22.1 一元二次方程 教学设计 2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
文档属性
| 名称 | 22.1 一元二次方程 教学设计 2025-2026学年华东师大版数学九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 89.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-20 21:45:15 | ||
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文档简介
华东师大版九年级上册《22.1一元二次方程》教案
学习目标
1.学生能准确说出一元二次方程的概念，识别方程是否为一元二次方程；能熟练将一元二次方程化为一般形式，准确指出各项系数；能根据实际问题列出一元二次方程。(重点)
2.通过观察、类比、分析实际问题中数量关系，经历建立一元二次方程模型的过程，培养学生的数学建模能力和逻辑思维能力；在探究一元二次方程概念的过程中，提高学生归纳总结的能力； (难点)
二、复习导入
1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
含有未知数的等式；使方程等号左右两边相等的未知数的值。
我们之前学过什么方程？
一元一次方程；二元一次方程；分式方程
4.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程.
一般形式：ax+b=0 (a≠0)
方程一种描述现实世界，数量关系的模型，所以我们之前学习方程都是通过实际问题入手，将它抽象为数学问题，从中分析已知量、未知量和数量关系，设出未知数，列出方程，求出方程的解并检验，从而求出实际问题的解。，同样今天我们依然从实际问题出发来学习新的方程。
三、新课讲授
1.一元二次方程及其一般形式
问题1 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积 为900平方米的矩形绿地，并且长比 宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
思考：根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？（方程）
设未知数：设矩形的宽为x 米，则根据题意知长为(x+10) 米。
根据等量关系列方程： x(x+10)=900 去括号得： x +10 x-900=0①
问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万 册.求这两年的年平均增长率.
分析：如果假设这两年的年平均增长率是x,去年年底图书为5万册，那么今年年底有图书为 5（1+x）万册，明年年底有图书为5（1+x）（1+x）万册。可列方程为：5(1+x) =7.2，去括号整理可得：5x +10x-2.2=0②
思考：x +10x-900=0①5x +10x-2.2=0②这两个方程与一元一次方程有什么区别 这两个方程的共同特点是什么？学生回答：和一元一次方程的区别是未知数的最高次数不是一次，而是二次；这两个方程的共同特点：1.只含有一个未知数，2.未知数的最高次数是2，3.都是整式方程。
归纳总结：类比一元一次方程，你能给这类方程下定义？并写出它的一般形式吗？
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为a x 2 + b x + c = 0 的形式,我们把a x 2 + b x + c = 0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中a x 2叫做一元二次方程的二次项，a叫做二次项系数；b x叫做一元二次方程的一次项，b叫做一次项系数； c叫做常数项
练一练：
（1）把下列方程化为一般形式并填表（投影空白表，学生板演）。
原方程 一般形式 a b c
4x =3x 4x -3x+0=0 4 3 0
(x 1) 9=0 x 2x 8=0 1 2 8
x(x+2)=3(x+2) x x 6=0 1 1 6
讲评注意：符号、缺项补0。
下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由。（学生口答）
①x+2=5x 3（×） ②x =4（√）③ x 4=(x+2) （×）④+3x=1（×）
思考：①方程（2a-4)x -2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？
②什么条件下该方程为一元一次方程
当2a-4≠0时，即a≠2时，该方程为一元二次方程；当2a-4=0时且b≠0时，即a≠2且b≠0时该方程为一元一次方程。使学生注意一元二次方程方程的二次项系数a不能等于0。并区分一元二次方程和一元一次方程。
一元二次方程的根
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)。
练一练
1.已知关于 x 的一元二次方程(m-2)x +3x+m -4=0 的一个根是0, 求m 的值 （小组讨论，小组代表板书）
解：将x=0 代入关于x 的方程(m-2)x +3x+m -4=0 中得
m -4=0整理得m =4 ∴m=±2
∵(m-2)x +3x+m -4=0为一元二次方程∴m-2≠0, 即m≠2∴m=-2
故m 的值为2。
2.试写出下列方程的根
（1）x =9（x =3，x =-3）（2）（x-2）=9 （x =5，x =-1）(3)3x =-4（无实数根）
想一想：一元二次方程的根与一元一次方程有什么不同？
学生回答：一元一次方程的根是唯一的确定的，一元二次方程的根可能有两个或者无实数根。
师总结：一元二次方程系数不同则方程不同，方程的根也不同，所以我们后期会研究一元二次方程根与系数之间的关系。
课堂小结
作业布置（课后小组完成，下节汇报）
请根据以下情景小组共同列出方程并化为一般形式，判断其是否为一元二次方程
情境一：学校要在一块长为10米，宽为8米的矩形空地上修建一个面积为48平方米的矩形花坛，要求花坛四周的小路宽度相等，求小路的宽度。
情境二：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查发现，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
情境三：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
板书设计：22.1 一元二次方程
1.定义：含一个未知数，且未知数最高次数2的整式方程。
2.一般形式：ax +bx+c=0 (a≠0)
a：二次项系数
b：一次项系数
c：常数项
3.数学思想：类比
学习目标
1.学生能准确说出一元二次方程的概念，识别方程是否为一元二次方程；能熟练将一元二次方程化为一般形式，准确指出各项系数；能根据实际问题列出一元二次方程。(重点)
2.通过观察、类比、分析实际问题中数量关系，经历建立一元二次方程模型的过程，培养学生的数学建模能力和逻辑思维能力；在探究一元二次方程概念的过程中，提高学生归纳总结的能力； (难点)
二、复习导入
1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？
含有未知数的等式；使方程等号左右两边相等的未知数的值。
我们之前学过什么方程？
一元一次方程；二元一次方程；分式方程
4.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程.
一般形式：ax+b=0 (a≠0)
方程一种描述现实世界，数量关系的模型，所以我们之前学习方程都是通过实际问题入手，将它抽象为数学问题，从中分析已知量、未知量和数量关系，设出未知数，列出方程，求出方程的解并检验，从而求出实际问题的解。，同样今天我们依然从实际问题出发来学习新的方程。
三、新课讲授
1.一元二次方程及其一般形式
问题1 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积 为900平方米的矩形绿地，并且长比 宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
思考：根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？（方程）
设未知数：设矩形的宽为x 米，则根据题意知长为(x+10) 米。
根据等量关系列方程： x(x+10)=900 去括号得： x +10 x-900=0①
问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万 册.求这两年的年平均增长率.
分析：如果假设这两年的年平均增长率是x,去年年底图书为5万册，那么今年年底有图书为 5（1+x）万册，明年年底有图书为5（1+x）（1+x）万册。可列方程为：5(1+x) =7.2，去括号整理可得：5x +10x-2.2=0②
思考：x +10x-900=0①5x +10x-2.2=0②这两个方程与一元一次方程有什么区别 这两个方程的共同特点是什么？学生回答：和一元一次方程的区别是未知数的最高次数不是一次，而是二次；这两个方程的共同特点：1.只含有一个未知数，2.未知数的最高次数是2，3.都是整式方程。
归纳总结：类比一元一次方程，你能给这类方程下定义？并写出它的一般形式吗？
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为a x 2 + b x + c = 0 的形式,我们把a x 2 + b x + c = 0(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中a x 2叫做一元二次方程的二次项，a叫做二次项系数；b x叫做一元二次方程的一次项，b叫做一次项系数； c叫做常数项
练一练：
（1）把下列方程化为一般形式并填表（投影空白表，学生板演）。
原方程 一般形式 a b c
4x =3x 4x -3x+0=0 4 3 0
(x 1) 9=0 x 2x 8=0 1 2 8
x(x+2)=3(x+2) x x 6=0 1 1 6
讲评注意：符号、缺项补0。
下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由。（学生口答）
①x+2=5x 3（×） ②x =4（√）③ x 4=(x+2) （×）④+3x=1（×）
思考：①方程（2a-4)x -2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？
②什么条件下该方程为一元一次方程
当2a-4≠0时，即a≠2时，该方程为一元二次方程；当2a-4=0时且b≠0时，即a≠2且b≠0时该方程为一元一次方程。使学生注意一元二次方程方程的二次项系数a不能等于0。并区分一元二次方程和一元一次方程。
一元二次方程的根
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根)。
练一练
1.已知关于 x 的一元二次方程(m-2)x +3x+m -4=0 的一个根是0, 求m 的值 （小组讨论，小组代表板书）
解：将x=0 代入关于x 的方程(m-2)x +3x+m -4=0 中得
m -4=0整理得m =4 ∴m=±2
∵(m-2)x +3x+m -4=0为一元二次方程∴m-2≠0, 即m≠2∴m=-2
故m 的值为2。
2.试写出下列方程的根
（1）x =9（x =3，x =-3）（2）（x-2）=9 （x =5，x =-1）(3)3x =-4（无实数根）
想一想：一元二次方程的根与一元一次方程有什么不同？
学生回答：一元一次方程的根是唯一的确定的，一元二次方程的根可能有两个或者无实数根。
师总结：一元二次方程系数不同则方程不同，方程的根也不同，所以我们后期会研究一元二次方程根与系数之间的关系。
课堂小结
作业布置（课后小组完成，下节汇报）
请根据以下情景小组共同列出方程并化为一般形式，判断其是否为一元二次方程
情境一：学校要在一块长为10米，宽为8米的矩形空地上修建一个面积为48平方米的矩形花坛，要求花坛四周的小路宽度相等，求小路的宽度。
情境二：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。调查发现，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个。为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
情境三：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
板书设计：22.1 一元二次方程
1.定义：含一个未知数，且未知数最高次数2的整式方程。
2.一般形式：ax +bx+c=0 (a≠0)
a：二次项系数
b：一次项系数
c：常数项
3.数学思想：类比