29.1.2正投影 课件(共26张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

(共26张PPT)
第 1 页：封面
标题：29.1.2 正投影
副标题：人教版九年级数学下册
配图：左侧为正方体在不同角度平行光下的投影（正投影与斜投影对比），右侧为正方体正投影的三视图示意图（主视图、俯视图、左视图）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
理解正投影的定义（平行光线垂直于投影面的投影），明确其与平行投影、斜投影的从属关系
掌握线段、平面图形的正投影规律，能准确判断不同位置下物体正投影的形状
会绘制简单几何体（如正方体、圆柱体）的正投影，为后续三视图学习奠定基础
过程与方法：
通过观察、对比、动手作图，经历 “特殊投影识别 — 规律归纳 — 几何体投影绘制” 的过程，提升空间想象与几何作图能力
借助正投影与实际视图的关联，体会 “从特殊到一般” 的数学思想
情感态度：
感受正投影在工程制图、建筑设计中的重要应用，体会数学的实用性
在几何体投影绘制中，培养严谨细致的作图习惯与空间思维能力
第 3 页：复习回顾与概念引入
复习旧知：
平行投影定义：由平行光线形成的投影，分为正投影和斜投影
思考：平行投影中，当光线与投影面满足什么条件时，投影能更准确反映物体的形状和尺寸？
情境引入：
实例 1：建筑工人绘制施工图时，需用一种能精准体现构件尺寸的投影，这种投影就是正投影
实例 2：数学课本平放在桌面上，用垂直于桌面的平行光照射，课本的投影与课本形状、大小基本一致，这就是正投影
概念聚焦：正投影是平行投影的特殊形式，也是工程制图、几何体视图的核心基础，今天我们将系统学习正投影的定义、规律与应用。
第 4 页：正投影的定义与核心特征
定义精准解读：
定义：在平行投影中，当平行光线垂直于投影面时，所形成的投影叫做正投影。
从属关系梳理：
核心特征：
光线特点：必须同时满足 “平行光线” 和 “垂直于投影面” 两个条件，缺一不可
投影效果：能最大程度保留物体的原始形状和尺寸（如矩形正投影可能为矩形或线段，尺寸与原物体对应边成比例或相等）
应用优势：相比斜投影，正投影更直观、精准，是工程制图、产品设计的标准投影方式
第 5 页：线段的正投影规律
线段与投影面的三种位置关系及正投影（结合配图分析）：
线段位置
与投影面关系
正投影形状
投影长度特点
位置 1
平行于投影面
线段
投影长度 = 线段实际长度（等长投影）
位置 2
垂直于投影面
一个点
投影长度 = 0（缩为一点）
位置 3
倾斜于投影面
线段
投影长度 < 线段实际长度（缩短投影）
实例验证：
画一根长度为 5cm 的线段 AB：
当 AB 平行于水平投影面时，正投影 A'B'=5cm；
当 AB 垂直于水平投影面时，正投影 A'B' 缩为一点；
当 AB 与水平投影面成 30° 角时，正投影 A'B'=5×cos30°≈4.33cm（缩短）
规律总结：线段的正投影长度取决于线段与投影面的夹角，平行时最长（等长），垂直时最短（缩为点），倾斜时介于两者之间。
第 6 页：平面图形的正投影规律
平面图形与投影面的三种位置关系及正投影（以矩形为例）：
图形位置
与投影面关系
正投影形状
投影面积特点
位置 1
平行于投影面
与原图形全等的矩形
投影面积 = 图形实际面积
位置 2
垂直于投影面
一条线段（矩形的一条边或对角线）
投影面积 = 0（缩为线段）
位置 3
倾斜于投影面
与原图形相似的矩形（或平行四边形）
投影面积 < 图形实际面积
特殊图形验证：
正三角形平行于投影面时，正投影为全等正三角形；倾斜于投影面时，正投影为相似正三角形；垂直于投影面时，正投影为一条线段
关键提醒：平面图形的正投影形状由图形与投影面的位置关系决定，只有平行时才能保持形状和大小不变，这是正投影用于精准制图的核心原因。
第 7 页：简单几何体的正投影绘制（一）—— 正方体
绘制步骤（以正方体正投影为主视图为例）：
① 确定投影面：选择竖直平面作为主视图投影面
② 确定光线方向：平行光线垂直于竖直投影面（水平向右照射）
③ 分析正方体面与投影面的关系：正方体前面平行于投影面，其他面垂直或倾斜于投影面
④ 绘制正投影：前面的正投影为正方形（与前面全等），其他面的正投影被前面遮挡或缩为线段，最终主视图为一个正方形
不同投影面下的正投影：
俯视图（投影面为水平面，光线垂直向下）：正投影为正方形（与正方体上表面全等）
左视图（投影面为左侧竖直面，光线垂直向右）：正投影为正方形（与正方体左侧面全等）
易错点警示：绘制时需注意遮挡关系，被前面遮挡的棱线不绘制，仅画出可见轮廓线。
第 8 页：简单几何体的正投影绘制（二）—— 圆柱体
绘制步骤（以圆柱体正投影为主视图为例）：
① 确定投影面：竖直平面为主视图投影面，光线水平向右垂直于投影面
② 分析圆柱体结构：圆柱体由两个圆形底面和一个侧面组成，底面垂直于投影面，侧面倾斜于投影面
③ 绘制正投影：
底面正投影：两个圆形底面垂直于投影面，正投影缩为两条平行线段（长度等于底面直径）
侧面正投影：侧面展开为矩形，正投影为一个矩形（高度等于圆柱体高度，宽度等于底面直径）
④ 最终主视图：一个矩形，上下边为底面投影的线段，左右边为侧面轮廓线
俯视图绘制：
投影面为水平面，光线垂直向下，圆柱体上底面平行于投影面，正投影为圆形（与底面全等），下底面被遮挡，仅画可见的上底面圆形
第 9 页：正投影的实际应用 —— 工程制图与三视图基础
工程制图中的正投影：
原理：利用正投影能精准反映物体尺寸的特点，工程图纸（如建筑施工图、机械零件图）均以正投影为基础绘制
实例：房屋施工图中，通过正投影绘制的平面图、立面图，能准确标注墙体长度、门窗尺寸等关键数据
三视图与正投影的关联：
三视图定义：主视图（从正面正投影）、俯视图（从上面正投影）、左视图（从左面正投影）的总称
核心关系：三视图本质是同一几何体在三个互相垂直的投影面上的正投影，三者结合能完整反映几何体的空间形状
示例：展示正方体的三视图，标注 “三个视图均为正方形，分别对应不同方向的正投影”
第 10 页：巩固练习
选择题：
（1）下列关于正投影的说法，正确的是（ ）
A. 正投影是中心投影的特殊形式 B. 正投影中光线可以不平行于投影面
C. 线段平行于投影面时，正投影与线段等长 D. 平面图形垂直于投影面时，正投影为原图形相似图形
（2）圆柱体的主视图（正投影）形状为（ ）
A. 圆形 B. 矩形 C. 三角形 D. 梯形
填空题：
（1）正投影的两个核心条件是______和______；
（2）正方形平行于投影面时，正投影为______；垂直于投影面时，正投影为______。
作图题：
画出一个底面边长为 3cm、高为 4cm 的正四棱柱（长方体）的主视图和俯视图（均为正投影），并标注尺寸。
第 11 页：课堂小结
知识梳理：
正投影定义：平行光线垂直于投影面的投影，是平行投影的特殊形式
核心规律：
线段：平行投影面等长，垂直投影面缩为点，倾斜投影面缩短
平面图形：平行投影面全等，垂直投影面缩为线段，倾斜投影面相似（或类相似）
几何体应用：正方体、圆柱体的正投影绘制，为三视图学习奠定基础
思想方法：
分类讨论：按物体与投影面的不同位置关系，分析正投影的形状变化
数形结合：通过图形直观呈现正投影规律，将空间关系转化为平面图形
易错点回顾：
混淆正投影与斜投影的条件，误将 “平行光线” 当作正投影唯一条件（忽略 “垂直投影面”）
绘制几何体正投影时，遗漏遮挡关系，误画不可见轮廓线
第 12 页：布置作业
基础作业：教材对应习题，完成 2 道线段 / 平面图形正投影判断提和 2 道正方体、圆柱体正投影作图题
提升作业：
（1）一个底面半径为 2cm、高为 5cm 的圆柱体，分别画出它的主视图、俯视图和左视图（正投影），并标注关键尺寸；
（2）探究：一个正三棱锥（底面为正三角形，侧面为三个全等等腰三角形），当底面平行于投影面时，正投影是什么形状？当底面垂直于投影面时，正投影又是什么形状？
实践作业：
（1）观察家中的长方体物品（如书本、文具盒），分别从正面、上面、左面用手机垂直拍摄，得到物品的正投影照片，对比照片与物品实际形状的关系；
（2）用硬纸板制作一个简单的正方体模型，通过手电筒（模拟平行光）垂直照射不同面，观察并记录正投影的形状变化
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
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29.1.2正投影
第二十九章 投影与视图
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 说一说什么是投影、投影线、投影面.
2. 什么是平行投影和中心投影？它们有什么区别和
联系？
复习引入
3. 做一做：
(1) 物体的影子在正北方，则太阳在物体的 ( )
A. 正北 B. 正南 C. 正西 D. 正东
(2) 太阳发出的光照在物体上得到 ，车灯发
出的光照在物体上得到 ．
B
平行投影
中心投影
正投影的概念及性质
下图是三角形纸板在光线照射下形成投影，其中图①与图②③的投影线有什么区别？图②③的投影线与投影面的位置关系又有什么区别？
观察与思考
图①
图②
图③
投影
平行投影
中心投影
正投影
斜投影
归纳：
投影线集中于一点
投影线互相平行，且斜着照射投影面
投影线垂直于投影面
1. 如图，把一根直的细铁丝 (记为线段 AB) 如下放置：
p
A
B
A1
B1
A
B
A3(B3)
A
B
B2
A2
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
(1) 铁丝平行于投影面 p；
(2)铁丝倾斜于投影面 p；
(3) 铁丝垂直于投影面 p (铁丝与投影面 p 没有交点).
合作探究
(1) 当线段 AB 平行于投影面 p 时，它的正投影是线段
A1B1，线段与它的投影的大小关系为 AB____A1B1；
(2) 当线段 AB 倾斜于投影面 p 时，它的正投影是线段
A2B2，线段与它的投影的大小
关系为 AB____A2B2；
(3) 当线段 AB 垂直于投影面 p 时，
它的正投影是一个 ________．
通过观察，我们可以发现：
=
＞
点 A3(B3)
结论：
2. 如图，把一块正方形硬纸板 ABCD 如下放置：
(1) 纸板平行于投影面 q；(2) 纸板倾斜于投影面 q；
(3) 纸板垂直于投影面 q．
三种情形下纸板的正投影各是什么形状？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
q
(3) 当纸板 ABCD 垂直于投影
面 q 时，其正投影成为
_________．
通过观察、测量可知：
(1) 当纸板 ABCD 平行于投影面 q 时，其正投影与正
方形 ABCD 的形状、大小______；
(2) 当纸板 ABCD 倾斜于投影面 q 时，其的正投影与正
方形 ABCD 的形状、大小______；
相同
不同
一条线段
结论：
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全相同．
归纳：
画几何体的正投影
例 1 画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影．
(1) 正方体的一个面 ABCD 平行于投影面；
(2) 正方体的一个面 ABCD 倾斜于投影面，底面 ADEF
垂直于投影面，并且其对角线 AE 垂直于投影面．
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
B
C
D
E
F
G
F′
A′
D′
C′
B′
G′
A
H
物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.
投影线的方向如箭头所示，画出图中圆柱体的正投影：
练一练
D
返回
1．
如图，将两个圆盘、一个茶叶筒、一个篮球和一个蒙古包模型摆放在一起，当投影线从前方照射到后方时，其正投影是(　　)
2．
[2024大同一模]如图，A1B1是线段AB在投影面上的正投影，已知AB＝a，∠ABB1＝110°，则A1B1的长为(　　)
【点拨】
【答案】A
如图，过点B作BH⊥AA1于点H，则四边形HBB1A1是矩形，∴BH＝A1B1，∠HBB1＝90°.
∵∠ABB1＝110°，
∴∠ABH＝110°－90°＝20°.
在Rt△ABH中，BH＝AB·cos 20°＝a·cos 20°，
∴A1B1＝BH＝a·cos 20°.
返回
相同　
返回
3．
把一块梯形硬纸板Q放在三个不同的位置．
(1)当纸板Q平行于投影面P时，Q的正投影与Q的形状、大小________(填“相同”或“不完全相同”)．
(2)当纸板Q倾斜于投影面P时，Q的正投影与Q的形状、大小___________(填“相同”或“不完全相同”)．
(3)当纸板Q垂直于投影面P时，Q的正投影为________．
不完全相同
一条线段
4．
如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，圆锥的轴截面平行投影面，则该圆锥的侧面积是________．
【点拨】
返回
5．
返回
一个圆柱的轴截面(过圆柱两底面圆心的截面)平行于投影面，圆柱的正投影是一个边长为10 cm的正方形，试求圆柱的体积和表面积．
6．
如图所示是正方体ABCD－A1B1C1D1在平面P上的正投影，其中平面ABCD平行于平面P，下列说法中正确的个数是(　　)
①正方体中平面ABCD在平面P上的正投影是正方形A′B′C′D′；
②正方体中平面ABB1A1在平面P上的正投影是线段A′B′；
③正方体中平面BCC1B1在平面P上的正投影是面A′B′C′D′；
④正方体中平面DCC1D1在平面P上的
正投影是线段C′D′.
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】
【答案】C
①正方体中平面ABCD在平面P上的正投影是正方形A′B′C′D′，故正确；②正方体中平面ABB1A1在平面P上的正投影是线段A′B′，故正确；③正方体中平面BCC1B1在平面P上的正投影是线段B′C′，故错误；④正方体中平面DCC1D1在平面P上的正投影是线段C′D′，故正确．故选C.
返回
7．
随着光伏发电项目投资成本下降，越来越多的“光伏＋”项目正在逐步走进我们的生活．光伏发电不仅能为城市提供清洁能源，还能减少城市污染和能源消耗．如图，长BC＝8 m、宽AB＝1.5 m的长方形太阳能电池板与水平面成30°夹角，经过太阳光的正投影，它在水平面所形成的阴影的面积为(　　)
【点拨】
【答案】C
返回
正投影
正投影的概念及性质
几何体的正投影
平面图形的正投影
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！