28.2.2.1 俯角、仰角问题 课件(共36张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件
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| 名称 | 28.2.2.1 俯角、仰角问题 课件(共36张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 10.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-19 06:17:27 | ||
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文档简介
(共36张PPT)
第 1 页：封面
标题：28.2.2.1 俯角、仰角问题
副标题：人教版九年级数学下册
配图：包含仰角与俯角的立体示意图（左侧：地面观测楼顶的仰角，右侧：楼顶观测地面的俯角，标注水平线、视线、角度，强调 “仰角 = 俯角”）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
准确理解仰角、俯角的定义，明确其与水平线、视线的位置关系
掌握将仰角、俯角问题转化为直角三角形问题的建模方法
能运用解直角三角形的知识（三角函数、勾股定理）解决仰角、俯角相关的实际测量问题
过程与方法：
通过观察示意图、绘制数学模型、分析解题思路，经历 “实际情境 — 数学建模 — 求解验证” 的过程，提升数形结合能力
结合多类型实例，培养从复杂情境中提取关键信息、构建直角三角形的能力
情感态度：
感受数学在实际测量（如建筑、航海）中的应用价值，增强数学应用意识
在解决实际问题的过程中，培养严谨的逻辑思维与耐心细致的计算习惯
第 3 页：概念辨析 —— 仰角与俯角的定义
定义解读（结合配图）：
仰角：从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角（如图：地面点 A 观测楼顶点 C，视线 AC 与水平线 AB 的夹角∠CAB 为仰角）
俯角：从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角（如图：楼顶点 C 观测地面点 A，视线 CA 与水平线 CD 的夹角∠DCA 为俯角）
核心性质：
仰角与俯角是内错角（因水平线 AB∥CD，视线 AC 为截线），故仰角 = 俯角（如∠CAB=∠DCA）
角度范围：仰角、俯角均为锐角（0°<α<90°）
易错提醒：
不可将视线与竖直方向的夹角误认为仰角 / 俯角（必须以水平线为基准）
区分 “观测点” 与 “目标点”，明确高低位置关系，避免角度判断错误
第 4 页：解题核心 —— 仰角、俯角问题的建模步骤
四步建模法：
第一步：画示意图：根据题目描述，画出包含观测点、目标点、水平线、竖直高度的立体示意图，标注已知条件（如距离、角度）
第二步：构直角三角形：过观测点作目标点的竖直垂线（或水平平行线），构建以 “视线、水平线、竖直高度” 为三边的直角三角形（关键：将立体问题平面化）
第三步：定已知与未知：在直角三角形中，明确已知的边 / 角（如仰角、水平距离）和待求的边 / 角（如竖直高度、视线长度）
第四步：选工具求解：根据已知条件，选择合适的三角函数（sin/cos/tan）或勾股定理计算，验证结果合理性
模型特征：
直角三角形的一个锐角为仰角或俯角，一条直角边为 “水平距离” 或 “竖直高度”，斜边为 “视线长度”
第 5 页：类型一 —— 单一仰角 / 俯角问题（测量高度）
例 1：已知仰角与水平距离，求高度
问题：小明在地面点 A 处，用测角仪测得教学楼楼顶点 B 的仰角为 30°，测角仪高度 AC=1.6m，A 到教学楼底部 D 的水平距离 AD=24m，求教学楼的高度 BD（结果保留根号）。
建模与解析：
① 画示意图：标注 A（观测点）、D（楼底）、B（楼顶）、C（测角仪顶端），AC⊥AD，BD⊥AD，过 C 作 CE⊥BD 于 E，得矩形 ACDE（CE=AD=24m，DE=AC=1.6m）
② 构直角三角形：Rt△CEB，∠BCE=30°（仰角），CE=24m，求 BE
③ 求解：在 Rt△CEB 中，\(\tan 30 ° = \frac{BE}{CE}\)→\(BE = CE ·\tan 30 ° = 24 \frac{\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}\)m
④ 总高度：BD=BE+DE=8\sqrt {3}+1.6≈14.9+1.6=16.5m
方法总结：测量高度时，若存在仪器高度，需将 “仪器顶端到目标点的竖直高度” 与 “仪器高度” 相加，得到总高度。
第 6 页：类型一 —— 单一仰角 / 俯角问题（测量距离）
例 2：已知俯角与竖直高度，求水平距离
问题：无人机在离地面高度为 50m 的点 P 处，测得地面控制点 Q 的俯角为 45°，求无人机到控制点 Q 的水平距离（结果保留整数）。
建模与解析：
① 画示意图：标注 P（无人机）、Q（控制点），过 P 作水平线 PA，俯角∠APQ=45°，过 Q 作 QB⊥PA 的延长线于 B，得矩形 PABQ（PB = 水平距离，QB=50m）
② 构直角三角形：Rt△PBQ，∠BPQ=45°（因俯角∠APQ=45°，PA∥BQ，故∠BPQ=∠PQB=45°）
③ 求解：Rt△PBQ 为等腰直角三角形，PB=QB=50m，故水平距离为 50m
技巧提炼：已知俯角时，利用 “俯角 = 仰角” 将角度转化到直角三角形的锐角，简化计算。
第 7 页：类型二 —— 双仰角 / 俯角问题（测量高度差）
例 3：已知两个仰角与观测点距离，求目标高度
问题：在同一水平直线上的两点 A、B，分别测得山顶 P 的仰角为 30° 和 60°，A、B 两点间的距离为 200m，求山的高度 PC（C 为山底，A、B、C 在同一直线上）。
建模与解析：
① 画示意图：标注 A、B（观测点，AB=200m）、P（山顶）、C（山底），PC⊥AC，设 BC=x，则 AC=AB+BC=200+x
② 构直角三角形：Rt△PBC（∠PBC=60°）和 Rt△PAC（∠PAC=30°）
③ 列方程：在 Rt△PBC 中，\(PC = BC ·\tan 60 ° = \sqrt{3}x\)；在 Rt△PAC 中，\(PC = AC ·\tan 30 ° = (200+x) ·\frac{\sqrt{3}}{3}\)
④ 求解：\(\sqrt{3}x = \frac{\sqrt{3}}{3}(200+x)\)→3x=200+x→x=100，故 PC=100\sqrt {3}≈173m
关键思路：双仰角 / 俯角问题中，需设未知数表示未知线段，利用两个直角三角形中的三角函数关系列方程求解。
第 8 页：类型二 —— 双仰角 / 俯角问题（测量宽度）
例 4：已知俯角与观测高度，求河流宽度
问题：在河岸边的高楼顶端 A 处，测得河对岸两点 B、C 的俯角分别为 45° 和 30°，高楼高度 AD=60m（D 为楼底，在河岸上），求河流宽度 BC（结果保留根号）。
建模与解析：
① 画示意图：标注 A（楼顶）、D（楼底）、B、C（对岸点），AD⊥CD，过 A 作水平线 AE，俯角∠EAB=45°，∠EAC=30°，故∠ABD=45°，∠ACD=30°
② 构直角三角形：Rt△ABD 和 Rt△ACD
③ 计算：在 Rt△ABD 中，\(\tan 45 ° = \frac{AD}{BD}\)→BD=AD=60m；在 Rt△ACD 中，\(\tan 30 ° = \frac{AD}{CD}\)→CD=AD÷\(\tan 30 °=60\sqrt{3}\)m
④ 河流宽度：BC=CD-BD=60\sqrt {3}-60≈60 (1.73-1)=43.8m
易错提醒：明确两个目标点的位置关系（同侧或异侧），避免宽度计算时出现加减错误。
第 9 页：实际应用拓展 —— 航海与航空问题
例 5：航海中的俯角问题
问题：一艘轮船在海面 A 处，测得灯塔 C 在北偏东 60° 方向，轮船向正东方向航行 20 海里到达 B 处，此时测得灯塔 C 在北偏东 30° 方向，求轮船在 B 处到灯塔 C 的距离（结果保留整数）。
建模与解析：
① 画方位图：标注 A、B（轮船位置，AB=20 海里）、C（灯塔），过 A 作正北方向 AD，过 B 作正北方向 BE，∠DAC=60°，∠EBC=30°，故∠CAB=30°，∠CBA=120°，∠ACB=30°
② 构直角三角形：过 C 作 CF⊥AB 的延长线于 F，设 BF=x，BC=2x（∠BCF=30°），CF=\(\sqrt{3}x\)
③ 求解：在 Rt△AFC 中，\(\tan 30 ° = \frac{CF}{AF}\)→\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}x}{20+x}\)→20+x=3x→x=10，故 BC=20 海里
方法总结：航海问题中需结合方位角与仰角 / 俯角，先确定三角形内角，再通过直角三角形求解。
第 10 页：易错点警示与避坑指南
高频易错点：
忽略仪器高度：计算目标高度时，漏加测角仪、观测者身高，导致结果偏小
角度转化错误：未将俯角转化为直角三角形的锐角（如误将俯角作为直角三角形的钝角）
示意图绘制错误：观测点与目标点的高低位置颠倒，导致直角三角形构建错误
单位不统一：题目中距离单位（如米、海里）与高度单位混淆，未统一单位直接计算
避坑技巧：
绘制示意图时，用不同颜色标注水平线、视线、竖直高度，明确直角位置
解题前先列出已知条件，标注单位，确保单位统一（如将 “千米” 转化为 “米”）
计算完成后，用 “特殊角验证法”（如 45° 时直角边相等）检验结果合理性
第 11 页：巩固练习
基础题：
（1）在地面点 A 处，测得旗杆顶端 B 的仰角为 60°，A 到旗杆底部 C 的水平距离为 10m，求旗杆高度 BC（结果保留根号）；
（2）从热气球上测得地面某点的俯角为 45°，热气球高度为 80m，求热气球到该点的水平距离。
中档题：
（3）在教学楼二楼窗口 B 处（高度 AB=10m），测得操场旗杆顶端 C 的仰角为 30°，旗杆底部 D 到楼底 A 的水平距离 AD=15\sqrt {3} m，求旗杆高度 CD。
提升题：
（4）在山顶 P 处，测得山脚下 A、B 两点的俯角分别为 30° 和 45°，A、B 两点在同一直线上，且 AB=100m，求山的高度 PC（C 为山底，A、C、B 在同一直线上）。
第 12 页：课堂小结与布置作业
课堂小结：
核心概念：仰角（低处看高处，视线与水平线夹角）、俯角（高处看低处，视线与水平线夹角），两者相等
解题流程：画示意图→构直角三角形→定已知未知→选三角函数求解
关键模型：测量高度（加仪器高度）、测量距离（用水平 / 竖直边）、双角问题（列方程）
布置作业：
基础作业：教材对应习题，完成 3 道仰角 / 俯角基础应用题
提升作业：
（1）如图，在塔 AB 前的平地上选一点 C，测得塔顶 A 的仰角为 30°，向塔前进 12m 到达 D，测得仰角为 45°，求塔高 AB；
（2）一艘飞机在海拔 800m 的高空飞行，测得地面某港口的俯角为 60°，求飞机到港口的水平距离（结果保留根号）。
实践作业：
用自制测角仪（量角器、细线、重物）测量小区内一棵树的高度，记录观测点到树底的水平距离、仰角、测角仪高度，用本节课方法计算树高，并与实际估计值对比
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
28.2.2.1 俯角、仰角问题
第二十八章 锐角三角函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
高跟鞋深受很多女性的喜爱，但如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.
美国某人体工程学研究人员调查发现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为 6 至 7 cm 左右的高跟鞋. 但专家认为穿 6 cm 以上的高跟鞋，腿肚、脚背等处的肌肉非常容易疲劳.
若某成年人的脚掌长为 15 cm，则鞋跟约在 3 cm 左右高度为最佳. 据此，可以算出高跟鞋的鞋底与地面的夹角为 11° 左右时，人脚的感觉最舒适.
你知道专家是怎样计算的吗？
在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
1. 解直角三角形
(1) 三边之间的关系：
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
2. 解直角三角形的依据
(2) 两锐角之间的关系：
∠A＋∠ B＝90 ；
(3) 边角之间的关系：
tanA＝
sinA＝
cosA＝
A
C
B
a
b
c
利用解直角三角形解决简单实际问题
棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为 30°，你知道缆车上升的垂直高度是多少吗
A
B
A
B
D
30°
200 m
BD = ABsin30° = 100 m
合作探究
A
B
C
棋棋乘缆车继续从点 B 到达比点 B 高 200 m 的点 C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为 60°，缆车行进速度为 1 m/s，
棋棋需要多长时间才能
到达目的地？
A
B
D
C
E
60°
200 m
231÷1 = 231(s).
例 1 “神州”九号与“天宫”一号目标飞行器实现交会对接的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少（地球半径约为 6400 km，π 取 3.142，结果取整数）？
O
F
P
Q
FQ 是☉O 的切线，∠FQO为直角
最远点
求 的长，要先求∠POQ 的度数
典例精析
O
F
P
Q
解：设∠POQ = α．∵ FQ 是☉O
的切线，∴∠FOQ = 90°.
的长为
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据题目条件，解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
归纳：
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人王之涣的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点 1000 里处的景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O 为地球球心，C 是地面上一点， = 500 km，地球的半径
为 6370 km，cos4.5° = 0.997)？
练一练
·
O
C
B
A
解：设登到 B 处，视线 BC 在 C 点与地球相切，也就
是看 C 点，AB 就是“楼”的高度，
∴ AB = OB－OA = 6389－6370 = 19(km).
即这层楼高至少要 19000 m.
这样的楼房是不存在的.
在 Rt△OCB中，∠O
·
O
C
B
A
例2 如图，秋千链子的长度为 3 m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面 0.5 m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与
地面的最大距离为多少？
0.5 m
3 m
60°
0.5 m
3 m
A
B
C
D
E
60°
分析：根据题意可知秋千踏板与地面的最大距离为 CE 的长度. 因此，本题可抽象为：已知 DE = 0.5 m，AD = AB = 3 m，∠CAB = 60°，∠ACB 为直角，求 CE 的长.
解：∵∠CAB = 60°，AD = AB = 3 m，
3 m
A
B
D
E
60°
C
∴ AC = ABcos∠CAB = 1.5 m.
∴ CD = AD－AC = 1.5 m.
∴ CE = CD + DE = 2 m.
即秋千踏板与地面的最大距离为
2.0 m.
如图，在电线杆上的 C 处引拉线 CE，CF 固定电线杆. 拉线CE和地面成 60° 角，在离电线杆 6 米的 A 处测得 AC 与水平面的夹角为 30°，已知 A 与地面的距离为 1.5 米，求拉线 CE 的长.
练一练
G
解：作 AG⊥CD 于点 G，
则 AG = BD = 6 米，DG = AB = 1.5 米.
∴
(米).
∴ CD = CG + DG = ( + 1.5) (米).
∴ (米).
G
1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与
地面成 30° 角时，测得旗杆在地面上的影长为 24
米，那么旗杆的高度约是 ( )
A. 12 米 B. 米 C. 24 米 D. 米
B
2. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两
棵树 A，B 的距离，他们设计了如图所示的测量方案：
从树 A 沿着垂直于 AB 的方向走到 E，再从 E 沿着垂
直于 AE 的方向走到 F，C 为 AE 上一点，其中 3 位
同学分别测得三组数据：①AC，
∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，
∠ACB，∠ADB．其中能根据所测
数据求得 A，B 两树距离的有( )
A.0 组 B.1 组 C.2 组 D.3 组
D
D
返回
1．
如图，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A的仰角为α，同时测得AC＝15 m，则树的高度AB为( )
2．
一个测量技术队员在一个高为h(忽略身高)的建筑物顶端，观测一根高出此建筑物的旗杆，测出旗杆的顶端的仰角为30°，测出旗杆地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是( )
【点拨】
【答案】C
【点方法】
一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题．
. . . . . . . . . . . . .
返回
3．
[2024雅安]在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶D，测得仰角为30°，再往楼房的方向前进50 m至B处，测得楼顶D的仰角为60°，那么这栋楼房CD的高度为(人的身高忽略不计)( )
【点拨】
【答案】A
返回
4．
我国历史悠久，有许多伟大建筑，其中西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．某数学兴趣小组想测量西安城墙上某建筑到地面的高度，如图，该小组在城墙外的D处安置测角仪CD，测得该建筑顶端A的仰角为45°.从D处后退12 m到达F处，安置测角仪EF，测得该建筑顶端A的仰角为30°(点B，D，F在同一直线上)，测角仪支架高CD＝EF＝1.5 m，且AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，求该建筑顶端A
到地面的高度AB．(结果保留根号)
返回
5．
数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝
13.2 m，则灯塔的高度AD大约是( )
【点拨】
【答案】A
返回
6．
74
[2024泰安]在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一架无人机．如图，无人机在河上方距水面高60 m的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台
BC高12 m(图中点A，B，C，P在同一平面内)．
那么大汶河此河段的宽AB约为________m．
【点拨】
返回
7．
[2024安阳模拟]如图，为了测量国旗台上旗杆DE的高度，小华在点A处利用测角仪测得旗杆底部D的仰角为27°，然后他沿着正对旗杆DE的方向前进0.5 m到达点B处，此时利用测角仪测得旗杆顶部E的仰角为60°，已知点A，B，C在同一水平线上，测角仪支架AF的高为1 m，DE⊥AB于点C，旗杆底部D到地面的距离DC为3 m，求旗杆DE的高度．
【解】如图，延长FN交EC于点M.
由题意得AF＝BN＝CM＝1 m，DC＝3 m，AB＝FN＝0.5 m，
则DM＝DC－CM＝2 m，设DE＝x m，则EM＝(x＋2)m，
在Rt△EMN中，∠ENM＝60°，
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据题目条件解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面
标题：28.2.2.1 俯角、仰角问题
副标题：人教版九年级数学下册
配图：包含仰角与俯角的立体示意图（左侧：地面观测楼顶的仰角，右侧：楼顶观测地面的俯角，标注水平线、视线、角度，强调 “仰角 = 俯角”）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
准确理解仰角、俯角的定义，明确其与水平线、视线的位置关系
掌握将仰角、俯角问题转化为直角三角形问题的建模方法
能运用解直角三角形的知识（三角函数、勾股定理）解决仰角、俯角相关的实际测量问题
过程与方法：
通过观察示意图、绘制数学模型、分析解题思路，经历 “实际情境 — 数学建模 — 求解验证” 的过程，提升数形结合能力
结合多类型实例，培养从复杂情境中提取关键信息、构建直角三角形的能力
情感态度：
感受数学在实际测量（如建筑、航海）中的应用价值，增强数学应用意识
在解决实际问题的过程中，培养严谨的逻辑思维与耐心细致的计算习惯
第 3 页：概念辨析 —— 仰角与俯角的定义
定义解读（结合配图）：
仰角：从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角（如图：地面点 A 观测楼顶点 C，视线 AC 与水平线 AB 的夹角∠CAB 为仰角）
俯角：从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角（如图：楼顶点 C 观测地面点 A，视线 CA 与水平线 CD 的夹角∠DCA 为俯角）
核心性质：
仰角与俯角是内错角（因水平线 AB∥CD，视线 AC 为截线），故仰角 = 俯角（如∠CAB=∠DCA）
角度范围：仰角、俯角均为锐角（0°<α<90°）
易错提醒：
不可将视线与竖直方向的夹角误认为仰角 / 俯角（必须以水平线为基准）
区分 “观测点” 与 “目标点”，明确高低位置关系，避免角度判断错误
第 4 页：解题核心 —— 仰角、俯角问题的建模步骤
四步建模法：
第一步：画示意图：根据题目描述，画出包含观测点、目标点、水平线、竖直高度的立体示意图，标注已知条件（如距离、角度）
第二步：构直角三角形：过观测点作目标点的竖直垂线（或水平平行线），构建以 “视线、水平线、竖直高度” 为三边的直角三角形（关键：将立体问题平面化）
第三步：定已知与未知：在直角三角形中，明确已知的边 / 角（如仰角、水平距离）和待求的边 / 角（如竖直高度、视线长度）
第四步：选工具求解：根据已知条件，选择合适的三角函数（sin/cos/tan）或勾股定理计算，验证结果合理性
模型特征：
直角三角形的一个锐角为仰角或俯角，一条直角边为 “水平距离” 或 “竖直高度”，斜边为 “视线长度”
第 5 页：类型一 —— 单一仰角 / 俯角问题（测量高度）
例 1：已知仰角与水平距离，求高度
问题：小明在地面点 A 处，用测角仪测得教学楼楼顶点 B 的仰角为 30°，测角仪高度 AC=1.6m，A 到教学楼底部 D 的水平距离 AD=24m，求教学楼的高度 BD（结果保留根号）。
建模与解析：
① 画示意图：标注 A（观测点）、D（楼底）、B（楼顶）、C（测角仪顶端），AC⊥AD，BD⊥AD，过 C 作 CE⊥BD 于 E，得矩形 ACDE（CE=AD=24m，DE=AC=1.6m）
② 构直角三角形：Rt△CEB，∠BCE=30°（仰角），CE=24m，求 BE
③ 求解：在 Rt△CEB 中，\(\tan 30 ° = \frac{BE}{CE}\)→\(BE = CE ·\tan 30 ° = 24 \frac{\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}\)m
④ 总高度：BD=BE+DE=8\sqrt {3}+1.6≈14.9+1.6=16.5m
方法总结：测量高度时，若存在仪器高度，需将 “仪器顶端到目标点的竖直高度” 与 “仪器高度” 相加，得到总高度。
第 6 页：类型一 —— 单一仰角 / 俯角问题（测量距离）
例 2：已知俯角与竖直高度，求水平距离
问题：无人机在离地面高度为 50m 的点 P 处，测得地面控制点 Q 的俯角为 45°，求无人机到控制点 Q 的水平距离（结果保留整数）。
建模与解析：
① 画示意图：标注 P（无人机）、Q（控制点），过 P 作水平线 PA，俯角∠APQ=45°，过 Q 作 QB⊥PA 的延长线于 B，得矩形 PABQ（PB = 水平距离，QB=50m）
② 构直角三角形：Rt△PBQ，∠BPQ=45°（因俯角∠APQ=45°，PA∥BQ，故∠BPQ=∠PQB=45°）
③ 求解：Rt△PBQ 为等腰直角三角形，PB=QB=50m，故水平距离为 50m
技巧提炼：已知俯角时，利用 “俯角 = 仰角” 将角度转化到直角三角形的锐角，简化计算。
第 7 页：类型二 —— 双仰角 / 俯角问题（测量高度差）
例 3：已知两个仰角与观测点距离，求目标高度
问题：在同一水平直线上的两点 A、B，分别测得山顶 P 的仰角为 30° 和 60°，A、B 两点间的距离为 200m，求山的高度 PC（C 为山底，A、B、C 在同一直线上）。
建模与解析：
① 画示意图：标注 A、B（观测点，AB=200m）、P（山顶）、C（山底），PC⊥AC，设 BC=x，则 AC=AB+BC=200+x
② 构直角三角形：Rt△PBC（∠PBC=60°）和 Rt△PAC（∠PAC=30°）
③ 列方程：在 Rt△PBC 中，\(PC = BC ·\tan 60 ° = \sqrt{3}x\)；在 Rt△PAC 中，\(PC = AC ·\tan 30 ° = (200+x) ·\frac{\sqrt{3}}{3}\)
④ 求解：\(\sqrt{3}x = \frac{\sqrt{3}}{3}(200+x)\)→3x=200+x→x=100，故 PC=100\sqrt {3}≈173m
关键思路：双仰角 / 俯角问题中，需设未知数表示未知线段，利用两个直角三角形中的三角函数关系列方程求解。
第 8 页：类型二 —— 双仰角 / 俯角问题（测量宽度）
例 4：已知俯角与观测高度，求河流宽度
问题：在河岸边的高楼顶端 A 处，测得河对岸两点 B、C 的俯角分别为 45° 和 30°，高楼高度 AD=60m（D 为楼底，在河岸上），求河流宽度 BC（结果保留根号）。
建模与解析：
① 画示意图：标注 A（楼顶）、D（楼底）、B、C（对岸点），AD⊥CD，过 A 作水平线 AE，俯角∠EAB=45°，∠EAC=30°，故∠ABD=45°，∠ACD=30°
② 构直角三角形：Rt△ABD 和 Rt△ACD
③ 计算：在 Rt△ABD 中，\(\tan 45 ° = \frac{AD}{BD}\)→BD=AD=60m；在 Rt△ACD 中，\(\tan 30 ° = \frac{AD}{CD}\)→CD=AD÷\(\tan 30 °=60\sqrt{3}\)m
④ 河流宽度：BC=CD-BD=60\sqrt {3}-60≈60 (1.73-1)=43.8m
易错提醒：明确两个目标点的位置关系（同侧或异侧），避免宽度计算时出现加减错误。
第 9 页：实际应用拓展 —— 航海与航空问题
例 5：航海中的俯角问题
问题：一艘轮船在海面 A 处，测得灯塔 C 在北偏东 60° 方向，轮船向正东方向航行 20 海里到达 B 处，此时测得灯塔 C 在北偏东 30° 方向，求轮船在 B 处到灯塔 C 的距离（结果保留整数）。
建模与解析：
① 画方位图：标注 A、B（轮船位置，AB=20 海里）、C（灯塔），过 A 作正北方向 AD，过 B 作正北方向 BE，∠DAC=60°，∠EBC=30°，故∠CAB=30°，∠CBA=120°，∠ACB=30°
② 构直角三角形：过 C 作 CF⊥AB 的延长线于 F，设 BF=x，BC=2x（∠BCF=30°），CF=\(\sqrt{3}x\)
③ 求解：在 Rt△AFC 中，\(\tan 30 ° = \frac{CF}{AF}\)→\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}x}{20+x}\)→20+x=3x→x=10，故 BC=20 海里
方法总结：航海问题中需结合方位角与仰角 / 俯角，先确定三角形内角，再通过直角三角形求解。
第 10 页：易错点警示与避坑指南
高频易错点：
忽略仪器高度：计算目标高度时，漏加测角仪、观测者身高，导致结果偏小
角度转化错误：未将俯角转化为直角三角形的锐角（如误将俯角作为直角三角形的钝角）
示意图绘制错误：观测点与目标点的高低位置颠倒，导致直角三角形构建错误
单位不统一：题目中距离单位（如米、海里）与高度单位混淆，未统一单位直接计算
避坑技巧：
绘制示意图时，用不同颜色标注水平线、视线、竖直高度，明确直角位置
解题前先列出已知条件，标注单位，确保单位统一（如将 “千米” 转化为 “米”）
计算完成后，用 “特殊角验证法”（如 45° 时直角边相等）检验结果合理性
第 11 页：巩固练习
基础题：
（1）在地面点 A 处，测得旗杆顶端 B 的仰角为 60°，A 到旗杆底部 C 的水平距离为 10m，求旗杆高度 BC（结果保留根号）；
（2）从热气球上测得地面某点的俯角为 45°，热气球高度为 80m，求热气球到该点的水平距离。
中档题：
（3）在教学楼二楼窗口 B 处（高度 AB=10m），测得操场旗杆顶端 C 的仰角为 30°，旗杆底部 D 到楼底 A 的水平距离 AD=15\sqrt {3} m，求旗杆高度 CD。
提升题：
（4）在山顶 P 处，测得山脚下 A、B 两点的俯角分别为 30° 和 45°，A、B 两点在同一直线上，且 AB=100m，求山的高度 PC（C 为山底，A、C、B 在同一直线上）。
第 12 页：课堂小结与布置作业
课堂小结：
核心概念：仰角（低处看高处，视线与水平线夹角）、俯角（高处看低处，视线与水平线夹角），两者相等
解题流程：画示意图→构直角三角形→定已知未知→选三角函数求解
关键模型：测量高度（加仪器高度）、测量距离（用水平 / 竖直边）、双角问题（列方程）
布置作业：
基础作业：教材对应习题，完成 3 道仰角 / 俯角基础应用题
提升作业：
（1）如图，在塔 AB 前的平地上选一点 C，测得塔顶 A 的仰角为 30°，向塔前进 12m 到达 D，测得仰角为 45°，求塔高 AB；
（2）一艘飞机在海拔 800m 的高空飞行，测得地面某港口的俯角为 60°，求飞机到港口的水平距离（结果保留根号）。
实践作业：
用自制测角仪（量角器、细线、重物）测量小区内一棵树的高度，记录观测点到树底的水平距离、仰角、测角仪高度，用本节课方法计算树高，并与实际估计值对比
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
28.2.2.1 俯角、仰角问题
第二十八章 锐角三角函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
高跟鞋深受很多女性的喜爱，但如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.
美国某人体工程学研究人员调查发现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为 6 至 7 cm 左右的高跟鞋. 但专家认为穿 6 cm 以上的高跟鞋，腿肚、脚背等处的肌肉非常容易疲劳.
若某成年人的脚掌长为 15 cm，则鞋跟约在 3 cm 左右高度为最佳. 据此，可以算出高跟鞋的鞋底与地面的夹角为 11° 左右时，人脚的感觉最舒适.
你知道专家是怎样计算的吗？
在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
1. 解直角三角形
(1) 三边之间的关系：
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
2. 解直角三角形的依据
(2) 两锐角之间的关系：
∠A＋∠ B＝90 ；
(3) 边角之间的关系：
tanA＝
sinA＝
cosA＝
A
C
B
a
b
c
利用解直角三角形解决简单实际问题
棋棋去景点游玩，乘坐登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为 30°，你知道缆车上升的垂直高度是多少吗
A
B
A
B
D
30°
200 m
BD = ABsin30° = 100 m
合作探究
A
B
C
棋棋乘缆车继续从点 B 到达比点 B 高 200 m 的点 C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为 60°，缆车行进速度为 1 m/s，
棋棋需要多长时间才能
到达目的地？
A
B
D
C
E
60°
200 m
231÷1 = 231(s).
例 1 “神州”九号与“天宫”一号目标飞行器实现交会对接的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少（地球半径约为 6400 km，π 取 3.142，结果取整数）？
O
F
P
Q
FQ 是☉O 的切线，∠FQO为直角
最远点
求 的长，要先求∠POQ 的度数
典例精析
O
F
P
Q
解：设∠POQ = α．∵ FQ 是☉O
的切线，∴∠FOQ = 90°.
的长为
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据题目条件，解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
归纳：
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人王之涣的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点 1000 里处的景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O 为地球球心，C 是地面上一点， = 500 km，地球的半径
为 6370 km，cos4.5° = 0.997)？
练一练
·
O
C
B
A
解：设登到 B 处，视线 BC 在 C 点与地球相切，也就
是看 C 点，AB 就是“楼”的高度，
∴ AB = OB－OA = 6389－6370 = 19(km).
即这层楼高至少要 19000 m.
这样的楼房是不存在的.
在 Rt△OCB中，∠O
·
O
C
B
A
例2 如图，秋千链子的长度为 3 m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面 0.5 m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60°，则秋千踏板与
地面的最大距离为多少？
0.5 m
3 m
60°
0.5 m
3 m
A
B
C
D
E
60°
分析：根据题意可知秋千踏板与地面的最大距离为 CE 的长度. 因此，本题可抽象为：已知 DE = 0.5 m，AD = AB = 3 m，∠CAB = 60°，∠ACB 为直角，求 CE 的长.
解：∵∠CAB = 60°，AD = AB = 3 m，
3 m
A
B
D
E
60°
C
∴ AC = ABcos∠CAB = 1.5 m.
∴ CD = AD－AC = 1.5 m.
∴ CE = CD + DE = 2 m.
即秋千踏板与地面的最大距离为
2.0 m.
如图，在电线杆上的 C 处引拉线 CE，CF 固定电线杆. 拉线CE和地面成 60° 角，在离电线杆 6 米的 A 处测得 AC 与水平面的夹角为 30°，已知 A 与地面的距离为 1.5 米，求拉线 CE 的长.
练一练
G
解：作 AG⊥CD 于点 G，
则 AG = BD = 6 米，DG = AB = 1.5 米.
∴
(米).
∴ CD = CG + DG = ( + 1.5) (米).
∴ (米).
G
1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与
地面成 30° 角时，测得旗杆在地面上的影长为 24
米，那么旗杆的高度约是 ( )
A. 12 米 B. 米 C. 24 米 D. 米
B
2. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两
棵树 A，B 的距离，他们设计了如图所示的测量方案：
从树 A 沿着垂直于 AB 的方向走到 E，再从 E 沿着垂
直于 AE 的方向走到 F，C 为 AE 上一点，其中 3 位
同学分别测得三组数据：①AC，
∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，
∠ACB，∠ADB．其中能根据所测
数据求得 A，B 两树距离的有( )
A.0 组 B.1 组 C.2 组 D.3 组
D
D
返回
1．
如图，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A的仰角为α，同时测得AC＝15 m，则树的高度AB为( )
2．
一个测量技术队员在一个高为h(忽略身高)的建筑物顶端，观测一根高出此建筑物的旗杆，测出旗杆的顶端的仰角为30°，测出旗杆地面接触点的俯角为60°，那么该旗杆的高度是( )
【点拨】
【答案】C
【点方法】
一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题．
. . . . . . . . . . . . .
返回
3．
[2024雅安]在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度(如图)，他们在A处仰望楼顶D，测得仰角为30°，再往楼房的方向前进50 m至B处，测得楼顶D的仰角为60°，那么这栋楼房CD的高度为(人的身高忽略不计)( )
【点拨】
【答案】A
返回
4．
我国历史悠久，有许多伟大建筑，其中西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．某数学兴趣小组想测量西安城墙上某建筑到地面的高度，如图，该小组在城墙外的D处安置测角仪CD，测得该建筑顶端A的仰角为45°.从D处后退12 m到达F处，安置测角仪EF，测得该建筑顶端A的仰角为30°(点B，D，F在同一直线上)，测角仪支架高CD＝EF＝1.5 m，且AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，求该建筑顶端A
到地面的高度AB．(结果保留根号)
返回
5．
数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝
13.2 m，则灯塔的高度AD大约是( )
【点拨】
【答案】A
返回
6．
74
[2024泰安]在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度．他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一架无人机．如图，无人机在河上方距水面高60 m的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台
BC高12 m(图中点A，B，C，P在同一平面内)．
那么大汶河此河段的宽AB约为________m．
【点拨】
返回
7．
[2024安阳模拟]如图，为了测量国旗台上旗杆DE的高度，小华在点A处利用测角仪测得旗杆底部D的仰角为27°，然后他沿着正对旗杆DE的方向前进0.5 m到达点B处，此时利用测角仪测得旗杆顶部E的仰角为60°，已知点A，B，C在同一水平线上，测角仪支架AF的高为1 m，DE⊥AB于点C，旗杆底部D到地面的距离DC为3 m，求旗杆DE的高度．
【解】如图，延长FN交EC于点M.
由题意得AF＝BN＝CM＝1 m，DC＝3 m，AB＝FN＝0.5 m，
则DM＝DC－CM＝2 m，设DE＝x m，则EM＝(x＋2)m，
在Rt△EMN中，∠ENM＝60°，
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：
1. 将实际问题抽象为数学问题；
2. 根据题目条件解直角三角形；
画出平面图形，转化为解直角三角形的问题
3. 得到数学问题的答案；
4. 得到实际问题的答案.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！