第二十八章 锐角三角函数【章末复习】 课件(共67张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件
文档属性
| 名称 | 第二十八章 锐角三角函数【章末复习】 课件(共67张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-19 13:05:12 | ||
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文档简介
(共67张PPT)
第 1 页：复习导航 —— 目标与框架
一、复习核心目标
知识层面：精准掌握锐角三角函数的定义、特殊角值及增减性，熟练运用解直角三角形的方法与步骤。
能力层面：能灵活处理含三角函数的计算、证明问题，熟练解决仰角、俯角、方位角、坡角等实际应用题型，提升数形结合与建模能力。
素养层面：体会三角函数在几何与实际生活中的工具价值，深化对 “一般到特殊”“数学建模” 等思想的理解。
二、知识框架总览
第 2 页：核心知识梳理 —— 概念与性质
一、锐角三角函数的定义（Rt△ABC 中，∠C=90°）
三角函数
定义表达式
几何意义
取值范围
正切（tanA）
\(\tan A = \frac{\angle A的对边}{\angle A的邻边} = \frac{BC}{AC}\)
表示直角三角形中对边与邻边的比值，刻画角的倾斜程度
\(0 < \tan A < +\infty\)
正弦（sinA）
\(\sin A = \frac{\angle A的对边}{\斜边} = \frac{BC}{AB}\)
表示直角三角形中对边与斜边的比值
\(0 < \sin A < 1\)
余弦（cosA）
\(\cos A = \frac{\angle A的邻边}{\斜边} = \frac{AC}{AB}\)
表示直角三角形中邻边与斜边的比值
\(0 < \cos A < 1\)
二、特殊角的三角函数值（必记）
角度
30°
45°
60°
sinα
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
cosα
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
tanα
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
1
\(\sqrt{3}\)
三、锐角三角函数的增减性
当角度在 0°~90° 之间变化时：
正弦、正切值随角度的增大而增大（\(\sin 30° < \sin 45° < \sin 60°\)，\(\tan 30° < \tan 45° < \tan 60°\)）；
余弦值随角度的增大而减小（\(\cos 30° > \cos 45° > \cos 60°\)）。
第 3 页：核心工具 —— 解直角三角形
一、解直角三角形的定义与依据
定义：由直角三角形中已知的两个元素（至少有一个是边），求出其余未知元素的过程。
解题依据：
边角关系：\(\sin A = \frac{a}{c}\)，\(\cos A = \frac{b}{c}\)，\(\tan A = \frac{a}{b}\)（\(a\)为∠A 对边，\(b\)为邻边，\(c\)为斜边）；
内角关系：∠A + ∠B = 90°；
三边关系：勾股定理 \(a^2 + b^2 = c^2\)。
二、解直角三角形的两种基本类型
已知条件
解题步骤
示例（∠C=90°）
一边一锐角（如斜边 c 和∠A）
1. 求∠B=90°-∠A；2. 用\(\sin A = \frac{a}{c}\)求 a；3. 用\(\cos A = \frac{b}{c}\)求 b
已知 c=10，∠A=30°：∠B=60°，a=10×sin30°=5，b=10×cos30°=5√3
两边（如直角边 a 和 b）
1. 用\(\tan A = \frac{a}{b}\)求∠A；2. 求∠B=90°-∠A；3. 用勾股定理求 c
已知 a=3，b=3√3：tanA=3/(3√3)=√3/3→∠A=30°，∠B=60°，c=√(3 +(3√3) )=6
三、解斜三角形的关键方法
核心思路：通过添加辅助线（作高）将斜三角形转化为两个直角三角形，再分别求解。
常用辅助线：过非直角顶点作对边的垂线，构造含特殊角或已知边的直角三角形。
例：在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AB=10，求 BC 的长 —— 过 C 作 CD⊥AB 于 D，设 CD=x，用 x 表示 AD、BD，由 AD+BD=10 列方程求解。
第 4 页：实际应用 —— 四大场景与解题流程
一、常见实际场景术语
仰角与俯角：视线与水平线的夹角（向上为仰角，向下为俯角）；
方位角：从正北方向顺时针旋转到目标方向线的角度（如 “北偏东 30°”）；
坡角与坡度：坡角是斜面与水平面的夹角（θ），坡度\(i = \tanθ = \frac{垂直高度}{水平宽度}\)（如坡度 1:2 即\(\tanθ = 1/2\)）。
二、实际问题解题四步法
建模：将实际问题抽象为几何图形（标注已知量、未知量与特殊角）；
构造：通过作辅助线构造直角三角形（若图形非直角三角形）；
列式：根据三角函数定义或勾股定理列出关系式；
求解：计算未知量（特殊角直接代值，非特殊角用计算器），检验结果合理性。
三、经典场景示例 —— 坡度问题
题目：一斜坡的坡度为 1:2，斜坡长度为 2√5 米，求斜坡的垂直高度与水平宽度。
解析：
建模：设垂直高度为 x 米，水平宽度为 2x 米（坡度 1:2→\(\tanθ=1/2\)）；
列式：由勾股定理得\(x^2 + (2x)^2 = (2√5)^2\)；
求解：\(5x^2=20→x=2\)，故垂直高度 2 米，水平宽度 4 米。
第 5 页：题型突破 —— 易错点与解题技巧
一、高频易错点剖析
概念混淆：误用 “对边、邻边”（需先明确参照角）；
例：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求\(\cos A\)——∠A 的邻边是 AC=3，斜边 AB=5，故\(\cos A=3/5\)（非 4/5）。
特殊角记错：混淆 60° 与 30° 的正弦、余弦值（可结合直角三角形记忆）；
辅助线不当：解斜三角形时未选准高的位置，导致计算复杂；
技巧：优先过已知角或已知边的顶点作高。
坡度理解错误：将坡度 1:2 误认为 “垂直高度 1，斜坡长度 2”（实际是垂直高度 1，水平宽度 2）。
二、解题技巧总结
“无图有偶”：涉及直角三角形多解问题（如已知斜边和一条直角边，需考虑锐角可能为大角或小角）；
方程思想：遇多个未知量时，设关键线段为 x，用三角函数表示其他线段，列方程求解；
例：在两个直角三角形共边问题中，用公共边表示不同三角形的已知量，建立等量关系。
计算器使用规范：求非特殊角时，先确认计算器处于 “角度模式”，由函数值求角用 “arcsin/arccos/arctan” 键。
第 6 页：实战演练 —— 分层例题与解析
一、基础巩固题（概念与计算）
题目 1：计算\(2\sin 30° + \tan 45° - \cos 60°\)。
解析：代入特殊角值→\(2×\frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} = 1 + 1 - 0.5 = 1.5\)。
题目 2：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，\(\sin A = \frac{3}{5}\)，BC=6，求 AB 的长。
解析：\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}→AB = \frac{BC×5}{3} = \frac{6×5}{3} = 10\)。
二、中档提升题（解直角三角形）
题目：如图，在△ABC 中，∠B=90°，∠C=30°，点 D 在 BC 上，∠ADC=45°，BD=1，求 AC 的长。
解析：
设 AB=x，在 Rt△ABD 中，∠ADC=45°→AB=BD'（D' 为垂足）？ 修正：在 Rt△ABD 中，∠ADB=135°，过 A 作 AE⊥CD 于 E，设 AE=x，∠ADC=45°→DE=x，∠C=30°→CE=x√3，BC=BD+DE+EC=1+x+x√3；
在 Rt△ABC 中，∠C=30°→AB=BC×sin30°→x=(1+x+x√3)×\(\frac{1}{2}\)；
解方程：\(2x=1+x+x√3→x(1-√3)=-1→x=\frac{1}{√3-1}=\frac{√3+1}{2}\)；
AC=2AB=√3+1（30° 角对边是斜边一半）。
三、压轴应用题（综合场景）
题目：如图，某观测站在山顶 A 处测得地面 C 点的俯角为 60°，测得地面 D 点的俯角为 30°，已知 CD=200 米，求山高 AB（B 为山脚）。
解析：
建模：∠ACB=60°，∠ADB=30°，CD=200 米，AB⊥BD；
设 AB=x，在 Rt△ABD 中，BD=\(x/\tan30°=x√3\)；
在 Rt△ABC 中，BC=\(x/\tan60°=x/\sqrt{3}\)；
由 BD-BC=CD 得\(x√3 - x/\sqrt{3}=200→\frac{2x}{\sqrt{3}}=200→x=100√3\)（米）。
第 7 页：章末检测 —— 基础与提升卷
一、基础检测卷（限时 20 分钟）
选择题：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则\(\sin B\)的值为（ ）
A. 5/12 B. 12/13 C. 5/13 D. 12/5
填空题：坡度为 1:√3 的斜坡，坡角 θ=度；\(\tan 60° + \cos 45°\)=。
解答题：计算\((\sin 30°)^2 + \cos 60°×\tan 45°\)。
二、提升检测卷（限时 30 分钟）
如图，在△ABC 中，AB=AC=10，∠B=37°，求 BC 的长（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）。
一艘轮船从 A 港出发，沿北偏东 60° 方向航行至 B 港，再沿南偏东 30° 方向航行至 C 港，若 AC=60 海里，求 AB 的长。
第 8 页：拓展延伸 —— 思想与资源
一、数学思想渗透
数形结合思想：通过图形直观理解三角函数定义，将代数计算转化为几何关系分析；
模型思想：将实际问题转化为直角三角形模型，体现数学的实用性；
转化思想：将斜三角形转化为直角三角形，将复杂问题转化为基本类型。
二、拓展学习资源
书籍：《初中三角函数解题技巧大全》《解直角三角形应用题专项突破》；
视频：搜索 “锐角三角函数章末复习”“解直角三角形实际应用”，观看专题讲解；
实践活动：测量校园内旗杆高度（用仰角法），记录数据并计算，验证三角函数的应用价值。
三、后续衔接提示
本章知识是高中三角函数、解三角形的基础，重点关注：
锐角三角函数向任意角三角函数的拓展；
正弦定理、余弦定理对解斜三角形的统一解决；
三角函数在物理（力学、运动学）中的应用（如力的分解、斜面运动）。
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
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章末复习
第二十八章 锐角三角函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
(2)∠A 的余弦：cosA = = ；
(3)∠A 的正切：tanA = = .
1. 锐角三角函数的定义
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边．
(1)∠A 的正弦：
∠A 的对边
斜边
sin A =
∠A 的邻边
斜边
∠A 的邻边
∠A 的对边
sin30°＝ ，sin45°＝ ，sin60°＝ ；
cos30°＝ ，cos45°＝ ，cos60°＝ ；
tan30°＝ ，tan45°＝ ，tan60°＝ .
2. 特殊角的三角函数
1
(1) 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，
∠B，∠C 的对边．
三边关系：___________；
两锐角关系：________________；
边角关系：sinA＝cosB＝___，cosA＝sinB＝___，
tanA＝______，tanB＝_____，sin2A + cos2A = .
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B
3. 解直角三角形
1
(2) 直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少
有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素.
解法：①知一边一锐角，先由两锐角互余关系求
出另一锐角；若知斜边则用正弦(或余弦)求另两
边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或
勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另
一边，再用三角函数求锐角；③解斜三角形的问
题可通过添加辅助线转化为解直角三角形问题．
(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = ，
cosα = ____________，
tanα · tan(90°－α) =___.
cos(90°－α)
sin(90°－α)
1
(1) 利用计算器求三角函数值
第二步：输入角度值；
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果.
(不同计算器操作可能不同)
第一步：按计算器上的 键；
sin
tan
cos
4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角
(2) 利用计算器求锐角的度数
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
第二步：输入函数值；
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果 (按实际需要进行精确).
方法①：
°＇″
2nd F
第一步：按计算器 键；
2nd F
sin
cos
tan
方法②：
第二步：输入锐角函数值；
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果 (按实际需要进行精确).
第一步：按计算器 键；
°＇″
2nd F
(1) 仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
5. 三角函数的应用
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如图：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
(2) 方向角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α，
则有 i = tan α.
坡度通常写成 1∶m 的形式，如
i =1∶6.显然，坡度越大，坡角 α
就越大，坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比
叫做坡面坡度.记作 i，即 i = .
(3) 坡度、坡角
(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过
程是：
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，
转化为解直角三角形的问题）；
② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
③ 得到数学问题的答案；
④ 得到实际问题的答案．
A
C
M
N
①在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角∠MCE = α；
E
②量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l；
③量出测倾器的高度 AC = a，可求出
MN = ME + EN = l · tanα + a.
α
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
6. 利用三角函数测高
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MCE = α；
A
C
B
D
M
N
E
α
②在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β；
β
③量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距
离 AB = b. 根据测量数据，可求出物体 MN 的高度.
考点一 求三角函数的值
例 1 在△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ ，则 tanB 的
值为 ( )
A. B. C. D.
解析：根据 sinA＝ ，可设三角形的两边长分别为 4k，5k，则第三边长为 3k，所以 tanB＝
B
方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．
1. 在△ABC 中，且 sinA = ，cosB = ，则∠C =___°.
90
2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，
B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是____.
针对训练
例 2 如图，矩形 ABCD 中，AB = 10，BC = 8，E 为 AD 边上一点，沿 CE 将△CDE 对折，使点 D 正好落在 AB 边上，求 tan∠AFE 的值．
分析：根据题意，易得∠AFE =∠BCF，而在 Rt△BFC 中，易得 BC = 8，CF = 10，由勾股定理可求得 BF 的长，从而求得 tan∠BCF，即得 tan∠AFE 的值.
10
8
10
8
解：由折叠可得 CF = CD = 10，∠EFC = ∠EDC = 90°.
∴ tan∠BCF = .
∴ tan∠AFE = tan∠BCF = .
10
∵∠AFE +∠EFC +∠BFC = 180°，
∴∠AFE +∠BFC = 90°.
∵∠BCF +∠BFC = 90°，∴∠AFE =∠BCF.
在 Rt△BFC 中，BC = 8，CF = 10，
由勾股定理得 BF = 6.
解：在 Rt△ABD 中，∵ tan∠BAD =
∴ BD = AD·tan∠BAD = 12× = 9.
∴ CD = BC－BD = 14－9 = 5.
∴
∴ sinC =
如图，△ABC 中，AD⊥BC，垂足是 D．若 BC＝
14，AD＝12，tan∠BAD＝ ，求 sinC 的值．
针对训练
考点二 特殊角的三角函数值
例3 计算：
解：原式＝
(1) tan30°＋cos45°＋tan60°；
(2) tan30°· tan60°＋ cos230°.
计算：
解：原式
解：原式
针对训练
考点三 解直角三角形
例 4 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，点 D 在 BC 上，BD = 4，AD = BC，cos∠ADC = ．
(1) 求 CD 的长；
分析：图中给出了两个直角三角形，CD 可在 Rt△ACD 中求得，由 AD = BC，CD = BC－BD，以及 cos∠ADC 的值，可列方程求出 CD．
A
B
C
D
又 BC－CD = BD，
解得 x = 6，∴CD = 6.
解：设 CD = x，在 Rt△ACD 中，cos∠ADC = ，
A
B
C
D
(2) 求 sinB 的值．
解：BC = BD + CD = 4 + 6 = 10 = AD.
在 Rt△ACD 中，
在 Rt△ABC 中，
A
B
C
D
方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = .
点 D 为 BC 边上一点，且 BD = 2AD，∠ADC = 60°.
求△ABC 的周长 (结果保留根号).
针对训练
解：在 Rt△ADC 中，
∴ BD = 2AD = 4.
∴ BC = BD + DC = 5.
在 Rt△ABC 中，
∴△ABC 的周长为 AB + BC + AC
考点四 三角函数的应用
例 5 如图，防洪大堤的横断面是梯形 ABCD，其中 AD ∥BC，α = 60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角 β = 45°．若原坡长 AB = 20 m，求改造后的坡长 AE．(结果保留根号)
解：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F.
F
= 20× = (m).
在 Rt△ABF 中，∠ABF = 60°，
则 AF = AB·sin60°
在 Rt△AEF 中，∠E = β = 45°，
则 (m)，
故改造后的坡长 AE 为 m.
F
如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形 ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为 45°，高 10 米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2 米，加固后背水坡 EF 的坡比
i = 1: ．求加固后坝底增加
的宽度 AF. (结果保留根号)
A
B
C
D
E
F
45°
i =1:
针对训练
A
B
C
D
E
F
45°
i=1:
G
H
解：作 DG⊥AB 于点 G，EH⊥AB 于点 H.
则 GH = DE = 2 米，EH = DG = 10 米.
(米)，
(米).
又∵AG = DG = 10 米，
∴ (米).
故加固后坝底增加的宽度 AF 为 米.
例 6 如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30°，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在A处测得大树顶端B的仰角是 48°，若坡角∠FAE = 30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：
sin48°≈ 0.74，cos48° ≈ 0.67，
tan48° ≈ 1.11， ≈ 1.73）.
解：如图，作 DG⊥BC 于点 G，DH⊥CE 于点 H．
则四边形 DHCG 为矩形．
故 DG = CH，CG = DH，DG∥HC，
∴∠DAH =∠FAE = 30°.
在 Rt△AHD 中，∵∠DAH = 30°，AD = 6，
∴ DH = 3，AH = . ∴ CG = 3.
设 BC 为 x.
在 Rt△ABC 中，
G
H
在 Rt△BDG 中，∵ BG = DG · tan30°，
解得 x ≈ 13．
∴ 大树的高度约为 13 米.
∴
∴
G
H
如图，为了测出某塔 CD 的高度，在塔前的平地上选择一点 A，用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 30°，在 A，
C 之间选择一点 B（A，B，C 三点在同一直
线上）．用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 75°，
且 AB 间的距离为 40 m．
(1) 求点 B 到 AD 的距离；
答案：点 B 到 AD 的距离为 20 m.
E
针对训练
(2) 求塔高 CD（结果保留根号）．
解：在 Rt△ABE 中，
则 AD = AE + EB = (m).
在 Rt△ADC 中，∠A = 30°，
∴ (m).
E
∵∠A = 30°，∴∠ABE = 60°.
∵∠DBC = 75°，∴∠EBD = 180°－60°－75° = 45°.
∴ DE = EB = 20 m.
答：塔高 CD 为 m.
例 7 如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向A处，轮船乙位于码头 O 的正北方向 C 处，测得∠CAO = 45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为 45 km/h
和 36 km/h，经过 0.1 h，轮船甲行驶
至 B 处，轮船乙行驶至 D 处，测得
∠DBO = 58°，此时 B 处距离码头 O
多远？（参考数据：sin58° ≈ 0.85，
cos58° ≈ 0.53，tan58° ≈ 1.60）
解：设 BO = x km.
∴
∵ tan∠CAO = ，
在 Rt△CAO 中，∠CAO = 45°，
∴CO = AO · tan∠CAO = (45×0.1 + x) tan45° = 4.5 + x.
在 Rt△DBO 中，∠DBO = 58°，
∴ DO = BO · tan∠DBO = x · tan58°.
∵ DC = DO－CO，
∴ 36×0.1 = x · tan58°－(4.5 + x).
故 B 处距离码头 O 大约 13.5 km.
某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图). 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的 B 处有人发出求救信号．他立即沿 AB 方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从 C 处入海，径直向 B 处游去．甲在乙入海 10 秒后赶到海
岸线上的 D 处，再向 B 处游去．若 CD＝
40米，B 在 C 的北偏东 35° 方向，甲、乙
的游泳速度都是 2 米/秒，则谁先到达 B
处？请说明理由 (参考数据：sin55° ≈ 0.82，
cos55° ≈ 0.57，tan55° ≈ 1.43).
针对训练
分析： 在 Rt△CDB 中，利用三角函数即可求得 BC，BD 的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．
解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.
∴ BD＝CD · tan∠BCD＝40×tan55° ≈ 57.2 (米)．
BC＝ ＝ ≈ 70.2(米)．
∴ t甲 ≈ 57.2÷2＋10＝38.6 (秒)，
t乙 ≈ 70.2÷2＝35.1 (秒)．
∴ t甲>t乙．
答：乙先到达 B 处．
B
返回
1．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是( )
返回
2．
计算：
(1)2sin 30°－3tan 45°＋cos 60°； (2)cos245°－tan 30°·sin 60°.
3．
余弦定理：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝a2＋c2－2accos B；c2＝a2＋b2－2abcos C．现已知在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠A＝60°，则AC的长为( )
【点拨】
【答案】B
返回
4．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．由下列条件解直角三角形．
(1)已知a＋c＝12，∠B＝60°；
(2)b＋c＝30，∠A－∠B＝30°.
返回
5．
如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6.
(1)求sin B的值；
(2)延长BC至点D，使得∠ADB＝30°，求CD的长．
返回
6．
图①为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图②为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4 dm，OB＝12 dm，∠BOE＝60°，求点C到水平线l的距离CF(结果用含根号的式子表示)．
返回
7．
(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图②，已知α＝60°，CD＝10 cm，求截面ABCD的面积．
返回
8．
[2024威海期末]如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值为( )
【点拨】
【答案】C
返回
9．
如图，在平面直角坐标系中，OC：BC＝1：2，OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1，1)，则tan∠OAP的值是( )
【点拨】
如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M.
∵OP∥AB，∴△ABC∽△POC. ∴AC:CP＝BC:CO＝2:1. ∴AC:AP＝2:3. 又∵PM∥CO，∴AO:AM＝AC:AP＝2:3.
∵点P的坐标为(1，1)，
【答案】C
返回
10．
如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sin α·cos α＝( )
【点拨】
【答案】B
返回
11．
60或120
锐角三角函数的定义
特殊角的三角函数
解直角三角形
简单的实际问题
正弦
锐
角
三
角
函
数
余弦
正切
三边关系
锐角关系
边角关系
仰、俯角问题
方向角问题
坡度、坡角问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：复习导航 —— 目标与框架
一、复习核心目标
知识层面：精准掌握锐角三角函数的定义、特殊角值及增减性，熟练运用解直角三角形的方法与步骤。
能力层面：能灵活处理含三角函数的计算、证明问题，熟练解决仰角、俯角、方位角、坡角等实际应用题型，提升数形结合与建模能力。
素养层面：体会三角函数在几何与实际生活中的工具价值，深化对 “一般到特殊”“数学建模” 等思想的理解。
二、知识框架总览
第 2 页：核心知识梳理 —— 概念与性质
一、锐角三角函数的定义（Rt△ABC 中，∠C=90°）
三角函数
定义表达式
几何意义
取值范围
正切（tanA）
\(\tan A = \frac{\angle A的对边}{\angle A的邻边} = \frac{BC}{AC}\)
表示直角三角形中对边与邻边的比值，刻画角的倾斜程度
\(0 < \tan A < +\infty\)
正弦（sinA）
\(\sin A = \frac{\angle A的对边}{\斜边} = \frac{BC}{AB}\)
表示直角三角形中对边与斜边的比值
\(0 < \sin A < 1\)
余弦（cosA）
\(\cos A = \frac{\angle A的邻边}{\斜边} = \frac{AC}{AB}\)
表示直角三角形中邻边与斜边的比值
\(0 < \cos A < 1\)
二、特殊角的三角函数值（必记）
角度
30°
45°
60°
sinα
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
cosα
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
tanα
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
1
\(\sqrt{3}\)
三、锐角三角函数的增减性
当角度在 0°~90° 之间变化时：
正弦、正切值随角度的增大而增大（\(\sin 30° < \sin 45° < \sin 60°\)，\(\tan 30° < \tan 45° < \tan 60°\)）；
余弦值随角度的增大而减小（\(\cos 30° > \cos 45° > \cos 60°\)）。
第 3 页：核心工具 —— 解直角三角形
一、解直角三角形的定义与依据
定义：由直角三角形中已知的两个元素（至少有一个是边），求出其余未知元素的过程。
解题依据：
边角关系：\(\sin A = \frac{a}{c}\)，\(\cos A = \frac{b}{c}\)，\(\tan A = \frac{a}{b}\)（\(a\)为∠A 对边，\(b\)为邻边，\(c\)为斜边）；
内角关系：∠A + ∠B = 90°；
三边关系：勾股定理 \(a^2 + b^2 = c^2\)。
二、解直角三角形的两种基本类型
已知条件
解题步骤
示例（∠C=90°）
一边一锐角（如斜边 c 和∠A）
1. 求∠B=90°-∠A；2. 用\(\sin A = \frac{a}{c}\)求 a；3. 用\(\cos A = \frac{b}{c}\)求 b
已知 c=10，∠A=30°：∠B=60°，a=10×sin30°=5，b=10×cos30°=5√3
两边（如直角边 a 和 b）
1. 用\(\tan A = \frac{a}{b}\)求∠A；2. 求∠B=90°-∠A；3. 用勾股定理求 c
已知 a=3，b=3√3：tanA=3/(3√3)=√3/3→∠A=30°，∠B=60°，c=√(3 +(3√3) )=6
三、解斜三角形的关键方法
核心思路：通过添加辅助线（作高）将斜三角形转化为两个直角三角形，再分别求解。
常用辅助线：过非直角顶点作对边的垂线，构造含特殊角或已知边的直角三角形。
例：在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AB=10，求 BC 的长 —— 过 C 作 CD⊥AB 于 D，设 CD=x，用 x 表示 AD、BD，由 AD+BD=10 列方程求解。
第 4 页：实际应用 —— 四大场景与解题流程
一、常见实际场景术语
仰角与俯角：视线与水平线的夹角（向上为仰角，向下为俯角）；
方位角：从正北方向顺时针旋转到目标方向线的角度（如 “北偏东 30°”）；
坡角与坡度：坡角是斜面与水平面的夹角（θ），坡度\(i = \tanθ = \frac{垂直高度}{水平宽度}\)（如坡度 1:2 即\(\tanθ = 1/2\)）。
二、实际问题解题四步法
建模：将实际问题抽象为几何图形（标注已知量、未知量与特殊角）；
构造：通过作辅助线构造直角三角形（若图形非直角三角形）；
列式：根据三角函数定义或勾股定理列出关系式；
求解：计算未知量（特殊角直接代值，非特殊角用计算器），检验结果合理性。
三、经典场景示例 —— 坡度问题
题目：一斜坡的坡度为 1:2，斜坡长度为 2√5 米，求斜坡的垂直高度与水平宽度。
解析：
建模：设垂直高度为 x 米，水平宽度为 2x 米（坡度 1:2→\(\tanθ=1/2\)）；
列式：由勾股定理得\(x^2 + (2x)^2 = (2√5)^2\)；
求解：\(5x^2=20→x=2\)，故垂直高度 2 米，水平宽度 4 米。
第 5 页：题型突破 —— 易错点与解题技巧
一、高频易错点剖析
概念混淆：误用 “对边、邻边”（需先明确参照角）；
例：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求\(\cos A\)——∠A 的邻边是 AC=3，斜边 AB=5，故\(\cos A=3/5\)（非 4/5）。
特殊角记错：混淆 60° 与 30° 的正弦、余弦值（可结合直角三角形记忆）；
辅助线不当：解斜三角形时未选准高的位置，导致计算复杂；
技巧：优先过已知角或已知边的顶点作高。
坡度理解错误：将坡度 1:2 误认为 “垂直高度 1，斜坡长度 2”（实际是垂直高度 1，水平宽度 2）。
二、解题技巧总结
“无图有偶”：涉及直角三角形多解问题（如已知斜边和一条直角边，需考虑锐角可能为大角或小角）；
方程思想：遇多个未知量时，设关键线段为 x，用三角函数表示其他线段，列方程求解；
例：在两个直角三角形共边问题中，用公共边表示不同三角形的已知量，建立等量关系。
计算器使用规范：求非特殊角时，先确认计算器处于 “角度模式”，由函数值求角用 “arcsin/arccos/arctan” 键。
第 6 页：实战演练 —— 分层例题与解析
一、基础巩固题（概念与计算）
题目 1：计算\(2\sin 30° + \tan 45° - \cos 60°\)。
解析：代入特殊角值→\(2×\frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2} = 1 + 1 - 0.5 = 1.5\)。
题目 2：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，\(\sin A = \frac{3}{5}\)，BC=6，求 AB 的长。
解析：\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}→AB = \frac{BC×5}{3} = \frac{6×5}{3} = 10\)。
二、中档提升题（解直角三角形）
题目：如图，在△ABC 中，∠B=90°，∠C=30°，点 D 在 BC 上，∠ADC=45°，BD=1，求 AC 的长。
解析：
设 AB=x，在 Rt△ABD 中，∠ADC=45°→AB=BD'（D' 为垂足）？ 修正：在 Rt△ABD 中，∠ADB=135°，过 A 作 AE⊥CD 于 E，设 AE=x，∠ADC=45°→DE=x，∠C=30°→CE=x√3，BC=BD+DE+EC=1+x+x√3；
在 Rt△ABC 中，∠C=30°→AB=BC×sin30°→x=(1+x+x√3)×\(\frac{1}{2}\)；
解方程：\(2x=1+x+x√3→x(1-√3)=-1→x=\frac{1}{√3-1}=\frac{√3+1}{2}\)；
AC=2AB=√3+1（30° 角对边是斜边一半）。
三、压轴应用题（综合场景）
题目：如图，某观测站在山顶 A 处测得地面 C 点的俯角为 60°，测得地面 D 点的俯角为 30°，已知 CD=200 米，求山高 AB（B 为山脚）。
解析：
建模：∠ACB=60°，∠ADB=30°，CD=200 米，AB⊥BD；
设 AB=x，在 Rt△ABD 中，BD=\(x/\tan30°=x√3\)；
在 Rt△ABC 中，BC=\(x/\tan60°=x/\sqrt{3}\)；
由 BD-BC=CD 得\(x√3 - x/\sqrt{3}=200→\frac{2x}{\sqrt{3}}=200→x=100√3\)（米）。
第 7 页：章末检测 —— 基础与提升卷
一、基础检测卷（限时 20 分钟）
选择题：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则\(\sin B\)的值为（ ）
A. 5/12 B. 12/13 C. 5/13 D. 12/5
填空题：坡度为 1:√3 的斜坡，坡角 θ=度；\(\tan 60° + \cos 45°\)=。
解答题：计算\((\sin 30°)^2 + \cos 60°×\tan 45°\)。
二、提升检测卷（限时 30 分钟）
如图，在△ABC 中，AB=AC=10，∠B=37°，求 BC 的长（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）。
一艘轮船从 A 港出发，沿北偏东 60° 方向航行至 B 港，再沿南偏东 30° 方向航行至 C 港，若 AC=60 海里，求 AB 的长。
第 8 页：拓展延伸 —— 思想与资源
一、数学思想渗透
数形结合思想：通过图形直观理解三角函数定义，将代数计算转化为几何关系分析；
模型思想：将实际问题转化为直角三角形模型，体现数学的实用性；
转化思想：将斜三角形转化为直角三角形，将复杂问题转化为基本类型。
二、拓展学习资源
书籍：《初中三角函数解题技巧大全》《解直角三角形应用题专项突破》；
视频：搜索 “锐角三角函数章末复习”“解直角三角形实际应用”，观看专题讲解；
实践活动：测量校园内旗杆高度（用仰角法），记录数据并计算，验证三角函数的应用价值。
三、后续衔接提示
本章知识是高中三角函数、解三角形的基础，重点关注：
锐角三角函数向任意角三角函数的拓展；
正弦定理、余弦定理对解斜三角形的统一解决；
三角函数在物理（力学、运动学）中的应用（如力的分解、斜面运动）。
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第二十八章 锐角三角函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
(2)∠A 的余弦：cosA = = ；
(3)∠A 的正切：tanA = = .
1. 锐角三角函数的定义
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边．
(1)∠A 的正弦：
∠A 的对边
斜边
sin A =
∠A 的邻边
斜边
∠A 的邻边
∠A 的对边
sin30°＝ ，sin45°＝ ，sin60°＝ ；
cos30°＝ ，cos45°＝ ，cos60°＝ ；
tan30°＝ ，tan45°＝ ，tan60°＝ .
2. 特殊角的三角函数
1
(1) 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，
∠B，∠C 的对边．
三边关系：___________；
两锐角关系：________________；
边角关系：sinA＝cosB＝___，cosA＝sinB＝___，
tanA＝______，tanB＝_____，sin2A + cos2A = .
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B
3. 解直角三角形
1
(2) 直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少
有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素.
解法：①知一边一锐角，先由两锐角互余关系求
出另一锐角；若知斜边则用正弦(或余弦)求另两
边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或
勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另
一边，再用三角函数求锐角；③解斜三角形的问
题可通过添加辅助线转化为解直角三角形问题．
(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = ，
cosα = ____________，
tanα · tan(90°－α) =___.
cos(90°－α)
sin(90°－α)
1
(1) 利用计算器求三角函数值
第二步：输入角度值；
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果.
(不同计算器操作可能不同)
第一步：按计算器上的 键；
sin
tan
cos
4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角
(2) 利用计算器求锐角的度数
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
第二步：输入函数值；
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果 (按实际需要进行精确).
方法①：
°＇″
2nd F
第一步：按计算器 键；
2nd F
sin
cos
tan
方法②：
第二步：输入锐角函数值；
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果 (按实际需要进行精确).
第一步：按计算器 键；
°＇″
2nd F
(1) 仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
5. 三角函数的应用
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如图：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
(2) 方向角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α，
则有 i = tan α.
坡度通常写成 1∶m 的形式，如
i =1∶6.显然，坡度越大，坡角 α
就越大，坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比
叫做坡面坡度.记作 i，即 i = .
(3) 坡度、坡角
(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过
程是：
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，
转化为解直角三角形的问题）；
② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
③ 得到数学问题的答案；
④ 得到实际问题的答案．
A
C
M
N
①在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角∠MCE = α；
E
②量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l；
③量出测倾器的高度 AC = a，可求出
MN = ME + EN = l · tanα + a.
α
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
6. 利用三角函数测高
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MCE = α；
A
C
B
D
M
N
E
α
②在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β；
β
③量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距
离 AB = b. 根据测量数据，可求出物体 MN 的高度.
考点一 求三角函数的值
例 1 在△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ ，则 tanB 的
值为 ( )
A. B. C. D.
解析：根据 sinA＝ ，可设三角形的两边长分别为 4k，5k，则第三边长为 3k，所以 tanB＝
B
方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．
1. 在△ABC 中，且 sinA = ，cosB = ，则∠C =___°.
90
2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，
B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是____.
针对训练
例 2 如图，矩形 ABCD 中，AB = 10，BC = 8，E 为 AD 边上一点，沿 CE 将△CDE 对折，使点 D 正好落在 AB 边上，求 tan∠AFE 的值．
分析：根据题意，易得∠AFE =∠BCF，而在 Rt△BFC 中，易得 BC = 8，CF = 10，由勾股定理可求得 BF 的长，从而求得 tan∠BCF，即得 tan∠AFE 的值.
10
8
10
8
解：由折叠可得 CF = CD = 10，∠EFC = ∠EDC = 90°.
∴ tan∠BCF = .
∴ tan∠AFE = tan∠BCF = .
10
∵∠AFE +∠EFC +∠BFC = 180°，
∴∠AFE +∠BFC = 90°.
∵∠BCF +∠BFC = 90°，∴∠AFE =∠BCF.
在 Rt△BFC 中，BC = 8，CF = 10，
由勾股定理得 BF = 6.
解：在 Rt△ABD 中，∵ tan∠BAD =
∴ BD = AD·tan∠BAD = 12× = 9.
∴ CD = BC－BD = 14－9 = 5.
∴
∴ sinC =
如图，△ABC 中，AD⊥BC，垂足是 D．若 BC＝
14，AD＝12，tan∠BAD＝ ，求 sinC 的值．
针对训练
考点二 特殊角的三角函数值
例3 计算：
解：原式＝
(1) tan30°＋cos45°＋tan60°；
(2) tan30°· tan60°＋ cos230°.
计算：
解：原式
解：原式
针对训练
考点三 解直角三角形
例 4 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，点 D 在 BC 上，BD = 4，AD = BC，cos∠ADC = ．
(1) 求 CD 的长；
分析：图中给出了两个直角三角形，CD 可在 Rt△ACD 中求得，由 AD = BC，CD = BC－BD，以及 cos∠ADC 的值，可列方程求出 CD．
A
B
C
D
又 BC－CD = BD，
解得 x = 6，∴CD = 6.
解：设 CD = x，在 Rt△ACD 中，cos∠ADC = ，
A
B
C
D
(2) 求 sinB 的值．
解：BC = BD + CD = 4 + 6 = 10 = AD.
在 Rt△ACD 中，
在 Rt△ABC 中，
A
B
C
D
方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = .
点 D 为 BC 边上一点，且 BD = 2AD，∠ADC = 60°.
求△ABC 的周长 (结果保留根号).
针对训练
解：在 Rt△ADC 中，
∴ BD = 2AD = 4.
∴ BC = BD + DC = 5.
在 Rt△ABC 中，
∴△ABC 的周长为 AB + BC + AC
考点四 三角函数的应用
例 5 如图，防洪大堤的横断面是梯形 ABCD，其中 AD ∥BC，α = 60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角 β = 45°．若原坡长 AB = 20 m，求改造后的坡长 AE．(结果保留根号)
解：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F.
F
= 20× = (m).
在 Rt△ABF 中，∠ABF = 60°，
则 AF = AB·sin60°
在 Rt△AEF 中，∠E = β = 45°，
则 (m)，
故改造后的坡长 AE 为 m.
F
如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形 ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为 45°，高 10 米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2 米，加固后背水坡 EF 的坡比
i = 1: ．求加固后坝底增加
的宽度 AF. (结果保留根号)
A
B
C
D
E
F
45°
i =1:
针对训练
A
B
C
D
E
F
45°
i=1:
G
H
解：作 DG⊥AB 于点 G，EH⊥AB 于点 H.
则 GH = DE = 2 米，EH = DG = 10 米.
(米)，
(米).
又∵AG = DG = 10 米，
∴ (米).
故加固后坝底增加的宽度 AF 为 米.
例 6 如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30°，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在A处测得大树顶端B的仰角是 48°，若坡角∠FAE = 30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：
sin48°≈ 0.74，cos48° ≈ 0.67，
tan48° ≈ 1.11， ≈ 1.73）.
解：如图，作 DG⊥BC 于点 G，DH⊥CE 于点 H．
则四边形 DHCG 为矩形．
故 DG = CH，CG = DH，DG∥HC，
∴∠DAH =∠FAE = 30°.
在 Rt△AHD 中，∵∠DAH = 30°，AD = 6，
∴ DH = 3，AH = . ∴ CG = 3.
设 BC 为 x.
在 Rt△ABC 中，
G
H
在 Rt△BDG 中，∵ BG = DG · tan30°，
解得 x ≈ 13．
∴ 大树的高度约为 13 米.
∴
∴
G
H
如图，为了测出某塔 CD 的高度，在塔前的平地上选择一点 A，用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 30°，在 A，
C 之间选择一点 B（A，B，C 三点在同一直
线上）．用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 75°，
且 AB 间的距离为 40 m．
(1) 求点 B 到 AD 的距离；
答案：点 B 到 AD 的距离为 20 m.
E
针对训练
(2) 求塔高 CD（结果保留根号）．
解：在 Rt△ABE 中，
则 AD = AE + EB = (m).
在 Rt△ADC 中，∠A = 30°，
∴ (m).
E
∵∠A = 30°，∴∠ABE = 60°.
∵∠DBC = 75°，∴∠EBD = 180°－60°－75° = 45°.
∴ DE = EB = 20 m.
答：塔高 CD 为 m.
例 7 如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向A处，轮船乙位于码头 O 的正北方向 C 处，测得∠CAO = 45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为 45 km/h
和 36 km/h，经过 0.1 h，轮船甲行驶
至 B 处，轮船乙行驶至 D 处，测得
∠DBO = 58°，此时 B 处距离码头 O
多远？（参考数据：sin58° ≈ 0.85，
cos58° ≈ 0.53，tan58° ≈ 1.60）
解：设 BO = x km.
∴
∵ tan∠CAO = ，
在 Rt△CAO 中，∠CAO = 45°，
∴CO = AO · tan∠CAO = (45×0.1 + x) tan45° = 4.5 + x.
在 Rt△DBO 中，∠DBO = 58°，
∴ DO = BO · tan∠DBO = x · tan58°.
∵ DC = DO－CO，
∴ 36×0.1 = x · tan58°－(4.5 + x).
故 B 处距离码头 O 大约 13.5 km.
某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图). 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的 B 处有人发出求救信号．他立即沿 AB 方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从 C 处入海，径直向 B 处游去．甲在乙入海 10 秒后赶到海
岸线上的 D 处，再向 B 处游去．若 CD＝
40米，B 在 C 的北偏东 35° 方向，甲、乙
的游泳速度都是 2 米/秒，则谁先到达 B
处？请说明理由 (参考数据：sin55° ≈ 0.82，
cos55° ≈ 0.57，tan55° ≈ 1.43).
针对训练
分析： 在 Rt△CDB 中，利用三角函数即可求得 BC，BD 的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．
解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.
∴ BD＝CD · tan∠BCD＝40×tan55° ≈ 57.2 (米)．
BC＝ ＝ ≈ 70.2(米)．
∴ t甲 ≈ 57.2÷2＋10＝38.6 (秒)，
t乙 ≈ 70.2÷2＝35.1 (秒)．
∴ t甲>t乙．
答：乙先到达 B 处．
B
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1．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则下列等式成立的是( )
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2．
计算：
(1)2sin 30°－3tan 45°＋cos 60°； (2)cos245°－tan 30°·sin 60°.
3．
余弦定理：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝a2＋c2－2accos B；c2＝a2＋b2－2abcos C．现已知在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠A＝60°，则AC的长为( )
【点拨】
【答案】B
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4．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．由下列条件解直角三角形．
(1)已知a＋c＝12，∠B＝60°；
(2)b＋c＝30，∠A－∠B＝30°.
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5．
如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6.
(1)求sin B的值；
(2)延长BC至点D，使得∠ADB＝30°，求CD的长．
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6．
图①为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图②为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4 dm，OB＝12 dm，∠BOE＝60°，求点C到水平线l的距离CF(结果用含根号的式子表示)．
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7．
(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图②，已知α＝60°，CD＝10 cm，求截面ABCD的面积．
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8．
[2024威海期末]如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值为( )
【点拨】
【答案】C
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9．
如图，在平面直角坐标系中，OC：BC＝1：2，OP∥AB交AC的延长线于点P.若P(1，1)，则tan∠OAP的值是( )
【点拨】
如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M.
∵OP∥AB，∴△ABC∽△POC. ∴AC:CP＝BC:CO＝2:1. ∴AC:AP＝2:3. 又∵PM∥CO，∴AO:AM＝AC:AP＝2:3.
∵点P的坐标为(1，1)，
【答案】C
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10．
如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sin α·cos α＝( )
【点拨】
【答案】B
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11．
60或120
锐角三角函数的定义
特殊角的三角函数
解直角三角形
简单的实际问题
正弦
锐
角
三
角
函
数
余弦
正切
三边关系
锐角关系
边角关系
仰、俯角问题
方向角问题
坡度、坡角问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！