AB 于 D，求 CD、AD 的长。
解析：
先求 AB：\(AB = \sqrt{6 + 8 } = 10\)
面积法求 CD：\(\frac{1}{2}AC ·BC = \frac{1}{2}AB ·CD\)→\(CD = \frac{6 8}{10} = 4.8\)
勾股定理求 AD：\(AD = \sqrt{AC - CD } = \sqrt{6 - 4.8 } = 3.6\)
第 8 页：实际应用 —— 仰角与俯角问题
概念辨析：
仰角：从低处观测高处目标，视线与水平线的夹角
俯角：从高处观测低处目标，视线与水平线的夹角（仰角与俯角相等）
例 7：测量高度
小明在地面 A 点，用测角仪测得楼顶 C 的仰角为 45°，测角仪高 AB=1.5m，A 到楼底 D 的距离 AD=20m，求楼高 CD。
解析：
过 B 作 BE⊥CD 于 E，四边形 ABDE 为矩形→BE=AD=20m，DE=AB=1.5m
在 Rt△BCE 中，∠CBE=45°→CE=BE=20m
楼高 CD=CE+DE=20+1.5=21.5m
例 8：测量距离
山顶有一铁塔，从地面 B 点测得塔顶 A 的仰角为 60°，测得塔底 C 的仰角为 45°，BC=200m，求铁塔 AC 的高。
解析：
在 Rt△BCD 中，∠D=90°，∠CBD=45°→CD=BC sin45°=200×\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)=100\(\sqrt{2}\)
在 Rt△ABD 中，AD=BD tan60°=100\(\sqrt{2}\)×\(\sqrt{3}\)=100\(\sqrt{6}\)
铁塔 AC=AD-CD=100 (\(\sqrt{6}\)-\(\sqrt{2}\))≈100(2.45-1.41)=104m
第 9 页：易错点警示与避坑指南
高频易错点：
已知 2 个角解三角形：忽略 “至少 1 边” 的条件，导致无法确定边长
三角函数选择错误：已知对边和邻边，误用正弦（应选正切）
实际问题中忽略仪器高度：计算楼高时，漏加测角仪高度
近似计算误差：中间结果取近似值过早，导致最终结果偏差大
避坑技巧：
解题前先判断已知条件类型（边边角 / 边边），确认是否可解
优先用原始数据（如根号形式）计算，最后一步再取近似值
实际问题中先画示意图，标注已知量与未知量，明确直角三角形构成
第 10 页：巩固练习
基础题：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，b=6，解这个直角三角形；
（2）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=2，b=2\(\sqrt{3}\)，求∠A 和 c。
中档题：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，∠B=60°，D 是 BC 上一点，BD=5，求 AD 的长。
实际应用题：
从山脚 A 到山顶 B 的斜坡长 200m，坡度为 1:√3，求山顶 B 到山脚 A 的垂直高度。
第 11 页：课堂小结
知识梳理：
解直角三角形定义：已知 2 元素（至少 1 边）→求其余 3 元素
两大类型：①已知一边一角；②已知两边
核心工具：勾股定理、三角函数（sin/cos/tan）、内角和
解题流程：
思想方法：
数形结合：通过图形明确边角关系，辅助选择工具
分类讨论：按已知条件类型分类，避免思路混乱
第 12 页：布置作业
基础作业：教材对应习题，完成 4 道解直角三角形题（2 道一边一角，2 道两边）
提升作业：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，AC=6，点 E 在 AC 上，AE=2，ED⊥AB 于 D，求 AD 和 DE 的长；
（2）已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，周长为 12+4√3，求各边的长。
实践作业：
用测角仪和卷尺，测量学校旗杆的高度，记录测量数据（仰角、水平距离、仪器高度），用解直角三角形的方法计算旗杆高度，并与实际高度（若可知）对比验证
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
28.2.1 解直角三角形
第二十八章 锐角三角函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
A
C
B
c
b
a
(1) 三边之间的关系：a2 + b2 =_____；
(2) 锐角之间的关系：
∠A +∠B =_____；
(3) 边角之间的关系：sinA =_____，cosA =_____，
tanA =_____.
如图，在 Rt△ABC 中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C = 90°.
c2
90°
复习引入
已知两边解直角三角形
在图中的 Rt△ABC 中，
(1) 根据∠A = 75°，斜边 AB = 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
合作探究
A
B
C
6
75°
(2) 根据 AC = 2.4，AB = 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
2.4
在直角三角形中，除直角外有 5 个元素（即 3 条边长、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素（至少有 1 个是边长），就可以求出其余的 3 个未知元素.
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
A
B
C
解：
典例精析
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = ，
，解这个直角三角形.
已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 30，b = 20，解此直角三角形.
解：根据勾股定理得
A
B
C
b=20
a=30
c
练一练
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°，
b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
A
B
C
b = 20
c
a
35°
解：
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 72°，c = 14.
根据条件解直角三角形.
A
B
C
b
a
c = 14
解：
练一练
2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
提示：作 CD⊥AB 于点 D，根据三角函数的定义，在 Rt△ACD 和 Rt△CDB 中，即可求出 CD，AD，BD 的长，从而得解．
在 Rt△CDB 中，∠DCB =∠ACB－∠ACD = 45°，
解：如图，作 CD⊥AB 于点 D.
在 Rt△ACD 中，∵∠A = 30°，∴∠ACD = 90° - ∠A = 60°.
∴ BD = CD = 2.
D
已知一锐角三角函数值解直角三角形
例 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，
BC = 5， 试求 AB 的长.
A
C
B
解：
设
在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解.
(舍去).
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，BC = 6，则
AB的长为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
D
2. 如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC = 4，
sinB = ，则菱形的周长是 ( )
A．10 B．20
C．40 D．28
C
练一练
提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.
例 4 在△ABC 中，AB = ，AC = 13，cosB = ，求 BC 的长.
解：∵cosB = ，∴∠B = 45°.
当△ABC 为钝角三角形时，如图①.
∵AC = 13，∴由勾股定理得 CD = 5.
∴BC = BD - CD = 12 - 5 = 7.
图①
当△ABC 为锐角三角形时，如图②，
此时 BC = BD + CD = 12 + 5 = 17.
综上可知，BC 的长为 7 或 17.
图②
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，
AB = 8，则 BC 的长是 ( )
D
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A，
∠B，∠C 的对边，则下列各式正确的是 ( )
A. b = a·tanA B. b = c·sinA
C. b = c·cosA D. a = c·cosA
A
C
B

C
A
返回
1．
[2024绵阳期末]在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝6，则AC＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A．3
B．4
C．5
D．12
2．
【点拨】
【答案】A
返回
3．
在△ABC中，AC＝2，∠B＝45°，∠C＝30°，则BC的长度为(　　)
【点拨】
【答案】C
返回
4．
返回
劳动教育是德智体美劳全面发展的主要内容之一，现有一块如图的四边形劳动教育基地，则此基地的面积为________m2.
5．
[2024浙江]如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
(1)求BC的长；
(2)求sin∠DAE的值．
返回
6．
【点拨】
【答案】D
返回
7．
【点拨】
【答案】A
返回
8．
【点拨】
如图，过点C作CD⊥x轴于点D，作CE⊥y轴于点E.
∵∠ACB＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠OBC＋∠OAC＝180°.
∵∠EAC＋∠OAC＝180°，
∴∠EAC＝∠OBC.
【答案】B
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9．
[2024泰安]如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°的直角三角形，连接AG.当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是(　　)
【点拨】
如图，过点E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，连接GM，作AI⊥MG的延长线于点I.
∵∠EMF＋∠EGF＝180°，
∴点E，M，F，G四点共圆．
∴∠EMG＝∠EFG＝30°. ∵∠B＝60°，
∴∠BEM＝30°＝∠EMG.
∴MG∥AB.∴MH⊥MG. ∴四边形MHAI是矩形．
【答案】C
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10．
A．只有甲答的对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
【点拨】
【答案】B
返回
11．
[2024许昌期末]如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E是AD的中点，连接CE并延长交AB于点F.AC＝13，
CD＝5.
(1)求AD的长及∠DEC的正切值．
(2)若AF：BF＝2：3，则BD＝________．
2.5
返回
解直角三角形
依据
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边长），就可以求出余下的三个未知元素
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！