第22章 二次函数 单元测试 （含答案）2025-2026学年人教版数学九年级上册

第22章 二次函数（单元测试）2025-2026学年人教版数学九年级上册
一、单选题
1．将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到抛物线解析式是（　　）
A． B．
C． D．
2．将二次函数化为的形式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．点 、Q 是二次函数 的图象上两点，则 与 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法确定
5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论①abc＜0，②a＋b＋c＝2，③a＞④0＜b＜1中正确的有（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
6．已知点 ， 在二次函数 的图象上，若 ，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：；；若点是图象上任意两点，且，则，方程（为常数）所有整数根的绝对值的和为；其中正确的结论个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．下列关于二次函数的说法，正确的是（　　）
A．图象的对称轴是直线
B．图象向右平移3个单位则变为
C．当时，有最大值
D．当时，y随x的增大而增大
9．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②；③；④当时，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．二次函数y=x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣8），B（﹣5，﹣8），则此抛物线的对称轴是直线x=　 　．
12．抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的抛物线解析式是　 　．
13．如图，二次函数的图象如图所示，当　 　时，．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴一个交点为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，则y＜0，x的范围是　 　.
15．如图，抛物线经过点，与y轴交于，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中：①；②方程的解为和3；③；④，其中正确结论的序号是　 　.
16．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，若墙的最大可利用长度为，则这块矩形场地的最大面积为 　 　．
17．已知抛物线y＝(x+1)2+k与x轴交于A、B两点，AB＝4，点C是抛物线上一点，如果线段AC被y轴平分，那么点C的坐标为　 　．
18．已知二次函数的图象与x轴交于和，其中，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③若点，，均在二次函数图象上，则；④．其中一定正确的结论的序号是　 　．
19．记抛物线C1：y＝(x﹣2)2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1(a＜0)顶点是点B，且与x轴的正半轴交于点 C.当△ABC是直角三角形时，抛物线C2的解析式为　 　.
三、解答题
20．已知二次函数的图像经过，，求抛物线的解析式
21．根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
（1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；
（2）已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1．
22．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、A，抛物线过点A、B．
（1）求A点和B点坐标，并写出抛物线的解析式；
（2）根据图象，写出满足的x的取值范围．
23．在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．
（1）若，求该抛物线的对称轴．
（2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．
24．某商场一种商品的进价为每件元，售价为每件元，每天可以销售件，为尽快减少库存，商场决定降价促销，经调查，若该商品每降价元，每天可多销售件求每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
25．已知二次函数过点和，其对称轴为直线；
（1）当，时，求此时的值，判断、的大小关系并说明理由；
（2）若在此函数上有，且：
①若总是不小于、中的任何一个数，直接写出此时的值；
②当时，任意点都能使得、、三个数中最大值和最小值的差不小于1，直接写出此时的取值范围．
26．如图，已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点在该函数图象上．
（1）①当时，求n的值．
②在①的条件下，当时，求y的最大值和最小值．
（2）当时，若点A在第一象限内，结合图象，求当时，自变量x的取值范围．
（3）作直线与y轴相交于点D，当点B在x轴上方，且在线段上时，直接写出m的取值范围．
27．如图1，某塑料大棚的一端由一个矩形的支架和抛物线形拱组成，小龙同学测得矩形支架的长，高，并测得距边的大棚顶部点M处的高为，以矩形支架的顶点O为原点，边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2所示．
（1）求该塑料大棚最高点到地面的距离；
（2）小龙同学把抛物线形拱所在的抛物线画出，如图3，然后利用抛物线和矩形进行深入探索，并提出了如下问题，请你进行解答．
①将抛物线向右平移，设抛物线与矩形两边，分别交于点D，E，当直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离；
②将抛物线上下平移，设抛物线与y轴交点的纵坐标为n，当抛物线与矩形四边只有两个交点时，请求出n的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：抛物线，
即抛物线的顶点坐标为，
先把抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，
即把点向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到点的坐标为，
平移后得到的抛物线解析式为：，
故答案为：．
【分析】根据抛物线的平移规律即可得出平移后的解析式为.
2．【答案】B
3．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，得抛物线的顶点坐标是，
故答案为：D．
【分析】根据抛物线解析式即可确定顶点坐标．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次函数y=x2-4x+5的图象的对称轴是x=2，在对称轴的右面y随x的增大而增大，
∵点P（3，y1）、Q（4，y2）是二次函数y=x2-4x+5的图象上两点，
2＜3＜4，
∴y1＜y2.
故答案为：B.
【分析】由解析式可得：二次函数图象的对称轴是x=2，判断出函数的增减性，进而进行比较.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a
当x=0时，可得c
∵对称轴x=-
∴a、
∴abc＜0，故①正确；
当x=1时，即a++c=2
故②正确；
当x=-1时，a-+c
又a++c=2，
∴a+c=2-，
将上式代入a-+c，
即2-2b
∴b
故④错误；
∵对称轴x=-
解得 a，
因为b，
∴a，
故③正确．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进项判断即可求出答案.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：①a＞0时，二次函数图象开口向上，
∵|x1 3|＞|x2 3|，
∴y1＞y2，
∵无法确定y1＋y2的正负情况，
∴a（y1 y2）＞0，
②a＜0时，二次函数图象开口向下，
∵|x1 3|＞|x2 3|，
∴y1＜y2，
∵无法确定y1＋y2的正负情况，
∴a（y1 y2）＞0，
综上所述，表达式正确的是a（y1 y2）＞0.
故答案为：D.
【分析】由题意分两种情况：①a＞0时，二次函数图象开口向上，由于该函数的对称轴中线是x=3，故到对称轴的水平距离越大的点，函数值就越大，再结合已知的不等式可判断求解；②a＜0时，二次函数图象开口向下，由于该函数的对称轴中线是x=3，故到对称轴的水平距离越大的点，函数值就越小，结合已知的不等式可判断求解.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：由图象可知，，，，
∴，
∴，故正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且过点，
∴，，
∴，
∴，故正确；
∵点是图象上任意两点，且，
∴点离对称轴近，点离对称轴远，
∵，
∴，故正确；
∵抛物线的对称轴为直线，且过点，
∴抛物线为轴的另一个交点为，
∵，
∴方程的所有整数根为，
∴所有整数根的绝对值的和为，故错误；
∴正确的结论有，共个，
故答案为：C．
【分析】由抛物线开口向上得出a＞0，由抛物线交y轴的负半轴得c＜0，由抛物线的对称轴直线公式及抛物线的对称轴为x=-2可得，据此即可判断①；将点（1，0）代入抛物线解析式得，再将b=4a代入，即可判断②；由抛物线开口向上可得抛物线上的点离对称轴直线距离越大其函数值越大，即可判断③；根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点，由可得方程的所有整数根为，即可判断④.
8．【答案】D
9．【答案】D
10．【答案】C
【解析】【解答】解：①根据函数图象的开口向下知， ，
∵抛物线与x轴交点一个在（-2，0）和（-1，0）之间，另一个在（0，0）和（1，0）之间，可得抛物线的对称轴在 的右边，在 轴左边，
，
，
∵抛物线与 轴交于正半轴，
，
.
故①正确；
②∵抛物线的对称轴在 的右边，
，
，
，
，
，
故②错误；
③由函数图象可知，当 时， ，
即 ，
故③正确；
④由函数图象可知，当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
，故④正确；
故答案为：C.
【分析】① 根据函数的图象开口得出a<0 ， 结合对称轴的位置得出b<0，根据抛物线与y轴的交点位置得出c>0 ，则可判断abc的正负性 ； ② 根据对称轴x=，结合a<0，从而推出； ③ 根据x=-2在图象中找出对应的函数值的正负性即可； ④ x= - 1时和x= 1时对应的函数值的正负，然后通过分解因式，再作判断即可.
11．【答案】﹣1
【解析】【解答】解：∵函数y=x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣8），B（﹣5，﹣8），
且两点的纵坐标相等，
∴A、B是关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为：x= =﹣1，
故答案为：﹣1
【分析】由于两点的纵坐标相等，故对称轴是两点横坐标之和的一半
12．【答案】
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标为，把点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线的解析式为．
故答案为：．
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
13．【答案】
【解析】【解答】解：当时，抛物线的图象在轴的下方，此时，
故答案为：．
【分析】当抛物线的图象在轴的下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
14．【答案】﹣2＜x＜4
【解析】【解答】解：∵y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为（-2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），
∴y＜0时x的范围是-2＜x＜4，
故答案为：-2＜x＜4.
【分析】根据抛物线的对称性，可知抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），求y＜0，x的范围 ，就是求x轴下方部分图象上相应的自变量的取值范围，根据其与x轴的交点坐标即可直接得出答案.
15．【答案】①②③④
【解析】【解答】解：①∵抛物线经过点，，，故本选项正确；
②由对称轴为，一个交点为，另一个交点为，∴方程的解为和3，故本选项正确；
③由对称轴为，，∴，则，故本选项正确；
④∵抛物线与y轴交于，∴，∵，∴，故本选项正确.
故答案为：①②③④.
【分析】将（-1，0）代入可得a-b+c=0，据此判断①；根据对称性可得另一个交点为（3，0），然后根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的根可判断②；根据对称轴为x==1可得b=-2a，据此判断③；根据抛物线与y轴的交点的位置可得c=2，结合a<0可判断④.
16．【答案】32
17．【答案】(3，12)或(﹣1，﹣4)
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，AB＝4，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）或点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0），
当点A的坐标为（﹣3，0）时，0＝（﹣3+1）2+k，得k＝﹣4，
∵线段AC被y轴平分，点C是抛物线上一点，
∴点C的横坐标为3，纵坐标为：（3+1）2﹣4＝12，
即点C的坐标为（3，12）；
当点A的坐标为（1，0）时，0＝（1+1）2+k，得k＝﹣4，
∵线段AC被y轴平分，点C是抛物线上一点，
∴点C的横坐标为﹣1，纵坐标为：（﹣1+1）2﹣4＝﹣4，
即点C的坐标为（﹣1，﹣4）；
故答案为：（3，12）或（﹣1，﹣4）．
【分析】由抛物线y＝(x+1)2+k与x轴交于A、B两点，AB＝4，可得，点AB的坐标，用待定系数法求出k值；对A点的坐标分类讨论，结合线段AC被y轴平分，点C是抛物线上一点，分别求出点C的横坐标，代入二次函数解析式，即可求出C点的坐标.
18．【答案】①②④
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴y=a(x+2)(x-m)，
∵抛物线与y轴交于正半轴上一点，∴x=0时，y>0，∴-2ma>0，
∵2∵抛物线与x轴有两个交点，∴∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴直线
又∵当m=3时，对称轴直线x=，这时点 ， 关于对称轴对称，即y1=y2，故③错误；
∵抛物线过点A（-2，0），∴4a-2b+c=0，∴2b=4a+c，
又2∴∴ ，故④正确；
故答案为：①②④.
【分析】利用二次函数近似图像可以判定a的正负，也可以利用交点式准确的推理得出a<0；由抛物线与x轴有两个交点，可以判定，利用不等式的基本性质变形判定 ，通过举特例判定y1=y2，再由已知点A（-2，0）代入抛物线解析式可得a、b、c的数量关系，再由对称轴得b和a的不等关系，两者组合可得 ．
19．【答案】y＝﹣x2+1或y＝﹣ x2+1
【解析】【解答】由抛物线C1：y＝(x﹣2)2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1(a＜0)顶点是点B，可知：A(2，3)、B(0，1)，
∴AB2＝(2﹣0)2+(3﹣1)2＝8.
设点C坐标为(c，0)，
∴AC2＝(2﹣c)2+32＝c2﹣4c+13，BC2＝c2+1.
∵△ABC是直角三角形，
则：①当∠ABC＝90°时，AC2＝BC2+AB2，
即c2﹣4c+13＝(c2+1)+8，解得：c＝1
∴C1(1，0)，
将点C1坐标代入y＝ax2+1得：a+1＝0；解得：a＝﹣1，
∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1，
②当∠BAC＝90°时，BC2＝AC2+AB2，
即c2+1＝(c2﹣4c+13)+8，解得：c＝5，
∴C2(5，0)，
将点C2坐标代入y＝ax2+1得：25a+1＝0，解得：a＝﹣ ，
∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣ x2+1，
综上，当△ABC为直角三角形时，抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1或y＝﹣ x2+1.
故答案是：y＝﹣x2+1或y＝﹣ x2+1.
【分析】根据题意分别求出点A、点B的坐标，继而可得AB2的值，设点C坐标为(c，0)，表示出AC2和BC2，根据△ABC是直角三角形，分∠ABC＝90°和∠BAC＝90°两种情况分别讨论求解即可得.
20．【答案】解：把（-1，0）、（3，0）代入中
得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
【解析】【分析】直接将、坐标代入解析式中，求出b、c的值即可.
21．【答案】（1）
（2）
22．【答案】（1）点A的坐标为，点B坐标为，抛物线解析式为；
（2）或．
23．【答案】（1）解：m=3，n=15．
∴点(1，3)，(3，15)在抛物线上，
将(1，3)，(3，15)代y=ax2+bx得，
，
解得．
∴y=x2+2x=(x+1)2-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1．
（2）解：∵y=ax2+bx(a>o)，
∴ 抛物线开口向上且经过原点，
当b=0时，抛物线顶点为原点，当x>0时y随x的增大而增大，
n>m>0，mn>0，不满足题意；
当b>0时，抛物线对称轴在y轴左侧，
同理，，mn>0，不满足题意，
，抛物线对称轴在轴右侧．
时，，时，，
∵ 抛物线经过原点，
抛物线对称轴在直线与直线之间，即，
点与对称轴的距离为，则，
点与对称轴的距离为，则，
点与对称轴的距离为，则
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式，进而求得其对称轴；
（2）根据题意可得b＜0，即二次函数的对称轴在y轴右侧，再根据mn＜0，推出对称轴在直线与直线之间，根据二次函数的性质可得距离对称轴越远，函数值越大，即可求得.
24．【答案】解：设每件商品的售价下降元，每天的销售利润为元，
根据题意得：，
，
开口向下，
当时，有最大值，
此时售价为元．
答：每件商品的售价为元时，每天可获得最大利润，最大利润是元．
【解析】【分析】基本关系：多销售的数量=降价的数量×8，利润=售价-进价，总利润=每件利润×数量，据此建立函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可．
25．【答案】（1），
（2）①；②或
26．【答案】（1）①；②y的最大值为4，最小值为
（2）或
（3）或
27．【答案】（1）米
（2）①4m；②或