3.1.2 椭圆的简单几何性质 教学设计（AI融合） 2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.1.2 椭圆的简单几何性质 教学设计（AI融合） 2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 147.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-24 14:11:51 | ||
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文档简介
《3.1.2椭圆的简单几何性质》教学设计
教材分析
《3.1.2椭圆的简单几何性质》是人教A版选择性必修第一册第三章第3.1.2节内容，研究椭圆的简单性质是解析几何基本思想的具体体现，研究思路与研究直线、圆的性质是类似的，先通过观察椭圆的图像特征，猜想出椭圆几何性质，再通过椭圆的标准方程来进行计算和推理，椭圆的这种研究思路为后面即将研究双曲线、抛物线的几何性质奠定了基础。
学情分析
通过上一节课，学生已熟练掌握椭圆定义、标准方程，通过研究椭圆定义，利用坐标法推出了椭圆的标准方程，本节课主要通过观察椭圆图形，然后猜想出椭圆的简单几何性质，最后再利用椭圆方程验证椭圆的简单几何性质，学生在以前学习函数性质及直系、圆的性质时，已经具备了结合图像及函数解析式研究函数性质的基本能力，具备了抽象观察、分析、归纳概括能力，学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。
教学重点
椭圆的简单几何性质及其应用
教学难点：椭圆离心率的发现和探究
突破难点策略：离心率概念较陌生有一定的抽象性，直接引入较生硬。在学习中，学生通过直观感知具体的椭圆方程对应图形的圆扁程度与基本量的关系，师生共同从特殊到一般归纳概括出离心率这一形象名称，然后结合几何画板动画演示验证结论，通过这一系列过程使抽象问题直观画、简单化，从而培养学生的数学抽象素养。
教学目标
1.通过观察椭圆图形、猜想和证明，理解椭圆的简单几何性质的形成过程；
2.通过对椭圆的简单几何性质的探索过程, 体会数形结合思想、类比归纳思想方法的丰富内涵，同时培养学生直观想象素养和数学抽象素养；
3.通过创设情境引入，激发学生学习兴趣，通过层层设问启发诱导学生探索椭圆性质的过程,培养发现观察、思考、分析及类比归纳问题的能力。
教学方法
启发式、探究式、互动式
学法
观察法、练习法、讨论交流法、归纳类比法
教学用具
多媒体、课件、课本、三角板、几何画板
教学过程
(一）回顾旧知
AI设计1：设计人工智能模仿老师引导回顾旧知
前面我们已经学习了椭圆的定义和椭圆的标准方程，我们主要是从椭圆图形特征、文字语言和符号表达理解了椭圆的定义，从椭圆的图形特点建立平面直角坐标系，利用坐标法推导出来椭圆的两种标准方程，今天我们继续来学习椭圆的简单几何性质。如何研究呢？
问题1：同学们，我们之前在学习直线、圆的性质时，是如何研究的呢？研究的基本思路和方法呢？
是的，研究的基本思路和方法是先“形”后“数”，即先观察曲线的图形特征，猜想曲线的性质，再用代数观点证明性质。本节课我们将沿用这种方法继续研究椭圆的简单几何性质。
设计意图：通过人工智能回顾，激发学生的学习兴趣，复习前面内容及研究思路，而引出本节课要学习的课题。
（二）探究新知、层层深入
活动1：以焦点在X轴上的椭圆为例探究椭圆的简单几何性质：
1.探究椭圆的范围
学生指令（向AI）：“请画出椭圆 + = 1，并显示其边界。”
AI呈现： 动态绘制椭圆。
追问：“这个椭圆上的点(x, y)，x和y的取值范围是多少？” 学生可以用鼠标在AI绘制的椭圆上拖动点，AI实时显示该点的坐标变化，学生观察并总结出 -a≤x≤a, -b≤y≤b。
AI赋能点：动态可视化与实时数据反馈，将抽象的代数关系转化为直观的视觉范围。
2.探究对称性：
学生指令：“验证椭圆 + = 1 是否关于y轴对称？”
AI操作： AI可以高亮显示y轴，并生成椭圆在y轴一侧的部分，然后通过动画“折叠”到另一侧，完美重合。
学生继续验证： 学生继续指令验证关于x轴和原点的对称性。 AI赋能点： 模拟“折叠”动画，将“代入-x不变”的代数证明，转化为无可辩驳的视觉证据，加深理解。
3.探究顶点与轴：
学生指令：“标出椭圆 + = 1 的所有特殊点（与坐标轴的交点）。”
AI呈现： 立即在图上标出四个顶点 A (-5,0), A (5,0), B (0,-3), B (0,3)，并连接长轴和短轴。
学生探究： 学生改变方程中的a和b值（例如改为 + = 1），AI实时更新图形和顶点坐标。学生通过观察发现如何判断长轴在x轴还是y轴上。
AI赋能点：参数即时响应与多案例对比，帮助学生自己归纳出规律，而非死记硬背。
4.探究离心率 e = ：
这是AI赋能的最大亮点。
学生操作： 在AI工具中，创建一个可滑动的参数e（离心率），并设定 c = e*a， b = 。
AI呈现： 当学生拖动滑块改变e的值（从0到1）时，椭圆实时地从一個圆(e=0)逐渐被“压扁”，变成非常扁的椭圆(e→1)。
学生观察与总结： 学生直观感受离心率如何刻画椭圆的“扁平程度”，并理解为什么 e=0 时是圆。
AI赋能点：建立参数与图形的动态关联，将离心率这个最抽象的概念变得极其直观和易于理解。
3. 归纳总结与汇报
各小组根据AI探究的结果，填写完成“探究任务卡”。
教师请小组代表上台，结合AI动态图形进行汇报，分享他们的发现。
教师进行精讲和提炼，规范数学语言。
（三）椭圆的简单几何性质
活动2：类比完成焦点在y轴上的椭圆的简单几何性质
方程
图形
范围
对称性 关于x轴，y轴，原点对称
顶点坐标
离心率
（四）例题剖析、深化理解
例4.求椭圆16x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标.
分析思路：利用方程研究椭圆几何性质时，若椭圆方程不是标准方程，首先化为标准方程，然后确定相应的a、b、c，最后就可以求解相关问题。
学生阅读例题，自主完成，教师再点评解题思路。
（五）课堂练习
活动： “AI智能出题官与诊断师”
1. AI分层出题：
教师预设难度梯度，AI根据本节课的知识点（求范围、顶点、离心率，根据性质写方程等）自动生成不同难度的练习题。
学生通过平板或电脑答题。AI根据学生的答题速度和正确率，动态调整后续题目的难度，实现 “千人千面” 的练习。
2. 即时反馈与错因分析：
学生提交答案后，AI立即判断对错。如果做错，AI不只是给个“X”，而是可以：
定位错误：提示“你的顶点坐标计算有误，请回顾a, b, c的关系。”
可视化纠错：对于涉及图形的问题，AI直接画出标准图形与学生的错误理解进行对比。
3. 数据驾驶舱（教师端）：
教师的大屏上可以实时看到全班学生的答题情况统计：哪些知识点掌握得好（绿色），哪些是共性疑难（红色，如离心率计算）。
教师可以根据AI提供的数据，对红色预警的疑难知识点进行集中讲解，讲解效率大大提高。
课堂总结
1.我们研究椭圆的简单几何性质的基本思路是怎样的？
2.椭圆的简单几何性质中，哪些性质是随着焦点改变而改变，哪些不改变呢？
3.本节课学习过程中，渗透了哪些数学思想呢？
教师补充完善：
（七）课后作业
第112页练习第2、3、4题
（八）板书设计
课题：3.1.2椭圆的简单几何性质（一）
一、回顾旧知 1.椭圆定义（从三种语言去理解） 2.椭圆的标准方程 方程验证过程性质板书 例题1 练习点评
二、椭圆的简单几何性质
研究思路：先观察图形，然后猜想性质，最后通过方程验证性质。
从图形角度 从代数角度
椭圆的范围 方程中x、y的取值范围
椭圆的对称性 对应方程中点的坐标的对称性
椭圆的顶点 方程中令x、y分别等于0时，对应坐标
椭圆的圆扁程度 离心率e的大小变化
思想方法：数形结合思想、类比归纳
教材分析
《3.1.2椭圆的简单几何性质》是人教A版选择性必修第一册第三章第3.1.2节内容，研究椭圆的简单性质是解析几何基本思想的具体体现，研究思路与研究直线、圆的性质是类似的，先通过观察椭圆的图像特征，猜想出椭圆几何性质，再通过椭圆的标准方程来进行计算和推理，椭圆的这种研究思路为后面即将研究双曲线、抛物线的几何性质奠定了基础。
学情分析
通过上一节课，学生已熟练掌握椭圆定义、标准方程，通过研究椭圆定义，利用坐标法推出了椭圆的标准方程，本节课主要通过观察椭圆图形，然后猜想出椭圆的简单几何性质，最后再利用椭圆方程验证椭圆的简单几何性质，学生在以前学习函数性质及直系、圆的性质时，已经具备了结合图像及函数解析式研究函数性质的基本能力，具备了抽象观察、分析、归纳概括能力，学生思维活泼，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。
教学重点
椭圆的简单几何性质及其应用
教学难点：椭圆离心率的发现和探究
突破难点策略：离心率概念较陌生有一定的抽象性，直接引入较生硬。在学习中，学生通过直观感知具体的椭圆方程对应图形的圆扁程度与基本量的关系，师生共同从特殊到一般归纳概括出离心率这一形象名称，然后结合几何画板动画演示验证结论，通过这一系列过程使抽象问题直观画、简单化，从而培养学生的数学抽象素养。
教学目标
1.通过观察椭圆图形、猜想和证明，理解椭圆的简单几何性质的形成过程；
2.通过对椭圆的简单几何性质的探索过程, 体会数形结合思想、类比归纳思想方法的丰富内涵，同时培养学生直观想象素养和数学抽象素养；
3.通过创设情境引入，激发学生学习兴趣，通过层层设问启发诱导学生探索椭圆性质的过程,培养发现观察、思考、分析及类比归纳问题的能力。
教学方法
启发式、探究式、互动式
学法
观察法、练习法、讨论交流法、归纳类比法
教学用具
多媒体、课件、课本、三角板、几何画板
教学过程
(一）回顾旧知
AI设计1：设计人工智能模仿老师引导回顾旧知
前面我们已经学习了椭圆的定义和椭圆的标准方程，我们主要是从椭圆图形特征、文字语言和符号表达理解了椭圆的定义，从椭圆的图形特点建立平面直角坐标系，利用坐标法推导出来椭圆的两种标准方程，今天我们继续来学习椭圆的简单几何性质。如何研究呢？
问题1：同学们，我们之前在学习直线、圆的性质时，是如何研究的呢？研究的基本思路和方法呢？
是的，研究的基本思路和方法是先“形”后“数”，即先观察曲线的图形特征，猜想曲线的性质，再用代数观点证明性质。本节课我们将沿用这种方法继续研究椭圆的简单几何性质。
设计意图：通过人工智能回顾，激发学生的学习兴趣，复习前面内容及研究思路，而引出本节课要学习的课题。
（二）探究新知、层层深入
活动1：以焦点在X轴上的椭圆为例探究椭圆的简单几何性质：
1.探究椭圆的范围
学生指令（向AI）：“请画出椭圆 + = 1，并显示其边界。”
AI呈现： 动态绘制椭圆。
追问：“这个椭圆上的点(x, y)，x和y的取值范围是多少？” 学生可以用鼠标在AI绘制的椭圆上拖动点，AI实时显示该点的坐标变化，学生观察并总结出 -a≤x≤a, -b≤y≤b。
AI赋能点：动态可视化与实时数据反馈，将抽象的代数关系转化为直观的视觉范围。
2.探究对称性：
学生指令：“验证椭圆 + = 1 是否关于y轴对称？”
AI操作： AI可以高亮显示y轴，并生成椭圆在y轴一侧的部分，然后通过动画“折叠”到另一侧，完美重合。
学生继续验证： 学生继续指令验证关于x轴和原点的对称性。 AI赋能点： 模拟“折叠”动画，将“代入-x不变”的代数证明，转化为无可辩驳的视觉证据，加深理解。
3.探究顶点与轴：
学生指令：“标出椭圆 + = 1 的所有特殊点（与坐标轴的交点）。”
AI呈现： 立即在图上标出四个顶点 A (-5,0), A (5,0), B (0,-3), B (0,3)，并连接长轴和短轴。
学生探究： 学生改变方程中的a和b值（例如改为 + = 1），AI实时更新图形和顶点坐标。学生通过观察发现如何判断长轴在x轴还是y轴上。
AI赋能点：参数即时响应与多案例对比，帮助学生自己归纳出规律，而非死记硬背。
4.探究离心率 e = ：
这是AI赋能的最大亮点。
学生操作： 在AI工具中，创建一个可滑动的参数e（离心率），并设定 c = e*a， b = 。
AI呈现： 当学生拖动滑块改变e的值（从0到1）时，椭圆实时地从一個圆(e=0)逐渐被“压扁”，变成非常扁的椭圆(e→1)。
学生观察与总结： 学生直观感受离心率如何刻画椭圆的“扁平程度”，并理解为什么 e=0 时是圆。
AI赋能点：建立参数与图形的动态关联，将离心率这个最抽象的概念变得极其直观和易于理解。
3. 归纳总结与汇报
各小组根据AI探究的结果，填写完成“探究任务卡”。
教师请小组代表上台，结合AI动态图形进行汇报，分享他们的发现。
教师进行精讲和提炼，规范数学语言。
（三）椭圆的简单几何性质
活动2：类比完成焦点在y轴上的椭圆的简单几何性质
方程
图形
范围
对称性 关于x轴，y轴，原点对称
顶点坐标
离心率
（四）例题剖析、深化理解
例4.求椭圆16x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标.
分析思路：利用方程研究椭圆几何性质时，若椭圆方程不是标准方程，首先化为标准方程，然后确定相应的a、b、c，最后就可以求解相关问题。
学生阅读例题，自主完成，教师再点评解题思路。
（五）课堂练习
活动： “AI智能出题官与诊断师”
1. AI分层出题：
教师预设难度梯度，AI根据本节课的知识点（求范围、顶点、离心率，根据性质写方程等）自动生成不同难度的练习题。
学生通过平板或电脑答题。AI根据学生的答题速度和正确率，动态调整后续题目的难度，实现 “千人千面” 的练习。
2. 即时反馈与错因分析：
学生提交答案后，AI立即判断对错。如果做错，AI不只是给个“X”，而是可以：
定位错误：提示“你的顶点坐标计算有误，请回顾a, b, c的关系。”
可视化纠错：对于涉及图形的问题，AI直接画出标准图形与学生的错误理解进行对比。
3. 数据驾驶舱（教师端）：
教师的大屏上可以实时看到全班学生的答题情况统计：哪些知识点掌握得好（绿色），哪些是共性疑难（红色，如离心率计算）。
教师可以根据AI提供的数据，对红色预警的疑难知识点进行集中讲解，讲解效率大大提高。
课堂总结
1.我们研究椭圆的简单几何性质的基本思路是怎样的？
2.椭圆的简单几何性质中，哪些性质是随着焦点改变而改变，哪些不改变呢？
3.本节课学习过程中，渗透了哪些数学思想呢？
教师补充完善：
（七）课后作业
第112页练习第2、3、4题
（八）板书设计
课题：3.1.2椭圆的简单几何性质（一）
一、回顾旧知 1.椭圆定义（从三种语言去理解） 2.椭圆的标准方程 方程验证过程性质板书 例题1 练习点评
二、椭圆的简单几何性质
研究思路：先观察图形，然后猜想性质，最后通过方程验证性质。
从图形角度 从代数角度
椭圆的范围 方程中x、y的取值范围
椭圆的对称性 对应方程中点的坐标的对称性
椭圆的顶点 方程中令x、y分别等于0时，对应坐标
椭圆的圆扁程度 离心率e的大小变化
思想方法：数形结合思想、类比归纳