28.2.2.3利用方向角、坡度解直角三角形 课件(共37张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

(共37张PPT)
第 1 页：封面
标题：28.2.2.3 利用方向角、坡度解直角三角形
副标题：人教版九年级数学下册
配图：包含方位坐标系（标注东、南、西、北及方向角）和山坡斜面（标注坡度、垂直高度、水平宽度）的综合示意图，体现两种元素的应用场景
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
准确理解方向角（如北偏东 30°）和坡度（如 1:2）的定义，明确其几何表示方法
掌握将方向角、坡度转化为直角三角形内角的方法，能构建对应的直角三角形模型
会结合方向角、坡度与三角函数、勾股定理，解决航海、建筑等领域的实际问题
过程与方法：
通过实例分析、图形转化，经历 “实际场景 — 概念转化 — 几何建模 — 求解验证” 的过程，提升数形结合能力
借助多类型例题，培养从复杂条件中提取关键信息、拆分问题的逻辑思维
情感态度：
感受数学在航海、建筑等实际领域的应用价值，增强数学应用意识
在解决综合问题的过程中，培养耐心细致的解题习惯与克服困难的信心
第 3 页：概念辨析 —— 方向角与坡度的定义
方向角的定义与表示：
定义：以正北或正南方向为基准，描述物体运动方向的角，称为方向角（又称方位角，通常精确到度）
表示方法（结合配图）：
北偏东 30°：从正北方向向东偏转 30°
南偏西 45°：从正南方向向西偏转 45°（可简称西南方向）
关键注意：
方向角的基准是 “正北或正南”，而非正东、正西
角度范围：0°<方向角 < 90°（如 “东偏北 30°” 需转化为 “北偏东 60°”）
坡度的定义与表示：
定义：坡面的垂直高度（h）与水平宽度（l）的比，称为坡度（常用字母 i 表示），也叫坡比
表示方法：i = h : l（如坡度 1:2，表示垂直高度 1 单位时，水平宽度为 2 单位）
关联角度：坡度角（坡面与水平面的夹角，记为 α），满足\(\tan ± = \frac{h}{l} = \frac{1}{2}\)
关键注意：坡度是 “垂直高度：水平宽度”，不可颠倒为 “水平宽度：垂直高度”
第 4 页：核心方法 —— 方向角与坡度的转化及建模
方向角的转化与建模步骤：
① 建立方位坐标系：以观测点为原点，绘制正北、正南、正东、正西方向的十字线
② 标注方向角：根据题目描述，在坐标系中画出目标点的方向线，标注方向角
③ 构建直角三角形：过目标点作正北（或正南、正东、正西）方向的垂线，形成直角三角形，将方向角转化为直角三角形的锐角
坡度的转化与建模步骤：
① 绘制坡面示意图：标注坡面的垂直高度 h、水平宽度 l、坡面长度 L
② 标注坡度角：在坡面与水平面的交点处，标注坡度角 α，明确\(\tan ± = \frac{h}{l}\)
③ 构建直角三角形：以 h、l、L 为三边构建直角三角形，利用三角函数关联各边
第 5 页：类型一 —— 利用方向角解直角三角形（航海问题）
例 1：单方向角的航海定位
问题：一艘轮船从港口 A 出发，沿北偏东 60° 方向航行，速度为 30 海里 / 时，航行 2 小时后到达 B 点，此时测得港口 A 在轮船的南偏西 60° 方向，求 B 点到正北方向的距离（结果保留根号）。
建模与解析：
① 建立坐标系：以 A 为原点，正北为 y 轴，正东为 x 轴，B 点在北偏东 60° 方向，AB=30×2=60 海里
② 构建直角三角形：过 B 作 BC⊥y 轴于 C（C 在正北方向上），Rt△ABC 中，∠BAC=60°，AB=60 海里
③ 求解：B 点到正北方向的距离为 BC，\(\sin 60 ° = \frac{BC}{AB}\)→\(BC = 60 \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}\)海里
例 2：双方向角的航海距离计算
问题：在港口 O 处，测得灯塔 A 在北偏东 30° 方向，测得灯塔 B 在南偏东 60° 方向，已知 OA=20 海里，OB=15 海里，求两灯塔 A、B 之间的距离（结果保留整数）。
建模与解析：
① 建立坐标系：O 为原点，正北为 y 轴，正东为 x 轴，∠AOB=180°-30°-60°=90°（△AOB 为直角三角形）
② 求解：由勾股定理，\(AB = \sqrt{OA + OB } = \sqrt{20 + 15 } = 25\)海里
第 6 页：类型二 —— 利用坡度解直角三角形（建筑问题）
例 3：已知坡度求坡面长度与高度
问题：某建筑工地上，一个斜坡的坡度为 1:√3，水平宽度为 12 米，求斜坡的垂直高度和坡面长度（结果保留根号）。
建模与解析：
① 构建直角三角形：设垂直高度为 h，水平宽度 l=12 米，坡度 i=h:l=1:√3
② 求垂直高度：\(\frac{h}{12} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)→\(h = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\)米
③ 求坡面长度：由勾股定理，\(L = \sqrt{h + l } = \sqrt{(4\sqrt{3}) + 12 } = \sqrt{48 + 144} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}\)米
例 4：已知坡度角求工程参数
问题：某山坡的坡度角为 30°，山坡上有一条小路，坡面长度为 80 米，求沿小路向上行走 100 米后，上升的垂直高度（结果保留整数）。
建模与解析：
① 明确关系：坡度角 α=30°，上升高度 h 与坡面长度 L 的关系为\(\sin ± = \frac{h}{L}\)
② 求解：h = L sin30°=100×0.5=50 米
第 7 页：类型三 —— 方向角与坡度结合的综合问题
例 5：航海与坡度结合的复杂计算
问题：一艘轮船在海面 A 处，测得小岛 B 在北偏东 45° 方向，小岛 C 在南偏东 30° 方向，已知轮船向正东方向航行 30 海里到达 D 处，此时测得小岛 B 在北偏东 60° 方向，且小岛 C 所在山坡的坡度为 1:√3，C 到海平面的垂直高度为 15 海里，求 A、C 两点之间的距离（结果保留根号）。
建模与解析：
① 拆分方向角模型：过 B 作 BE⊥AD 于 E，构建 Rt△ABE（45°）和 Rt△DBE（60°），设 DE=x，BE=√3x，AE=BE=√3x，AD=AE+DE=√3x+x=30→x=15 (√3-1)（此部分可简化，聚焦 A、C）
② 拆分坡度模型：C 到海平面高度 h=15 海里，坡度 1:√3→水平宽度 l=15√3 海里，A 到 C 的水平距离为 AD+l=30+15√3 海里
③ 构建 Rt△AFC（F 为 C 在海平面投影）：\(AC = \sqrt{AF + CF } = \sqrt{(30+15 3) + 15 }\)→展开计算得 AC=15√(12+4√3)≈63 海里
方法总结：综合问题需按 “方向角部分” 和 “坡度部分” 拆分，分别构建直角三角形，通过公共量（如水平距离、垂直高度）联动求解。
第 8 页：易错点警示与避坑指南
方向角相关易错点：
基准错误：将 “东偏北 30°” 当作方向角，未转化为 “北偏东 60°”
角度计算错误：在方位坐标系中，误算观测点与目标点之间的夹角（如忽略正北、正南基准）
坡度相关易错点：
比例颠倒：将坡度 1:2 理解为 “水平高度：垂直宽度”，导致计算错误
混淆坡度与坡度角：误将坡度值当作坡度角的正切值直接使用（如坡度 1:2，\(\tan ± = 2\)，实际应为\(\tan ± = 0.5\)）
避坑技巧：
画方向角时，先标注正北 / 正南方向，再按角度偏转，避免基准混淆
处理坡度时，先写出 “垂直高度：水平宽度” 的比例，再对应到三角函数关系
第 9 页：巩固练习
基础题：
（1）某船从港口出发，沿南偏西 40° 方向航行，求该船的航行方向与正西方向的夹角；
（2）一个斜坡的坡度为 1:2，垂直高度为 5 米，求斜坡的水平宽度和坡面长度。
中档题：
（3）在观测点 O 处，测得目标 A 在北偏东 30° 方向，目标 B 在北偏西 60° 方向，OA=100 米，OB=80 米，求 A、B 两点之间的距离；
提升题：
（4）一座山的坡度角为 45°，在山脚下 A 处测得山顶 B 的仰角为 60°，沿山坡向上走 200 米到达 C 处，测得山顶 B 的仰角为 75°，求山的高度（结果保留根号）。
第 10 页：课堂小结
知识梳理：
核心概念：方向角（正北 / 正南为基准）、坡度（垂直高度：水平宽度，\(\tan ± = \frac{h}{l}\)）
解题模型：方向角→方位坐标系 + 直角三角形；坡度→坡面直角三角形
综合策略：拆分复杂条件，分别处理方向角和坡度部分，通过公共量联动求解
解题流程：
思想方法：
转化思想：将方向角、坡度转化为直角三角形的内角或边长比
拆分思想：将综合问题拆分为单一元素的子问题，分步解决
第 11 页：布置作业
基础作业：教材对应习题，完成 2 道方向角应用题和 2 道坡度应用题
提升作业：
（1）一艘渔船从港口 O 出发，沿北偏东 60° 方向航行 10 海里到达 A 点，然后向正东方向航行 15 海里到达 B 点，求 B 点相对于港口 O 的方向角（精确到 1°）；
（2）某山坡的坡度为 1:√3，在山坡上修建一条小路，路面每升高 1 米，路面长度增加多少米？若小路总长为 100 米，路面升高多少米？
实践作业：
（1）观察学校操场的斜坡（如跳远沙坑斜坡），测量其垂直高度和水平宽度，计算坡度；
（2）利用指南针，确定学校附近 3 个标志性建筑相对于学校的方向角，记录数据并绘制方位图
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
28.2.2.3利用方向角、坡度解直角三角形
第二十八章 锐角三角函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如图：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
北偏东30°
南偏西45°
复习引入
解与方向角有关的问题
典例精析
例 1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？
65°
34°
P
B
C
A
解：如图，在 Rt△APC 中，
PC = PA·cos(90°－65°)
= 80×cos25°
≈ 72.505.
在 Rt△BPC 中，∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile.
65°
34°
P
B
C
A
例2 如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30°，如果渔船不改变航向继续
向东航行，有没有触礁的危险？
解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F，
则 AF 的长是 A 到 BC 上所有
点中的最短距离.
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
∵ BD∥CE∥AF，
∴ AF = AC · cos30° = 6
≈ 10.392 ＞ 8，
故渔船继续向正东方向行驶，
没有触礁的危险．
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°．
∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－30° = 30°.
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60° = 30° =∠BAC，
∴ BC = AC = 12 海里．
如图，A，B 两城市相距 200 km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 (即线段 AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30° 和 B 城市的北偏西 45° 的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点为
圆心，100 km 为半径的圆形区
域内，请问：计划修筑的这条
高速公路会不会穿越保护区(参
考数据： ≈1.732， ≈1.414)？
练一练
200 km
200 km
解：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，
即 PC＋PC＝200，
解得 PC ≈ 126.8 km＞100 km.
C
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°．
∵ AC＋BC＝AB，
∴ PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，
答：计划修筑的这条高速公路不
会穿越保护区．
解与坡度有关的问题
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条路比较陡？
A
B
C
观察与思考
如何用数量来刻画哪条路更陡呢？
α
l
h
i = h∶l
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，如图中的角 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i = 1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平宽度 ( l ) 的
比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h∶l .
坡面
水平面
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 α =____度.
2. 斜坡的坡角是 45°，则坡比是 _____.
3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_______.
α
l
h
30
1 : 1
练一练
例 3 如图，一山坡的坡度为 i = 1∶2. 小刚从山脚 A
出发，沿山坡向上走了 240 m 到达点 C. 这座山坡的
坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到
0.01°，长度精确到 0.1 m）？
i = 1:2
典例精析
在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，∠A ≈ 26.57°，
AC = 240 m，
解：
用 α 表示坡角的大小，由题意可得
因此 α ≈ 26.57°.
答：这座山坡的坡角约为 26.57°，小刚上升
了约 107.3 m.
从而 BC ≈ 240 sin26.57° ≈ 107.3 (m)．
因此
例 4 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1∶3，斜坡 CD 的坡度 i = 1∶2.5，求：
(1) 斜坡 CD 的坡角 α (精确到 1°)；
A
D
B
C
i = 1:2.5
23
6
α
i = 1:3
解： 斜坡 CD 的坡度 i = tanα = 1∶2.5 = 0.4，
由计算器可求得 α ≈ 22°.
故斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°.
解：分别过点 B，C 作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F.
在 Rt△ABE 中，
(2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到 0.1m).
E
F
A
D
B
C
i = 1:2.5
23
6
α
i = 1:3
由题意可知 BE = CF = 23 m， EF = BC = 6 m.
= 69 + 6 + 57.5 = 132.5 (m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
在 Rt△DCF 中，
故坝底 AD 的长度为
132.5 m，斜坡 AB 的
长度为 72.7 m.
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的 B 点出发时，测得坡面 AB 的坡度为 1 : 2，走 　　米到达山顶 A 处．这时，他发现山的另一坡面 AC 的最低点 C 的俯角是 30°．请求出点 B 和点 C 的水平距离．
练一练
A
C
B
D
30°
答案：点 B 和点 C 的水平距离为 米.
1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : ，坝高
BC = 3 m，则坡面 AB 的长度是 ( )
A. 9 m B. 6 m C. m D. m
A
C
B
B
2. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，C 岛在 B 岛
的北偏西 40° 方向，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角
∠ACB 等于 °．
90
3. 如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，
在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60° 方向上．航行半
小时后到达 B 处，此时观测到灯塔 M 在北偏东 30°
方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的
位置所需的时间是 .
15 分钟
1．
如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3，若它把物体从地面点A处送到离地面2 m高的B处，则物体从A到B所经过的路程为(　　)
【点拨】
【答案】C
返回
2．
【点拨】
【答案】A
返回
返回
3．
如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是4 m，斜坡的坡度i＝1:2，那么相邻两树间的坡面距离为________m(结果保留根号)．
4．
返回
5．
【点拨】
【答案】B
返回
6．
5
[2024武汉模拟]如图是某公园滑梯的横截面图，AB是台阶，BG是一个平台，GD是滑道，立柱BC，EF垂直于地面AD且高度相同，AB与地面AD的夹角为45°，GD与地面AD的夹角为37°.若AC＝3 m，则滑道GD的长度大约是______m．(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
7．
风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，如图为测量示意图(点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC)．已知斜坡CD长为20 m，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC＝30 m，求该风力发电机塔杆AB的高度．
返回
解直角三角形的应用
坡度问题
方向角问题
坡角
坡度(或坡比)
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！