第1~2章一元二次方程与对称图形——圆 综合复习（含答案）2025-2026学年苏科版九年级数学上册

一元二次方程与对称图形——圆综合复习2025-2026学年
苏科版九年级上册
一、选择题
1.下列方程中，一元二次方程有（　　）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.若⊙A的半径为5，圆心A与点P的距离是，则点P与⊙A位置关系是（　　）
A．P在⊙A上 B．P在⊙A外 C．P在⊙A内 D．不确定
3.如图，是的弦，点P在弦上，，，则⊙O的半径为（　　）
A．5 B． C．4 D．
4.用配方法将方程变形为，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5.如图，在中，直径弦是圆上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7.如图，正六边形内接于，的半径是1，则正六边形的周长是（ ）
A. B. 6 C. D. 12
8．方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
9.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则八年级班级的个数为( )
A．6 B．9 C．7 D．8
10.如图，四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AB＝4，扇形BEF的半径为4，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2π﹣4 D．2π﹣2
二、填空题
11.关于x的方程的一根为1，则另一根为_________．
12.圆中一条弦所对的圆心角是，则这条弦所对的圆周角的度数是 ．
13．关于x的方程kx2-2x+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
14．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是　 　．
15.如图，在中，，以为轴将旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角的度数是__________.
16.圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，求该门洞的半径
三、解答题
17.解方程．
（1）（x+5）2﹣25＝0；（2）3x2+20x﹣7＝0．
18.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
19.如图，已知AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
20.一块长5米、宽4米的地毯如图所示，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的.
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价.
21.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
22.如图，AB为⊙的直径，AC，DC为弦，，P为AB延长线上的点，．
(1)求证：DP是⊙的切线；
(2)若⊙的半径为2cm，求图中阴影部分的面积．
【答案】
一、选择题
1.下列方程中，一元二次方程有（　　）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
2.若⊙A的半径为5，圆心A与点P的距离是，则点P与⊙A的位置关系是（　　）
A．P在⊙A上 B．P在⊙A外 C．P在⊙A内 D．不确定
【答案】C．
3.如图，是的弦，点P在弦上，，，则⊙O的半径为（　　）
A．5 B． C．4 D．
【答案】A
4.用配方法将方程变形为，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
5.如图，在中，直径弦是圆上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
6．一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
7.如图，正六边形内接于，的半径是1，则正六边形的周长是（ ）
A. B. 6 C. D. 12
【答案】B
8．方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【答案】C
9.某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排36场比赛，则八年级班级的个数为( )
A．6 B．9 C．7 D．8
【答案】B
10.如图，四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AB＝4，扇形BEF的半径为4，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2π﹣4 D．2π﹣2
【答案】A．
二、填空题
11.关于x的方程的一根为1，则另一根为_________．
【答案】
12.圆中一条弦所对的圆心角是，则这条弦所对的圆周角的度数是 ．
【答案】或
13．关于x的方程kx2-2x+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
【答案】 且
14．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是　 　．
【答案】14
15.如图，在中，，以为轴将旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角的度数是__________.
【答案】
16.圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，求该门洞的半径
【答案】1.3
三、解答题
17.解方程．
（1）（x+5）2﹣25＝0；（2）3x2+20x﹣7＝0．
【答案】解：（1）（x+5）2﹣25＝0，
（x+5）2＝25，
x+5＝±5，
x+5＝5或x+5＝﹣5，
x1＝0，x2＝﹣10；
（2）3x2+20x﹣7＝0，
（3x﹣1）（x+7）＝0，
．
18.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
【答案】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，
解得m≤；
（2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，
∵（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，
∴x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，
∴2m﹣4﹣3×1+9＝m2﹣1，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝3（不合题意，舍去）．
故m的值是﹣1．
19.如图，已知AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
【答案】解：（1）∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠BOD＝∠AOD＝60°，
∴∠DEB＝∠BOD＝×60°＝30°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r﹣2）2+42＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径长为5．
20.一块长5米、宽4米的地毯如图所示，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的.
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价.
【答案】解：（1）设条纹的宽度为米．依题意得：
解得：（不合题意，舍去），
答：配色条纹的宽度为米．
（2）由题意可得，条纹部分造价：×5×4×200=850（元）
其余部分造价：（1﹣）×4×5×100=1575（元）
∴总造价为：850+1575=2425（元）
答：地毯的总造价是2425元．
21.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
【答案】（1）解：设每次下降的百分率为x，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
∴每次下降的百分率为．
（2）解：设每千克应涨价a元，由题意，得：，
整理，得，
解得：，，
又∵采取适当的涨价措施，
∴，即涨价5元．
22.如图，AB为⊙的直径，AC，DC为弦，，P为AB延长线上的点，．
(1)求证：DP是⊙的切线；
(2)若⊙的半径为2cm，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
证明：连接OD，
∵∠ACD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴∠BOD＝60°，
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝90°，
即PD⊥OD，
∵OD是半径，
∴PD是⊙O的切线；
(2)
解：在Rt△POD中，OD＝2cm，∠APD＝30°，
∴PD＝，∠BOD＝60°，
∴图中阴影部分的面积＝×2× ×π×22＝ π．