青海省西宁市2025年中考数学真题
1．（2025·西宁） 下列四个实数中，最大的是（ ）
A．-7 B．0 C． D．
2．（2025·西宁）在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早. 如图1所示，鼓的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·西宁） 下列说法正确的是（ ）
A．概率很大的事件一定会发生
B．“任意画一个三角形，其外角和是360°”是必然事件
C．两组身高数据的方差分别是 ，，则乙组的身高更整齐
D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖
4．（2025·西宁） 当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·西宁） 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·西宁） 如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN.根据以上作图过程，有以下结论：
①是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分；④四边形AMPN是菱形；⑤.
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2025·西宁） 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A， B，与反比例函数的图象交于点C(1，2)， D(m， ). 下列结论错.误的是（ ）
A． B．与的面积相等
C．的面积是 D．当时，
8．（2025·西宁） 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P. 若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·西宁）相反数等于它本身的数是 ．
10．（2025·西宁） 分解因式： .
11．（2025·西宁） 等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 .
12．（2025·西宁） 如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东63°方向走到C处，则的度数是 .
13．（2025·西宁） 如图，四边形ABCD是的外切四边形，，.则四边形ABCD的周长为 .
14．（2025·西宁） 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，垂足为E，连接OE. 若，，则菱形ABCD的面积是 .
15．（2025·西宁） 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值 .
16．（2025·西宁） 如图，在正五边形ABCDE内， 以AB为边作等边， 再以点A为圆心， AE长为半径画弧. 若， 则阴影部分的面积是 .
17．（2025·西宁） 在平面直角坐标系xOy中，点A(4，0)，点P在过原点的直线l上，且，则直线l的解析式是 .
18．（2025·西宁） 如图1，在Rt中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q. 设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则BC的长为 .
19．（2025·西宁）（1） 计算：.
（2） 化简：.
20．（2025·西宁）先化简，再求值：，其中m满足.
21．（2025·西宁）如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE，将沿DE所在直线折叠，点C落在点F处，连接EF并延长交AB于点G，连接DG.
（1） 求证： ；
（2） 若 ， 求AG的长.
22．（2025·西宁）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片.某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目.数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷.
（1）【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，请回答下列问题：
本次抽样调查的样本容量是 ；
（2） 扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是 ；
（3）【做出合理估计】
若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
（4）【解决概率问题】
文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动：在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D（A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品.甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个.请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率.
23．（2025·西宁） 西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫.某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区.若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元.
（1）求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？
（2）该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？
24．（2025·西宁）如图，AB，AC是的弦，，半径OE，OF分别与弦AB，AC垂直，垂足分别为G，H，交OE于点M，交OF于点N，连接OA.
（1） 求证：；
（2） 求证：四边形AMON是菱形；
（3） 若，，则 .
25．（2025·西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是(-1，0)，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点A'.
（1） 直接写出A'点的坐标和抛物线的对称轴；
（2） 当时，y有最大值为，求抛物线的解析式；
（3） 在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A'， P， M， N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.
26．（2025·西宁）综合与实践
【问题提出】
原题呈现(人教版九年级下册85页第14题)
如图13-1，在锐角中，探究 ， ，之间的关系.
（1）【问题探究】
将下列探究过程补充完整：
如图1， 过点A作， 垂足为D， 过点B作， 垂足为E.
在中∴
在中∴
∴ 即
同理 在中
在中
∴ =
即
；
（2）【结论应用】
如图 2，在 中，，，.求 AC， BC 的长.（结果保留小数点后一位；参考数据： ）
（3）【深度探究】
如图3， 是锐角 的外接圆，半径为 R.
求证： .
（4）【拓展应用】
如图 4，在 中，，，，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径的 分别交 AB， AC 于点 E， F，连接 EF. 则线段 EF 长度的最小值是 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：根据实数的大小比较法则，可知正数大于0，0大于负数，
所以可以确定A，B，C中C选项最大，然后估算的大小可知，它在5和6之间，
故可以确定最大，
故答案为： D.
【分析】根据实数的大小比较法则， 估算的值可知它在5和6之间，即可确定.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据图片所示，鼓由上下两个圆柱和中间一个圆台，
所以可以确定主视图的样式为选项A.
故答案为： A.
【分析】根据立体图形的组成可确定其主视图.
3．【答案】B
【知识点】方差；事件发生的可能性；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：选项 A：概率很大的事件只是发生的可能性大，并非一定会发生，故 A 错误；
选项 B：任意三角形的外角和恒为360°，因此 “任意画一个三角形，其外角和是360° 是必然事件，故 B 正确；
选项 C：方差越小，数据波动越小、越整齐，所以甲组身高更整齐，故 C 错误；
选项 D：中奖概率为 表示每次抽奖的中奖可能性为 ，不代表抽奖 10 次就一定有 1 次中奖（只是长期抽奖的平均结果），故 D 错误.
故答案为：B .
【分析】 根据概率的意义、必然事件的定义、方差的意义，逐一分析选项的正确性即可.
4．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：选项A：对于代数式，当x=1时，分母为零，此时无意义，故选项A不符合题意；
选项B：对于代数式，当x=1时，分母不为零，被开方数为0，故选项B正确，符合题意；
选项C：对于代数式 ，当x=1时，分母为零，被开方数小于零，此时代数式无意义，故选项C不符合题意；
选项D：对于代数式，当x=1时，被开方数小于零，此时代数式无意义，故选项D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据二次根式有意义的条件，结合代数式的形式，被开方数大于等于零，分母不为零即可以判断.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；负整数指数幂；积的乘方运算；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：选项 A：由负整数指数幂法则，得 ，故 A 错误；
选项 B：24=16，29=512，则24+29=528≠8，故 B 错误；
选项 C：根据单项式乘法法则， ，故 C 正确；
选项 D：由积的乘方法则， ，故 D 错误.
故答案为：C .
【分析】 根据负整数指数幂、有理数加法、单项式乘单项式、积的乘方的运算法则，分别计算各选项并判断对错即可.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；求余弦值
【解析】【解答】解：结论①：由作图知AM = AN，但MN与AM长度不一定相等，故△AMN是等腰三角形，非等边三角形，①错误；结论②：因为AM = AN，PM = PN，根据 “到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上”，A、P都在MN的垂直平分线上，故AP垂直平分MN，②正确；结论③：由PM = PN，AP垂直平分MN，根据等腰三角形 “三线合一”，PA平分∠MPN，③正确；结论④：AM = AN（A为圆心的弧），但AM与PM长度不一定相等，故四边形AMPN四条边不全相等，不是菱形，④错误；结论⑤：由PM = PN = MN，得△MPN是等边三角形，∠MPN=60°，故 ，⑤正确，综上，正确的结论为②③⑤，共3个，
故答案为：B .
【分析】 根据作图得到的线段相等关系，结合垂直平分线判定、等腰（等边）三角形性质、菱形判定、三角函数值，逐一判断每个结论的正确性即可.
7．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：反比例函数 过C(1， 2)，得k2 = 1×2 = 2，即，点在y2上，代入解得m=4，即，
一次函数y1=k1x+b过C(1， 2)、，代入得方程组：，
解得，故，
分析选项 A：由 ，选项 A正确；
分析选项 B：根据一次函数解析式与x，y轴交于A，B两点，可求A(5， 0)、，
两者面积相等，选项 B正确；
分析选项 C：过C、D作x轴垂线，利用反比例函数k的几何意义，，，故选项 C错误；
分析选项 D：由图象，当时，y1图象在y2图象上方，故，选项 D正确.
综上，错误的结论是C，
故答案为：C .
【分析】先利用反比例函数上的点求出k2和m的值，再求一次函数解析式，然后通过计算面积、分析函数图象位置关系，逐一判断各选项对错.
8．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；“赵爽弦图”模型；求正切值
【解析】【解答】解：由题意， 设△BGC的边长BC=c，CG=b，BG=a，
∴小正方形EFGH的边长FG=a-b，
∵BP=BC，BG⊥PC，
∴CG=GP=b.
∴HP=a-2b.
∵DE//BG，
∴，
∴，
∴b2+2ab-a2=0，
∴，
∴（负根不合题意，舍去）
∴tan∠CBG=，
故答案为：A .
【分析】设BC=c，CG=b，BG=a，利用正方形性质、平行线分线段成比例及一元二次方程的解法，求出∠CBG的对边与邻边的长度关系，进而计算正切值.
9．【答案】0
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：0的相反数是其本身．
故答案为：0．
【分析】根据相反数的定义“只有符号相反的两个数互为相反数.0的相反数是其本身”即可求解.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：根据因式分解的步骤：
先提公因式：，
再使用平方差公式得： ，
故答案为： .
【分析】根据因式分解的步骤，先提公因式，再根据结果使用公式，然后检查是否完全分解.
11．【答案】7
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意知，等腰三角形的两腰相等，根据两个边长为3和7，
当腰长为3时，3+3<7，故不满足三边关系，舍去；
当腰长为7时，3+7>7，满足三边关系，
故第三边的长为7，
故答案为： 7.
【分析】首先根据等腰三角形的两腰相等，结合边长为3和7，分类讨论后，结合三角形的三边关系，即可确定.
12．【答案】
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：根据题意标注字母如图所示：
可知∠1=45°，∠1=45°，∠3=63°，
故∠ABC=∠2+∠3=45°+63°=108°，
故答案为： 108°.
【分析】结合题意画出如图所示，然后根据角的和差即可得到∠ABC的度数.
13．【答案】48
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：根据题意进行标注如下图：
因为四边形ABCD是的外切四边形，
所以AH=AG，BH=BE，CE=CF，DG=DF，
所以四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=AH+BH+BE+CE+CF+DF+DG+AG=2(AB+CD)
=2×(9+15)=48，
故答案为：48 .
【分析】先根据题意标注字母，然后根据切线长定理得到线段相等，然后将四边形ABCD的周长等量代换即可确定.
14．【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据菱形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且平分，
所以，且O是AC的中点。
因为 ，
所以△AEC是直角三角形；
又O为AC中点，
所以AC = 2OE =，
所以，
综上，菱形ABCD的面积是，
故答案为： .
【分析】利用菱形对角线互相平分和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出对角线AC的长度，再用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积即可.
15．【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意可知关于x的一元二次方程根的判别式△>0，且k≠0，
即：，
解得：k<0且k≠0，
故满足条件的值可以为-1(答案不唯一)，
故答案为： -1(答案不唯一).
【分析】根据题意可知，根的判别式大于零，然后得到关于k的不等式，结合k≠0，即可确定k的取值范围，然后写出一个满足条件的k的值即可.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：因为五边形ABCDE为正五边形，
所以AE=AB=3，∠BAE=108°，
因为三角形ABF为等边三角形，
所以∠BAF=60°，
所以∠EAF=∠BAE-∠BAF=108°-60°=48°，
所以，
故答案为： .
【分析】首先根据题意得到正五边形的内角，然后根据等边三角形的性质得到∠FAB=60°，求出∠EAF的度数，然后根据扇形的面积公式即可求得.
17．【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：已知A(4，0)，OP=AP=4，则△OAP为等腰三角形。
过P作PD⊥OA于D，
由三线合一得OD=DA=2(D为OA中点，坐标(2，0)，
在Rt△OPD中，OP=4，OD=2，
由勾股定理得：，
因此，点P的坐标为或，
设直线l的解析式为y=kx，
当P时，代入得，解得，解析式为；
当P时，代入得，解得，解析式为，
故答案为：或 .
【分析】先利用等腰三角形三线合一和勾股定理求出点P的坐标，再用待定系数法求过原点的直线l的解析式即可.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图象可知，当点P到达点B时，此时点Q与点C重合，
当点P在BC上运动时，点Q的位置始终保持不变，AQ的值为AC的长，为定值，y随着x的增大逐渐减小，
当点P运动到PC＝ AC时，此时 x=4， y=0，
当P点与C点重合时，此时PQ＝0，y＝PQ - AQ＝0- AC＝-2， 即AC＝2，
设点P运动到PC＝AC时，BP＝a，则AB =4-a，BC＝2+a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：(4-a)2= (2+a)2+22，
解得，
所以，
故答案为：.
【分析】根据函数图象获取点的位置信息， 进而确定线段长度关系， 再利用勾股定理列出方程求解，进而可以得到BC的长.
19．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
【知识点】整式的混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】 (1)涉及三次根式、平方根、绝对值的计算，根据二次根式的运算法则，需注意符号处理；
(2)展开完全平方和平方差公式后合并同类项运算即可.
20．【答案】解： 原式=
解方程，得
当时
原式.
【知识点】配方法解一元二次方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】 先化简分式，再代入满足条件的m值求值，首先处理分式的除法运算，转化为乘法后约分；然后解方程求出m的可能值，注意排除使分母为零的情况；最后代入有效解进行计算即可.
21．【答案】（1）证明：由折叠可得
四边形是正方形，
在和中
；
（2）解： ∵∴
∵E是BC的中点 ∴
∵∴
设 ∴
在Rt△GBE中
∵（勾股定理） ∴
解得
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)已知折叠后FC=DC，且DC=AD，结合公共边DC和直角条件，可利用HL定理证明全等；
(2)已知 ，需通过坐标系或几何关系求AG的长度，通过折叠后的对称性确定点F坐标，进而求出EF的方程，找到与AB的交点G，计算AG的距离.
22．【答案】（1）120
（2）96°
（3）解： （人）
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人.
（4）解：根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即AA，AB，AC，AD，BA，BB，BC，BD，CA，CB，CC，CD，DA，DB，DC，DD，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品结果共有4种，即AA，BB，CC，DD，
所以， P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)==.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)由条形图知“冰箱贴”有36人，扇形图中“冰箱贴”占30%，因此样本容量为36÷30%=120；
(2)样本容量为120，已知“冰箱贴”36人、“创意摆件”12人、“手机挂件”40人，故“玩偶”人
数为120-36-12-40-32人，
则“玩偶”对应扇形的圆心角为；
故答案为：120，96°；
【分析】(1)利用“冰箱贴”的人数及其在扇形图中的占比，通过“部分数量÷对应百分比”计算样本容量；
(2)先求出“玩偶”的人数，再根据“圆心角=（玩偶人数÷样本容量）×360°”计算圆心角；
(3)先求样本中“手机挂件”的人数占比，再用全校总人数乘以该占比，估计全校喜爱手机挂件的人数；
(4)根据题意画出树状图，然后用满足条件的结果除所有可能出现的结果即可得到概率.
23．【答案】（1）解： 设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元.
根据题意，列方程组
解方程组
答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元；
（2）解：设购买紫丁香m株，总费用为w元.
∵∴ w随m的增大而增大
又 ∵∴ 当时，
答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元.
【知识点】一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设白丁香和紫丁香的单价分别为x元和y元，根据题意列出方程组求解即可；
(2)设购买白丁香m株，则紫丁香为45-m株，根据紫丁香数量约束45-m≥20，即m≤25，总费用为w=10m+15(45-m)，然后根据一次函数的性质，确定最小值即可.
24．【答案】（1）证明： ， OE， OF 是的半径
∴ （垂径定理）
∵ ，
∴，
又 ∵ ， ，
∴ OA 平分，（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
∴；
（2）证明： ，
∴，
，
∴，
，（等角对等边）
， ，
∴ 四边形AMON是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴ 四边形AMON是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3）
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；垂径定理；角平分线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（3）如图所示，连接MN交OA于点P.
四边形AMON是菱形
【分析】
(1)先利用垂径定理证明AG=AH，再由角平分线的判定定理证OA平分∠EOF即可；
(2)先由角平分的概念和平行线的性质证明AM=OM，再利用平行四边形的概念证明四边形AMON是平行四边形，再由菱形的概念证明平行四边形AMON是菱形即可；
(3)由于菱形的对角线互相垂直平分，可连接MN交OA于点P，则OP等于OA的一半等于5，再由垂径定理结合勾股定理可得AG=8、OG=6，再由同角的余角相等可得，则解直角三角形可得，最后再应用比例的性质代值计算即可.
25．【答案】（1）解： A'（0，1），抛物线的对称轴是直线
（2）解：抛物线的对称轴是直线
当时，y有最大值为
，
，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x；
（3）解：存在，所有符合条件的 N 点的坐标是 (2，1)， (-2， ).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：(1)∵点A(-1，0)以原点为中心顺时针旋转90°，
∴A(-1，0)规律得旋转后A'的坐标为(0，1)；
∵抛物线的解析式为，
∴其对称轴为，
故答案为：A'(0，1)，抛物线的对称轴是直线 ；
(3)存在，理由如下：
∵y=-x2+4x，
∴当x=2时，y=4，
∴P(2，4)，
设M(0，m)，N(s，t)，
由(1)知A'(0，1)，
当以点A'， P， M， N为顶点的四边形是矩形时，分以下两种情况：
①当A'P为对角线时，则△AMP为以M点为顶点的直角三角形，PN||A'M，即PN||y轴，A'N||PM，
∴PM⊥y轴，A'N⊥y轴，
∴M(0，4)，N(2，1)；
②当以A'M为对角线时，
则，
解得：，
∴M(0，t+3)，N(-2，t)，
∵A'M=PN，
∴(t+3-1)2=(2+2)2+(4-t)2，
解得，
∴，
所有符合条件的 N 点的坐标是 (2，1)， (-2， ).
【分析】(1)利用点顺时针旋转90°的坐标变化规律得A'坐标，根据抛物线对称轴公式求对称轴；
(2)由a<0知抛物线开口向下，结合对称轴x=2，判断3≤x≤5时y的最大值在x=3处，代入解析式求a，得抛物线解析式；
(3)先确定顶点P坐标，再分“A'M为对角线”“A'P为对角线”两种情况，结合矩形性质，通过坐标运算求符合条件的点N坐标即可.
26．【答案】（1）；；；
（2）解： ， ， ，
，
，
，
，
，，
即 ，；
（3）证明：连接 BO 并延长交 于点 D，连接 DC，
∵BD 是 的直径，
在 中，，
，
，
即 ；
由 (1) 可知：，
.
（4）
【知识点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形；圆周角定理的推论；正弦定理和余弦定理
【解析】【解答】解：(4)由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，，
∴，即此时圆的直径为2，
∴OE=1，
由圆周角定理可知，
∴在Rt△EOH中，，
由垂径定理可知，
故答案为：.
【分析】(1)根据探究过程，构造直角三角形，然后在不同的直角三角形中，根据三角函数的定义，解直角三角形即可得到BE的长，然后即可得到结论；
(2)首先利用三角形的内角和定理，得到∠C的度数，然后利用(1)中的结论，即可得到a，b的值；
(3)首先根据圆周角定理的推论，得到△BDC为直角三角形，然后利用(1)中的结论，得到，进而得到要证明的结论；
(4)首先由垂线段最短求出AD的最小值，然后根据垂径定理和圆周角定理，结合(1)中的结论建立EF与直径AD的数量关系，进而代入求得EF的最小值.
1 / 1青海省西宁市2025年中考数学真题
1．（2025·西宁） 下列四个实数中，最大的是（ ）
A．-7 B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：根据实数的大小比较法则，可知正数大于0，0大于负数，
所以可以确定A，B，C中C选项最大，然后估算的大小可知，它在5和6之间，
故可以确定最大，
故答案为： D.
【分析】根据实数的大小比较法则， 估算的值可知它在5和6之间，即可确定.
2．（2025·西宁）在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早. 如图1所示，鼓的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据图片所示，鼓由上下两个圆柱和中间一个圆台，
所以可以确定主视图的样式为选项A.
故答案为： A.
【分析】根据立体图形的组成可确定其主视图.
3．（2025·西宁） 下列说法正确的是（ ）
A．概率很大的事件一定会发生
B．“任意画一个三角形，其外角和是360°”是必然事件
C．两组身高数据的方差分别是 ，，则乙组的身高更整齐
D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖
【答案】B
【知识点】方差；事件发生的可能性；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：选项 A：概率很大的事件只是发生的可能性大，并非一定会发生，故 A 错误；
选项 B：任意三角形的外角和恒为360°，因此 “任意画一个三角形，其外角和是360° 是必然事件，故 B 正确；
选项 C：方差越小，数据波动越小、越整齐，所以甲组身高更整齐，故 C 错误；
选项 D：中奖概率为 表示每次抽奖的中奖可能性为 ，不代表抽奖 10 次就一定有 1 次中奖（只是长期抽奖的平均结果），故 D 错误.
故答案为：B .
【分析】 根据概率的意义、必然事件的定义、方差的意义，逐一分析选项的正确性即可.
4．（2025·西宁） 当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：选项A：对于代数式，当x=1时，分母为零，此时无意义，故选项A不符合题意；
选项B：对于代数式，当x=1时，分母不为零，被开方数为0，故选项B正确，符合题意；
选项C：对于代数式 ，当x=1时，分母为零，被开方数小于零，此时代数式无意义，故选项C不符合题意；
选项D：对于代数式，当x=1时，被开方数小于零，此时代数式无意义，故选项D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据二次根式有意义的条件，结合代数式的形式，被开方数大于等于零，分母不为零即可以判断.
5．（2025·西宁） 下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；负整数指数幂；积的乘方运算；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：选项 A：由负整数指数幂法则，得 ，故 A 错误；
选项 B：24=16，29=512，则24+29=528≠8，故 B 错误；
选项 C：根据单项式乘法法则， ，故 C 正确；
选项 D：由积的乘方法则， ，故 D 错误.
故答案为：C .
【分析】 根据负整数指数幂、有理数加法、单项式乘单项式、积的乘方的运算法则，分别计算各选项并判断对错即可.
6．（2025·西宁） 如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN.根据以上作图过程，有以下结论：
①是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分；④四边形AMPN是菱形；⑤.
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；求余弦值
【解析】【解答】解：结论①：由作图知AM = AN，但MN与AM长度不一定相等，故△AMN是等腰三角形，非等边三角形，①错误；结论②：因为AM = AN，PM = PN，根据 “到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上”，A、P都在MN的垂直平分线上，故AP垂直平分MN，②正确；结论③：由PM = PN，AP垂直平分MN，根据等腰三角形 “三线合一”，PA平分∠MPN，③正确；结论④：AM = AN（A为圆心的弧），但AM与PM长度不一定相等，故四边形AMPN四条边不全相等，不是菱形，④错误；结论⑤：由PM = PN = MN，得△MPN是等边三角形，∠MPN=60°，故 ，⑤正确，综上，正确的结论为②③⑤，共3个，
故答案为：B .
【分析】 根据作图得到的线段相等关系，结合垂直平分线判定、等腰（等边）三角形性质、菱形判定、三角函数值，逐一判断每个结论的正确性即可.
7．（2025·西宁） 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A， B，与反比例函数的图象交于点C(1，2)， D(m， ). 下列结论错.误的是（ ）
A． B．与的面积相等
C．的面积是 D．当时，
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：反比例函数 过C(1， 2)，得k2 = 1×2 = 2，即，点在y2上，代入解得m=4，即，
一次函数y1=k1x+b过C(1， 2)、，代入得方程组：，
解得，故，
分析选项 A：由 ，选项 A正确；
分析选项 B：根据一次函数解析式与x，y轴交于A，B两点，可求A(5， 0)、，
两者面积相等，选项 B正确；
分析选项 C：过C、D作x轴垂线，利用反比例函数k的几何意义，，，故选项 C错误；
分析选项 D：由图象，当时，y1图象在y2图象上方，故，选项 D正确.
综上，错误的结论是C，
故答案为：C .
【分析】先利用反比例函数上的点求出k2和m的值，再求一次函数解析式，然后通过计算面积、分析函数图象位置关系，逐一判断各选项对错.
8．（2025·西宁） 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连接BD交CH于点P. 若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；“赵爽弦图”模型；求正切值
【解析】【解答】解：由题意， 设△BGC的边长BC=c，CG=b，BG=a，
∴小正方形EFGH的边长FG=a-b，
∵BP=BC，BG⊥PC，
∴CG=GP=b.
∴HP=a-2b.
∵DE//BG，
∴，
∴，
∴b2+2ab-a2=0，
∴，
∴（负根不合题意，舍去）
∴tan∠CBG=，
故答案为：A .
【分析】设BC=c，CG=b，BG=a，利用正方形性质、平行线分线段成比例及一元二次方程的解法，求出∠CBG的对边与邻边的长度关系，进而计算正切值.
9．（2025·西宁）相反数等于它本身的数是 ．
【答案】0
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：0的相反数是其本身．
故答案为：0．
【分析】根据相反数的定义“只有符号相反的两个数互为相反数.0的相反数是其本身”即可求解.
10．（2025·西宁） 分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：根据因式分解的步骤：
先提公因式：，
再使用平方差公式得： ，
故答案为： .
【分析】根据因式分解的步骤，先提公因式，再根据结果使用公式，然后检查是否完全分解.
11．（2025·西宁） 等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为 .
【答案】7
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意知，等腰三角形的两腰相等，根据两个边长为3和7，
当腰长为3时，3+3<7，故不满足三边关系，舍去；
当腰长为7时，3+7>7，满足三边关系，
故第三边的长为7，
故答案为： 7.
【分析】首先根据等腰三角形的两腰相等，结合边长为3和7，分类讨论后，结合三角形的三边关系，即可确定.
12．（2025·西宁） 如图，小明从A处沿东北方向走到B处，再从B处沿南偏东63°方向走到C处，则的度数是 .
【答案】
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：根据题意标注字母如图所示：
可知∠1=45°，∠1=45°，∠3=63°，
故∠ABC=∠2+∠3=45°+63°=108°，
故答案为： 108°.
【分析】结合题意画出如图所示，然后根据角的和差即可得到∠ABC的度数.
13．（2025·西宁） 如图，四边形ABCD是的外切四边形，，.则四边形ABCD的周长为 .
【答案】48
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：根据题意进行标注如下图：
因为四边形ABCD是的外切四边形，
所以AH=AG，BH=BE，CE=CF，DG=DF，
所以四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=AH+BH+BE+CE+CF+DF+DG+AG=2(AB+CD)
=2×(9+15)=48，
故答案为：48 .
【分析】先根据题意标注字母，然后根据切线长定理得到线段相等，然后将四边形ABCD的周长等量代换即可确定.
14．（2025·西宁） 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，垂足为E，连接OE. 若，，则菱形ABCD的面积是 .
【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据菱形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且平分，
所以，且O是AC的中点。
因为 ，
所以△AEC是直角三角形；
又O为AC中点，
所以AC = 2OE =，
所以，
综上，菱形ABCD的面积是，
故答案为： .
【分析】利用菱形对角线互相平分和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出对角线AC的长度，再用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积即可.
15．（2025·西宁） 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值 .
【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意可知关于x的一元二次方程根的判别式△>0，且k≠0，
即：，
解得：k<0且k≠0，
故满足条件的值可以为-1(答案不唯一)，
故答案为： -1(答案不唯一).
【分析】根据题意可知，根的判别式大于零，然后得到关于k的不等式，结合k≠0，即可确定k的取值范围，然后写出一个满足条件的k的值即可.
16．（2025·西宁） 如图，在正五边形ABCDE内， 以AB为边作等边， 再以点A为圆心， AE长为半径画弧. 若， 则阴影部分的面积是 .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：因为五边形ABCDE为正五边形，
所以AE=AB=3，∠BAE=108°，
因为三角形ABF为等边三角形，
所以∠BAF=60°，
所以∠EAF=∠BAE-∠BAF=108°-60°=48°，
所以，
故答案为： .
【分析】首先根据题意得到正五边形的内角，然后根据等边三角形的性质得到∠FAB=60°，求出∠EAF的度数，然后根据扇形的面积公式即可求得.
17．（2025·西宁） 在平面直角坐标系xOy中，点A(4，0)，点P在过原点的直线l上，且，则直线l的解析式是 .
【答案】或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：已知A(4，0)，OP=AP=4，则△OAP为等腰三角形。
过P作PD⊥OA于D，
由三线合一得OD=DA=2(D为OA中点，坐标(2，0)，
在Rt△OPD中，OP=4，OD=2，
由勾股定理得：，
因此，点P的坐标为或，
设直线l的解析式为y=kx，
当P时，代入得，解得，解析式为；
当P时，代入得，解得，解析式为，
故答案为：或 .
【分析】先利用等腰三角形三线合一和勾股定理求出点P的坐标，再用待定系数法求过原点的直线l的解析式即可.
18．（2025·西宁） 如图1，在Rt中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q. 设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则BC的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图象可知，当点P到达点B时，此时点Q与点C重合，
当点P在BC上运动时，点Q的位置始终保持不变，AQ的值为AC的长，为定值，y随着x的增大逐渐减小，
当点P运动到PC＝ AC时，此时 x=4， y=0，
当P点与C点重合时，此时PQ＝0，y＝PQ - AQ＝0- AC＝-2， 即AC＝2，
设点P运动到PC＝AC时，BP＝a，则AB =4-a，BC＝2+a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：(4-a)2= (2+a)2+22，
解得，
所以，
故答案为：.
【分析】根据函数图象获取点的位置信息， 进而确定线段长度关系， 再利用勾股定理列出方程求解，进而可以得到BC的长.
19．（2025·西宁）（1） 计算：.
（2） 化简：.
【答案】（1）解：原式
.
（2）解：原式
.
【知识点】整式的混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】 (1)涉及三次根式、平方根、绝对值的计算，根据二次根式的运算法则，需注意符号处理；
(2)展开完全平方和平方差公式后合并同类项运算即可.
20．（2025·西宁）先化简，再求值：，其中m满足.
【答案】解： 原式=
解方程，得
当时
原式.
【知识点】配方法解一元二次方程；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】 先化简分式，再代入满足条件的m值求值，首先处理分式的除法运算，转化为乘法后约分；然后解方程求出m的可能值，注意排除使分母为零的情况；最后代入有效解进行计算即可.
21．（2025·西宁）如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE，将沿DE所在直线折叠，点C落在点F处，连接EF并延长交AB于点G，连接DG.
（1） 求证： ；
（2） 若 ， 求AG的长.
【答案】（1）证明：由折叠可得
四边形是正方形，
在和中
；
（2）解： ∵∴
∵E是BC的中点 ∴
∵∴
设 ∴
在Rt△GBE中
∵（勾股定理） ∴
解得
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)已知折叠后FC=DC，且DC=AD，结合公共边DC和直角条件，可利用HL定理证明全等；
(2)已知 ，需通过坐标系或几何关系求AG的长度，通过折叠后的对称性确定点F坐标，进而求出EF的方程，找到与AB的交点G，计算AG的距离.
22．（2025·西宁）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片.某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目.数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷.
（1）【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，请回答下列问题：
本次抽样调查的样本容量是 ；
（2） 扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是 ；
（3）【做出合理估计】
若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
（4）【解决概率问题】
文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动：在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D（A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件），摸出哪个小球就获得相应的文创产品.甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个.请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率.
【答案】（1）120
（2）96°
（3）解： （人）
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人.
（4）解：根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即AA，AB，AC，AD，BA，BB，BC，BD，CA，CB，CC，CD，DA，DB，DC，DD，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品结果共有4种，即AA，BB，CC，DD，
所以， P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)==.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)由条形图知“冰箱贴”有36人，扇形图中“冰箱贴”占30%，因此样本容量为36÷30%=120；
(2)样本容量为120，已知“冰箱贴”36人、“创意摆件”12人、“手机挂件”40人，故“玩偶”人
数为120-36-12-40-32人，
则“玩偶”对应扇形的圆心角为；
故答案为：120，96°；
【分析】(1)利用“冰箱贴”的人数及其在扇形图中的占比，通过“部分数量÷对应百分比”计算样本容量；
(2)先求出“玩偶”的人数，再根据“圆心角=（玩偶人数÷样本容量）×360°”计算圆心角；
(3)先求样本中“手机挂件”的人数占比，再用全校总人数乘以该占比，估计全校喜爱手机挂件的人数；
(4)根据题意画出树状图，然后用满足条件的结果除所有可能出现的结果即可得到概率.
23．（2025·西宁） 西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫.某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区.若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元.
（1）求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？
（2）该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？
【答案】（1）解： 设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元.
根据题意，列方程组
解方程组
答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元；
（2）解：设购买紫丁香m株，总费用为w元.
∵∴ w随m的增大而增大
又 ∵∴ 当时，
答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元.
【知识点】一次函数的性质；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设白丁香和紫丁香的单价分别为x元和y元，根据题意列出方程组求解即可；
(2)设购买白丁香m株，则紫丁香为45-m株，根据紫丁香数量约束45-m≥20，即m≤25，总费用为w=10m+15(45-m)，然后根据一次函数的性质，确定最小值即可.
24．（2025·西宁）如图，AB，AC是的弦，，半径OE，OF分别与弦AB，AC垂直，垂足分别为G，H，交OE于点M，交OF于点N，连接OA.
（1） 求证：；
（2） 求证：四边形AMON是菱形；
（3） 若，，则 .
【答案】（1）证明： ， OE， OF 是的半径
∴ （垂径定理）
∵ ，
∴，
又 ∵ ， ，
∴ OA 平分，（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
∴；
（2）证明： ，
∴，
，
∴，
，（等角对等边）
， ，
∴ 四边形AMON是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴ 四边形AMON是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
（3）
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；垂径定理；角平分线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（3）如图所示，连接MN交OA于点P.
四边形AMON是菱形
【分析】
(1)先利用垂径定理证明AG=AH，再由角平分线的判定定理证OA平分∠EOF即可；
(2)先由角平分的概念和平行线的性质证明AM=OM，再利用平行四边形的概念证明四边形AMON是平行四边形，再由菱形的概念证明平行四边形AMON是菱形即可；
(3)由于菱形的对角线互相垂直平分，可连接MN交OA于点P，则OP等于OA的一半等于5，再由垂径定理结合勾股定理可得AG=8、OG=6，再由同角的余角相等可得，则解直角三角形可得，最后再应用比例的性质代值计算即可.
25．（2025·西宁）如图，在平面直角坐标系xOy中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是(-1，0)，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点A'.
（1） 直接写出A'点的坐标和抛物线的对称轴；
（2） 当时，y有最大值为，求抛物线的解析式；
（3） 在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点A'， P， M， N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解： A'（0，1），抛物线的对称轴是直线
（2）解：抛物线的对称轴是直线
当时，y有最大值为
，
，
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x；
（3）解：存在，所有符合条件的 N 点的坐标是 (2，1)， (-2， ).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣旋转；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：(1)∵点A(-1，0)以原点为中心顺时针旋转90°，
∴A(-1，0)规律得旋转后A'的坐标为(0，1)；
∵抛物线的解析式为，
∴其对称轴为，
故答案为：A'(0，1)，抛物线的对称轴是直线 ；
(3)存在，理由如下：
∵y=-x2+4x，
∴当x=2时，y=4，
∴P(2，4)，
设M(0，m)，N(s，t)，
由(1)知A'(0，1)，
当以点A'， P， M， N为顶点的四边形是矩形时，分以下两种情况：
①当A'P为对角线时，则△AMP为以M点为顶点的直角三角形，PN||A'M，即PN||y轴，A'N||PM，
∴PM⊥y轴，A'N⊥y轴，
∴M(0，4)，N(2，1)；
②当以A'M为对角线时，
则，
解得：，
∴M(0，t+3)，N(-2，t)，
∵A'M=PN，
∴(t+3-1)2=(2+2)2+(4-t)2，
解得，
∴，
所有符合条件的 N 点的坐标是 (2，1)， (-2， ).
【分析】(1)利用点顺时针旋转90°的坐标变化规律得A'坐标，根据抛物线对称轴公式求对称轴；
(2)由a<0知抛物线开口向下，结合对称轴x=2，判断3≤x≤5时y的最大值在x=3处，代入解析式求a，得抛物线解析式；
(3)先确定顶点P坐标，再分“A'M为对角线”“A'P为对角线”两种情况，结合矩形性质，通过坐标运算求符合条件的点N坐标即可.
26．（2025·西宁）综合与实践
【问题提出】
原题呈现(人教版九年级下册85页第14题)
如图13-1，在锐角中，探究 ， ，之间的关系.
（1）【问题探究】
将下列探究过程补充完整：
如图1， 过点A作， 垂足为D， 过点B作， 垂足为E.
在中∴
在中∴
∴ 即
同理 在中
在中
∴ =
即
；
（2）【结论应用】
如图 2，在 中，，，.求 AC， BC 的长.（结果保留小数点后一位；参考数据： ）
（3）【深度探究】
如图3， 是锐角 的外接圆，半径为 R.
求证： .
（4）【拓展应用】
如图 4，在 中，，，，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径的 分别交 AB， AC 于点 E， F，连接 EF. 则线段 EF 长度的最小值是 .
【答案】（1）；；；
（2）解： ， ， ，
，
，
，
，
，，
即 ，；
（3）证明：连接 BO 并延长交 于点 D，连接 DC，
∵BD 是 的直径，
在 中，，
，
，
即 ；
由 (1) 可知：，
.
（4）
【知识点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形；圆周角定理的推论；正弦定理和余弦定理
【解析】【解答】解：(4)由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O作OH⊥EF，垂足为H，
则EH=FH，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，，
∴，即此时圆的直径为2，
∴OE=1，
由圆周角定理可知，
∴在Rt△EOH中，，
由垂径定理可知，
故答案为：.
【分析】(1)根据探究过程，构造直角三角形，然后在不同的直角三角形中，根据三角函数的定义，解直角三角形即可得到BE的长，然后即可得到结论；
(2)首先利用三角形的内角和定理，得到∠C的度数，然后利用(1)中的结论，即可得到a，b的值；
(3)首先根据圆周角定理的推论，得到△BDC为直角三角形，然后利用(1)中的结论，得到，进而得到要证明的结论；
(4)首先由垂线段最短求出AD的最小值，然后根据垂径定理和圆周角定理，结合(1)中的结论建立EF与直径AD的数量关系，进而代入求得EF的最小值.
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