第二十九章 投影与视图【章末复习】 课件(共39张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件
文档属性
| 名称 | 第二十九章 投影与视图【章末复习】 课件(共39张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-19 13:04:49 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
第 1 页：复习导航 —— 目标与框架
一、复习核心目标
知识层面：精准掌握投影的分类及性质，熟练运用三视图的画法规则，明确立体图形与视图的对应关系。
能力层面：能区分平行投影与中心投影，准确画出简单几何体的三视图，由三视图还原几何体并计算相关量，提升空间想象能力。
素养层面：体会 “空间与平面转化” 的数学思想，理解投影与视图在工程、设计等领域的实用价值。
二、知识框架总览
第 2 页：核心知识梳理 —— 投影的分类与性质
一、投影的基本概念
投影：光线照射物体，在投影面上形成的影子，由光源、物体、投影面三个要素构成。
正投影：投影线垂直于投影面的平行投影，是特殊且应用最广的投影形式。
二、三类投影的对比分析
投影类型
光线特点
核心性质
生活实例
关键判断方法
平行投影
投射线互相平行
1. 同一时刻，物高与影长成比例；2. 影子方向相同
阳光下的树影、日晷计时
物体顶点与影子顶点连线互相平行
中心投影
投射线从一点发出
1. 物高与影长不一定成比例；2. 离光源越近，影子越短（等高物体垂直放置）
灯光下的人影、手电筒照物
物体顶点与影子顶点连线相交于一点（光源）
正投影
平行光线且垂直投影面
1. 能真实反映物体的形状和大小；2. 是三视图的理论基础
机械零件的图纸绘制
投影线与投影面标注垂直符号
三、投影的变化规律
平行投影：随时间变化，太阳位置改变，影子的长度和方向均发生变化（如上午影子向西变长，下午向东变短）。
中心投影：改变光源位置，影子的方向和大小均变化；固定光源，物体靠近光源，影子变大且远离物体。
第 3 页：核心知识梳理 —— 三视图的规则与画法
一、三视图的定义与作用
视图类型
观察方向
反映的几何体特征
对应尺寸
主视图
从正面观察
长、高、上下左右位置
长、高
左视图
从左面观察
宽、高、上下前后位置
宽、高
俯视图
从上面观察
长、宽、左右前后位置
长、宽
二、三视图的画法核心规则
三大关系：
主俯长对正：主视图与俯视图的长度相等且对齐；
主左高平齐：主视图与左视图的高度相等且对齐；
左俯宽相等：左视图与俯视图的宽度相等且对应。
图与几何体的转化
一、由几何体画三视图（“从空间到平面”）
关键技巧：
先确定观察方向，明确几何体的组成部分（如组合体由圆柱和正方体构成）；
分别绘制各部分的视图，注意相邻部分的轮廓线是否可见；
严格遵循 “长对正、高平齐、宽相等”，避免尺寸错位。
示例：画 “底面直径为 2、高为 3 的圆柱” 的三视图
① 主视图：长 2、高 3 的长方形；
② 左视图：长 2、高 3 的长方形；
③ 俯视图：直径 2 的圆形。
二、由三视图还原几何体（“从平面到空间”）
四步还原法：
识视图：明确主、左、俯视图的位置及尺寸；
定形状：由主视图确定几何体的正面轮廓，左视图补充侧面形状，俯视图完善底面结构；
核尺寸：对照 “长、宽、高” 关系，确认几何体的各部分尺寸；
补细节：根据虚线位置，补充几何体内部或后方的结构。
示例：三视图中主视图和左视图为三角形，俯视图为圆形 —— 还原为圆锥体。
三、组合体的转化要点
组合体由多个基本几何体拼接或挖空而成，画视图时需区分 “拼接处轮廓线是否保留”（如正方体上放圆柱，连接处无实线）；还原时需拆分视图对应的基本几何体，再组合成型。
第 5 页：实际应用 —— 投影与视图的场景解析
一、投影的实际应用场景
测高问题（平行投影）
原理：同一时刻，物高与影长成正比（\(\frac{物高1}{影长1} = \frac{物高2}{影长2}\)）。
示例：某时刻，1.5m 的标杆影长 2m，同一地点的树影长 12m，求树高 ——\(\frac{1.5}{2} = \frac{h}{12}→h=9m\)。
光源定位（中心投影）
原理：点光源、物体顶点、影子顶点共线。
示例：路灯下，甲、乙两人的影长分别为 1m 和 1.5m，两人相距 2m，甲高 1.8m，求路灯高度 —— 连接影子顶点与对应人头顶，延长线交点即为光源，再用相似三角形求解。
二、视图的实际应用场景
工程设计：机械零件、建筑图纸均以三视图为基础，准确反映物体的尺寸和结构；
3D 建模：通过三视图数据，在计算机中还原立体模型；
空间测量：由三视图确定几何体的表面积、体积（如已知长方体三视图的长、宽、高，计算体积\(V=长×宽×高\)）。
第 6 页：题型突破 —— 易错点与解题技巧
一、高频易错点剖析
投影类型判断错误：混淆平行投影与中心投影的光线特点，如误将灯光下的影子当作平行投影计算；
避错：关键看光线是否平行，或连线是否相交于一点。
三视图虚实线遗漏：绘制视图时，漏画几何体内部或后方的虚线（如正方体挖去一个小正方体，左视图需画内部虚线）；
避错：绘制前先想象几何体的全貌，标记不可见的棱。
三视图尺寸对应错误：违反 “宽相等” 规则，左视图与俯视图的宽度不一致；
避错：用直尺对齐各视图的对应边，标注尺寸后再核对。
由三视图还原几何体出错：仅依据单个视图判断形状，如将主视图为三角形的几何体误判为圆锥（也可能是棱锥）；
避错：结合三个视图综合判断，主视图定长高，俯视图定长宽，左视图定宽高。
二、解题技巧总结
相似三角形法：解决投影测高问题时，构造相似三角形，利用对应边成比例列关系式；
“拆分 - 组合” 法：处理组合体三视图问题时，先拆分基本几何体，再组合分析；
尺寸标注法：由三视图还原几何体时，在各视图上标注长、宽、高，再对应到立体图形中；
排除法：选择题中判断三视图正误时，先依据 “三大关系” 排除明显错误的选项。
第 7 页：实战演练 —— 分层例题与解析
一、基础巩固题（概念与判断）
题目 1：下列现象中，属于中心投影的是（ ）
A. 阳光下的树影 B. 月光下的人影 C. 灯光下的书影 D. 日食形成的影子
解析：灯光是点光源，形成的投影为中心投影，选 C。
题目 2：画出底面半径为 1、高为 2 的圆锥的三视图。
解析：
主视图：底边长 2（直径）、高 2 的等腰三角形；
左视图：与主视图相同的等腰三角形；
俯视图：半径 1 的圆形，圆心处画点（表示锥尖投影）。
二、中档提升题（投影计算与视图还原）
题目 1：在同一时刻，测得一根高 1.2m 的竹竿的影长为 0.9m，一棵大树的影长为 2.4m，求大树的高度。
解析：平行投影下物高与影长成正比→\(\frac{1.2}{0.9} = \frac{h}{2.4}→h = \frac{1.2×2.4}{0.9} = 3.2m\)。
题目 2：已知某几何体的三视图如下：主视图和左视图均为长方形，俯视图为圆形，求该几何体的表面积（已知俯视图半径为 2，主视图高为 3）。
解析：
还原几何体：圆柱体（底面半径 r=2，高 h=3）；
计算表面积：\(2πr + 2πrh = 2π×4 + 2π×2×3 = 8π + 12π = 20π\)。
三、压轴应用题（综合场景）
题目：如图，路灯 O 的高度 PO=8m，树 AB 垂直地面，树影 AC=3m，树与路灯的水平距离 AP=6m，求树的高度 AB。
解析：
中心投影中，△ABC∽△OPC（两角对应相等）；
相似比：\(\frac{AB}{PO} = \frac{AC}{PC}\)，其中 PC=AP+AC=6+3=9m；
代入得：\(\frac{AB}{8} = \frac{3}{9}→AB = 8×\frac{1}{3} = \frac{8}{3}m\)。
第 8 页：章末检测 —— 基础与提升卷
一、基础检测卷（限时 20 分钟）
选择题：在阳光下，同一时刻物体的高度与影长的比是定值，某时刻一根长 2m 的标杆影长 1.5m，则此时影长为 9m 的建筑物高度为（ ）
A. 6m B. 8m C. 10m D. 12m
填空题：圆锥的主视图是______，左视图与俯视图的位置关系是______；中心投影中，光源、物体、影子的位置关系是______。
解答题：画出棱长为 2 的正方体的三视图，并标注尺寸。
二、提升检测卷（限时 30 分钟）
某几何体的三视图如图所示（主视图和左视图为直角三角形，俯视图为矩形），求该几何体的体积（主视图直角边为 3 和 4，俯视图长为 4）。
如图，在路灯下，甲站在 A 处，影长为 AM=2m，乙站在 B 处，影长为 BN=1m，AB=5m，甲、乙身高均为 1.8m，求路灯高度 PO。
第 9 页：拓展延伸 —— 思想与资源
一、数学思想渗透
转化思想：将立体图形转化为平面视图（三视图），将平面视图还原为立体图形，实现空间与平面的转化；
建模思想：将投影问题转化为相似三角形模型，将视图问题转化为基本几何体组合模型；
数形结合思想：通过视图的 “形” 与几何体尺寸的 “数” 结合，精准计算表面积、体积。
二、拓展学习资源
书籍：《初中数学视图与投影专项训练》《几何体三视图画法与还原技巧》；
视频：搜索 “投影与视图核心考点”“三视图还原几何体精讲” 观看专题课程；
实践活动：用手电筒照射长方体、圆锥等物体，观察不同位置下的影子变化；绘制家庭书桌的三视图。
三、后续衔接提示
本章知识是高中立体几何的基础，重点关注：
空间几何体的直观图画法（斜二测画法）；
空间几何体的表面积与体积计算公式；
投影在摄影、美术构图中的应用（如透视原理）。
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第二十九章 投影与视图
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 投影、平行投影、中心投影
(1) 投影：物体在光线的照射下，会在某个平面 (地
面或墙壁)上留下它的影子，这就是投影现象.
如下图：
(2) 平行投影：
太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成
的投影，称为平行投影，如下图：
(3) 中心投影：
手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出
的，像这样的光线照射物体所形成的投影称为中心
投影，如下图：
(4) 平行投影与中心投影的区别与联系：
区别 联系
平行投影
中心投影 投影线互相平行，
形成平行投影
投影线发自一点，形成中心投影
都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子. (即都是投影)
2. 正投影
(1) 概念：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
(2) 性质：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的
正投影与这个面的形状、大小完全相同．
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
B
C
D
E
F
G
F′
A′
D′
C′
B′
G′
A
H
主视图
主视图
俯视图
左视图
正面
高
长
宽
宽
3. 三视图：(1) 三视图的概念
侧面
俯视图
左视图
将三个投影面展开在一个平面内，得到该物体的三视图.
水平面
③在主视图正右方画出左视图，注
意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；
①确定主视图的位置，画出主视图；
②在主视图正下方画出俯视图，注
意与主视图长对正；
(2)三视图的画法：
主视图
俯视图
左视图
高
长
宽
宽
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出.
④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点
划线表示对称轴.
几何体 主视图 左视图 俯视图
(3) 常见几何体的三视图：
(4) 由三视图确定几何体：
(5) 由三视图求几何体的表面积和体积：
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体形状．
①先根据给出的三视图得出立体图形的形状，并确
定其长、宽、高、半径或直径等相关量；
②根据已知数据，求出立体图形的体积（或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积）.
1. 试确定图中路灯的位置，并画出此时小赵在路灯下的
影子.
考点一 投影
针对训练
2. 如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影子图，试按
其一天中发生的先后顺序排列，正确的是 ( )
A. ①②③④ B. ②①③④
C. ④①③② D. ④③①②
东
北
①
③
东
北
东
北
④
②
东
北
D
3. 某数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投影
实验，这块正方形木板在地面上形成的投影可能是
______________(写出符合题意的两个图形即可).
正方形、菱形
例 1 与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树. 晚上，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子，树影是路灯灯光直接照射形成的. 你能确定此时路灯光源的位置吗？
P
某公司的外墙壁贴的是反光玻璃，晚上两根木棒的影子如图 (短木棒的影子是玻璃反光形成的)，请确定图中路灯灯泡所在的位置.
针对训练
1. 下列四个立体图形中，左视图为矩形的是 ( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ③④
B
考点二 三视图
针对训练
2. 由 4 个相同的小立方体搭成的几何体
如图所示，则它的主视图是 ( )
A
(1)
(2)
俯视图
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
3. 请根据下面提供的几何图形，画出它的三视图.
正面
正面
4. 请根据下面提供的三视图，画出几何图形.
(1) 主视图
左视图
俯视图
5. 如图所示是由若干个完全相同
的小正方体搭成的几何体的主
视图和俯视图，则这个几何体
可能是由 ___________个正方
体搭成的.
分析：易知这个几何体共有 3 层，由俯视图可得第
一层立方体的个数，由主视图可得第二、三层立方
体的可能的个数，相加即可.
6 或 7 或 8
6. 如图是某圆锥的三视图，请根据图中尺寸计算该圆
锥的表面积 (结果保留 3 位有效数字).
解：由图可知该圆锥的高为 cm，底面半径为 2 cm，
∴ 由勾股定理可得该圆锥的母线长为 4 cm.
∴ 其表面积为 π×22 + π×2×4 = 12π ≈ 37.7 (cm2).
A
返回
1．
[2024青岛期中]一个矩形的平行投影不可能是( )
A．梯形
B．矩形
C．平行四边形
D．线段
【点拨】
在平行投影下，矩形的投影可能是线段、矩形、平行四边形，不可能是梯形．故选A.
2．
[2024济宁期末]下列光线所形成的投影不是中心投影的是( )
A．太阳光线
B．台灯的光线
C．蜡烛的光线
D．路灯的光线
【点拨】
【答案】A
中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有A选项得到的投影不是中心投影．故选A.
返回
A
返回
3．
[2024滨州]如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是( )
4．
返回
D
[2024河北]如图是由11个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是( )
5．
[2024绥化]某几何体是由若干个完全相同的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是( )
A．5
B．6
C．7
D．8
【点拨】
【答案】A
由三视图易得最底层有3个小正方体，第二层有2个小正方体，那么共有3＋2＝5(个)小正方体．
返回
6．
在一直线上有几根竹竿．它们在同一灯光下的影子如图所示(图中的粗线段)．
(1)根据灯光下的影子确定光源的位置；
(2)画出竹竿AB的影子；(用线段表示)
(3)画出影子为CD的竹竿．(用线段表示)
【解】(1)如图，点P即为光源所在位置．
(2)如图，BE即为竹竿AB的影子．
(3)如图，CF是以CD为影子的竹竿．
返回
7．
[2024榆林期中]数学学习小组进行“几何体的拼搭”活动，其中勤学小组的同学用几个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，请同学们认真观察，在相应的网格中画出从正面和上面所看到的几何体的形状图．
返回
【解】根据题意可得，从正面看、从上面看到的几何体的形状图，分别如图所示．
8．
如图，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2 m，且AC＝14.5 m，NF＝0.2 m．设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝56.3°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10 m，现有一只小猫睡在台阶的NF这层上晒太阳．
(1)求楼房的高度约为多少米？
(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫还能晒到太阳吗？请说明理由．(参考数据：sin 56.3°≈0.83，cos 56.3°≈0.55，tan 56.3°≈1.50)
【解】当α＝45°时，小猫不能再晒到太阳．
理由如下：假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD交于点P，此时的影长AP＝AB≈15 m，
如图，设MN的延长线交AD于点H，则易得CH＝NF.
∵AC＝14.5 m，NF＝0.2 m，
∴PH＝AP－AC－CH≈15－14.5－0.2＝0.3(m)．
设直线MN与BP交于点Q，
则易得HQ＝PH≈0.3 m，∴点Q在MN上．
∴小猫不能晒到太阳．
返回
物体(立
体图形)
投影
中心投影
平行投影
正投影
(视图)
主视图
俯视图
左视图
三视图
想
象
光照
点光源
平行光线
由前往后看
由上往下看
由左往右看
光线垂直
于投影面
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：复习导航 —— 目标与框架
一、复习核心目标
知识层面：精准掌握投影的分类及性质，熟练运用三视图的画法规则，明确立体图形与视图的对应关系。
能力层面：能区分平行投影与中心投影，准确画出简单几何体的三视图，由三视图还原几何体并计算相关量，提升空间想象能力。
素养层面：体会 “空间与平面转化” 的数学思想，理解投影与视图在工程、设计等领域的实用价值。
二、知识框架总览
第 2 页：核心知识梳理 —— 投影的分类与性质
一、投影的基本概念
投影：光线照射物体，在投影面上形成的影子，由光源、物体、投影面三个要素构成。
正投影：投影线垂直于投影面的平行投影，是特殊且应用最广的投影形式。
二、三类投影的对比分析
投影类型
光线特点
核心性质
生活实例
关键判断方法
平行投影
投射线互相平行
1. 同一时刻，物高与影长成比例；2. 影子方向相同
阳光下的树影、日晷计时
物体顶点与影子顶点连线互相平行
中心投影
投射线从一点发出
1. 物高与影长不一定成比例；2. 离光源越近，影子越短（等高物体垂直放置）
灯光下的人影、手电筒照物
物体顶点与影子顶点连线相交于一点（光源）
正投影
平行光线且垂直投影面
1. 能真实反映物体的形状和大小；2. 是三视图的理论基础
机械零件的图纸绘制
投影线与投影面标注垂直符号
三、投影的变化规律
平行投影：随时间变化，太阳位置改变，影子的长度和方向均发生变化（如上午影子向西变长，下午向东变短）。
中心投影：改变光源位置，影子的方向和大小均变化；固定光源，物体靠近光源，影子变大且远离物体。
第 3 页：核心知识梳理 —— 三视图的规则与画法
一、三视图的定义与作用
视图类型
观察方向
反映的几何体特征
对应尺寸
主视图
从正面观察
长、高、上下左右位置
长、高
左视图
从左面观察
宽、高、上下前后位置
宽、高
俯视图
从上面观察
长、宽、左右前后位置
长、宽
二、三视图的画法核心规则
三大关系：
主俯长对正：主视图与俯视图的长度相等且对齐；
主左高平齐：主视图与左视图的高度相等且对齐；
左俯宽相等：左视图与俯视图的宽度相等且对应。
图与几何体的转化
一、由几何体画三视图（“从空间到平面”）
关键技巧：
先确定观察方向，明确几何体的组成部分（如组合体由圆柱和正方体构成）；
分别绘制各部分的视图，注意相邻部分的轮廓线是否可见；
严格遵循 “长对正、高平齐、宽相等”，避免尺寸错位。
示例：画 “底面直径为 2、高为 3 的圆柱” 的三视图
① 主视图：长 2、高 3 的长方形；
② 左视图：长 2、高 3 的长方形；
③ 俯视图：直径 2 的圆形。
二、由三视图还原几何体（“从平面到空间”）
四步还原法：
识视图：明确主、左、俯视图的位置及尺寸；
定形状：由主视图确定几何体的正面轮廓，左视图补充侧面形状，俯视图完善底面结构；
核尺寸：对照 “长、宽、高” 关系，确认几何体的各部分尺寸；
补细节：根据虚线位置，补充几何体内部或后方的结构。
示例：三视图中主视图和左视图为三角形，俯视图为圆形 —— 还原为圆锥体。
三、组合体的转化要点
组合体由多个基本几何体拼接或挖空而成，画视图时需区分 “拼接处轮廓线是否保留”（如正方体上放圆柱，连接处无实线）；还原时需拆分视图对应的基本几何体，再组合成型。
第 5 页：实际应用 —— 投影与视图的场景解析
一、投影的实际应用场景
测高问题（平行投影）
原理：同一时刻，物高与影长成正比（\(\frac{物高1}{影长1} = \frac{物高2}{影长2}\)）。
示例：某时刻，1.5m 的标杆影长 2m，同一地点的树影长 12m，求树高 ——\(\frac{1.5}{2} = \frac{h}{12}→h=9m\)。
光源定位（中心投影）
原理：点光源、物体顶点、影子顶点共线。
示例：路灯下，甲、乙两人的影长分别为 1m 和 1.5m，两人相距 2m，甲高 1.8m，求路灯高度 —— 连接影子顶点与对应人头顶，延长线交点即为光源，再用相似三角形求解。
二、视图的实际应用场景
工程设计：机械零件、建筑图纸均以三视图为基础，准确反映物体的尺寸和结构；
3D 建模：通过三视图数据，在计算机中还原立体模型；
空间测量：由三视图确定几何体的表面积、体积（如已知长方体三视图的长、宽、高，计算体积\(V=长×宽×高\)）。
第 6 页：题型突破 —— 易错点与解题技巧
一、高频易错点剖析
投影类型判断错误：混淆平行投影与中心投影的光线特点，如误将灯光下的影子当作平行投影计算；
避错：关键看光线是否平行，或连线是否相交于一点。
三视图虚实线遗漏：绘制视图时，漏画几何体内部或后方的虚线（如正方体挖去一个小正方体，左视图需画内部虚线）；
避错：绘制前先想象几何体的全貌，标记不可见的棱。
三视图尺寸对应错误：违反 “宽相等” 规则，左视图与俯视图的宽度不一致；
避错：用直尺对齐各视图的对应边，标注尺寸后再核对。
由三视图还原几何体出错：仅依据单个视图判断形状，如将主视图为三角形的几何体误判为圆锥（也可能是棱锥）；
避错：结合三个视图综合判断，主视图定长高，俯视图定长宽，左视图定宽高。
二、解题技巧总结
相似三角形法：解决投影测高问题时，构造相似三角形，利用对应边成比例列关系式；
“拆分 - 组合” 法：处理组合体三视图问题时，先拆分基本几何体，再组合分析；
尺寸标注法：由三视图还原几何体时，在各视图上标注长、宽、高，再对应到立体图形中；
排除法：选择题中判断三视图正误时，先依据 “三大关系” 排除明显错误的选项。
第 7 页：实战演练 —— 分层例题与解析
一、基础巩固题（概念与判断）
题目 1：下列现象中，属于中心投影的是（ ）
A. 阳光下的树影 B. 月光下的人影 C. 灯光下的书影 D. 日食形成的影子
解析：灯光是点光源，形成的投影为中心投影，选 C。
题目 2：画出底面半径为 1、高为 2 的圆锥的三视图。
解析：
主视图：底边长 2（直径）、高 2 的等腰三角形；
左视图：与主视图相同的等腰三角形；
俯视图：半径 1 的圆形，圆心处画点（表示锥尖投影）。
二、中档提升题（投影计算与视图还原）
题目 1：在同一时刻，测得一根高 1.2m 的竹竿的影长为 0.9m，一棵大树的影长为 2.4m，求大树的高度。
解析：平行投影下物高与影长成正比→\(\frac{1.2}{0.9} = \frac{h}{2.4}→h = \frac{1.2×2.4}{0.9} = 3.2m\)。
题目 2：已知某几何体的三视图如下：主视图和左视图均为长方形，俯视图为圆形，求该几何体的表面积（已知俯视图半径为 2，主视图高为 3）。
解析：
还原几何体：圆柱体（底面半径 r=2，高 h=3）；
计算表面积：\(2πr + 2πrh = 2π×4 + 2π×2×3 = 8π + 12π = 20π\)。
三、压轴应用题（综合场景）
题目：如图，路灯 O 的高度 PO=8m，树 AB 垂直地面，树影 AC=3m，树与路灯的水平距离 AP=6m，求树的高度 AB。
解析：
中心投影中，△ABC∽△OPC（两角对应相等）；
相似比：\(\frac{AB}{PO} = \frac{AC}{PC}\)，其中 PC=AP+AC=6+3=9m；
代入得：\(\frac{AB}{8} = \frac{3}{9}→AB = 8×\frac{1}{3} = \frac{8}{3}m\)。
第 8 页：章末检测 —— 基础与提升卷
一、基础检测卷（限时 20 分钟）
选择题：在阳光下，同一时刻物体的高度与影长的比是定值，某时刻一根长 2m 的标杆影长 1.5m，则此时影长为 9m 的建筑物高度为（ ）
A. 6m B. 8m C. 10m D. 12m
填空题：圆锥的主视图是______，左视图与俯视图的位置关系是______；中心投影中，光源、物体、影子的位置关系是______。
解答题：画出棱长为 2 的正方体的三视图，并标注尺寸。
二、提升检测卷（限时 30 分钟）
某几何体的三视图如图所示（主视图和左视图为直角三角形，俯视图为矩形），求该几何体的体积（主视图直角边为 3 和 4，俯视图长为 4）。
如图，在路灯下，甲站在 A 处，影长为 AM=2m，乙站在 B 处，影长为 BN=1m，AB=5m，甲、乙身高均为 1.8m，求路灯高度 PO。
第 9 页：拓展延伸 —— 思想与资源
一、数学思想渗透
转化思想：将立体图形转化为平面视图（三视图），将平面视图还原为立体图形，实现空间与平面的转化；
建模思想：将投影问题转化为相似三角形模型，将视图问题转化为基本几何体组合模型；
数形结合思想：通过视图的 “形” 与几何体尺寸的 “数” 结合，精准计算表面积、体积。
二、拓展学习资源
书籍：《初中数学视图与投影专项训练》《几何体三视图画法与还原技巧》；
视频：搜索 “投影与视图核心考点”“三视图还原几何体精讲” 观看专题课程；
实践活动：用手电筒照射长方体、圆锥等物体，观察不同位置下的影子变化；绘制家庭书桌的三视图。
三、后续衔接提示
本章知识是高中立体几何的基础，重点关注：
空间几何体的直观图画法（斜二测画法）；
空间几何体的表面积与体积计算公式；
投影在摄影、美术构图中的应用（如透视原理）。
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
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章末复习
第二十九章 投影与视图
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 投影、平行投影、中心投影
(1) 投影：物体在光线的照射下，会在某个平面 (地
面或墙壁)上留下它的影子，这就是投影现象.
如下图：
(2) 平行投影：
太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成
的投影，称为平行投影，如下图：
(3) 中心投影：
手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出
的，像这样的光线照射物体所形成的投影称为中心
投影，如下图：
(4) 平行投影与中心投影的区别与联系：
区别 联系
平行投影
中心投影 投影线互相平行，
形成平行投影
投影线发自一点，形成中心投影
都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子. (即都是投影)
2. 正投影
(1) 概念：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
(2) 性质：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的
正投影与这个面的形状、大小完全相同．
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
B
C
D
E
F
G
F′
A′
D′
C′
B′
G′
A
H
主视图
主视图
俯视图
左视图
正面
高
长
宽
宽
3. 三视图：(1) 三视图的概念
侧面
俯视图
左视图
将三个投影面展开在一个平面内，得到该物体的三视图.
水平面
③在主视图正右方画出左视图，注
意与主视图高平齐，与俯视图宽相等；
①确定主视图的位置，画出主视图；
②在主视图正下方画出俯视图，注
意与主视图长对正；
(2)三视图的画法：
主视图
俯视图
左视图
高
长
宽
宽
注意：不可见的轮廓线，用虚线画出.
④为表示圆柱、圆锥等的对称轴，规定在视图中加画点
划线表示对称轴.
几何体 主视图 左视图 俯视图
(3) 常见几何体的三视图：
(4) 由三视图确定几何体：
(5) 由三视图求几何体的表面积和体积：
由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体形状．
①先根据给出的三视图得出立体图形的形状，并确
定其长、宽、高、半径或直径等相关量；
②根据已知数据，求出立体图形的体积（或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积）.
1. 试确定图中路灯的位置，并画出此时小赵在路灯下的
影子.
考点一 投影
针对训练
2. 如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影子图，试按
其一天中发生的先后顺序排列，正确的是 ( )
A. ①②③④ B. ②①③④
C. ④①③② D. ④③①②
东
北
①
③
东
北
东
北
④
②
东
北
D
3. 某数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光下做投影
实验，这块正方形木板在地面上形成的投影可能是
______________(写出符合题意的两个图形即可).
正方形、菱形
例 1 与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花和一棵树. 晚上，幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子，树影是路灯灯光直接照射形成的. 你能确定此时路灯光源的位置吗？
P
某公司的外墙壁贴的是反光玻璃，晚上两根木棒的影子如图 (短木棒的影子是玻璃反光形成的)，请确定图中路灯灯泡所在的位置.
针对训练
1. 下列四个立体图形中，左视图为矩形的是 ( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ③④
B
考点二 三视图
针对训练
2. 由 4 个相同的小立方体搭成的几何体
如图所示，则它的主视图是 ( )
A
(1)
(2)
俯视图
主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
3. 请根据下面提供的几何图形，画出它的三视图.
正面
正面
4. 请根据下面提供的三视图，画出几何图形.
(1) 主视图
左视图
俯视图
5. 如图所示是由若干个完全相同
的小正方体搭成的几何体的主
视图和俯视图，则这个几何体
可能是由 ___________个正方
体搭成的.
分析：易知这个几何体共有 3 层，由俯视图可得第
一层立方体的个数，由主视图可得第二、三层立方
体的可能的个数，相加即可.
6 或 7 或 8
6. 如图是某圆锥的三视图，请根据图中尺寸计算该圆
锥的表面积 (结果保留 3 位有效数字).
解：由图可知该圆锥的高为 cm，底面半径为 2 cm，
∴ 由勾股定理可得该圆锥的母线长为 4 cm.
∴ 其表面积为 π×22 + π×2×4 = 12π ≈ 37.7 (cm2).
A
返回
1．
[2024青岛期中]一个矩形的平行投影不可能是( )
A．梯形
B．矩形
C．平行四边形
D．线段
【点拨】
在平行投影下，矩形的投影可能是线段、矩形、平行四边形，不可能是梯形．故选A.
2．
[2024济宁期末]下列光线所形成的投影不是中心投影的是( )
A．太阳光线
B．台灯的光线
C．蜡烛的光线
D．路灯的光线
【点拨】
【答案】A
中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有A选项得到的投影不是中心投影．故选A.
返回
A
返回
3．
[2024滨州]如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是( )
4．
返回
D
[2024河北]如图是由11个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是( )
5．
[2024绥化]某几何体是由若干个完全相同的小正方体组合而成，如图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是( )
A．5
B．6
C．7
D．8
【点拨】
【答案】A
由三视图易得最底层有3个小正方体，第二层有2个小正方体，那么共有3＋2＝5(个)小正方体．
返回
6．
在一直线上有几根竹竿．它们在同一灯光下的影子如图所示(图中的粗线段)．
(1)根据灯光下的影子确定光源的位置；
(2)画出竹竿AB的影子；(用线段表示)
(3)画出影子为CD的竹竿．(用线段表示)
【解】(1)如图，点P即为光源所在位置．
(2)如图，BE即为竹竿AB的影子．
(3)如图，CF是以CD为影子的竹竿．
返回
7．
[2024榆林期中]数学学习小组进行“几何体的拼搭”活动，其中勤学小组的同学用几个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体，请同学们认真观察，在相应的网格中画出从正面和上面所看到的几何体的形状图．
返回
【解】根据题意可得，从正面看、从上面看到的几何体的形状图，分别如图所示．
8．
如图，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2 m，且AC＝14.5 m，NF＝0.2 m．设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝56.3°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10 m，现有一只小猫睡在台阶的NF这层上晒太阳．
(1)求楼房的高度约为多少米？
(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫还能晒到太阳吗？请说明理由．(参考数据：sin 56.3°≈0.83，cos 56.3°≈0.55，tan 56.3°≈1.50)
【解】当α＝45°时，小猫不能再晒到太阳．
理由如下：假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD交于点P，此时的影长AP＝AB≈15 m，
如图，设MN的延长线交AD于点H，则易得CH＝NF.
∵AC＝14.5 m，NF＝0.2 m，
∴PH＝AP－AC－CH≈15－14.5－0.2＝0.3(m)．
设直线MN与BP交于点Q，
则易得HQ＝PH≈0.3 m，∴点Q在MN上．
∴小猫不能晒到太阳．
返回
物体(立
体图形)
投影
中心投影
平行投影
正投影
(视图)
主视图
俯视图
左视图
三视图
想
象
光照
点光源
平行光线
由前往后看
由上往下看
由左往右看
光线垂直
于投影面
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！