北京版初中数学九年级上册期中模拟卷2（含解析）

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初三数学上册期中考试模拟卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，已知点和点分别是的边和边的延长线上的点，连接，则添加下列条件：①；②；③；④；能够判定的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，点D，E分别在的边上，且，若，，则值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．1
3．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线向右平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点．由图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．这篇文章一共1500字
B．当小丽的录字速度为100字/分钟时，录入时间为15分钟
C．小丽在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，则小丽每分钟至少应录入90字
D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务
6．如图，在中，，，点P为边上一动点，连接，若与至少有一个为等腰三角形，且满足长为整数，则这样的点P个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．在平面直角坐标系中，保持抛物线不动，若将平面直角坐标系水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的解析式为（ ）．
A． B．
C． D．
8．若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（ ）
A． B． C． D．
10．为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．如图，若，，则 ．
12．已知点，都在函数的图象上，则与大小关系为 （填“>”，“=”或“<”）．
13．某小山坡的坡长为米，山坡的高度为米，那么该山坡的坡度 ．
14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，且，若，则的长为 ．
15．如图，在中，中线与高相交于点，，，则 ．
16．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小．
17．（墨经）中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是．则蜡烛火焰的高度是 ．
18．如图是二次函数的图像，其对称轴是直线，顶点的纵坐标为6；有下列5个结论：①；②；③；④方程没有实数根；⑤当时，随的增大而增大，其中正确的有 ．（填序号）
三、解答题（本题共8小题，共54分。其中：19题5分，20题14分，21题8分，22-24题每题5分，25-26题每题6分）。
19．已知线段、满足，且．
(1)求线段、的长；
(2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长．
20．已知，且．
(1)求的值．
(2)若，求的值．
根据已知条件，求下列比的结果．
(3)已知，求的值；
(4)已知，则的值．
21．计算
(1)
(2)
22．如图，在中，，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
23．蜀绣，是巴蜀地区流行的一种民间工艺，国家级非物质文化遗产之一，某经销商从工厂以30元每把的价格购进一批蜀绣团扇，经市场调研，当该蜀绣团扇每把的销售价为50元时，每周可销售120把，当每把的销售价每增加1元，每周的销售量将减少4把．设该蜀绣团扇每件的销售价为x元，每周的销售量为y把，利润为w元，
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)为保证每周获得2400元的销售利润，则每周该蜀绣团扇的销售价应定为多少？
(3)当销售价定为多少时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
24．在平面直角坐标系中，设反比例函数（为常数，）的图象与一次函数（，b为常数，的图象交于点，．
(1)求的值和一次函数表达式；
(2)当时，直接写出的取值范围；
25．如图，已知抛物线（为常数）的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点左侧），与轴相交于点．
(1)求该抛物线的解析式及点的坐标．
(2)抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，过点作轴，垂足为点，交线段于点．连接、，若的面积是面积的倍，求点的坐标；
26．图1是一款落地式三杆折叠晾衣架，该晾衣架固定杆，，，的长度都相同，加粗杆，的长度也都相同，使用中，加粗杆始终与水平地面垂直，晾衣架的宽度最宽可拉伸到，最窄可拉伸到，点，始终在加粗杆的相同高度上，且，图2是其最窄状态下的示意图，此时固定杆与加粗杆的夹角，．（固定杆及加粗杆的厚度忽略不计）
(1)求固定杆的长度．
(2)将晾衣架从最窄拉伸到最宽，此时，求，两点之间缩短的距离．
（计算过程和结果都精确到；参考数据：，，）
答案解析部分
1．C
【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：，，
，
故①符合题意；
，，
，
故②符合题意；
由③不能判定，
，，
，
故④符合题意；
其中能够判定的条件有3个，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查相似三角形的性质，本题可根据相似三角形的性质，利用相似三角形面积比与相似比的关系来求解的面积．
【详解】解：相似三角形面积比等于相似比的平方，
设与的面积分别为和，相似比为k，
则有，
由题可知，已知，
将其代入到中，可得，
即．
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键．
由题意知，，即，然后计算即可解答．
【详解】解：由题意知，，即，
解得：，.
故选C．
4．B
【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减解答即可，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线向右平移1个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为．
故选：B
5．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的解析式求解及利用函数性质分析实际问题是解题的关键．
本题围绕反比例函数在实际问题中的应用展开，需先确定反比例函数解析式，再结合各选项的条件分别进行分析计算．
【详解】解：设反比例函数解析式为．
∵图象经过点，
∴，
解得，即，文章总字数为字．
由，当，时，总字数为字，故A正确．
当时，，故B正确．
从到共分钟，即，则，解得，故小丽每分钟至少应录入字，C错误．
原计划速度，则原计划时间分钟；
实际速度，实际时间分钟；
提前时间为分钟，故D正确．
故选：C．
6．C
【分析】该题考查了勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的定义等知识点，先根据题意求出可以取的整数值．分为①当时，②当时，③当时，分别讨论即可．
【详解】解：根据题意求出可以取的整数值．
在 中，，
，
，
点为边上一个动点，
∴当时，最大，当时，最小．
过点作于点，
则，
解得：，
，
的长为整数，
∴或 6 或 7 ．
①当时，为等腰三角形．
②当时，
设点为中点，连接，如图（1），
则，此时点与点重合，
∴与均为等腰三角形．
③当时，如图（2），过点作于点，
则．
设，则，，
，
，
解得：（负值已舍），
∴，此时与均不是等腰三角形．
综上，符合条件的点的个数为2．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，由，由将平面直角坐标系水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，则相当于把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可，解题的关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【详解】解：由，
∵将平面直角坐标系水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，
∴相当于把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∴该抛物线在新的平面直角坐标系中的解析式为，
故选：．
8．D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，要比较点的横坐标的大小，关键要熟悉反比例函数在每个象限的增减性质，另外由于非负，则．
由知，反比例函数的图象分别在第二、四象限，且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大；反之，在每个象限内，函数值增大，则自变量也增大，由于，所以．由于点C在第二象限，故，从而可得结果．
【详解】∵，则，
∴反比例函数 的图象分别在第二、四象限，
且在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，反之，在每个象限内，函数值增大，则自变量也增大，
，
，
，
∴点C在第二象限，
∴，
∴．
故选：D．
9．B
【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可．
【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比，
∴，
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形分别求出的长，则可求出的长．
【详解】解：由题意得，，
在中，，
在中，，
∴，
故选：C．
11．4
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵，
，
即，
解得：，
故答案为：4．
12．>
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过计算两点对应的函数值，比较大小即可．
【详解】解：当时，；
当时，；
因为，所以；
故答案为＞．
13．/0.75
【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握勾股定理．坡度定义为高度与水平距离的比值，已知坡长和高度，利用勾股定理求出水平距离，再计算坡度即可．
【详解】解：设水平距离为米，根据勾股定理得：，
，
，
，
坡度为高度与水平距离的比值：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割得，结合代入求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
则
故答案为：．
15．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．作于，由三角形中线的定义可得，证明，得到，，进而根据勾股定理求出，证明，可求出，得到，最后根据即可解决问题．
【详解】解：如图，作于．
是的中线，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，
，
，
，
故答案为：．
16．3
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键．
设移动时间为秒，四边形的面积为，先分别求出的长，再利用面积减去面积求出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：设移动时间为秒，四边形的面积为，
由题意得：，，
，
，
，
，
整理得：，
由二次函数的性质可知，当时，取得最小值27，
即经过3秒，四边形的面积最小，
故答案为：3．
17．
【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得，
解得．
即蜡烛火焰的高度是．
故答案为：
18．③④/④③
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴，以及二次函数与一元二次方程的关系，解决本题的关键是读懂图像．
根据图像可知该二次函数交于y轴正半轴，即，再由对称轴可判断，由此可判断①；根据该二次函数交于x轴于点，代入二次函数解析式即可判断②；根据对称轴即可判断③；根据该函数的顶点的纵坐标即可判断④；根据二次函数的增减性即可判断⑤．
【详解】解：①：∵该二次函数交于y轴正半轴，即，
又∵其对称轴是直线，
∴，
∴，即，
∴，故①错误；
②：由图像可知，该二次函数交于x轴于点，
∴，即，故②错误；
③：∵其对称轴是直线，
即，则有，故③正确；
④∵该函数顶点的纵坐标为6，
∴，即，
∴方程没有实数根，
即方程没有实数根，故④正确；
⑤当时，随的增大而增大，故⑤错误．
∴结论正确的有③④．
故答案为：③④ ．
19．(1)线段的长为6，线段的长为4．
(2)线段的长为
【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键．
（1）设，，代入计算可得的值，由此即可得；
（2）根据比例中项可得，由此即可得答案．
【详解】（1）解：，
设，，
∵，
，
，
，，
线段的长为6，线段的长为4．
（2）解：线段是线段、的比例中项，，，
，
由题意知，，
，
线段的长为．
20．(1)2
(2)2.5
(3)
(4)
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可得，，代入所求式子计算即可得解；
（2）由题意可得，，，结合计算即可得解．
（3）根据已知可得，即可作答．
（4）先设，则得，再代入，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴．
（2）解：∵，
∴，，．
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴
∴
（4）解：依题意，设，
∴，
∵，
21．(1)
(2)1
【分析】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解决本题的关键．
（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方、乘法，再算加减法，即可求解；
（2）先将特殊角三角函数值代入，再利用平方差公式进行分母有理化和完全平方公式进行求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
22．(1)见解析
(2)18
【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质与判定：
（1）利用平行四边形的性质可得，即可解答；
（2）利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
23．(1)
(2)每周该蜀绣团扇的销售价应定为60元或50元
(3)当销售价定为55时，每周的销售利润最大，最大利润是2500元
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据销售量＝原来的销售量－减少的销售量，即可解答；
（2）根据总利润＝单个利润总数量进行计算，即可解答；
（3）根据总利润＝单个利润总数量进行计算，即可解答．
【详解】（1）设该蜀绣团扇每件的销售价为x元，每周的销售量为y把，
；
（2）当利润为w元时，
，
当元时，，
，
，
，
或，
每周该蜀绣团扇的销售价应定为60元或50元．
（3）由（2）可得，
，
当时，函数有最大值，
当销售价定为55时，每周的销售利润最大，最大利润是2500元．
24．(1)，
(2)或
【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求反比例函数关系式，一次函数与反比例函数的交点求不等式的解集，
对于（1），将点代入反比例函数关系式，即可求出，进而求出点，再将点A，B坐标代入直线关系式可得答案；
对于（2），根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围即为答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数经过点，
∴，
∴反比例函数．
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴点．
∵一次函数经过点A，B，
∴，
解得点，
∴一次函数关系式为点；
（2）解：由图象可知，当时，或．
25．(1)抛物线的解析式，点的坐标为；
(2)点的坐标为．
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的应用——面积问题，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由抛物线对称轴是直线，得，解得：，求出抛物线的解析式，然后令，解出方程即可；
（）先求出点的坐标为，直线解析式为，则有，，所以，又的面积是面积的倍，所以，然后解方程即可．
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴是直线，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式，
当时，，
解得：，，
∴点的坐标为；
（2）解：如图，
由（）得，点的坐标为，抛物线的解析式，
当时，，
∴点的坐标为，
∴，
设直线解析式为，
，解得：，
∴直线解析式为，
∵抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，
∴，，
∴，
∴，，
∵的面积是面积的倍，
∴，整理得：，
解得：或（舍去），
∴点的坐标为．
26．(1)
(2)
【分析】（1）连接，求出，判断四边形是矩形，得， 由正弦定义即得的长度约为．
（2）当晾衣架最宽时，，，由勾股定理求出；当晾衣架从最窄时，，由正切定义求出．即得E、F之间的距离大约缩短了．
【详解】（1）解：连接．
由题意知，，．
∴．
∵垂直于，
∴．
∴
∵A，E始终在加粗杆的相同高度上，
∴．
∴四边形是矩形．
∴．
∴．
∴．
答：固定杆的长度约为．
（2）当晾衣架从最宽时，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
当晾衣架最窄时，
∵，
∴．
∴E、F间缩短的距离为．
∴．
答：E、F之间的距离大约缩短了．
【点睛】本题考查了解直角三角形应用．熟练掌握矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，按比例分配，平行线判定和性质，单位之间的换算，是解题的关键．