第2课时
角平分线的性质及判定
知识点
角平分线的性质角平分线的判定
教学目标
熟练了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分
线；掌握角平分线的性质和判定；综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题。
教学重点
角平分线的性质和判定
教学难点
角平分线的性质和判定的综合应用
教学过程
一、复习预分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
二、知识讲解
考点1尺规作图画角平分线
（1）、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。
（2）、分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。
（3）、画射线OC。射线OC即为所求.
考点2
角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理的数学表示：
如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.
定理的作用：
①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
考点3
角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理的数学表示：
如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.
定理的作用：
用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系
.
考点4
关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：
①AP、BQ、CR相交于一点I；
②
若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.
（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.
三、例题精析
【例题1】
【题干】在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D。如果AB＝8，CD＝2，那么△ABD的面积等于 。
【例题2】
【题干】如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．
求证：BD平分∠ABC．
【考点】1.全等三角形的判定与性质；2.角平分线的性质．
【例题3】
【题干】如图，在△ABC中，BD＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF，在这个图中不再添加辅助线和字母，解决下列问题：
（1）除由DE⊥AB，DF⊥AC所产生的直角和其余已知条件外，请你分别写出图中两对相等的角和两对相等的线段（不证明）；
（2）请证明：AD是∠BAC的平分线．
【例题4】
【题干】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DEB的周长等于AB的长．
四、课堂运用
【基础】
1、【题文】如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，则下列结论成立的是（ ）
A．BD＝CD
B．DE＝DF
C．∠B＝∠C
D．AB＝AC
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质
2、三角形中，到三边距离相等的点是：（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
考点：角平分线的性质
3、如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④BD平分∠ADC中，正确的结论是（ ）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．只有①
【巩固】
1、角的平分线的性质，其理论依据是全等三角形判定定理（ ）
A．SAS
B．HL
C．AAS
D．ASA
2、若∠AOB的平分线上一点P到OA的距离等于5，Q是射线OB上的任一点，则关于PQ的说法正确的是（ ）
A．PQ＞5
B．PQ＜5
C．PQ≥5
D．PQ≤5
【拔高】
1、已知，如图，∠B=∠C=90 ，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；
（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.
考点：角平分线的判定和性质
点评：角平分线的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
2、如图所示，BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：D在∠BAC的角平分线上．
课程小结
1、尺规作图画角平分线
2、角平分线的性质定理
3、角平分线性质定理的逆定理
4、关于三角形三条角平分线的定理第1课时
角平分线的尺规作图
【学习目标】1、会画已知角的平分线
2、能通过逻辑推理验证所作图形是角平分线
【学习重点】掌握尺规作已知角的平分线的作法
【学习难点】从作图过程中找到已知条件，通过逻辑推理验证所作图形为角平分线
【教学流程】
学习流程（教学流程）
学法指导（个性修改）指导：边作图边口述作图步骤和作法。指导：倒推法进行分析，由问题入手倒推到已知条件。
一、新课导入：师：同学们，请大家观察我手中的三角形，如果我要将其中一个角分成两个相等的角，你有哪些方法？生：用量角器量、翻折、用直尺和圆规师：①本节课我们就学习用没有刻度的直尺和圆规画已知角的平分线（出示课题），这节课我们要掌握哪些知识呢？让我们一起来了解一下学习目标。②若学生说不出用尺规作图,则这样引导:前面我们学习了用尺规作图的方法可以画一条线段等于已知线段,画一个角等于已经角,那么用尺规作图的方法可否画这个角的平分线呢 这就是我们今天要学习的内容.二、展示目标：（大家齐读一遍，教师解读目标）1、掌握尺规的基本作图三：画已知角的平分线2、能通过逻辑推理验证所作图形是角平分线过渡：为了达成学习目标，同时培养大家的学习能力，今天，我们的课堂要改变传统的方式，今天的课堂由同学们作主，同学们就是小老师，现在就请各个小组的同学按照老师提前分给你们的任务，进行对学、群学和预展，为展示做好充分的准备。（是否要规定时间）三、学习导引：1、引出角平分线作法。过渡：刚才的这一环节每个组的同学都表现得非常好，所以老师要给每个组加上满分4分，现在就有请PK小组决出胜负。下面掌声有请第一个展示小组为大家展示“利用尺规如何作一个角的角平分线。”师：刚才这位老师已经为我们展示了整个作图的过程，那么，我们可以把这个过程分成几步呢？生：多媒体演示作图过程，学生口述作法师：在第二步时为什么要取大于线段BC长的一半为半径画弧呢？
生：充分思考，讨论交流，抽学生上台演示小于一半不能产生交点。师：同学们，记得作完图后还要作答（多媒体展示）2、验证所作射线为角平分线。过渡：同学们，第一个展示小组为我们介绍了怎样画一个角的平分线？他们画出的就一定是角平分线吗？如果是，如何验证呢？下面有请第二个展示小组为大家介绍他们的验证思路。师：这个小组通过“边边边”证三角形全等验证了所作的射线就是角平分线，这说明这种作角平分线的方法是可行的。师：既然可行，那就请同学们拿出你的作图工具，完成巩固提升练习1、2题。三、小组合作，展示提升。1、如图，已知∠A，试作∠B=
∠A
（不写作法，保留作图痕迹）2、如图所示，作出△ABC三个内角的角平分线，然后观察有什么特点？（不写作法，保留作图痕迹）
四、课外思考题。先作平角∠AOB的平分线ＯＣ，然后反向延长OC得到直线ＣＤ，则直线ＣＤ与直线ＡＢ是什么关系？(一)引入?同学们，通过前面的学习，大家知道运用没有刻度的直尺和圆规画一条线段等于已知线段，画一个角等于已知角。首先，我要检查大家对前面2个基本作图的掌握情况。那么利用尺规还能画角平分线吗 ?(二)新课?前面我们学习了用尺规画线段，那么你能利用尺规作图将一个角两等分吗 利用尺规作图画角平分线.?请同学们探索用直尺和圆规准确地画出一个角的平分线.?已知∠AOB，用直尺和圆规准确地画出已知∠AOB的平分线.?请各小组同学讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.?例1
已知∠α与∠β，求作一个角，使它等于(∠α+∠β)的一半.?分析：要完成这个作图，先作出等于(∠α+∠β)的角，再作平分线即可.?
已知、求作、作法由学生自行完成.(略)?例2
已知三角形中的一个角，此角的平分线长，以及这个角的一边长，求作三角形.?分析：首先作出符合条件的图形草图，分析图形的特征，然后确定作图的顺序，写出已知、求作、作法，作图中遇到属于基本作图的，只叙述基本作图即可.
已知：∠α，以及线段b、c(b＜c).?求作：△ABC，使得∠BAC=∠α，AB=c，∠BAC的平分线AD=b.?作法：(1)作∠MAN=∠α.?(2)作∠MAN的平分线AE.?(3)在AM上截取AB=c，在AE上截取AD=b.?(4)连结BD，并延长交AN于点C.?△ABC就是所画的三角形.(如图)?例3
已知三角形的一边及这边上的中线和高(中线长大于高)，求作三角形.同学们先自主思考探索，然后各小组同学讨论、交流、归纳出具体的作图方法.再请学生代表上黑板示范，并解释原由.?例4
已知直线和直线外两点(过这两点的直线与已知直线不垂直)，利用尺规作图在直线上求作一点，使其到直线外已知两点的距离和最小.?同学们先自主思考，然后各小组交流意见，完成作图.?练习教材练习第1、2题.?(三)小结?1.尺规作图的五种常用基本作图.?2.掌握一些规范的几何作图语句.?3.学过基本作图后，在以后的作图中，遇到属于基本作图的地方，只须用一句话概括叙述即可.?4.解决尺规作图问题，先作出符合条件的图形草图，再确定具体的作图方法.?
A
A
B
C
A
O
B
