3.2双曲线过关检测卷（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2双曲线单元过关检测卷
（2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第一册第三章（2019）人教A版）
一、单选题
1．如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它左焦点的距离是（ ）
A． B． C．或 D．不确定
2．已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
5．已知F为双曲线C：的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）
A． B．3 C．2 D．1
6．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．虚轴长为4 B．焦距为
C．焦点到渐近线的距离为4 D．渐近线方程为
7．若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，点为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若双曲线的方程为，则（ ）
A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．的虚轴长为2
10．已知双曲线，则（ ）
A． B．双曲线的实轴长为
C．双曲线的渐近线方程为 D．当双曲线的离心率等于其虚轴长时，
11．已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D．
三、填空题
12．设为双曲线的左 右焦点，若点在双曲线C上，且，则 .
13．双曲线的动弦所在直线过定点，则中点的轨迹方程是 ．
14．已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ，面积为 .
四、解答题
15．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，根据下列条件分别求双曲线的标准方程.
（1）渐近线方程为，且过点；
（2）与双曲线的离心率相同，与共焦点.
16．已知双曲线的焦距为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积．
17．已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点．
(1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程；
(2)设点是上第一象限内的点，，求x的值．
18．已知双曲线：的右焦点为，右顶点为，为坐标原点，且.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与的右支交于，两点，记的左顶点为，证明：.
19．已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点.
(1)求的标准方程；
(2)若线段的中点为，求直线的方程；
(3)若（不在直线上），证明：直线过定点.
解析
一、单选题
1．如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（ ）
A． B． C．或 D．不确定
答案：C
分析：根据双曲线的定义即可求得答案.
解析：设双曲线的左、右焦点为，则；则，
由双曲线定义可得，即，所以或，由于，
故点到它的左焦点的距离是或， 故选：C
2．已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
分析：根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解.
解析：设动圆的半径为r，则，，则，
根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C．
3．已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
答案：B
分析：根据双曲线的定义，结合点到直线的距离最短，求解即可.
解析：过作垂直于双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则，
连接与双曲线的另一个焦点，如下所示：
由双曲线的定义可知，，
又双曲线方程为，故，
又点坐标为，双曲线的渐近线为，故点到渐近线的距离为，
故. 故选：B.
4．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
答案：B
分析：利用双曲线的定义可求得的周长.
解析：如图，由题意可得，的周长为，
由双曲线的定义可得，又，
所以，所以的周长为12．故选：B.

5．已知F为双曲线C：的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）
A． B．3 C．2 D．1
答案：A
分析：先求焦点，再用点到直线的距离公式即可.
解析：由双曲线的标准方程得所以坐标为或
渐近线方程为所求距离 故选：A.
6．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）
A．虚轴长为4 B．焦距为
C．焦点到渐近线的距离为4 D．渐近线方程为
答案：D
分析：根据双曲线的性质逐一判断即可.
解析：在双曲线中，焦点在轴上，，，，所以虚轴长为6，故A错误；
焦距为，故B错误；渐近线方程为，故D正确；
焦点到渐近线的距离为，故C错误；故选：D.
7．若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
分析：由题意可得双曲线中，由为等腰三角形，所以,从而可求得，再利用双曲线的定义可求得在双曲线中，，进而可求出双曲线的渐近线方程
解析：因为椭圆的焦点坐标为，
所以双曲线中，
设点P为两曲线在第一象限的交点，
由于在椭圆中，为等腰三角形，所以,所以，
在双曲线中，，所以，代入，得，
所以该双曲线的渐近线方程为，故选：B
点睛：此题考查椭圆、双曲线的定义的应用，解题的关键由为等腰三角形和椭圆的定义求出的值，属于中档题
8．已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，点为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
分析：方法一：分析可得，将直线和直线的方程建立，求出点的坐标，再由，可得出、的等量关系，由此可求得该双曲线的离心率的值；
方法二：推导出，结合对称性可求出的值，求出的值，由此可得出该双曲线的离心率的值.
解析：方法一：因为，且为线段的中点，所以，，则，
不妨设点在第一象限，则直线的斜率为，所以，直线的方程为，
联立，解得，即点，
所以，，
化简可得，即，双曲线的离心率．
方法二：因为为中点，，则，所以，
又直线与直线分别为双曲线的两条渐近线，
得，所以，，
所以，故．故选：C．
二、多选题
9．若双曲线的方程为，则（ ）
A．的焦距为 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．的虚轴长为2
答案：AD
分析：根据双曲线的性质对每个选项进行判断即可.
解析：因为双曲线的方程为，所以，所以，
所以的焦距为，所以A正确；
的渐近线方程为，所以B错误； 的离心率为，所以C错误；
的虚轴长为，所以D正确. 故选：AD.
10．已知双曲线，则（ ）
A． B．双曲线的实轴长为
C．双曲线的渐近线方程为 D．当双曲线的离心率等于其虚轴长时，
答案：ABD
分析：根据双曲线标准方程的特点，可得双曲线C的焦点在x轴上，由此确定.对照确定的值，依次判断选项，可得正确答案.
解析：选项A：依题意可得双曲线C的焦点在x轴上，所以所以选项A正确；
选项B、C：对照焦点在x轴上的双曲线的标准方程：，知.所以双曲线的实轴长为；双曲线的渐近线方程为：，即.所以选项B正确，选项C错误；
选项D：双曲线的离心率等于虚轴长时，，则，所以，解得.所以选项D正确. 故选：ABD.
11．已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点到轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
答案：BC
分析：设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D．
解析：设点．因为双曲线，所以，，，．
对于A，，所以，所以点到轴的距离为4，错误．
对于B，将代入得，则．
由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得．
由双曲线的定义得，所以，正确．
对于C，结合B选项，在中，，
且，则为钝角，所以为钝角三角形，正确．
对于D，由，得，且，
所以，所以，错误． 故选：BC
三、填空题
12．设为双曲线的左 右焦点，若点在双曲线C上，且，则 .
答案：13
分析：利用双曲线的定义式求出的值，结合双曲线上的点的性质进行取舍即得.
解析：因点在双曲线上，故，由题意，，
当点在双曲线右支上时，，
故得，因，符合题意；
当点在双曲线左支上时，，
故得，此时因，不合题意. 故 故答案为：13.
13．双曲线的动弦所在直线过定点，则中点的轨迹方程是 ．
答案：
分析：设，利用点差法即可求解.
解析：设，
由，则，两式相减得，
故，即，即．故答案为：.
14．已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ，面积为 .
答案： 12 6
分析：根据双曲线的定义可得，结合求得，即可求得的周长，再利用余弦定理和三角形面积公式可求其面积.
解析：
根据题意，，
因为，由，
可得，则的周长为；
在中，根据余弦定理，
，
则，
故 故答案为：12；6.
四、解答题
15．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，根据下列条件分别求双曲线的标准方程.
（1）渐近线方程为，且过点；
（2）与双曲线的离心率相同，与共焦点.
分析：（1）设出双曲线的方程，代入已知点即可得到方程；（2）根据题意得到双曲线的离心率为，焦点为，，由，，即可得到参数值.
解析：（1）设双曲线的方程为，
将点代入可得，故双曲线的方程为，
故双曲线的方程为.
（2）由题意可知双曲线的离心率为，焦点为，，所以可设双曲线的标准方程为，则，，解得，
所以双曲线的标准方程为.
点睛：这个题目考查了双曲线的标准方程的求法，一般需要求出a,b，c的关系式，再由三者的关系式得到参数值.
16．已知双曲线的焦距为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积．
分析：（1）根据给定条件，求出即可.
（2）求出点到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积.
解析：（1）依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离，
由消去得，解得，，
则，所以的面积.
17．已知双曲线，，为双曲线的左、右焦点．
(1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程；
(2)设点是上第一象限内的点，，求x的值．
分析：（1）先把双曲线方程变形为标准方程，可得，根据曲双曲线的性质得到顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程；
（2）根据题中向量的数量积公式列等式，解得x的值.
解析：（1）由题意得，
可得，，，
故顶点坐标为，，焦点坐标，，
离心率为，渐近线为；
（2）设，则，
点Q在第一象限，，且，，
， 解得，
．
18．已知双曲线：的右焦点为，右顶点为，为坐标原点，且.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与的右支交于，两点，记的左顶点为，证明：.
分析：（1）根据条件确定的值，可得双曲线的标准方程.
（2）方法1：设的方程为，代入双曲线方程，利用韦达定理，可得，，表示，化简可得，问题得证.
方法2：若直线斜率不存在时，可得点坐标，利用判断；若直线斜率存在时，设其方程为，代入双曲线方程，利用韦达定理，可得，，表示出，化简得，问题得证.
解析：（1）由，可得，即，则，
所以的方程为.
（2）如图：
方法1：由题意知，的斜率不为0，
可设的方程为，，.
由可得，
则，，.
由题意知，则，，
，所以.
方法2：若的斜率不存在，可得，.由题意知，
则，，，则.
若的斜率存在，可设的方程为，，.
由可得，
则，，.
，，
则
，所以.
19．已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点.
(1)求的标准方程；
(2)若线段的中点为，求直线的方程；
(3)若（不在直线上），证明：直线过定点.
分析：（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程；
（2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案；
（3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点；
解析：（1）因为，，
所以，故的标准方程为·
（2）
设，，根据题意易得.
因为是上的两点，所以
两式相减得，即
因为，， 所以
所以直线的方程为
经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为.
（3）证明：依题意可设直线的方程为.
由，得
则，，
，由（2）知，
因为，所以
即
即
即，得，解得或.
当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去；
当时，直线，满足，则直线过定点
故直线过定点