九年级期中复习卷二
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c
C．s＝2t2﹣2t+1 D．
【解答】解：y＝3x﹣1是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意；
在y＝ax2+bx+c中，当a＝0时，是一次函数不是二次函数，故B选项不符合题意；
对于s＝2t2﹣2t+1满足二次函数的一般形式，是二次函数，故C选项符合题意；
，分母中含有自变量，不是二次函数，故D选项不符合题意．
故选：C．
2.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴b＝3a，
∴．
故选：A．
3.如图，已知△ABC∽△AED且．若S△ADE＝1，则S△ABC值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由相似三角形的性质可知：，
∴，
∴S△ABC＝4，
故选：D．
4.函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象如图所示，结合图象判断，下面结论错误的是（ ）
A．当x＝0时，y＞0 B．当x＜0时，y＜0
C．当x＝1时，y取得最大值3 D．当x＞1时，y随x的增大而减少
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+3，
∴当x＝0时，y＝2＞0，当x＝1时，y取得最大值3，对称轴为直线x＝1，抛物线的开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减少，
由图象可知当x＜0时，部分y值大于0，
综上，错误的是B选项；
故选：B．
5.如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系图，则位似中心是（ ）
A．点O B．点P C．点Q D．点R
【解答】解：如图，连接AA'，CC'交于点O，
∴位似中心是点O．
故选：A．
6.已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴的交点坐标分别为x1、x2，若x1+3x2＝6，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【解答】解：由题意得，x1+x2＝4，x1 x2＝m，
∵x1+3x2＝6，
∴x2＝1，x1＝3，
∴m＝1×3＝3，
故选：A．
7.如图，过函数的图象上两点 A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、E，AC与OB相交于D，若图中三角形OAD的面积记为S，图中梯形形CEBD的面积记为R，则S和R的大小关系是（ ）（图中阴影的面积）
A．S＞R B．S＜R C．S＝R D．不能确定
【解答】解：∵A、B是反比例函数的图象上两点，
∴S△AOC＝S△BOE，
∴S△AOC﹣S△OCD＝S△BOE﹣S△OCD，
∴S△AOD＝S四边形CEBD，
∴S＝R，
故选：C．
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．按照如下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；
②作直线MN，交AC点D；
③以D为圆心，BC长为半径作弧，交AC的延长线于点E；
④连接BD，BE．
下列说法错误的是（ ）
A．AD＝DE B． C．BC2＝AC CD D．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）＝72°，
由题意得：BC＝DE，MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠DBA＝36°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠DBA＝72°，
∴∠CDB＝∠ACB＝72°，
∴BD＝BC，
∴AD＝DB＝BC＝DE，
∵BD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB（180°﹣∠CDB）＝54°，
∴∠CBE＝∠DBE﹣∠DBC＝18°，
∴∠CBE∠A，
∵∠CBD＝∠A＝36°，∠DCB＝∠ACB，
∴△BCD∽△ACB，
∴，
∴BC2＝AC CD，
∵△BCD是顶角为36°的等腰三角形，
∴△BCD是黄金三角形，
∴，
∴，
∴点C是DE是黄金分割点，
∴，
故A、B、C都不符合题意，D符合题意；
故选：D．
9.如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的四等分点（CG＜DG），连结BD．则DH：BH为（ ）
A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17
【解答】解：连接BG，设GC＝x，
∵G恰在CD边的四等分点，
∴DG＝3x，DC＝4x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDG＝45°，∠C＝90°，BC＝DC＝4x，
∴在Rt△BCD中根据勾股定理得，BD＝4x，
在Rt△BGC中根据勾股定理得，BGx，
∵四边形BFGE是正方形，
∴∠BGH＝45°，
∴∠BGH＝∠BDG，
∴∠DBG＝∠GBH，
∴△BGH∽△BDG，
∴，
∴，
∴BH，
∴DH＝BD﹣BH＝4x，
∴．
故选：D．
10.约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③ab+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得，
∴，
∴①②正确，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴2，
∴2，
∴﹣1＜a＜0，④正确，
∵a+c＝0，
∴0＜c＜1，c＝﹣a，
当x时，y＝ax2+bx+cab+ca+2﹣a＝2a，
∵﹣1＜a＜0，
∴a＞0，
∴ab+c＝2a＞0，③错误．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.已知二次函数y＝3（x﹣m）2+1，当x＜5时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为 ．
【解答】解：∵由题意可得，图象开口向上，对称轴为直线x＝m，
∴x≤m时，y随x增大而减小，
∵当x＜5时，y随x的增大而减小，
∴m≥5．
故答案为：m≥5．
12.如图，点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，且DE∥BC，如果，DE＝4cm，那么BC＝ cm．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△DAE∽△CAB，
∴，
∵DE＝4cm，
∴BC＝6cm，
故答案为：6．
13.如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影AB＝2.4m，蹲下来，则身影AC＝1.05m，已知小明的身高AD＝1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，则灯离地面的高度为 ．
【解答】解：设AD与PC相交于点E，
由题意得：AEAD＝0.8（m），PH⊥BH，DA⊥AB，
∴∠DAC＝∠PHB＝90°，
∵∠DBA＝∠PBH，
∴△DAB∽△PHB，
∴，
∴，
∵∠ECA＝∠PCH，
∴△CEA∽△CPH，
∴，
∴，
∴，
解得：AH＝8.4，
∴，
解得：PH＝7.2，
∴灯离地面的高度为7.2m，
故答案为：7.2m．
14如图，△AOB和△ACD都是等腰直角三角形，∠ABO＝∠ADC＝90°，点B是y正半轴上一点，点C是反比例函数的图象上一点，点D是AB上一点，OA与该反比例函数的图象交于点E．
（1）点E的坐标为 ；
（2）△AOB与△ACD的面积之差S△AOB﹣S△ACD＝ ．
【解答】解：（1）∵△AOB和△ACD都是等腰直角三角形，
∴CD＝AD，AB＝OB，
∵∠ABO＝∠ADC＝90°，
∴AB⊥y轴，CD⊥AB，
∴点A的横纵坐标相同，
设点A的坐标为（m，m），设直线OA的解析式为：y＝kx，
把A（m，m）代入得：m＝mk，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为：y＝x，
令，
解得：x＝±4（舍去负值），
∴点E的坐标为（4，4）；
故答案为：（4，4）；
（2）设点，则D（n，m），
∴AD＝m﹣n，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
，
∴S△AOB﹣S△ACD
＝8．
故答案为：8．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣1，2）、B（﹣2，﹣1），P（m，n）是△OAB的边AB上一点．
（1）画出将△OAB向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的△O1A1B1，并写出点A、P的对应点A1、P1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、P的对应点A2、P2的坐标；
（3）判断△O1A1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）△O1A1B1如图所示，A1（1，1），P1（m+2，n﹣1）；
（2）△OA2B2如图所示，A2（﹣2，4），P2（2m，2n）．
（3）能关于某一点Q为位似中心的位似图形，Q（4，﹣2）；
16.已知线段a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若a+b+c＝60，求a，b，c的值．
【解答】解：设k，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
（1）；
（2）∵a+b+c＝60，
∴3k+4k+5k＝60，
∴k＝5，
∴a＝15，b＝20，c＝25．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为12米时，拱桥顶点O距离水面的高度为6米．以拱桥的顶点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）汛期水位上涨，一艘宽为4米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为4m，宽为3m的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．
【解答】解：（1）设抛物线的函数表达式为y＝ax2（a≠0），
由题知，A（﹣6，﹣6），
把A（﹣6，﹣6）代入解析式，得﹣6＝36a，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）∵小船恰好从这座拱桥下通过，
∴当x＝2时，y4，
∴，
∴水面所在直线为，
当时，，
解得或，
∵（m），
∴此时水面的宽度为m．
18.如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD．
（2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠ADB＝180°﹣∠CDE，∠AEC＝180°﹣∠CED，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵∠DAC＝∠B，
∴△ACE∽△BAD，
（2）解：∵在（1）中已证明△ACE∽△BAD，
∴，，
∵CE＝3，BD＝4，AE＝2，
∴，
∴ED＝AD﹣AE＝6﹣2＝4．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
【解答】解：（1）当0＜x≤40时，y＝30，
当40＜x≤100时，设y＝kx+b，
把（40，30），（100，15）代入得：
，
解得：，
∴yx+40，
∴y；
（2）设甲种花卉种植面积为am2，则乙种花卉种植面积为（360﹣a）m2，
∵甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍，
∴，
解得30≤a≤90，
当30≤a≤40时，w＝30a+15（360﹣a）＝15a+5400，
∵15＞0，
∴当a＝30时，w最小，最小为15×30+5400＝5850（元），
当40＜a≤90时，w＝a（a+40）+15（360﹣a）（a﹣50）2+6025，
∵0，对称轴为直线a＝50，且40﹣50＜90﹣50，
∴a＝90时，w取最小值，最小为（90﹣50）2+6025＝5625（元），
∵5625＜5850，
∴当a＝90时，w取最小值，最小为5625元，
此时360﹣a＝270，
答：甲种花卉种植面积为90m2，乙种花卉种植面积为270m2，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元．
20.如图，一块三角形的铁皮ABC，BC边为200mm，BC边上的高AD为120mm，要将它加工成矩形铁皮EFGH，使它的一边FG在BC上，其余两个顶点E，H分别在AB，AC上．
（1）若四边形EFGH是正方形，那么正方形边长是多少？
（2）在矩形EFGH中，设EF＝xmm，FG＝ymm．
①求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
②设矩形EFGH的面积为S，当x取何值时，S取最大值，最大值是多少？
【解答】解：（1）∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
设正方形EFGH的边长EH为x，
∴，
∴x＝75，
答：这个正方形的边长是75mm；
（2）①在矩形EFGH中，EF＝xmm，FG＝ymm，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
∴，
∴120y＝24000﹣200x．
∴；
②由题意得：，
∴当x＝60时，S取最大值，最大值是6000．
六、（本题满分12分）
21.定义：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD＝∠B，则称满足这样条件的点为△ABC的“理想点”．
（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2，AB＝4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
【解答】解：（1）结论：点D是△ABC的“理想点”．
理由：
∵D是AB中点，AB＝4，
∴AD＝DB＝2，
∵AC2＝（2）2＝8，AD AB＝8，
∴AC2＝AD AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∴点D是△ABC的“理想点”，
（2）如图所示，
∵点D是△ABC的“理想点”，
∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，
当∠ACD＝∠B时，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠CDB＝90°，
当∠BCD＝∠A时，同法证明：CD⊥AB，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC3，
∵ AB CD AC BC，
∴CD．
七、（本题满分12分）
22.阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，求的值．
小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：的值为 ．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值；
（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值为 ．
【解答】解：如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，
∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP，
∵BE为AC边的中线，
∴AE＝CE，
∴△AEP≌△CEF（AAS），
∴AP＝FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD∽△BFC，
∴，
∴，
故答案为：；
（1）如图3，过A作AF∥BC，交BP延长线于点F，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∵，
∴，
设AF＝3x，BC＝2x，
∵，
∴BD＝3x，
∴AF＝BD＝3x，
∵AF∥BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴1；
（2）如图4，过C作CF∥AP交PB于F，
∴△BCF∽△BDP，
∴，
设CF＝2x，PD＝3x，
∵CF∥AP，
∴△ECF∽△EAP，
∴，
∴AP＝7x，AD＝4x，
∴．
故答案为：．
八、（本题满分14分）
23.设二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数），且b+c＝3．
（1）若该二次函数的图象过点（﹣3，0），求该二次函数的表达式；
（2）二次函数的图象始终经过一个定点，若一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k，c满足的关系式；
（3）若该二次函数的图象上有四个不同的点：A（m，0），B（n，0），C（m+1，p），D（n+1，q），试求p+q的值．
【解答】解：（1）由条件可知9﹣3b+c＝0①，
∵b+c＝3②，
由②﹣①得：﹣9+4b＝3，
解得b＝3，
将b＝3代入②中，得3+c＝3，
解得c＝0，
∴该二次函数的表达式为：y＝x2+3x；
（2）由条件可知c＝3﹣b，
将其代入二次函数中有y＝x2+bx+3﹣b，
∴y＝x2+b（x﹣1）+3，
∴当x＝1时，y＝4，
即二次函数的图象过定点（1，4），
∵一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象也经过这个定点，
+b，
∵b＝3﹣c，
∴k+3﹣c＝4，
整理得k﹣c＝1；
（3）由条件可知m2+bm+c＝0，n2+bn+c＝0，m+n＝﹣b，
∴m2+bm+c+n2+bn+c＝0，
∴m2+n2+b（m+n）+2c＝0，
∴m2+n2＝﹣b（m+n）﹣2c，
又∴（m+1）2+b（m+1）+c＝p，（n+1）2+b（n+1）+c＝q，
∴p+q＝（m+1）2+b（m+1）+c+（n+1）2+b（n+1）+c
＝m2+2m+1+bm+b+c+n2+2n+1+bn+b+c
＝（m2+n2）+2（m+n）+b（m+n）+2+2b+2c
＝﹣b（m+n）﹣2c+2（m+n）+b（m+n）+2+2b+2c
＝2（m+n）+2+2b
＝2 （﹣b）+2+2b
＝﹣2b+2+2b
＝2．九年级期中复习卷二
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.下列函数表达式中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c
C．s＝2t2﹣2t+1 D．
2.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，已知△ABC∽△AED且．若S△ADE＝1，则S△ABC值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象如图所示，结合图象判断，下面结论错误的是（ ）
A．当x＝0时，y＞0 B．当x＜0时，y＜0
C．当x＝1时，y取得最大值3 D．当x＞1时，y随x的增大而减少
5.如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系图，则位似中心是（ ）
A．点O B．点P C．点Q D．点R
6.已知二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与x轴的交点坐标分别为x1、x2，若x1+3x2＝6，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
7.如图，过函数的图象上两点 A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、E，AC与OB相交于D，若图中三角形OAD的面积记为S，图中梯形形CEBD的面积记为R，则S和R的大小关系是（ ）（图中阴影的面积）
A．S＞R B．S＜R C．S＝R D．不能确定
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．按照如下步骤作图：
①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；
②作直线MN，交AC点D；
③以D为圆心，BC长为半径作弧，交AC的延长线于点E；
④连接BD，BE．
下列说法错误的是（ ）
A．AD＝DE B． C．BC2＝AC CD D．
9.如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的四等分点（CG＜DG），连结BD．则DH：BH为（ ）
A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17
10.约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③ab+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.已知二次函数y＝3（x﹣m）2+1，当x＜5时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为 ．
12.如图，点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，且DE∥BC，如果，DE＝4cm，那么BC＝ cm．
13.如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影AB＝2.4m，蹲下来，则身影AC＝1.05m，已知小明的身高AD＝1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，则灯离地面的高度为 ．
14如图，△AOB和△ACD都是等腰直角三角形，∠ABO＝∠ADC＝90°，点B是y正半轴上一点，点C是反比例函数的图象上一点，点D是AB上一点，OA与该反比例函数的图象交于点E．
（1）点E的坐标为 ；
（2）△AOB与△ACD的面积之差S△AOB﹣S△ACD＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣1，2）、B（﹣2，﹣1），P（m，n）是△OAB的边AB上一点．
（1）画出将△OAB向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的△O1A1B1，并写出点A、P的对应点A1、P1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2：1，并分别写出点A、P的对应点A2、P2的坐标；
（3）判断△O1A1B1与△O2A2B2，能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．
16.已知线段a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若a+b+c＝60，求a，b，c的值．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度AB为12米时，拱桥顶点O距离水面的高度为6米．以拱桥的顶点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）汛期水位上涨，一艘宽为4米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为4m，宽为3m的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．
18.如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD．
（2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2．
（1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？
20.如图，一块三角形的铁皮ABC，BC边为200mm，BC边上的高AD为120mm，要将它加工成矩形铁皮EFGH，使它的一边FG在BC上，其余两个顶点E，H分别在AB，AC上．
（1）若四边形EFGH是正方形，那么正方形边长是多少？
（2）在矩形EFGH中，设EF＝xmm，FG＝ymm．
①求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
②设矩形EFGH的面积为S，当x取何值时，S取最大值，最大值是多少？
六、（本题满分12分）
21.定义：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD＝∠B，则称满足这样条件的点为△ABC的“理想点”．
（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝2，AB＝4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
七、（本题满分12分）
22.阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，求的值．
小昊发现，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：的值为 ．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
（1）如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且．求的值；
（2）如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，直接写出的值为 ．
八、（本题满分14分）
23.设二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数），且b+c＝3．
（1）若该二次函数的图象过点（﹣3，0），求该二次函数的表达式；
（2）二次函数的图象始终经过一个定点，若一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k，c满足的关系式；
（3）若该二次函数的图象上有四个不同的点：A（m，0），B（n，0），C（m+1，p），D（n+1，q），试求p+q的值．
