第21章一元二次方程单元测试（含答案）2025-2026学年人教版数学九年级上册

第21章 一元二次方程（单元测试）2025-2026学年人教版数学九年级上册
一、单选题
1．一元二次方程的解是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，长，宽的矩形基地上有三条宽小路，剩余种花，依题意列方程（　　）
A． B．
C． D．
3．用配方法解一元二次方程化成的形式，则、的值分别是（　　）
A．-4，14 B．4，14 C．2，2 D．-2，2
4．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，它的一个根为﹣1，则（　　）
A．a＋b＋c＝0 B．a＋b﹣c＝0 C．a﹣b＋c＝0 D．a﹣b﹣c＝0
5．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（　　）
A． B． 且
C． D． 且
6．已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7． 关于x的一元二次方程：x2-4x-＝0有两个实数根x1，x2，则＝（ ）
A． B．－ C．4 D．－4
8．在自变量x的取值范围内，对于自变量时，函数值，则称a是函数的一个不动点，若函数恰有一个不动点，则实数的值不可能是（　　）
A． B．0 C．1 D．4
二、填空题
9．已知、是方程的两个实数根，则的值是　 　．
10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　 　.
11．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是　 　．
12．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是43个，设每个支干长出的小分支数目为x个，请列出方程　 　．
13．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了 份合同，共有　 　家公司参加商品交易会.
14．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0，则代数式x2﹣x+1的值为　 　 ．
15．整数 满足 ， 且关于 的一元二次方程 的两个根均是正整数，则 　 　.
16．已知m、n、6分别是等腰三角形的三边长，且m、n是关于x的一元二次方程的两根，则k的值为　 　．
三、解答题
17．解下列一元二次方程：
（1）
（2）
18．已知关于的方程总有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若它的两个实数根满足，求的值．
19．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若方程的两实数根之积等于，求的值．
20．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？
21．已知在关于 的分式方程 ① 和一元二次方程②中， 均为实数，方程①的根为非负数．
（1） 求 的取值范围．
（2） 当 为整数， 且 ， 方程②有两个整数解 时， 求方程②的整数解．
（3） 当方程②有两个实数解 ， 满足 ，且 为负整数时， 试判断 是否成立， 并说明理由．
22．关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
（1）求黄金分割数；
（2）已知实数ab满足：，且，求ab的值；
（3）已知两个不相等的实数pq满足：，求的值．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m=0．
（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围；
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：，
，
或，
解得，
故选B．
【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
2．【答案】C
3．【答案】D
【解析】【解答】解：x2-4x+2=0，
移项，得x2-4x=-2，
配方，得x2-4x+4=-2+4，
∴（x-2）2=2.
∴a=-2，b=2.
故答案为：D.
【分析】首先移项（将常数项移到方程的右边），然后配方（方程的两边都加上一次项系数一半的平方），进而左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可得出答案.
4．【答案】C
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 kx2 2x 1=0 有两个不相等的实数根，
∴b2-4ac＞0且k≠0
∴4+4k＞0且k≠0
解之：k＞-1且k≠0
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式，建立不等式组，求解即可。
6．【答案】C
【解析】【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0的解是，所以或者.以为例，设=y，则，解得。则，从而求出.
故选择C。
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】5
10．【答案】m<1且m≠0
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
∴（-2）2-4m×1＞0，
解得：m＜1．
∵m≠0，
∴实数m的取值范围是m＜1且m≠0．
故答案为：m＜1且m≠0．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析可得（-2）2-4m×1＞0，再求解即可.
11．【答案】5
【解析】【解答】解：设方差的另一个根是t，
∵关于x的方程的一个根是，
∴-4t=-20，
解得：t=5，
即它的另一个根是5，
故答案为：5.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出-4t=-20，再求解即可。
12．【答案】
13．【答案】10
【解析】【解答】解：设有x家公司参加，依题意得 x(x 1)=45，
整理得：x2 x 90=0，
解得：x1=10，x2= 9(舍去)，
答：共有10公司参加商品交易会.
【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签（x-1）份合同，签订合同共有 x（x-1）份.
14．【答案】7
【解析】【解答】解：设x2﹣x=m，则原方程可化为：
m2﹣4m﹣12=0，解得m=﹣2，m=6；
当m=﹣2时，x2﹣x=﹣2，即x2﹣x+2=0，△=1﹣8＜0，原方程没有实数根，故m=﹣2不合题意，舍去；
当m=6时，x2﹣x=6，即x2﹣x﹣6=0，△=1+24＞0，故m的值为6；
∴x2﹣x+1=m+1=7．
故答案为：7．
【分析】将x2﹣x看作一个整体，然后用换元法解方程求出x2﹣x的值，再整体代值求解．
15．【答案】-2278
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴即
设解得，
∴p =-67×(2+32)=-2278.
故答案为：-2278.
【分析】方程有两个正整数根，故根的判别式△≥0，由根与系数的关系可知x1+x2＞0，x1x2＞0，再由已知条件整数p，q满足p+q=2010，最终可以确定p的取值.
16．【答案】1
17．【答案】（1）
（2）
18．【答案】（1）
（2）1
19．【答案】（1）或；（2）
20．【答案】解：设增加了 行，则增加的列数为 ，
根据题意，得： ，
整理，得： ，
解得 ， （舍 ，
答：增加了3行3列．
【解析】【分析】先求出 ， 再求出 ， 最后解方程即可。
21．【答案】（1）解：关于 的分式方程 的根为非负数，
∴X≥0，且x≠1，即，且，解得k≥-1且k≠1.
∵一元二次方程中2-k≠0，
∴k≠2，
综上所述，k≥-1且k≠1，k≠2.
（2）解：把k=m+2，n=1代入方程②得- mx2+ 3mx+(1- m)=0，即mx2- 3mx+m-1=0.
∵，即，且m≠0，解得m＞0或m≤，
∵x1，x2是整数，k，m都是整数.
∴为整数，
∴m=1或-1.由（1）知k≠1，则m+2≠1，
∴.m≠-1，
∴m=1.把m=1代入方程mx2- 3mx+m-1=0，得x2- 3x+1-1=0，解得x1= 0， x2=3.
（3）解： 成立，理由如下，
由（1）知k≥-1，又∵k是负整数，
∴k= - 1.
∵（2- k）x2+ 3mx+（3- k）n= 0有两个实数解
整理得即
又
【解析】【分析】（1）解分式方程得，由分式方程的定义可知x-1≠0且方程①的根为非负数，得到且，由一元二次方程定义可知二次项系数2-k≠0，综上可知k的取值范围
（2）将k=m+2，n=1代入方程，由因为方程有两个实数根可知△≥0，确定m的取值范围，又因为x1，x2，k，m为整数，确定1-为整数，得m=1或-1，由（1）中条件确定m=1，代入方程求得方程整数解.
（3）本题由k≥-1且k为负整数确定k=-1，将k=-1代入方程，再由韦达定理得两根和与两根积，由条件得到，代入得到，最后将代入根的判别式证得.
22．【答案】（1）
（2）2
（3）0
23．【答案】（1）证明：△=[﹣（4m+1）]2﹣4（3m2+m）
=4m2+4m+1
=（2m+1）2
∵（2m+1）2≥0，
∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根
（2）解：解方程x2﹣（4m+1）x+3m2+m=0得 x1=3m+1，x2=m，
由题意得 ，
解得
（3）解：m=1，抛物线为y=x2﹣5x+4=（x﹣ ）2﹣ ，A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，4），
直线BC的解析式为y=﹣x+4，
当x= 时，y=﹣x+4= ，
所以此抛物线向上平移 或（ + ）个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在边AB或BC上，
所以符合题意的n的取值范围是
【解析】【分析】（1）利用判别式得到△=[﹣（4m+1）]2﹣4（3m2+m），化简后分析是否大于等于0即可；
（2）解方程用含m的式子表示方程的根，再根据两个实数根一个大于2，另一个小于7列出不等式，然后求出解集即可；