3.2.1双曲线及其标准方程教学设计2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.2.1双曲线及其标准方程教学设计2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 375.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-24 14:14:45 | ||
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文档简介
3.2.1 双曲线及其标准方程教学设计
【教学内容】
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程;
2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程;
【教学目标】
1.类比椭圆了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程,提升逻辑推导素养；
2.掌握双曲线的标准方程及其求法，提升数学运算素养；
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决相关问题，培养数学抽象、逻辑及运算素养。
【教学重难点】
教学重点：双曲线的定义、几何图形及根据条件求双曲线标准方程。
教学难点：标准方程的推导过程及应用。
【教学过程】
一、温故而知新——双曲线的定义
1．回顾椭圆的概念
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)_的点的轨迹叫做椭圆.
2．问题的提出：平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
下面我们先用信息技术探究一下：
在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.如图：
（1）随着P点的运动，观察两圆交点M满足什么几何条件？其轨迹是什么形状？
答：|MF1|+|MF2|=|AB|，椭圆
（2）两圆一定相交吗？当满足什么条件时，两圆相交？
答:如果|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F1F2|＞|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹.
改变条件：在|AB|<|F1F2|的条件下，让P在线段AB外运动,如图：
（1）随着P点的运动，观察两圆交点M满足什么几何条件？其轨迹是什么形状？
答：||MF1|-|MF2||=|AB|，双曲线
（2）同样地，两圆一定相交吗？当什么条件下才能相交？
答：如果|F1F2|>|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是双曲线；如果|F1F2|<|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹.
双曲线定义
一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的_差的绝对值_等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做_双曲线.这两个定点叫做双曲线的_焦点_，两焦点间的距离叫做双曲线的_焦距.
请回答以下问题：
问1：已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3、5、0、6时，P点的轨迹是什么？
（1）a＝3？ 双曲线 （2）a＝5 两条射线
（3）a＝6 不存在 （4）a＝0 F1F2的中垂线
注意：
(1)若||MF1|-|MF2||<|F1F2|,M点轨迹为双曲线.
(2)若||MF1|-|MF2||=|F1F2|,M点轨迹为两条射线.
(3)若||MF1|-|MF2||>|F1F2|,M点轨迹不存在.
(4)若||MF1|-|MF2||=0,M点轨迹为F1F2的中垂线.
问：双曲线定义中去掉“绝对值”字眼可以吗？
答：不可以！因为双曲线有两支。当|MF1|-|MF2|>0,就是右支，当|MF1|-|MF2|<0,就是左支。
二、双曲线的标准方程
1. 焦点在x轴上的双曲线标准方程
类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
如图：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0.
设M(x，y)是双曲线上一点，则
||MF1|－|MF2||＝2a(a为大于0的常数,a即|MF1|－|MF2|＝2a,
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，
得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)
两边同除以a2(c2－a2)，得＝1
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，
类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得＝1(a>0，b>0)．所以，焦点在x轴上的双曲线标准方程为：＝1(a>0，b>0) ②
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点得坐标都是方程②的解，以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值为，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上．我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程．它表示焦点在轴上，焦点分别是，的双曲线，这里．
2. 焦点在y轴上的双曲线标准方程
类比焦点在y轴上的椭圆方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？如图：
双曲线的焦距为2c，焦点分别是 F1(0，-c) ，F2 (0,c)，a，b的意义同上；得双曲线方程为：＝1(a>0，b>0)
小结1：双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝c2－a2
焦点位置的判定 看x2,y2项系数的正负,正在哪,焦就在哪
小结2：
三、双曲线的标准方程的求法
例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＝1(a>0，b>0)
由2c=10，2a=6，得c=5,a=3，因此b2=52-32=16.所以，双曲线的标准方程为：＝1
对应练习 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.
焦点为（0，-6),(0,6)，且经过点（2，-5）
经过点P(3,),Q(-，5)；
解：（1）法一（定义法） 由定义得|-|=2a(a>0)
得出a=2,c=6,则b2=62 (2)2=16
又因为焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为＝1
法二（待定系数法） 依题意焦点在y轴上，设所求的双曲线方程为＝1(a>0，b>0)
则 得 所以双曲线的标准方程为＝1
（2）法一（分类讨论法） 若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
由于点P(3,),Q(-，5)在双曲线上，
所以解得 (舍去).
若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)
将P，Q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
法二 （双曲线一般设法）设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，∵P，Q两点在双曲线上，
∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
小结3：双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
注意：求双曲线标准方程时，注意先定位（焦点位置）、再定量（a,b,c）
特别地：当双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，实为一种好方法.
四、双曲线及其标准方程的实际应用
例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
分析：先根据题意判断轨迹的形状。由声速及A,B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A,B为焦点的双曲线上。因为爆炸点离A处比离B处远,所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上。
解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，以AB为x轴，AB的中垂线为y轴。设炮弹爆炸点为P，其坐标为（x,y),则|PA|-|PB|=340×2=680,即2a=680,a=340,
又|AB|=800,∴2c=800，c=400,b2=c2-a2=44400
∵|PA|-|PB|=680>0,∴点P的轨迹是双曲线的右支，
∴炮弹爆炸点P的轨迹方程为＝1(x≥340)
小结4：利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系.
(2)求出双曲线的标准方程.
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
五、概念应用，巩固内化
探究 如图3.2-6，点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状。
解：设，则，，，
根据题意可得，．
整理得：．
小结5：双曲线上任一点，，，则．反过来也成立，若，，动点满足，则点的轨迹方程为．这就是双曲线的第三定义．
六、课堂总结
1．双曲线与椭圆的比较
曲线 椭圆 双曲线
定义 |PF1|＋|PF2|＝2a (|F1F2|＝2c,2a＞2c) ||PF1|－|PF2||＝2a (|F1F2|＝2c,2a＜2c)
标准方程 ＋＝1或＋＝1 (a＞b＞0) －＝1或－＝1 (a＞0，b＞0)
图形特征 封闭的连续曲线 分两支，不封闭，不连续
确定a，b或焦点位置的方法 以大小分a，b，大在哪，焦在哪 以正负分a，b，正在哪，焦在哪
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2(a最大) c2＝a2＋b2(c最大)
课后作业
1.完成教材：第121页 练习 第1，2，3,4题
2.完成课时训练（一）
教学评价
在双曲线的定义的教学过程中应该注重类比思想、和椭圆定义的区别和联系，应用数形结合方法，借助信息技术以学生为主体引导学生总结归纳双曲线的定义。
在双曲线标准方程的推导过程中应利用对称性建系设点列方程化简；其次应注重学生的计算解析能力；常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件。
根据已知条件求双曲线的标准方程时常用方法为待定系数法、分类讨论法；注意用待定系数法求椭圆或双曲线的标准方程时，要先定位再定量。
4. 双曲线的实际应用问题应注意根据题目的实际情况取舍双曲线的部分点或线。
【教学内容】
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程;
2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程;
【教学目标】
1.类比椭圆了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程,提升逻辑推导素养；
2.掌握双曲线的标准方程及其求法，提升数学运算素养；
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决相关问题，培养数学抽象、逻辑及运算素养。
【教学重难点】
教学重点：双曲线的定义、几何图形及根据条件求双曲线标准方程。
教学难点：标准方程的推导过程及应用。
【教学过程】
一、温故而知新——双曲线的定义
1．回顾椭圆的概念
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)_的点的轨迹叫做椭圆.
2．问题的提出：平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
下面我们先用信息技术探究一下：
在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内，取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.如图：
（1）随着P点的运动，观察两圆交点M满足什么几何条件？其轨迹是什么形状？
答：|MF1|+|MF2|=|AB|，椭圆
（2）两圆一定相交吗？当满足什么条件时，两圆相交？
答:如果|F1F2|＜|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果|F1F2|＞|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹.
改变条件：在|AB|<|F1F2|的条件下，让P在线段AB外运动,如图：
（1）随着P点的运动，观察两圆交点M满足什么几何条件？其轨迹是什么形状？
答：||MF1|-|MF2||=|AB|，双曲线
（2）同样地，两圆一定相交吗？当什么条件下才能相交？
答：如果|F1F2|>|AB|，那么两圆相交，其交点M的轨迹是双曲线；如果|F1F2|<|AB|，两圆不相交，不存在交点轨迹.
双曲线定义
一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的_差的绝对值_等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做_双曲线.这两个定点叫做双曲线的_焦点_，两焦点间的距离叫做双曲线的_焦距.
请回答以下问题：
问1：已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3、5、0、6时，P点的轨迹是什么？
（1）a＝3？ 双曲线 （2）a＝5 两条射线
（3）a＝6 不存在 （4）a＝0 F1F2的中垂线
注意：
(1)若||MF1|-|MF2||<|F1F2|,M点轨迹为双曲线.
(2)若||MF1|-|MF2||=|F1F2|,M点轨迹为两条射线.
(3)若||MF1|-|MF2||>|F1F2|,M点轨迹不存在.
(4)若||MF1|-|MF2||=0,M点轨迹为F1F2的中垂线.
问：双曲线定义中去掉“绝对值”字眼可以吗？
答：不可以！因为双曲线有两支。当|MF1|-|MF2|>0,就是右支，当|MF1|-|MF2|<0,就是左支。
二、双曲线的标准方程
1. 焦点在x轴上的双曲线标准方程
类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
如图：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0.
设M(x，y)是双曲线上一点，则
||MF1|－|MF2||＝2a(a为大于0的常数,a
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，
得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)
两边同除以a2(c2－a2)，得＝1
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，
类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得＝1(a>0，b>0)．所以，焦点在x轴上的双曲线标准方程为：＝1(a>0，b>0) ②
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点得坐标都是方程②的解，以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点，的距离之差的绝对值为，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上．我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程．它表示焦点在轴上，焦点分别是，的双曲线，这里．
2. 焦点在y轴上的双曲线标准方程
类比焦点在y轴上的椭圆方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？如图：
双曲线的焦距为2c，焦点分别是 F1(0，-c) ，F2 (0,c)，a，b的意义同上；得双曲线方程为：＝1(a>0，b>0)
小结1：双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝c2－a2
焦点位置的判定 看x2,y2项系数的正负,正在哪,焦就在哪
小结2：
三、双曲线的标准方程的求法
例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＝1(a>0，b>0)
由2c=10，2a=6，得c=5,a=3，因此b2=52-32=16.所以，双曲线的标准方程为：＝1
对应练习 根据下列条件，分别求双曲线的标准方程.
焦点为（0，-6),(0,6)，且经过点（2，-5）
经过点P(3,),Q(-，5)；
解：（1）法一（定义法） 由定义得|-|=2a(a>0)
得出a=2,c=6,则b2=62 (2)2=16
又因为焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为＝1
法二（待定系数法） 依题意焦点在y轴上，设所求的双曲线方程为＝1(a>0，b>0)
则 得 所以双曲线的标准方程为＝1
（2）法一（分类讨论法） 若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
由于点P(3,),Q(-，5)在双曲线上，
所以解得 (舍去).
若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)
将P，Q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
法二 （双曲线一般设法）设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，∵P，Q两点在双曲线上，
∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
小结3：双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
注意：求双曲线标准方程时，注意先定位（焦点位置）、再定量（a,b,c）
特别地：当双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，实为一种好方法.
四、双曲线及其标准方程的实际应用
例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
分析：先根据题意判断轨迹的形状。由声速及A,B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A,B为焦点的双曲线上。因为爆炸点离A处比离B处远,所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上。
解：如图，建立平面直角坐标系Oxy，以AB为x轴，AB的中垂线为y轴。设炮弹爆炸点为P，其坐标为（x,y),则|PA|-|PB|=340×2=680,即2a=680,a=340,
又|AB|=800,∴2c=800，c=400,b2=c2-a2=44400
∵|PA|-|PB|=680>0,∴点P的轨迹是双曲线的右支，
∴炮弹爆炸点P的轨迹方程为＝1(x≥340)
小结4：利用双曲线解决实际问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系.
(2)求出双曲线的标准方程.
(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义).
五、概念应用，巩固内化
探究 如图3.2-6，点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状。
解：设，则，，，
根据题意可得，．
整理得：．
小结5：双曲线上任一点，，，则．反过来也成立，若，，动点满足，则点的轨迹方程为．这就是双曲线的第三定义．
六、课堂总结
1．双曲线与椭圆的比较
曲线 椭圆 双曲线
定义 |PF1|＋|PF2|＝2a (|F1F2|＝2c,2a＞2c) ||PF1|－|PF2||＝2a (|F1F2|＝2c,2a＜2c)
标准方程 ＋＝1或＋＝1 (a＞b＞0) －＝1或－＝1 (a＞0，b＞0)
图形特征 封闭的连续曲线 分两支，不封闭，不连续
确定a，b或焦点位置的方法 以大小分a，b，大在哪，焦在哪 以正负分a，b，正在哪，焦在哪
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2(a最大) c2＝a2＋b2(c最大)
课后作业
1.完成教材：第121页 练习 第1，2，3,4题
2.完成课时训练（一）
教学评价
在双曲线的定义的教学过程中应该注重类比思想、和椭圆定义的区别和联系，应用数形结合方法，借助信息技术以学生为主体引导学生总结归纳双曲线的定义。
在双曲线标准方程的推导过程中应利用对称性建系设点列方程化简；其次应注重学生的计算解析能力；常见误区：双曲线焦点位置的判断，忽略双曲线成立的必要条件。
根据已知条件求双曲线的标准方程时常用方法为待定系数法、分类讨论法；注意用待定系数法求椭圆或双曲线的标准方程时，要先定位再定量。
4. 双曲线的实际应用问题应注意根据题目的实际情况取舍双曲线的部分点或线。