5.2.1 二次函数y=ax^2(a≠0)的图像和性质 课件(共23张PPT)2024—2025学年苏科版数学九年级下册

(共23张PPT)
5.2.1 二次函数y=ax2(a≠0)
的图像和性质
第5章　二次函数
苏科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
1. 情境导入（5 分钟）
问题 1：投篮时篮球的运动轨迹是什么形状？
问题 2：桥梁的抛物线形拱桥如何用数学表达式描述？
引出课题：二次函数（板书）。
2. 探究新知（20 分钟）
活动 1：分析实际问题
例 1：矩形场地的长为 10 米，宽为 x 米，面积 y 与 x 的关系为
y=10x x
2
。
例 2：圆的面积
S=πr
2
，其中 r 为半径。
引导学生观察：两个函数的共同特征（最高次数为 2）。
活动 2：定义二次函数
归纳定义：形如
y=ax
2
+bx+c
（
a
?
=0
）的函数称为二次函数。
强调关键点：
a
?
=0
，二次项系数不为零。
活动 3：图像绘制与性质探究
示范：用描点法画出
y=x
2
的图像，分析开口方向、顶点、对称轴。
学生动手：分组绘制
y= x
2
、
y=2x
2
的图像，对比参数变化对图像的影响。
3. 例题讲解（10 分钟）
例 3：已知二次函数
y=x
2
2x+3
，求其开口方向、顶点坐标和对称轴。
步骤：
配方化为顶点式
y=(x 1)
2
+2
。
分析开口方向（向上）、顶点（1,2）、对称轴（x=1）。
4. 课堂练习（10 分钟）
基础题：判断下列函数是否为二次函数：\
y=3x
2
，
y=x
3
+2x
，
y=2x+1
。
提高题：根据实际问题列二次函数关系式（如利润问题、面积问题）。
5. 课堂小结（5 分钟）
学生总结：二次函数的定义、图像性质及应用。
教师补充：强调二次函数在实际生活中的广泛应用。
五、课后作业
必做题：
教材习题 21.1 第 1、3、5 题。
画出函数
y= 2x
2
+4x
的图像，并分析其性质。
选做题：
探究二次函数
y=ax
2
+bx+c
中参数 a、b、c 对图像的影响。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
考试考法
8
小结梳理
9
布置作业
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
知识点
二次函数y＝ax2的图像的画法
知1－讲
1
1. 用描点法画函数y＝ax2(a ≠ 0)的图像的一般步骤
(1)列表：列表时，自变量x的取值应有一定的代表性，并且所对应的函数值不能太大也不能太小，以便于描点和全面反映图像情况. 作图选点时，一般应先找出对称轴，然后在对称轴的两侧对称选取，应以计算简单、描点方便为原则.
知1－讲
(2)描点：一般来说，点取得越多、越密集，画出的图像就越准确. 实际画图时，一般取顶点及对称轴两侧对称的两对点，共5 个点，用“五点法”快速准确地作出函数图像，有时也会在对称轴的两侧各取3 个点画图.
(3)连线：按自变量由小到大(或由大到小)的顺序，依次用平滑的曲线连接各点.
知1－讲
2. 抛物线 二次函数y＝ax2的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点、对称轴是y轴.
当a>0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；
当a<0 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
知1－练
例 1
在同一平面直角坐标系中作出y＝x2，y＝－x2和y＝ x2的图像.
解题秘方：用描点法，按列表→描点→连线的顺序作图.
知1－练
解：列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y＝x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
y＝－x2 … －8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 …
y＝ x2 … 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4 …
知1－练
描点、连线 ，即得三个函数的图像，如图5.2-1.
知1－练
注意
1. 由表格可知，在画y＝x2的图像时，我们可以先描出(0，0)及y轴一侧的点，然后根据对称性描出y轴另一侧的点，然后连线即可.
2. 由图像可知，二次函数y＝－x2的图像可以由y＝x2的图像沿x轴翻折，或绕其顶点旋转180°得到.
知2－讲
知识点
二次函数y＝ax2的图像和性质
2
二次函数y＝ax2(a ≠ 0)的图像和性质
y＝ax2 a＞0 a＜0
图像
开口方向 开口向上 开口向下
顶点坐标 (0，0)
知2－讲
y＝ax2 a＞0 a＜0
对称轴 y轴(或直线x＝0) 增减性 在对称轴的左侧， 即x＜0 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即x＞0 时，y随x的增大而增大 在对称轴的左侧，即x＜0时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即x＞0 时，y随x的增大而减小
最值 当x＝0 时，y最小值＝0 当x＝0 时，y最大值＝0
续表
知2－讲
要点解读
1. 判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看，“上坡路”就是y随x的增大而增大，“下坡路”就是y随x的增大而减小.
2. 在二次函数y＝ax2(a ≠ 0) 中，|a|决定开口的大小．
知2－练
在同一坐标系中，抛物线y＝3x2，y＝x2，y＝－x2
的共同特点是( )
A. 关于y轴对称，开口向上
B. 关于y轴对称，y随x的增大而增大
C. 关于y轴对称，y随x的增大而减小
D. 关于y轴对称，顶点是原点
例2
知2－练
解法提醒
在分析二次函数的增减性时，都是以对称轴为分界线讨论的：
开口向下的抛物线，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；
开口向上的抛物线，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大.
若二次函数y＝ax2的图像经过点P(－3，4)，则该图像必经过点(　　)
A．(3，4)
B．(－3，－4)
C．(－4，3)
D．(4，－3)
返回
A
1.
B
返回
关于二次函数y＝2x2和y＝－2x2的图像，以下说法正确的有(　　)
①两图像都关于x轴对称；②两图像都关于y轴对称；
③两图像的顶点相同；④两图像的开口方向不同；
⑤点(－1，1)在抛物线y＝2x2上，也在抛物线y＝－2x2上．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.
③
返回
把右图中图像的序号，填在相应的横线上：
3.
①
④
②
－9＜y≤0
返回
二次函数y＝－x2的图像如图，回答下列问题：
4.
－2＜x＜－1或1＜x＜2
在如图所示的方格中建立平面直角坐标系，并画出下列函数的图像：
5.
解：(1)(2)(3)列表如下：
描点、连线可得图像如图．
返回
二次函数y=ax2(a≠0)
的图像和性质
y=ax2
性质
最小值为0
图像
x＞0时，y随x的增大而增大
x＜0时，y随x的增大而减小
最大值为0
x＞0时，y随x的增大而减小
x＜0时，y随x的增大而增大
有最低点
开口向上
开口向下
有最高点
a＞0
a＜0
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