第二十七章 相似【章末复习】 课件(共54张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件
文档属性
| 名称 | 第二十七章 相似【章末复习】 课件(共54张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-19 13:26:34 | ||
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文档简介
(共54张PPT)
第 1 页：复习导航 —— 目标与框架
一、复习核心目标
知识层面：精准掌握反比例函数的定义、表达式及图像特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题。
能力层面：能根据已知条件确定反比例函数解析式，结合图像分析函数的增减性、对称性，解决与反比例函数相关的几何综合题和实际应用题。
素养层面：体会 “数形结合”“分类讨论” 等数学思想，理解反比例函数在实际生活中的应用价值，提升分析问题与建模能力。
二、知识框架总览
第 2 页：核心知识梳理 —— 反比例函数的概念
一、反比例函数的定义与表达式
定义：一般地，形如 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k\) 为常数，\(k \neq 0\)） 的函数，叫做反比例函数。
本质特征：两个变量 \(x\)、\(y\) 的乘积为定值（\(xy = k\)），且 \(x\) 不能为 0，\(y\) 也不能为 0。
三种等价表达式：
标准式：\(y = \frac{k}{x}\)（最常用，直观体现 “反比例” 关系）；
乘积式：\(xy = k\)（用于计算 \(k\) 值或判断是否为反比例函数）；
负指数式：\(y = kx^{-1}\)（体现与正比例函数 \(y = kx\) 的形式差异，\(x^{-1} = \frac{1}{x}\)）。
自变量与函数值的取值范围：
自变量 \(x\)：\(x \neq 0\)（分母不能为 0）；
函数值 \(y\)：\(y \neq 0\)（由 \(xy = k \neq 0\) 推导）。
二、概念辨析与易错点
判断是否为反比例函数：需满足 “变量乘积为定值且不含其他项”，如 \(y = \frac{2}{x+1}\) 不是反比例函数（分母是 \(x+1\)，非单独 \(x\)），\(y = \frac{3}{x} + 2\) 也不是（含常数项 2）。
\(k\) 的取值意义：\(k\) 是反比例函数的 “核心参数”，\(k \neq 0\) 是前提，\(k\) 的符号决定图像位置，\(k\) 的绝对值决定图像 “偏离原点的程度”（\(|k|\) 越大，双曲线离原点越远）。
第 3 页：核心知识梳理 —— 图像与性质
一、反比例函数的图像特征
图像形状：双曲线，由两支分别位于两个象限的曲线组成，且永不与坐标轴相交（因 \(x \neq 0\)、\(y \neq 0\)）。
图像位置与 \(k\) 的关系：
\(k\) 的符号
图像所在象限
示例（\(k=2\) 与 \(k=-2\)）
\(k > 0\)
第一、三象限
\(y = \frac{2}{x}\)：第一象限分支从左上到右下，第三象限分支从左下到右上
\(k < 0\)
第二、四象限
\(y = \frac{-2}{x}\)：第二象限分支从右上到左下，第四象限分支从右下到左上
二、反比例函数的核心性质
增减性（重点）：
当 \(k > 0\) 时：在每个象限内，\(y\) 随 \(x\) 的增大而 减小（注意：“每个象限内” 是前提，不能说 “\(y\) 随 \(x\) 整体减小”，因跨象限无增减性）；
当 \(k < 0\) 时：在每个象限内，\(y\) 随 \(x\) 的增大而 增大。
示例：对于 \(y = \frac{3}{x}\)，若 \(x_1 = -2\)、\(x_2 = 1\)，虽 \(x_1 < x_2\)，但 \(y_1 = -1.5\)、\(y_2 = 3\)，\(y_1 < y_2\)，因两点在不同象限，不适用 “\(y\) 随 \(x\) 增大而减小”。
对称性：
关于 原点中心对称：若 \((a, b)\) 在双曲线上，则 \((-a, -b)\) 也在双曲线上；
关于 直线 \(y = x\) 和 \(y = -x\) 轴对称：若 \((a, b)\) 在双曲线上，则 \((b, a)\)、\((-b, -a)\) 也在双曲线上。
三、\(k\) 的几何意义（高频考点）
基本结论：过反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 图像上任意一点 \(P(x, y)\)，作 \(PA \perp x\) 轴于 \(A\)，\(PB \perp y\) 轴于 \(B\)，则矩形 \(OAPB\) 的面积 \(S = |x| \cdot |y| = |xy| = |k|\)，三角形 \(OAP\) 或 \(OBP\) 的面积 \(S = \frac{1}{2}|k|\)。
拓展结论：过双曲线上两点作坐标轴的垂线，形成的梯形或三角形面积，可通过 “面积和差” 结合 \(|k|\) 计算。
第 4 页：核心工具 —— 反比例函数解析式的确定
一、待定系数法（核心方法）
适用场景：已知双曲线上一个点的坐标，求解析式。
步骤：
设：设反比例函数解析式为 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k \neq 0\)）；
代：将已知点 \((x_0, y_0)\) 代入解析式，得 \(y_0 = \frac{k}{x_0}\)；
求：解得 \(k = x_0 y_0\)；
写：将 \(k\) 值代入，写出最终解析式。
示例：已知反比例函数图像过点 \((2, 3)\)，求解析式 —— 代入得 \(3 = \frac{k}{2}→k = 6\)，故解析式为 \(y = \frac{6}{x}\)。
二、多条件确定解析式
场景 1：已知图像所在象限与一个条件
示例：反比例函数 \(y = \frac{k-1}{x}\) 的图像在第二、四象限，且过点 \((m, 2)\)，求 \(k\) 的取值范围与解析式（部分）—— 由象限知 \(k-1 < 0→k < 1\)，若补充 \(m = -1\)，则 \(2 = \frac{k-1}{-1}→k = -1\)，解析式为 \(y = \frac{-2}{x}\)。
场景 2：与一次函数交点求 \(k\)
示例：已知反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 与一次函数 \(y = x + 1\) 交于点 \((1, n)\)，求 \(k\)—— 先求 \(n = 1 + 1 = 2\)，再代入反比例函数得 \(2 = \frac{k}{1}→k = 2\)。
第 5 页：综合应用 —— 三大高频题型
一、与一次函数的综合题
常见考法：求交点坐标、判断函数值大小关系、计算围成图形的面积。
解题步骤：
联立解析式：将 \(y = \frac{k}{x}\) 与一次函数 \(y = ax + b\) 联立，消去 \(y\) 得方程 \(ax + b = \frac{k}{x}\)，整理为一元二次方程求解交点横坐标；
分析函数值：根据图像，在不同区间内比较两个函数的函数值大小（“上大下小”）；
计算面积：利用交点坐标与坐标轴垂线，结合三角形或梯形面积公式计算。
示例：已知反比例函数 \(y = \frac{4}{x}\) 与一次函数 \(y = x + 3\) 交于 \(A(x_1, y_1)\)、\(B(x_2, y_2)\)，求 \(AB\) 两点坐标及 \(\triangle AOB\) 的面积 —— 联立得 \(x + 3 = \frac{4}{x}→x + 3x - 4 = 0→x = 1\) 或 \(x = -4\)，故 \(A(1, 4)\)、\(B(-4, -1)\)；面积可通过 “一次函数与坐标轴交点” 计算，一次函数交 \(x\) 轴于 \((-3, 0)\)，则 \(S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}×3×4 + \frac{1}{2}×3×1 = 7.5\)。
二、几何图形面积问题（\(k\) 的几何意义应用）
基本模型：利用 “双曲线上点到坐标轴的垂线形成的矩形 / 三角形面积为 \(|k|\) 或 \(\frac{1}{2}|k|\)” 求解。
示例：如图，反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 图像上一点 \(P\) 作 \(PE \perp x\) 轴于 \(E\)，若 \(S_{\triangle POE} = 2\)，求 \(k\) 的值 —— 由面积公式得 \(\frac{1}{2}|k| = 2→|k| = 4\)，若图像在第一象限，则 \(k = 4\)；若在第二象限，则 \(k = -4\)。
三、实际应用题
常见场景：工程问题（工作总量固定，效率与时间成反比）、行程问题（路程固定，速度与时间成反比）、压强问题（压力固定，压强与受力面积成反比）。
解题步骤：
建模：确定两个反比例关系的变量，设解析式 \(y = \frac{k}{x}\)；
求 \(k\)：根据题干中的一组对应值求 \(k\)；
应用：代入已知变量值，求另一个变量；或根据变量范围，求函数值范围。
示例：某工厂加工一批零件，工作效率 \(v\)（个 / 天）与工作时间 \(t\)（天）成反比例，若效率为 50 个 / 天，需 20 天完成，求：① 解析式；② 若效率提高到 100 个 / 天，需多少天？——① 设 \(v = \frac{k}{t}\)，代入 \(50 = \frac{k}{20}→k = 1000\)，解析式 \(v = \frac{1000}{t}\)；② 当 \(v = 100\) 时，\(100 = \frac{1000}{t}→t = 10\) 天。
第 6 页：题型突破 —— 易错点与解题技巧
一、高频易错点剖析
增减性忽略 “象限限制”：误说 “\(k > 0\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小”，忽略 “在每个象限内”；
避错：分析增减性时，先明确点所在象限，跨象限不适用增减性。
\(k\) 的几何意义漏绝对值：计算面积时直接用 \(k\) 代替 \(|k|\)，忽略 \(k\) 为负的情况；
避错：牢记面积是正数，无论 \(k\) 正负，面积均为 \(|k|\) 或 \(\frac{1}{2}|k|\)。
解析式确定漏检验：已知点坐标求 \(k\) 时，代入后未验证是否符合函数定义（如 \(k = 0\)）；
避错：求得 \(k\) 后，务必确认 \(k \neq 0\)，且点坐标满足 \(xy = k\)。
实际应用忽略变量范围：如时间、速度等变量不能为负数，求解后未舍去不合理的解；
避错：结合实际场景，对解进行取舍，确保变量符合实际意义。
二、解题技巧总结
图像分析法：遇到函数值比较、交点问题时，优先画出函数图像，利用 “数形结合” 直观判断；
特殊点法：求 \(k\) 值或解析式时，优先选择坐标轴上的点、对称点等特殊点，简化计算；
方程思想：与一次函数综合时，通过联立方程求交点，将函数问题转化为方程问题；
分类讨论法：当 \(k\) 的符号不确定（如仅知面积求 \(k\)）时，需分 \(k > 0\) 和 \(k < 0\) 两种情况讨论。
第 7 页：实战演练 —— 分层例题与解析
一、基础巩固题（概念与性质）
题目 1：下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A. \(y = 3x\) B. \(y = \frac{3}{x+2}\) C. \(y = \frac{3}{x}\) D. \(y = 3x \)
解析：根据反比例函数定义，只有 \(y = \frac{3}{x}\) 符合 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k=3≠0\)），选 C。
题目 2：已知反比例函数 \(y = \frac{m-2}{x}\) 的图像在第一、三象限，求 \(m\) 的取值范围，并判断当 \(x > 0\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的变化情况。
解析：① 由象限知 \(m-2 > 0→m > 2\)；② 当 \(x > 0\) 时，在第一象限，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小。
二、中档提升题（\(k\) 的几何意义与综合）
题目 1：如图，点 \(A\) 在反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k < 0\)）的图像上，过 \(A\) 作 \(AB \perp y\) 轴于 \(B\)，若 \(S_{\triangle AOB} = 3\)，求 \(k\) 的值。
解析：由 \(k\) 的几何意义，\(S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}|k| = 3→|k| = 6\)，又 \(k < 0\)，故 \(k = -6\)。
题目 2：已知反比例函数 \(y = \frac{6}{x}\) 与一次函数 \(y = -x + 7\) 交于 \(A\)、\(B\) 两点，求：① 交点坐标；② 当 \(x\) 为何值时，反比例函数值大于一次函数值？
解析：① 联立得 \(\frac{6}{x} = -x + 7→x - 7x + 6 = 0→x = 1\) 或 \(x = 6\)，故 \(A(1, 6)\)、\(B(6, 1)\)；② 结合图像，当 \(0 < x < 1\) 或 \(x > 6\) 时，反比例函数值大于一次函数值。
三、压轴应用题（实际场景与建模）
题目：某运输公司运输一批货物，运输速度 \(v\)（km/h）与运输时间 \(t\)（h）成反比例，若运输速度为 40 km/h，需 10 小时到达目的地，求：① 运输时间 \(t\) 与速度 \(v\) 的函数解析式；② 若要在 8 小时内到达，运输速度至少为多少？
解析：① 设 \(t = \frac{k}{v}\)，代入 \(10 = \frac{k}{40}→k = 400\)，解析式 $t =
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第二十七章 相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
(1) 形状相同的图形
(2) 相似多边形
(3) 相似比：相似多边形对应边的比
1. 图形的相似
形状相同，大小不计
各对应角相等、各对应边成比例.
通过定义
平行于三角形一边的直线截三角形
三边成比例
两边成比例且夹角相等
两角分别相等
两直角三角形的斜边和一条直角边成比例
(三个角分别相等，三条边成比例)
2. 相似三角形的判定
对应角相等、对应边成比例
对应高、中线、角平分线的比等于相似比
周长比等于相似比
面积比等于相似比的平方
3. 相似三角形的性质
(1) 测高
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
(不能直接测量的两点间的距离)
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距
4. 相似三角形的应用
(1) 如果两个图形不仅相似，而且所有对应点的
连线都相交于同一点，那么这样的两个图形
叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时
的相似比也称为位似比)
5. 位似
(2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心
的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在
一条直线上.
(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
A
B
G
C
E
D
F
●P
B′
A′
C′
D′
E′
F′
G′
A
B
C
D
E
F
G
A′
B′
G′
E′
D′
F′
●P
C′
位似中的相似比，一般指新图形与原图形的比
(4) 平面直角坐标系中的位似
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比等于相似比 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比等于相似比的相反数－k.
考点一 相似三角形的判定和性质
例 1 如图，当满足下列条件之一时，都可判定
△ADC∽△ACB：
(1) ；
(2) ；
(3) .
∠ACD =∠B
∠ADC =∠ACB
B
C
A
D
或 AC2 = AD · AB
例 2 如图，△ABC 中，AB = 9，AC = 6，点 E 在 AB 上且 AE = 3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与 △ABC 相似，则 AF = .
B
C
A
E
【分析】从题干分析△AEF 与△ABC 相似，此时对应关系不明确，需分类讨论．
2 或 4.5
解析：当△AEF∽△ABC 时，AE∶AB = AF∶AC，即 3∶9 = AF∶6，
解得 AF = 2；
当△AFE∽△ABC时，AF∶AB = AE∶AC，即 AF∶9 = 3∶6，
解得 AF = 4.5．
综上所述，AF = 2 或 4.5.
例 3 如图，在 □ ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE∶EC = 1∶2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积与 △DFA 的面积之比为 .
1∶9
A
B
C
D
E
F
【变式题】如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，EF : AF =1 : 3，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △EFB的面积与 △ABD 的面积之比为 .
1∶12
A
B
C
D
E
F
【注意】求面积比时，要注意相似三角形、等高三角形的区别．
解析：∵AD∥BC，∴△EFB∽△AFD，相似比为1∶3.
∴ S△EFB∶S△AFD = 1∶9．
∵ △EFB 与△ABF 同高，
∴ S△EFB∶S△ABF = 1:3．
∴ S△EFB∶S△ABD = 1:12.
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．
∵CE 是外角平分线，
∴∠ACE＝60°．∴∠BAC＝∠ACE．
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△CED．
例 4 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E.
(1) 求证：△ABD ∽△CED；
A
B
C
D
F
E
(2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长.
解：作 BM⊥AC 于点 M.
∵ AC＝AB＝6，
∴ AM＝CM＝3.
∵ AD＝2CD，
∴CD＝2，AD＝4，MD＝1.
M
A
B
C
D
F
E
在 Rt△ABM 和 Rt△BDM 中，
，
，即 ，
∴ ，
由(1) △ABD ∽△CED，得
M
A
B
C
D
F
E
例 5 如图，CD 是 ⊙O 的弦，AB 是直径，CD⊥AB，垂足为 P，求证：PC2 ＝ PA · PB.
B
·
A
C
D
O
P
证明：连接 AC，BC．
∵ AB 是直径，∴∠ACB = 90°．
∴ ∠A +∠B = 90°．
∵ CD⊥AB，∴∠APC =∠CPB = 90°．
∴∠PCB +∠B = 90°．
∴∠A =∠PCB．
∴
∴△APC∽△CPB．
∴ PC2 = AP · PB．
考点二 位似的性质及应用
例 6 下列四组图形中，位似图形有 ( )
A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组
C
已知△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC 和△A′B′C′ 不存在位似关系的是 ( )
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A
C'
B
C
A'
A.
B.
C.
D.
B
针对训练
例7 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点．
A
B
C
(1) 在图中△ABC 内部作
△A′B′C′，使△A′B′C′
和△ABC 位似，且位
似中心为点 O，位似
比为 2 : 3.
O
A′
B′
C′
解：如图所示.
(2) 线段 AA′ 的长度是 .
如图，△ABC 在边长为 1 的小正方形组成的方格纸中.
(1) 请在方格纸上建
立平面直角坐标
系，使 A (2，3)，
C (6，2)，并求
出 B 点坐标；
解：如图所示，
B (2，1).
x
y
O
针对训练
x
y
O
(2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内
将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′；
A′
B′
C′
解：如图所示.
(3) 计算△A′B′C′ 的
面积 S.
解：
考点三 相似的应用
例 8 如图，某一时刻小树 AB 的影子顶端与大树 CD 的刚好重合．已知小树 AB 高 2.4 米，大树 CD 高 5 米，而大树的影长为 2.5 米，求小树与大树之间的距离 BD.
解：由题知 △ABE∽△CDE，
∴ AB∶CD = BE∶DE，
即 2.4∶5 = BE∶2.5，
解得 BE = 1.2．
∴ BD = 2.5 - 1.2 = 1.3（米）.
2 m
1.2 m
3.6 m
如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30° 角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长．
【注意】太阳光线是平行的．
针对训练
解：如图，由题意知 CD = 3.6 m，∠C =∠E = 90°，BD∥FG．
∴∠BDC =∠FGE．
∴△BDC∽△FGE．
解得 BC = 6 m.
2 m
1.2 m
3.6 m
即 ，
∴ ，
在 Rt△ABC 中，
∵∠A = 30°，
∴ AB = 2BC = 12 m，
即树长 AB 是 12 m.
例 9 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个
纪念碑有多高呢？”请你利用初
中数学知识，结合光的反射原理，
设计一种方案测量纪念碑的高度
(画出示意图)，并说明理由．
解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜子
E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑
顶端 A. 若人眼到地面的距离为 CD，测量出 CD、
DE、BE 的长，就可算出纪念碑 AB 的高．
根据 ，
即可算出 AB 的高．
你还有其他方法吗？
理由：测量出 CD、DE、BE 的长，因为∠CED = ∠AEB，∠D =∠B = 90°，易得△ABE∽△CDE.
如图，小明同学跳起来把一个排球打在离起跳点 2 m 远的地上，然后反弹撞到墙上．如果他跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙 6 m，
假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面
离地多高的地方？
A
B
O
C
D
2 m
6 m
1.8 m
针对训练
解：∵∠ABO =∠CDO = 90°，∠AOB =∠COD，
∴△AOB∽△COD.
∴ ，
即 ，
解得 CD = 5.4.
故球能碰到墙面离地 5.4 m 高的地方．
A
B
O
C
D
2 m
6 m
1.8 m
例 10 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC = 120 mm，高 AD = 80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
A
B
C
D
E
F
G
H
解：如图，设正方形 EFHG 为加工成
的正方形零件，边 GH 在 BC 上，
顶点 E、F 分别在AB、AC上，
△ABC 的高 AD 与边EF 相交于
点 M，设正方形的边长为 x mm.
M
∵ EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
又∵ AM = AD－MD = 80－x，
解得 x = 48．
即这个正方形零件的边长是 48 mm．
∴ ，
∴
A
B
C
D
E
F
G
H
M
D
返回
1．
下列命题错误的是( )
A．两个全等的三角形一定相似
B．相似的两个三角形不一定全等
C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D．已知△ABC∽△DEF，DE＝4，AB＝9，则△ABC与△DEF的相似比是4:9
返回
B
2．
[2024焦作期末]下列结论不正确的是( )
A．所有的正方形都相似
B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似
D．所有的正五边形都相似
B
返回
3．
已知线段a，b，c，作线段x，使a：b＝c：x，则正确的作法是( )
4．
返回
6
5．
返回
C
如图，若AB∥CD∥EF，AC与BD交于点O，则图中相似三角形有( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
6．
返回
A
[2024安徽]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上的高．点E，F分别在边AB，BC上(不与端点重合)，且DE⊥DF.设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为( )
7．
返回
8．
(2)△AEF∽△ACD．
返回
9．
[2024盐城]如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
【证明】连接OC.∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l.
又∵AD⊥l，∴OC∥AD.
∴∠CAD＝∠ACO.
∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO.
∴∠CAD＝∠CAB.
∵AD⊥l，AB为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.
∴△ABC∽△ACD.
(2)若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径．
返回
10．
如图①，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文学和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．
如图②，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得BD＝8 m，AB＝1.6 m．
若“矩”的边EF＝a＝30 cm，边AF＝b＝60 cm，求树高CD．
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11．
返回
12．
如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，点B的坐标为(－1，－1)．
(1)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并求出△ABC在旋转过程中扫过的面积；
(2)以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
【解】如图所示，△A2B2C2即为所求．
由图可知，点B2的坐标为(－5，－4)．
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相似
相似图形
位似
相似多边形
相似三角形
性质
平面直角坐标系中的位似
应用
性质
判定
平行线分线段成比例
定义
定义、判定、性质
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：复习导航 —— 目标与框架
一、复习核心目标
知识层面：精准掌握反比例函数的定义、表达式及图像特征，熟练运用反比例函数的性质解决问题。
能力层面：能根据已知条件确定反比例函数解析式，结合图像分析函数的增减性、对称性，解决与反比例函数相关的几何综合题和实际应用题。
素养层面：体会 “数形结合”“分类讨论” 等数学思想，理解反比例函数在实际生活中的应用价值，提升分析问题与建模能力。
二、知识框架总览
第 2 页：核心知识梳理 —— 反比例函数的概念
一、反比例函数的定义与表达式
定义：一般地，形如 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k\) 为常数，\(k \neq 0\)） 的函数，叫做反比例函数。
本质特征：两个变量 \(x\)、\(y\) 的乘积为定值（\(xy = k\)），且 \(x\) 不能为 0，\(y\) 也不能为 0。
三种等价表达式：
标准式：\(y = \frac{k}{x}\)（最常用，直观体现 “反比例” 关系）；
乘积式：\(xy = k\)（用于计算 \(k\) 值或判断是否为反比例函数）；
负指数式：\(y = kx^{-1}\)（体现与正比例函数 \(y = kx\) 的形式差异，\(x^{-1} = \frac{1}{x}\)）。
自变量与函数值的取值范围：
自变量 \(x\)：\(x \neq 0\)（分母不能为 0）；
函数值 \(y\)：\(y \neq 0\)（由 \(xy = k \neq 0\) 推导）。
二、概念辨析与易错点
判断是否为反比例函数：需满足 “变量乘积为定值且不含其他项”，如 \(y = \frac{2}{x+1}\) 不是反比例函数（分母是 \(x+1\)，非单独 \(x\)），\(y = \frac{3}{x} + 2\) 也不是（含常数项 2）。
\(k\) 的取值意义：\(k\) 是反比例函数的 “核心参数”，\(k \neq 0\) 是前提，\(k\) 的符号决定图像位置，\(k\) 的绝对值决定图像 “偏离原点的程度”（\(|k|\) 越大，双曲线离原点越远）。
第 3 页：核心知识梳理 —— 图像与性质
一、反比例函数的图像特征
图像形状：双曲线，由两支分别位于两个象限的曲线组成，且永不与坐标轴相交（因 \(x \neq 0\)、\(y \neq 0\)）。
图像位置与 \(k\) 的关系：
\(k\) 的符号
图像所在象限
示例（\(k=2\) 与 \(k=-2\)）
\(k > 0\)
第一、三象限
\(y = \frac{2}{x}\)：第一象限分支从左上到右下，第三象限分支从左下到右上
\(k < 0\)
第二、四象限
\(y = \frac{-2}{x}\)：第二象限分支从右上到左下，第四象限分支从右下到左上
二、反比例函数的核心性质
增减性（重点）：
当 \(k > 0\) 时：在每个象限内，\(y\) 随 \(x\) 的增大而 减小（注意：“每个象限内” 是前提，不能说 “\(y\) 随 \(x\) 整体减小”，因跨象限无增减性）；
当 \(k < 0\) 时：在每个象限内，\(y\) 随 \(x\) 的增大而 增大。
示例：对于 \(y = \frac{3}{x}\)，若 \(x_1 = -2\)、\(x_2 = 1\)，虽 \(x_1 < x_2\)，但 \(y_1 = -1.5\)、\(y_2 = 3\)，\(y_1 < y_2\)，因两点在不同象限，不适用 “\(y\) 随 \(x\) 增大而减小”。
对称性：
关于 原点中心对称：若 \((a, b)\) 在双曲线上，则 \((-a, -b)\) 也在双曲线上；
关于 直线 \(y = x\) 和 \(y = -x\) 轴对称：若 \((a, b)\) 在双曲线上，则 \((b, a)\)、\((-b, -a)\) 也在双曲线上。
三、\(k\) 的几何意义（高频考点）
基本结论：过反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 图像上任意一点 \(P(x, y)\)，作 \(PA \perp x\) 轴于 \(A\)，\(PB \perp y\) 轴于 \(B\)，则矩形 \(OAPB\) 的面积 \(S = |x| \cdot |y| = |xy| = |k|\)，三角形 \(OAP\) 或 \(OBP\) 的面积 \(S = \frac{1}{2}|k|\)。
拓展结论：过双曲线上两点作坐标轴的垂线，形成的梯形或三角形面积，可通过 “面积和差” 结合 \(|k|\) 计算。
第 4 页：核心工具 —— 反比例函数解析式的确定
一、待定系数法（核心方法）
适用场景：已知双曲线上一个点的坐标，求解析式。
步骤：
设：设反比例函数解析式为 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k \neq 0\)）；
代：将已知点 \((x_0, y_0)\) 代入解析式，得 \(y_0 = \frac{k}{x_0}\)；
求：解得 \(k = x_0 y_0\)；
写：将 \(k\) 值代入，写出最终解析式。
示例：已知反比例函数图像过点 \((2, 3)\)，求解析式 —— 代入得 \(3 = \frac{k}{2}→k = 6\)，故解析式为 \(y = \frac{6}{x}\)。
二、多条件确定解析式
场景 1：已知图像所在象限与一个条件
示例：反比例函数 \(y = \frac{k-1}{x}\) 的图像在第二、四象限，且过点 \((m, 2)\)，求 \(k\) 的取值范围与解析式（部分）—— 由象限知 \(k-1 < 0→k < 1\)，若补充 \(m = -1\)，则 \(2 = \frac{k-1}{-1}→k = -1\)，解析式为 \(y = \frac{-2}{x}\)。
场景 2：与一次函数交点求 \(k\)
示例：已知反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 与一次函数 \(y = x + 1\) 交于点 \((1, n)\)，求 \(k\)—— 先求 \(n = 1 + 1 = 2\)，再代入反比例函数得 \(2 = \frac{k}{1}→k = 2\)。
第 5 页：综合应用 —— 三大高频题型
一、与一次函数的综合题
常见考法：求交点坐标、判断函数值大小关系、计算围成图形的面积。
解题步骤：
联立解析式：将 \(y = \frac{k}{x}\) 与一次函数 \(y = ax + b\) 联立，消去 \(y\) 得方程 \(ax + b = \frac{k}{x}\)，整理为一元二次方程求解交点横坐标；
分析函数值：根据图像，在不同区间内比较两个函数的函数值大小（“上大下小”）；
计算面积：利用交点坐标与坐标轴垂线，结合三角形或梯形面积公式计算。
示例：已知反比例函数 \(y = \frac{4}{x}\) 与一次函数 \(y = x + 3\) 交于 \(A(x_1, y_1)\)、\(B(x_2, y_2)\)，求 \(AB\) 两点坐标及 \(\triangle AOB\) 的面积 —— 联立得 \(x + 3 = \frac{4}{x}→x + 3x - 4 = 0→x = 1\) 或 \(x = -4\)，故 \(A(1, 4)\)、\(B(-4, -1)\)；面积可通过 “一次函数与坐标轴交点” 计算，一次函数交 \(x\) 轴于 \((-3, 0)\)，则 \(S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2}×3×4 + \frac{1}{2}×3×1 = 7.5\)。
二、几何图形面积问题（\(k\) 的几何意义应用）
基本模型：利用 “双曲线上点到坐标轴的垂线形成的矩形 / 三角形面积为 \(|k|\) 或 \(\frac{1}{2}|k|\)” 求解。
示例：如图，反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\) 图像上一点 \(P\) 作 \(PE \perp x\) 轴于 \(E\)，若 \(S_{\triangle POE} = 2\)，求 \(k\) 的值 —— 由面积公式得 \(\frac{1}{2}|k| = 2→|k| = 4\)，若图像在第一象限，则 \(k = 4\)；若在第二象限，则 \(k = -4\)。
三、实际应用题
常见场景：工程问题（工作总量固定，效率与时间成反比）、行程问题（路程固定，速度与时间成反比）、压强问题（压力固定，压强与受力面积成反比）。
解题步骤：
建模：确定两个反比例关系的变量，设解析式 \(y = \frac{k}{x}\)；
求 \(k\)：根据题干中的一组对应值求 \(k\)；
应用：代入已知变量值，求另一个变量；或根据变量范围，求函数值范围。
示例：某工厂加工一批零件，工作效率 \(v\)（个 / 天）与工作时间 \(t\)（天）成反比例，若效率为 50 个 / 天，需 20 天完成，求：① 解析式；② 若效率提高到 100 个 / 天，需多少天？——① 设 \(v = \frac{k}{t}\)，代入 \(50 = \frac{k}{20}→k = 1000\)，解析式 \(v = \frac{1000}{t}\)；② 当 \(v = 100\) 时，\(100 = \frac{1000}{t}→t = 10\) 天。
第 6 页：题型突破 —— 易错点与解题技巧
一、高频易错点剖析
增减性忽略 “象限限制”：误说 “\(k > 0\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小”，忽略 “在每个象限内”；
避错：分析增减性时，先明确点所在象限，跨象限不适用增减性。
\(k\) 的几何意义漏绝对值：计算面积时直接用 \(k\) 代替 \(|k|\)，忽略 \(k\) 为负的情况；
避错：牢记面积是正数，无论 \(k\) 正负，面积均为 \(|k|\) 或 \(\frac{1}{2}|k|\)。
解析式确定漏检验：已知点坐标求 \(k\) 时，代入后未验证是否符合函数定义（如 \(k = 0\)）；
避错：求得 \(k\) 后，务必确认 \(k \neq 0\)，且点坐标满足 \(xy = k\)。
实际应用忽略变量范围：如时间、速度等变量不能为负数，求解后未舍去不合理的解；
避错：结合实际场景，对解进行取舍，确保变量符合实际意义。
二、解题技巧总结
图像分析法：遇到函数值比较、交点问题时，优先画出函数图像，利用 “数形结合” 直观判断；
特殊点法：求 \(k\) 值或解析式时，优先选择坐标轴上的点、对称点等特殊点，简化计算；
方程思想：与一次函数综合时，通过联立方程求交点，将函数问题转化为方程问题；
分类讨论法：当 \(k\) 的符号不确定（如仅知面积求 \(k\)）时，需分 \(k > 0\) 和 \(k < 0\) 两种情况讨论。
第 7 页：实战演练 —— 分层例题与解析
一、基础巩固题（概念与性质）
题目 1：下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A. \(y = 3x\) B. \(y = \frac{3}{x+2}\) C. \(y = \frac{3}{x}\) D. \(y = 3x \)
解析：根据反比例函数定义，只有 \(y = \frac{3}{x}\) 符合 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k=3≠0\)），选 C。
题目 2：已知反比例函数 \(y = \frac{m-2}{x}\) 的图像在第一、三象限，求 \(m\) 的取值范围，并判断当 \(x > 0\) 时，\(y\) 随 \(x\) 的变化情况。
解析：① 由象限知 \(m-2 > 0→m > 2\)；② 当 \(x > 0\) 时，在第一象限，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小。
二、中档提升题（\(k\) 的几何意义与综合）
题目 1：如图，点 \(A\) 在反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\)（\(k < 0\)）的图像上，过 \(A\) 作 \(AB \perp y\) 轴于 \(B\)，若 \(S_{\triangle AOB} = 3\)，求 \(k\) 的值。
解析：由 \(k\) 的几何意义，\(S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}|k| = 3→|k| = 6\)，又 \(k < 0\)，故 \(k = -6\)。
题目 2：已知反比例函数 \(y = \frac{6}{x}\) 与一次函数 \(y = -x + 7\) 交于 \(A\)、\(B\) 两点，求：① 交点坐标；② 当 \(x\) 为何值时，反比例函数值大于一次函数值？
解析：① 联立得 \(\frac{6}{x} = -x + 7→x - 7x + 6 = 0→x = 1\) 或 \(x = 6\)，故 \(A(1, 6)\)、\(B(6, 1)\)；② 结合图像，当 \(0 < x < 1\) 或 \(x > 6\) 时，反比例函数值大于一次函数值。
三、压轴应用题（实际场景与建模）
题目：某运输公司运输一批货物，运输速度 \(v\)（km/h）与运输时间 \(t\)（h）成反比例，若运输速度为 40 km/h，需 10 小时到达目的地，求：① 运输时间 \(t\) 与速度 \(v\) 的函数解析式；② 若要在 8 小时内到达，运输速度至少为多少？
解析：① 设 \(t = \frac{k}{v}\)，代入 \(10 = \frac{k}{40}→k = 400\)，解析式 $t =
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第二十七章 相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
(1) 形状相同的图形
(2) 相似多边形
(3) 相似比：相似多边形对应边的比
1. 图形的相似
形状相同，大小不计
各对应角相等、各对应边成比例.
通过定义
平行于三角形一边的直线截三角形
三边成比例
两边成比例且夹角相等
两角分别相等
两直角三角形的斜边和一条直角边成比例
(三个角分别相等，三条边成比例)
2. 相似三角形的判定
对应角相等、对应边成比例
对应高、中线、角平分线的比等于相似比
周长比等于相似比
面积比等于相似比的平方
3. 相似三角形的性质
(1) 测高
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
(不能直接测量的两点间的距离)
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距
4. 相似三角形的应用
(1) 如果两个图形不仅相似，而且所有对应点的
连线都相交于同一点，那么这样的两个图形
叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时
的相似比也称为位似比)
5. 位似
(2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心
的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在
一条直线上.
(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
A
B
G
C
E
D
F
●P
B′
A′
C′
D′
E′
F′
G′
A
B
C
D
E
F
G
A′
B′
G′
E′
D′
F′
●P
C′
位似中的相似比，一般指新图形与原图形的比
(4) 平面直角坐标系中的位似
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比等于相似比 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比等于相似比的相反数－k.
考点一 相似三角形的判定和性质
例 1 如图，当满足下列条件之一时，都可判定
△ADC∽△ACB：
(1) ；
(2) ；
(3) .
∠ACD =∠B
∠ADC =∠ACB
B
C
A
D
或 AC2 = AD · AB
例 2 如图，△ABC 中，AB = 9，AC = 6，点 E 在 AB 上且 AE = 3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与 △ABC 相似，则 AF = .
B
C
A
E
【分析】从题干分析△AEF 与△ABC 相似，此时对应关系不明确，需分类讨论．
2 或 4.5
解析：当△AEF∽△ABC 时，AE∶AB = AF∶AC，即 3∶9 = AF∶6，
解得 AF = 2；
当△AFE∽△ABC时，AF∶AB = AE∶AC，即 AF∶9 = 3∶6，
解得 AF = 4.5．
综上所述，AF = 2 或 4.5.
例 3 如图，在 □ ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE∶EC = 1∶2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积与 △DFA 的面积之比为 .
1∶9
A
B
C
D
E
F
【变式题】如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，EF : AF =1 : 3，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △EFB的面积与 △ABD 的面积之比为 .
1∶12
A
B
C
D
E
F
【注意】求面积比时，要注意相似三角形、等高三角形的区别．
解析：∵AD∥BC，∴△EFB∽△AFD，相似比为1∶3.
∴ S△EFB∶S△AFD = 1∶9．
∵ △EFB 与△ABF 同高，
∴ S△EFB∶S△ABF = 1:3．
∴ S△EFB∶S△ABD = 1:12.
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．
∵CE 是外角平分线，
∴∠ACE＝60°．∴∠BAC＝∠ACE．
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△CED．
例 4 如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E.
(1) 求证：△ABD ∽△CED；
A
B
C
D
F
E
(2) 若 AB = 6，AD = 2CD，求 BE 的长.
解：作 BM⊥AC 于点 M.
∵ AC＝AB＝6，
∴ AM＝CM＝3.
∵ AD＝2CD，
∴CD＝2，AD＝4，MD＝1.
M
A
B
C
D
F
E
在 Rt△ABM 和 Rt△BDM 中，
，
，即 ，
∴ ，
由(1) △ABD ∽△CED，得
M
A
B
C
D
F
E
例 5 如图，CD 是 ⊙O 的弦，AB 是直径，CD⊥AB，垂足为 P，求证：PC2 ＝ PA · PB.
B
·
A
C
D
O
P
证明：连接 AC，BC．
∵ AB 是直径，∴∠ACB = 90°．
∴ ∠A +∠B = 90°．
∵ CD⊥AB，∴∠APC =∠CPB = 90°．
∴∠PCB +∠B = 90°．
∴∠A =∠PCB．
∴
∴△APC∽△CPB．
∴ PC2 = AP · PB．
考点二 位似的性质及应用
例 6 下列四组图形中，位似图形有 ( )
A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组
C
已知△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC 和△A′B′C′ 不存在位似关系的是 ( )
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A(A')
C'
B
C
B'
A
C'
B
C
A'
A.
B.
C.
D.
B
针对训练
例7 如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点．
A
B
C
(1) 在图中△ABC 内部作
△A′B′C′，使△A′B′C′
和△ABC 位似，且位
似中心为点 O，位似
比为 2 : 3.
O
A′
B′
C′
解：如图所示.
(2) 线段 AA′ 的长度是 .
如图，△ABC 在边长为 1 的小正方形组成的方格纸中.
(1) 请在方格纸上建
立平面直角坐标
系，使 A (2，3)，
C (6，2)，并求
出 B 点坐标；
解：如图所示，
B (2，1).
x
y
O
针对训练
x
y
O
(2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内
将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′；
A′
B′
C′
解：如图所示.
(3) 计算△A′B′C′ 的
面积 S.
解：
考点三 相似的应用
例 8 如图，某一时刻小树 AB 的影子顶端与大树 CD 的刚好重合．已知小树 AB 高 2.4 米，大树 CD 高 5 米，而大树的影长为 2.5 米，求小树与大树之间的距离 BD.
解：由题知 △ABE∽△CDE，
∴ AB∶CD = BE∶DE，
即 2.4∶5 = BE∶2.5，
解得 BE = 1.2．
∴ BD = 2.5 - 1.2 = 1.3（米）.
2 m
1.2 m
3.6 m
如图，某一时刻一根 2 m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2 m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成 30° 角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的距离是 3.6 m，求树 AB 的长．
【注意】太阳光线是平行的．
针对训练
解：如图，由题意知 CD = 3.6 m，∠C =∠E = 90°，BD∥FG．
∴∠BDC =∠FGE．
∴△BDC∽△FGE．
解得 BC = 6 m.
2 m
1.2 m
3.6 m
即 ，
∴ ，
在 Rt△ABC 中，
∵∠A = 30°，
∴ AB = 2BC = 12 m，
即树长 AB 是 12 m.
例 9 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个
纪念碑有多高呢？”请你利用初
中数学知识，结合光的反射原理，
设计一种方案测量纪念碑的高度
(画出示意图)，并说明理由．
解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜子
E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑
顶端 A. 若人眼到地面的距离为 CD，测量出 CD、
DE、BE 的长，就可算出纪念碑 AB 的高．
根据 ，
即可算出 AB 的高．
你还有其他方法吗？
理由：测量出 CD、DE、BE 的长，因为∠CED = ∠AEB，∠D =∠B = 90°，易得△ABE∽△CDE.
如图，小明同学跳起来把一个排球打在离起跳点 2 m 远的地上，然后反弹撞到墙上．如果他跳起击球时的高度是 1.8 m，排球落地点离墙 6 m，
假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面
离地多高的地方？
A
B
O
C
D
2 m
6 m
1.8 m
针对训练
解：∵∠ABO =∠CDO = 90°，∠AOB =∠COD，
∴△AOB∽△COD.
∴ ，
即 ，
解得 CD = 5.4.
故球能碰到墙面离地 5.4 m 高的地方．
A
B
O
C
D
2 m
6 m
1.8 m
例 10 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC = 120 mm，高 AD = 80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
A
B
C
D
E
F
G
H
解：如图，设正方形 EFHG 为加工成
的正方形零件，边 GH 在 BC 上，
顶点 E、F 分别在AB、AC上，
△ABC 的高 AD 与边EF 相交于
点 M，设正方形的边长为 x mm.
M
∵ EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
又∵ AM = AD－MD = 80－x，
解得 x = 48．
即这个正方形零件的边长是 48 mm．
∴ ，
∴
A
B
C
D
E
F
G
H
M
D
返回
1．
下列命题错误的是( )
A．两个全等的三角形一定相似
B．相似的两个三角形不一定全等
C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D．已知△ABC∽△DEF，DE＝4，AB＝9，则△ABC与△DEF的相似比是4:9
返回
B
2．
[2024焦作期末]下列结论不正确的是( )
A．所有的正方形都相似
B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似
D．所有的正五边形都相似
B
返回
3．
已知线段a，b，c，作线段x，使a：b＝c：x，则正确的作法是( )
4．
返回
6
5．
返回
C
如图，若AB∥CD∥EF，AC与BD交于点O，则图中相似三角形有( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
6．
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A
[2024安徽]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上的高．点E，F分别在边AB，BC上(不与端点重合)，且DE⊥DF.设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为( )
7．
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8．
(2)△AEF∽△ACD．
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9．
[2024盐城]如图，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC，BC．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
【证明】连接OC.∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l.
又∵AD⊥l，∴OC∥AD.
∴∠CAD＝∠ACO.
∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO.
∴∠CAD＝∠CAB.
∵AD⊥l，AB为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.
∴△ABC∽△ACD.
(2)若AC＝5，CD＝4，求⊙O的半径．
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10．
如图①，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b．中国古老的天文学和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．
如图②，从“矩”AFE的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得BD＝8 m，AB＝1.6 m．
若“矩”的边EF＝a＝30 cm，边AF＝b＝60 cm，求树高CD．
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11．
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12．
如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，点B的坐标为(－1，－1)．
(1)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并求出△ABC在旋转过程中扫过的面积；
(2)以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
【解】如图所示，△A2B2C2即为所求．
由图可知，点B2的坐标为(－5，－4)．
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相似
相似图形
位似
相似多边形
相似三角形
性质
平面直角坐标系中的位似
应用
性质
判定
平行线分线段成比例
定义
定义、判定、性质
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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