6.1 图上距离与实际距离 讲义（无答案）2025-2026学年苏科版+数学九年级下册

6.1图上距离与实际距离
一、【学习目标】
1、结合现实情境了解线段的比和成比例的线段；
2、理解并掌握比例的性质；
3、通过实际问题的研究，发展从数学的角度提出问题，分析问题和解决问题能力.
二、【学习重难点】
了解线段的比和成比例线段.比例的性质、运算及应用.
三、【学习活动】
活动一、情境创设
师：在一幅比例尺为1：8000000的江苏省地图上，小明量了一下扬州与南京的图上距离AB=1.25cm，所以他跟同学们说：“实际上扬州与南京的直线距离A′B′约为100km”。你认为他说的对吗？
活动二、尝试与交流
展示课本中两幅比例尺不同的江苏地图，引导学生完成以下实践活动：
（1）这两幅图有什么共同特征？
（2）如何知道南京市到徐州市的实际距离？
（3）设连接南京与徐州的线段分别为a，b，它们的比为 。连接南京市与连云港市的线段分别为c，d，它们的比为 。
（4）这两个比值相等吗？
归纳新知：（1）如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写成．注：在求线段比时，线段单位要统一。
在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：．
②a、d叫比例外项，b、c叫比例内项, a、c叫比例前项，b、d叫比例后项，d叫第四比例项，如果b=c，即 那么b叫做a、d的比例中项， 此时有。
活动三、思考与探索.
1、找找看，哪四条线段成比例线段？
①如果a＝1cm，b＝3cm，c＝2cm， d＝6cm，那么a、b、c、d是成比例线段吗？
②如果a＝1cm，b＝2cm，c＝2cm, d＝4cm，那么a、b、c、d是成比例线段吗？
③如果a＝1cm，b＝6cm，c＝2cm， d＝3cm，那么a、b、c、d是成比例线段吗？
知识点：比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）
（1） 基本性质：
①；②．
注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除
了可化为，还可化为，，，，，，．
（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：
（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： ．
（4）合、分比性质：．
注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：等等．
（5）等比性质：如果，那么．
注：
①此性质的证明运用了“设法”（即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：；其中．
四、典例例题
例1.若5x＝8y，则x∶y＝____．
变式1：已知＝，则＝____．
例2.在△ABC与△DEF中，已知＝＝＝，且△DEF的周长为18 cm，则△ABC的周长为_______cm.
变式2：若＝＝，且a＋b－c＝1，求a－b＋c的值．
例3．已知＝＝＝2(b＋d＋f≠0)，且a＋c＋e＝16，则b＋d＋f等于( )
A．4 B．8 C．32 D．2
变式3：已知＝＝＝，且b＋2d－f≠0，则的值为( )
A. B. C. D.
例4．已知＝，则的值是____．
变式4:已知＝＝，且a＋b－2c＝6，则a的值为____．
五、课堂练习
1．一种零件的长是2 mm，在一幅设计图上的长是40 cm，这幅设计图的比例尺是(　　)
A．200∶1 B．2 000∶1
C．1∶2 000 D．1∶200
2．甲、乙两地的实际距离是40 km，在比例尺为1∶500 000的地图上，甲乙两地的距离是(　 　)
A．0.8 cm B．8 cm C．80 cm D．800 cm
3．已知x∶y∶z＝3∶5∶6，且2x－y＋3z＝38，则3x＋y－2z＝____．
4．若＝＝＝k，则k＝____．
5．已知＝＝≠0，则＝_____，＝________．
6.若＝＝≠0，且a＋b－2c＝3，则a＝______．
7．若x∶y∶z＝2∶7∶5，设A＝，B＝，则A与B的大小关系为________．
8．已知a，b，c是非零实数，且满足＝＝，且x＝，求x的值．
9.若＝＝＝，求：
(1)；
(2)；
(3)比较(1)，(2)的结论，你能发现什么规律？
10．已知＝≠1，求证：＝.