北京版初中数学九年级上册期中模拟卷1（含解析）

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初三数学上册期中考试模拟卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图， 已知， 添加下列条件后， 仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点为正方形的边上一点，连接，过点作，连接，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割．形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（ ）（注：黄金分割比是）
A． B． C． D．
4．在中，，、、分别是、、的对边，下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，菱形中，过点作，垂足为延长线上一点，过点作，垂足为点，若，，则的长为（　　）
A．6 B． C． D．
6．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到即停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．水温从升高到，需要
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．早晨8点接通电源从开始加热，可以保证当天上午喝到不超过的水
D．在单次加热—降温的过程中，水温不低于的时间为
7．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．对于任意的实数，总有
8．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
10．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论：①；②；③；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．在中，，则锐角的度数为 ．
12．如图，四边形为平行四边形，边在轴正半轴上，点为边的中点，反比例函数图像恰好经过，两点，连接，若的面积为4，则的值为 ．
13．已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 4 3 0 …
则关于x的一元二次方程的根为 ．
14．在菱形中，，，E是对角线上的一个三等分点，点关于的对称点为，射线，与菱形的边交于点，则的长为 ．
15．如图，点是四边形对角线、的交点，与互补，，，，，则的长为 ．
16．抛物线（a，b，c是常数，，）经过点，且．下列结论：①；②关于的一元二次方程一定有一个根小于；③；④若，抛物线过点，，，，且，则．
其中正确的结论是 （填写序号）
17．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高是，蜡烛与凸透镜的距离是，蜡烛的像与凸透镜的距离是，则像的高是 ．
18．如图，在中，，，，点P从点B出发，以/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点移动，设运动时间为t秒，当 秒时，与相似．
三、解答题（本题共8小题，共54分。其中：19题5分，20题14分，21题8分，22-24题每题5分，25-26题每题6分）。
19．已知线段、、满足且
(1)求、、的值；
(2)若线段是线段、的比例中项，求的值．
20．已知线段满足，且．
(1)求 a 、b 、c 的值；
(2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值；
(3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度；
21．计算：
(1)；
(2).
22．如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他与该塔的距离米．已知小明的身高为米，他的影长为2米．求信号发射塔的高度．
23．如图，已知在中，是上的高，且，，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上．
(1)设，矩形的周长为，求关于的函数解析式；
(2)当为正方形时，求的长度．
24．抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为元，每日获得的利润为元.
(1)涨价后每日销量将减少______件（用含的代数式表示）；
(2)当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？
25．图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，)
(1)图（2）中，___________°；
(2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）．
①；
②求乘客水杯的最大高度．
26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，与y轴相交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
答案解析部分
1．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
即，
A项：若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
先由勾股定理求出，再由求出，进而求出，作垂直于，由求出，则面积即可求．
【详解】解：∵，，．根据勾股定理：
，
∴正方形边长 ，
∵，
∴ ，
又 ∵，，
∴ ，
∴，
∴，
∵ ，，，
，
∴
作，
，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
，
．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图，是线段的两个黄金分割点，
线段的长为，
，
，
，
四个黄金分割点组成的正方形的边长为．
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切、余切的定义是解题的关键．
根据直角三角形三角函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：∵在中，，的对边为a，邻边为b，斜边为c，
∴，，，，即D选项符合题意．
故选：D．
5．D
【分析】由菱形的面积可得各边上的高相等，可得的长，由∽，的长可求，即的长可得.
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴.
故选：D
【点睛】本题考查了菱形的性质及勾股定理、相似三角形的性质与判定，关键是利用相似三角形的性质列方程求解.
6．D
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目—浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息，数形结合是解决本题的关键．
【详解】解：A、∵开机加热时水温每分钟上升，
∴水温从升高到，需要的时间为，故A选项不符合题意．
B、由题意可得点在反比例函数的图象上，
设反比例函数的解析式为，
将点代入，可得，
∴水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意．
C、令，则，
∴，
即饮水机每经过，要重新从开始加热一次，
从8点至9点30分，经过的时间为，，
而水温加热到，需要的时间为，
故9点30分时，饮水机第三次从开始加热了，
令，则，
即9点30分时，饮水机的水温为，故C选项不符合题意．
D、水温从升高到所需要的时间为，
令，则，
解得，
∴水温不低于的时间为，故D选项符合题意．
故选：D．
7．C
【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与轴的交点位置可判断选项A；把代入抛物线对称轴公式可判断选项B；由抛物线的对称性可判断选项C；由时，函数取得最大值可判断选项D．
【详解】解：∵抛物线开口向下、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴，
∴，，，
∴，故A选项错误；
∵对称轴为直线，
∴，即，
∴，故B选项错误；
∵对称轴为直线，抛物线与轴的交点在点右侧，
∴抛物线与轴的另一个交点在左侧，
∴当时，，
∴，故C选项正确；
∵当时，，当时，，
∵当时，函数值最大，
∴，
∴，即，故D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键．
8．D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：点的横纵坐标满足反比例函数的解析式．
根据点，，都在反比例函数的图象上，即可求出函数值进行比较．
【详解】解;∵ 点, , 在 上，
∴ ,,，
∴ , , ，
故 .
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
直接观察图象，即可求解．
【详解】解：观察图象得：当时，一次函数在二次函数的图象的上方，
即当时，，
∴不等式的解集为．
故选：C
10．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解答的关键在于掌握并灵活应用二次函数的图象和性质，注重数形结合的思想．①根据对称轴，确定a，b的关系，然后判定即可；②根据图象确定a、b、c的符号，即可判定；③根据抛物线与x轴的另外一个点的坐标为，然后判定即可；④根据对称性判断即可；⑤由图象可得，当时，抛物线总在直线的上面，则．
【详解】解：①∵抛物线的顶点坐标，即对称轴为直线，
∴，则，即，故①正确；
∵抛物线开口向下，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故②错误；
∵抛物线对称轴是直线，，
∴抛物线与x轴的另一个交点是，故④错误；
把代入得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
由图象得：当时，；故⑤正确．
综上分析可得，正确的有：①③⑤．
故选：C．
11．80
【分析】本题考查了正弦，熟练掌握特殊角的正弦值是解题关键．
先判断出也是锐角，再根据可得，由此即可得．
【详解】解：∵是锐角，
∴也是锐角，
由得：，
∴，
∴，
故答案为：80．
12．/
【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．设点 的坐标为 ，设 ，则B，C两点坐标可表示，因为 是中点，根据中点坐标公式D点坐标可表示，因为 在反比例函数 上，D点横纵坐标之积为k，可得，再利用的面积为4列方程则题目可解．
【详解】解：∵ 在反比例函数 上，
∴设点 的坐标为 ，
∵四边形是平行四边形，
∴ 且 ，
∴点 的纵坐标与 的纵坐标相同为 ，
设 ，
则点 的坐标为 ，，
∵ 是中点，根据中点坐标公式：
∴，即
∵ 在反比例函数 上，
∴
∵
∴，
∴，
则 的底为 ，高为 点的纵坐标 ，
∵，
∴
．
13．，
【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，求出点的对称点是点，再进一步作答即可．
【详解】解：根据题意得：点均在二次函数的图象上，
故二次函数的对称轴为直线，
根据表格点在二次函数的图象上，
故点的对称点是点，
∴关于的方程的解是，．
故答案为：，．
14．或
【分析】由题意得，E是上的一个三等分点，故需分两种情况：①若；②若，画出对应的图形，根据对称性得到，再结合图中的相似三角形和直角三角形分别运用相似三角形性质和勾股定理即可求得结果．
【详解】解：如图，连接交于，
菱形，交于点，，，
， ，，，
∴，
是上的一个三等分点，
分两种情况讨论：
①若，如图，连接交于，
则，，
由轴对称性质得，，
，，，
，
又，
，
，
设，则，，
在中，，
，
整理得：，
解得：，（为负根，舍去），
，
，，
，
，
∴，
，
；
②若，如图，在上截取，
而，，
∴，
∴，
由轴对称性质得，，
，，，
同理可得：，
∴，
设，则，，
在中，，
，
整理得：，
解得：，（为负根，舍去），
，
∴，
∵，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程等，熟练掌握以上知识点，学会利用勾股定理求线段长度，学会结合图形添加适当的辅助线构造相似三角形解决问题是解题的关键，本题属于几何综合题，适合几何知识储备较强，有能力解决几何难题的学生．
15．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定；先作，即可求出，再根据相似三角形的对应边成比例得，进而得，然后说明，再结合可得答案.
【详解】解：过点O作交于点M，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
16．①②④
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，
将点代入抛物线解析式可得b的表达式，结合条件判断符号；根据二次函数与一元二次方程的关系，结合函数值符号判断根的范围；利用对称性和函数单调性判断函数值符号．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，故①正确；
∵，，，
∴抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴，
令，得，
由根与系数的关系，，，
∴两根均为负，
又∵当时，，
∴抛物线与x轴的一个交点在与之间，另一个交点小于，
故②正确；
∵，且，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴当时，，
∴点 在抛物线上，与点 对称，
∴对称轴为，
点到对称轴距离为，点距离为，点距离为，点距离为 ，
∵抛物线开口向下，
∴函数值随距离增大而减小，
故，
∵，且，
∴，，
∴，，
∴，故④正确．
所以正确的是①②④．
故答案为：①②④．
17．2
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据题意可得：，从而可得，进而可得，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
，
，
．
故答案为：2．
18．或
【分析】本题考查了相似三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．
分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解．
【详解】由题可得：，，
设，，
，
当时，，
，
，
，
秒；
当时，，
，
，
，
；
的值是或．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质，是解题的关键：
（1）利用设参法，进行求解即可；
（2）根据比例中项的定义，列式计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴设，
∴，
∴，
∴；
（2）由题意，，
∴．
20．(1)9，6，12
(2)
(3)
【分析】（1）设比值为，然后用表示出再代入等式进行计算即可得；
（2）根据比例中项的定义列式求解即可得
（3）根据黄金分割比的结论列式求解即可得
【详解】（1）解：设，
则，
解得：，
则：；
（2）∵线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，
∴，
∴，
∴；
（3）∵线段b按黄金分割比例分为两条线段，
∴长边长度为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，黄金分割比，熟记比例中项的概念、黄金分割比的比值结论是解决问题的关键，同时利用“设法”用表示出可以使计算更加简便．
21．(1)
(2)2
【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角三角函数的运算，
（1）根据，再计算即可；
（2）根据，再计算.
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
22．信号发射塔的高度为19.8米
【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，先证明，利用三角形相似的性质即可求解．
【详解】解：，，
，
∴，
，
，，，
，
，
（米），
∴信号发射塔的高度为米．
23．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定和函数解析式，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
（）根据矩形性质得，从而得，利用相似三角形对应边的比和对应高的比相等表示的长，利用矩形面积公式得与的函数解析式；
（）令，求得进而得到的长度；
【详解】（1）如图，设与交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）当为正方形时，，
由（）得：，
解得：，
∴当为正方形时，的长度为．
24．(1)
(2)当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数最值，解题的关键是利用代数式表示其中的量，并会通过二次函数顶点解析式求出最值．
（1）根据题意用含的代数式表示出每日销售量减少的件数即可；
（2）根据题意列出关于的二次函数，并利用顶点解析式求出最值即可．
【详解】（1）解：设涨价后的售价为元，则每日销量减少：件，
故答案为：；
（2）解：设每日获的利润为元，
由题意可得：
，
整理得：，
，
当时，最大，最大值为720，
当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元．
25．(1)
(2)①；②
【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识．
（1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出．
（2）①根据题意可知代入计算即可．
②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案．
【详解】（1）解：过点作，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
（2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，
由（1）知，
∴，
故答案为：．
②如图，过点作的垂线交于点F，
在中，
．
答：乘客水杯的最大高度约为．
26．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)16
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，再把点和点的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出点C的坐标，进而得到的长，再根据列式求解即可；
（3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者的交点处的自变量的取值范围即可得到答案；
【详解】（1）把点代入，
，
反比例函数解析式为，
在上，
，
，
，
把，代入一次函数解析式中，
，
，
；
（2）由（1）可得，一次函数解析式为，
令，则，
，
，
；
（3）由函数图象可知，当或时，，
当时，的取值范围为或．