浙江省温州市实验学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2025九上·温州开学考）五边形内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：五边形的内角和为，
故选：C．
【分析】根据多边形内角和公式求解．
2．（2025九上·温州开学考）下列代数式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确；
故选：D．
【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的运算性质，同底数幂的乘法法则，对四个式子逐一计算，再作判断．
3．（2025九上·温州开学考）如图，直线，直线，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵ 直线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】先根据平行线的性质得到，再结合垂直的定义求出的度数．
4．（2025九上·温州开学考） 某校801班要选拔一名跳绳成绩优异且发挥稳定的学生参加学校的跳绳比赛．下表是四名候选人十次一分钟跳绳测试成绩的平均数和方差，则应该选择（ ）号候选人参加比赛．
候选人序号 ① ② ③ ④
平均数（个） 198 212 205 212
方差（个2） 3 3.2 4.5 1.8
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】 ∵选拔一名跳绳成绩优异且发挥稳定的学生参加学校的跳绳比赛，
∴要求选手的平均数高，故在 ② 和 ④ 中选择，
然后要求方差较小，故应该选择④ ，
故答案为：D.
【分析】根据选拔要求，成绩优异表示平均数高，发挥稳定意味着方差较小，结合四个选手的成绩即可确定.
5．（2025九上·温州开学考）褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，表示尾部点的坐标为，
∴建立平面直角坐标系如图，
∴点的坐标为，
故选：．
【分析】根据点，点的坐标得到坐标轴的位置，然后根据点C 的位置写出坐标即可．
6．（2025九上·温州开学考）计算：的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式
．
故选：．
【分析】先化为同分母，再计算即可．
7．（2025九上·温州开学考）已知，则的值是（ ）
A． B．6 C．18 D．
【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】先把变形为，再整体代入求值．
8．（2025九上·温州开学考）为方便游客观光游览，不少景区预增购一批“游览观光车”．某企业抓住机遇投资15万元购买并投放一批A型“游览观光车”，因需求量增加，计划继续投放B型观光车，B型观光车的投放数量与A型观光车的投放数量相同，投资总费用减少，其中B型观光车的单价比A型观光车的单价少30元，则A型观光车的单价是多少元？设A型观光车的单价为x元，根据题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设型单车每辆车的价格为元，则设型单车每辆车的价格为元，
由题意得，，
故选：A．
【分析】设型单车每辆车的价格为元，根据“型单车的投放数量与型单车的投放数量相同，投资总费用减少”列分式方程解答．
9．（2025九上·温州开学考）已知函数的图象上有三点，，，已知，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴ 函数 在每个象限内随着的增大而增大，
∵在函数的图象上有三点，，，
，
∴，
故选：C．
【分析】根据反比例函数的解析式得出在每个象限内随着的增大而增大，再结合即可得解．
10．（2025九上·温州开学考）如图，在中，，点D为边的中点，点E在线段的延长线上，且．若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作交于点F，
点D为边上中点，
，
∵，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：C．
【分析】先证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解，结合得出，再利用SAS证明，根据全等三角形的性质可推出，从而可求得BC．
11．（2025九上·温州开学考）若（），则的值为 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴=，
故答案为：．
【分析】根据比例的基本性质直接求解．
12．（2025九上·温州开学考）一元二次方程的解是 ．
【答案】或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
∴，
或，
解得：，，
故答案为：或．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
13．（2025九上·温州开学考）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再根据角的和差解答即可．
14．（2025九上·温州开学考）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为6，则的值为 ．
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵轴，
、的横坐标相同，
设，，则，
，
∵的面积为6，
∴，
．
故答案为：．
【分析】先根据轴，得出、的横坐标相同，可设，，从而可得，再利用的面积为6，得出，求得的值即可．
15．（2025九上·温州开学考）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接并延长交的延长线于点F．连接，过点A作交于点G，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】先证，再根据相似三角形的性质列出比例式计算可推出结论．
16．（2025九上·温州开学考）如图，在矩形中，为对角线，将沿翻折，点B的对应点为点．与相交于点E，延长与相交于点F，已知，则的长为 ；的面积为 ．
【答案】；
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵ 将沿翻折，点B的对应点为点 ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
故答案为：①；②．
【分析】先证明，设，则，在中，再根据勾股定理得到，代入计算求出，再证明求出，，然后根据三角形面积公式即可求解．
17．（2025九上·温州开学考）（1）计算：．
（2）解方程组：
【答案】解：（1）
；
（2），
得：，
解得，
将代入得，，
解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】负整数指数幂；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据化简绝对值，求一个数的立方根，负整数指数幂，进行计算即可求解；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
18．（2025九上·温州开学考）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴该解集在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，再把解集表示在数轴上．
19．（2025九上·温州开学考）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，AE平分∠BAF，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先利用等式的性质证明，再根据ASA证明；
（2）先根据全等三角形的性质得出，再利用等腰三角形三线合一证明，，然后根据三角形内角和定理求解．
（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（2025九上·温州开学考）随着互联网络快速发展，人工智能软件已渗透进我们的生活，某平台抽取用户对甲、乙两款人工智能软件进行评分，将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．对甲款人工智能软件抽取的20条评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．对乙款人工智能软件共抽取20条评分数据，记为xi（i=1，2，3…，20），将数据先从小到大整理为A，B，C，D四组绘制成如下扇形统计图，C组包含的所有数据为：85，86，87，88，88，88，90，90．（A：60＜xi≤70，B：70＜xi≤80，C：80＜xi≤90，D：90＜xi≤100）
甲、乙两款人工智能软件的评分统计表
软件 平均数 中位数 众数
甲 86 85.5 a
乙 86 b 88
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ______， ______， ______．
（2）若本次调查有600名用户对甲款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的用户人数．
【答案】（1）85，，．
（2）解：∵甲的数据可知“非常满意”的人数为6人，
∴ 估计其中对甲款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的用户人数为（名）．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）在 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100 中，85出现次数最多，
∴众数：，
∵A、B两组共有（名）
，
∴中位数是第10名和第11名评分的平均数，
即，
∵，
∴，
故答案为：85，，．
【分析】（1）用中位数和众数的定义，可求得和，算出乙中C的百分比，就求得m；
（2）用样本估计总体求解.
（1）解：由众数的定义可知：，
∵（名）
，
∴第10名和第11名评分的平均数是中位数：，
∵，
∴，
故答案为：85，，．
（2）解：由甲的数据可知“非常满意”的人数为6人，
∴（名）
故其中对甲款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的用户人数为180名．
21．（2025九上·温州开学考）已知关于x的一次函数（a为常数，且a≠0）．
（1）当自变量1对应的函数值为5时，求a的值；
（2）对任意非零实数a，一次函数的图象都经过点Q，请求点Q的坐标．
【答案】（1）解： 当自变量1对应的函数值为5时，
，
解得：；
（2）解：∵，
∴当时，可有 ，
∴对任意非零实数a，一次函数的图象都经过点，
∴．
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据当自变量1对应的函数值为5时，得到关于a的方程求解；
（2）对于任意非零实数对任意非零实数a，一次函数的图象都经过点Q，其实就是保证右边的整式中不包含a，把所有含a的项合并在一起，令其系数为0即可.
（1）解：把代入（a为常数，且）得，，
解得；
（2）解：∵，
∴当时，可有 ，
∴对任意非零实数a，一次函数的图象都经过点，
∴．
22．（2025九上·温州开学考）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）过点D作，交的延长线于点E，连接，若，，求的长．
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先证明，再利用等腰三角形的判定得出，从而可证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等可得四边形是菱形；
（2）先根据勾股定理得到，再根据斜边上的中线是斜边的一半求解.
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，
∴，
∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴的长为．
23．（2025九上·温州开学考）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
【答案】解：任务1：解：由题意，得，
∴，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴．
任务2：解：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，
由题意得，，
解得，
空矿泉水瓶的重量为．
【知识点】反比例函数的实际应用；列二元一次方程组
【解析】【分析】任务1：根据天平平衡可得关于xy的等式，将等式变形用含x的代数式表示y，即，由题意知，，，则，即，于是的取值范围可求解；
任务2：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，依题意得，，解方程组即可求解．
24．（2025九上·温州开学考）如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为．
（1）求的度数．
（2）将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作垂直于点P，连结．
①求证：；
②记，，求y关于x的函数表达式．
【答案】（1）解：∵，
在正方形中，，
，
，
，
∴；
（2）解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴∠PFB=45°=∠EBF，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
∵四边形为正方形，
∴为等腰直角三角形，，
∴同理可得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②连接，过点作于点，设，
∵，
∴，
∴，
∴
∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴同理可得：，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴y关于x的函数表达式为．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用折叠性质得，再根据，即可求出．
（2）①证明即可求证；
②先得出，从而可得，于是有，再利用等腰直角三角形的性质得到，再根据，再代入即可求解函数关系式．
（1）解：由题意得，
在正方形中，，
，
，
，
即；
（2）解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
∵四边形为正方形，
∴为等腰直角三角形，，
∴同理，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②连接，过点作于点，
由①知，
∴，
∴，
设，则
∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴同理可得，
由①得为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴y关于x的函数表达式为．
1 / 1浙江省温州市实验学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2025九上·温州开学考）五边形内角和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·温州开学考）下列代数式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·温州开学考）如图，直线，直线，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·温州开学考） 某校801班要选拔一名跳绳成绩优异且发挥稳定的学生参加学校的跳绳比赛．下表是四名候选人十次一分钟跳绳测试成绩的平均数和方差，则应该选择（ ）号候选人参加比赛．
候选人序号 ① ② ③ ④
平均数（个） 198 212 205 212
方差（个2） 3 3.2 4.5 1.8
A．① B．② C．③ D．④
5．（2025九上·温州开学考）褐马鸡是我国的珍稀鸟类，如图是保护褐马鸡宣传牌上利用网格画出的褐马鸡的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示嘴部点的坐标为，表示尾部点的坐标为，则表示足部点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·温州开学考）计算：的结果为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九上·温州开学考）已知，则的值是（ ）
A． B．6 C．18 D．
8．（2025九上·温州开学考）为方便游客观光游览，不少景区预增购一批“游览观光车”．某企业抓住机遇投资15万元购买并投放一批A型“游览观光车”，因需求量增加，计划继续投放B型观光车，B型观光车的投放数量与A型观光车的投放数量相同，投资总费用减少，其中B型观光车的单价比A型观光车的单价少30元，则A型观光车的单价是多少元？设A型观光车的单价为x元，根据题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025九上·温州开学考）已知函数的图象上有三点，，，已知，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·温州开学考）如图，在中，，点D为边的中点，点E在线段的延长线上，且．若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
11．（2025九上·温州开学考）若（），则的值为 ．
12．（2025九上·温州开学考）一元二次方程的解是 ．
13．（2025九上·温州开学考）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则 ．
14．（2025九上·温州开学考）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为6，则的值为 ．
15．（2025九上·温州开学考）如图，在平行四边形中，点E是上一点，，连接并延长交的延长线于点F．连接，过点A作交于点G，若，则的长为 ．
16．（2025九上·温州开学考）如图，在矩形中，为对角线，将沿翻折，点B的对应点为点．与相交于点E，延长与相交于点F，已知，则的长为 ；的面积为 ．
17．（2025九上·温州开学考）（1）计算：．
（2）解方程组：
18．（2025九上·温州开学考）解不等式组：，并把解集表示在数轴上．
19．（2025九上·温州开学考）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
20．（2025九上·温州开学考）随着互联网络快速发展，人工智能软件已渗透进我们的生活，某平台抽取用户对甲、乙两款人工智能软件进行评分，将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．对甲款人工智能软件抽取的20条评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．对乙款人工智能软件共抽取20条评分数据，记为xi（i=1，2，3…，20），将数据先从小到大整理为A，B，C，D四组绘制成如下扇形统计图，C组包含的所有数据为：85，86，87，88，88，88，90，90．（A：60＜xi≤70，B：70＜xi≤80，C：80＜xi≤90，D：90＜xi≤100）
甲、乙两款人工智能软件的评分统计表
软件 平均数 中位数 众数
甲 86 85.5 a
乙 86 b 88
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ______， ______， ______．
（2）若本次调查有600名用户对甲款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的用户人数．
21．（2025九上·温州开学考）已知关于x的一次函数（a为常数，且a≠0）．
（1）当自变量1对应的函数值为5时，求a的值；
（2）对任意非零实数a，一次函数的图象都经过点Q，请求点Q的坐标．
22．（2025九上·温州开学考）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）过点D作，交的延长线于点E，连接，若，，求的长．
23．（2025九上·温州开学考）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
24．（2025九上·温州开学考）如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为．
（1）求的度数．
（2）将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作垂直于点P，连结．
①求证：；
②记，，求y关于x的函数表达式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：五边形的内角和为，
故选：C．
【分析】根据多边形内角和公式求解．
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确；
故选：D．
【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的运算性质，同底数幂的乘法法则，对四个式子逐一计算，再作判断．
3．【答案】C
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵ 直线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】先根据平行线的性质得到，再结合垂直的定义求出的度数．
4．【答案】D
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】 ∵选拔一名跳绳成绩优异且发挥稳定的学生参加学校的跳绳比赛，
∴要求选手的平均数高，故在 ② 和 ④ 中选择，
然后要求方差较小，故应该选择④ ，
故答案为：D.
【分析】根据选拔要求，成绩优异表示平均数高，发挥稳定意味着方差较小，结合四个选手的成绩即可确定.
5．【答案】C
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，表示尾部点的坐标为，
∴建立平面直角坐标系如图，
∴点的坐标为，
故选：．
【分析】根据点，点的坐标得到坐标轴的位置，然后根据点C 的位置写出坐标即可．
6．【答案】C
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式
．
故选：．
【分析】先化为同分母，再计算即可．
7．【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】先把变形为，再整体代入求值．
8．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设型单车每辆车的价格为元，则设型单车每辆车的价格为元，
由题意得，，
故选：A．
【分析】设型单车每辆车的价格为元，根据“型单车的投放数量与型单车的投放数量相同，投资总费用减少”列分式方程解答．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴ 函数 在每个象限内随着的增大而增大，
∵在函数的图象上有三点，，，
，
∴，
故选：C．
【分析】根据反比例函数的解析式得出在每个象限内随着的增大而增大，再结合即可得解．
10．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作交于点F，
点D为边上中点，
，
∵，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：C．
【分析】先证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解，结合得出，再利用SAS证明，根据全等三角形的性质可推出，从而可求得BC．
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴=，
故答案为：．
【分析】根据比例的基本性质直接求解．
12．【答案】或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
∴，
或，
解得：，，
故答案为：或．
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠ABC的度数，再根据角的和差解答即可．
14．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵轴，
、的横坐标相同，
设，，则，
，
∵的面积为6，
∴，
．
故答案为：．
【分析】先根据轴，得出、的横坐标相同，可设，，从而可得，再利用的面积为6，得出，求得的值即可．
15．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：．
故答案为：．
【分析】先证，再根据相似三角形的性质列出比例式计算可推出结论．
16．【答案】；
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵ 将沿翻折，点B的对应点为点 ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
故答案为：①；②．
【分析】先证明，设，则，在中，再根据勾股定理得到，代入计算求出，再证明求出，，然后根据三角形面积公式即可求解．
17．【答案】解：（1）
；
（2），
得：，
解得，
将代入得，，
解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】负整数指数幂；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据化简绝对值，求一个数的立方根，负整数指数幂，进行计算即可求解；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
18．【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴该解集在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，再把解集表示在数轴上．
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，AE平分∠BAF，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先利用等式的性质证明，再根据ASA证明；
（2）先根据全等三角形的性质得出，再利用等腰三角形三线合一证明，，然后根据三角形内角和定理求解．
（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．【答案】（1）85，，．
（2）解：∵甲的数据可知“非常满意”的人数为6人，
∴ 估计其中对甲款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的用户人数为（名）．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）在 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100 中，85出现次数最多，
∴众数：，
∵A、B两组共有（名）
，
∴中位数是第10名和第11名评分的平均数，
即，
∵，
∴，
故答案为：85，，．
【分析】（1）用中位数和众数的定义，可求得和，算出乙中C的百分比，就求得m；
（2）用样本估计总体求解.
（1）解：由众数的定义可知：，
∵（名）
，
∴第10名和第11名评分的平均数是中位数：，
∵，
∴，
故答案为：85，，．
（2）解：由甲的数据可知“非常满意”的人数为6人，
∴（名）
故其中对甲款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的用户人数为180名．
21．【答案】（1）解： 当自变量1对应的函数值为5时，
，
解得：；
（2）解：∵，
∴当时，可有 ，
∴对任意非零实数a，一次函数的图象都经过点，
∴．
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据当自变量1对应的函数值为5时，得到关于a的方程求解；
（2）对于任意非零实数对任意非零实数a，一次函数的图象都经过点Q，其实就是保证右边的整式中不包含a，把所有含a的项合并在一起，令其系数为0即可.
（1）解：把代入（a为常数，且）得，，
解得；
（2）解：∵，
∴当时，可有 ，
∴对任意非零实数a，一次函数的图象都经过点，
∴．
22．【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∵，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先证明，再利用等腰三角形的判定得出，从而可证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等可得四边形是菱形；
（2）先根据勾股定理得到，再根据斜边上的中线是斜边的一半求解.
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，
∴，
∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴的长为．
23．【答案】解：任务1：解：由题意，得，
∴，
由题意知，，，
∴，
∴，
∴．
任务2：解：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，
由题意得，，
解得，
空矿泉水瓶的重量为．
【知识点】反比例函数的实际应用；列二元一次方程组
【解析】【分析】任务1：根据天平平衡可得关于xy的等式，将等式变形用含x的代数式表示y，即，由题意知，，，则，即，于是的取值范围可求解；
任务2：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，依题意得，，解方程组即可求解．
24．【答案】（1）解：∵，
在正方形中，，
，
，
，
∴；
（2）解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴∠PFB=45°=∠EBF，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
∵四边形为正方形，
∴为等腰直角三角形，，
∴同理可得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②连接，过点作于点，设，
∵，
∴，
∴，
∴
∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴同理可得：，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴y关于x的函数表达式为．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用折叠性质得，再根据，即可求出．
（2）①证明即可求证；
②先得出，从而可得，于是有，再利用等腰直角三角形的性质得到，再根据，再代入即可求解函数关系式．
（1）解：由题意得，
在正方形中，，
，
，
，
即；
（2）解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
∵四边形为正方形，
∴为等腰直角三角形，，
∴同理，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②连接，过点作于点，
由①知，
∴，
∴，
设，则
∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴同理可得，
由①得为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴y关于x的函数表达式为．
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