5.3 诱导公式
【题型1】给角求值 3
【题型2】给值(式)求值 4
【题型3】利用公式进行化简 6
【题型4】化简求值 9
【题型5】诱导公式的综合应用 11
一、诱导公式二~四 1.公式二 sin(π+α)=-sin α， cos(π+α)=-cos α， tan(π+α)=tan α. 2.公式三 sin(-α)=-sin α， cos(-α)=cos α， tan(-α)=-tan α. 3.公式四 sin(π-α)=sin α， cos(π-α)=-cos α， tan(π-α)=-tan α. 二、诱导公式五、六 1.公式五 sin=cos α， cos=sin α. 2.公式六 sin=cos α， cos=-sin α.
(1)函数名称不变. (2)运用公式时把α“看成”锐角. (3)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ+，k∈Z. (4)名称发生了变化，实现了正弦函数和余弦函数相互转化. (5)运用公式时，把α“看成”锐角. (6)符号的变化要看把α“看成”锐角时所在的象限.
【题型1】给角求值
（2024秋 雨花区期末）cos495°的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数诱导公式化简，结合特殊角的三角函数值，得到答案．
【解答】解：cos495°＝cos（495°﹣360°）＝cos135°＝﹣cos45°．
故选：D．
方法点拨 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化. (2)“大化小”——用公式一将角化为0到2π间的角. (3)“小化锐”——用公式二或四将大于的角转化为锐角. (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值.
【变式1】（2025春 中山市期中）sin390°＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 sin390°＝sin（360°+30°），利用诱导公式可求得结果．
【解答】解：sin390°＝sin（360°+30°）＝sin30°，
故选：A．
【变式2】（2025春 确山县期中）cos（﹣2100°）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式即可求解．
【解答】解：由题意，
故cos（﹣2100°）的值为．
故选：A．
【变式3】（2025春 宜昌期中）sin495°＝（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式化简求解即可．
【解答】解：sin495°＝sin（360°+135°）＝sin135°．
故选：D．
【题型2】给值(式)求值
（2025秋 威远县月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简即可求解．
【解答】解：因为，
所以．
故选：B．
方法点拨 解决条件求值问题的策略 (1)解决给值求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间角的差异及联系，用已知角表示待求角. (2)利用诱导公式将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
【变式1】（2025春 张家口期末）若，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简即可．
【解答】解：sin（5π﹣α）＝sinα．
故选：B．
【变式2】（2025春 甘肃期中）（中诱导公式、基本公式）若，则sin（﹣α﹣2π）的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是运用诱导公式进行化简求值，及同角三角函数间的关系，由，我们易根据诱导公式结合同角三角函数关系求出sinα的值，然而sin（﹣α﹣2π）＝﹣sinα．
【解答】解：∵，
π＜α＜2π，
∴．
则sinα＜0
故选：C．
【变式3】（2024秋 济宁期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为，且，
可得α∈（π，），
由cos（α）＜0，可得α∈（π，），
则sin[π﹣（α）]＝sin（α）．
故选：A．
【题型3】利用公式进行化简
（2024秋 南昌期末）已知f（α）．
（1）化简f（α）；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）结合三角函数的诱导公式，即可求解；
（2）结合（1）的结论，以及三角函数的诱导公式，即可求解．
【解答】解：（1）f（α）；
（2），
则，即，
故，
所以．
方法点拨 三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数. (3)注意“1”的代换：1=sin2α+cos2α=tan.
【变式1】（2024秋 梅河口市期末）已知．
（1）化简f（α）；
（2）若α，β都是锐角，且，，求sinα，sinβ的值．
【答案】（1）f（α）＝﹣cosα；
（2）．
【分析】（1）由诱导公式得到f（α）＝﹣cosα；
（2）根据得到，由角的范围和同角三角函数关系得到，，利用凑角和正弦差角公式得到．
【解答】解：（1）利用诱导公式可得f（α）cosα；
（2），即，
故，
因为α，β都是锐角，
故α+β∈（0，π），，
又，
故，
所以sinβ＝sin[（α+β）﹣α]
＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα
．
【变式2】（2025春 汉中月考）化简求值：
（1）；
（2）；
（3）若sin（3π﹣α）＝﹣3cos（α﹣6π），求的值．
【答案】（1）﹣1；
（2）﹣sinα；
（3）﹣8．
【分析】（1）根据诱导公式化简即可；
（2）根据诱导公式化简即可；
（3）先根据诱导公式化简，再结合同角求值进行切弦互化，即可求解．
【解答】解：（1）；
（2）原式；
（3）由sin（3π﹣α）＝﹣3cos（α﹣6π），得sinα＝﹣3cosα，
所以，又sinα＝﹣3cosα，
所以．
【变式3】（2025春 敦煌市期末）（1）已知，求的值；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）1．
【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式化简即得；
（2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式，化简求解即可．
【解答】解：（1）因为，
根据诱导公式可得，；
（2）原式1．
【题型4】化简求值
（2024秋 宣威市期末）已知角α的终边过点（﹣5，12），则（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】由三角函数的定义求得tanα，利用诱导公式化为齐次式，进而求解即可．
【解答】解：因为角α的终边过点（﹣5，12），所以，
所以．
故选：D．
方法点拨 利用诱导公式化简、求值的策略 (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用. (2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围.
【变式1】（2024秋 大理州期末）已知α为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式求得cosα，利用同角三角函数的基本关系式求得sinα，由此化简求值．
【解答】解：由sin（α），得﹣cosα，所以cos，
因为α是第二象限角，所以sinα，
所以tan（﹣α）﹣6cos（α）6×（﹣sinα）＝246．
故选：C．
【变式2】（2024秋 庐江县期末）已知sin（π+α），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．
【解答】解：∵sin（π+α）sinα，∴sinα，则sinα，
故选：C．
【变式3】（2025春 东营期末）若，且α是第三象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式结合同角三角关系可得，再利用诱导公式运算求解．
【解答】解：若，且α是第三象限角，
因为，即，
且α是第三象限角，则，
所以．
故选：B．
【题型5】诱导公式的综合应用
（2024秋 丹阳市期末）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，﹣4），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义以及诱导公式即可求解．
【解答】解：因为角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，﹣4），
所以cosθ，
则cosθ．
故选：B．
方法点拨 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.常见的互余的角：-α与+α，+α与-α等；常见的互补的角：+α与-α，+α与-α，+α与-α等. 二看函数名称：一般是弦切互化. 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式.
【变式1】（2024秋 陕西期末）已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（1，﹣2），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据三角函数的定义，求出角α的三角函数值，再结合诱导公式求值．
【解答】解：由题知，，，tanα＝﹣2，
所以
．
故选：B．
【变式2】（2024秋 许昌期末）角α的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的诱导公式来化简所求式子，再根据已知点在单位圆上求出角α的相关三角函数值，进而求出式子的值．
【解答】解：因为点P的坐标为，可得，．
因为．
故选：B．
【变式3】（2023秋 柳东新区期末）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣2，4），则（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义和诱导公式运算求解．
【解答】解：∵P（﹣2，4），∴（O为坐标原点），
由三角函数的定义得，，，
∴．
故选：C．5.3 诱导公式
【题型1】给角求值 3
【题型2】给值(式)求值 4
【题型3】利用公式进行化简 5
【题型4】化简求值 6
【题型5】诱导公式的综合应用 8
一、诱导公式二~四 1.公式二 sin(π+α)=-sin α， cos(π+α)=-cos α， tan(π+α)=tan α. 2.公式三 sin(-α)=-sin α， cos(-α)=cos α， tan(-α)=-tan α. 3.公式四 sin(π-α)=sin α， cos(π-α)=-cos α， tan(π-α)=-tan α. 二、诱导公式五、六 1.公式五 sin=cos α， cos=sin α. 2.公式六 sin=cos α， cos=-sin α.
(1)函数名称不变. (2)运用公式时把α“看成”锐角. (3)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ+，k∈Z. (4)名称发生了变化，实现了正弦函数和余弦函数相互转化. (5)运用公式时，把α“看成”锐角. (6)符号的变化要看把α“看成”锐角时所在的象限.
【题型1】给角求值
（2024秋 雨花区期末）cos495°的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数诱导公式化简，结合特殊角的三角函数值，得到答案．
【解答】解：cos495°＝cos（495°﹣360°）＝cos135°＝﹣cos45°．
故选：D．
方法点拨 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化. (2)“大化小”——用公式一将角化为0到2π间的角. (3)“小化锐”——用公式二或四将大于的角转化为锐角. (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值.
【变式1】（2025春 中山市期中）sin390°＝（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025春 确山县期中）cos（﹣2100°）的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2025春 宜昌期中）sin495°＝（ ）
A．1 B． C． D．
【题型2】给值(式)求值
（2025秋 威远县月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简即可求解．
【解答】解：因为，
所以．
故选：B．
方法点拨 解决条件求值问题的策略 (1)解决给值求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间角的差异及联系，用已知角表示待求角. (2)利用诱导公式将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
【变式1】（2025春 张家口期末）若，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025春 甘肃期中）（中诱导公式、基本公式）若，则sin（﹣α﹣2π）的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024秋 济宁期末）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3】利用公式进行化简
（2024秋 南昌期末）已知f（α）．
（1）化简f（α）；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）结合三角函数的诱导公式，即可求解；
（2）结合（1）的结论，以及三角函数的诱导公式，即可求解．
【解答】解：（1）f（α）；
（2），
则，即，
故，
所以．
方法点拨 三角函数式化简的常用方法 (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数. (2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦、余弦函数. (3)注意“1”的代换：1=sin2α+cos2α=tan.
【变式1】（2024秋 梅河口市期末）已知．
（1）化简f（α）；
（2）若α，β都是锐角，且，，求sinα，sinβ的值．
【变式2】（2025春 汉中月考）化简求值：
（1）；
（2）；
（3）若sin（3π﹣α）＝﹣3cos（α﹣6π），求的值．
【变式3】（2025春 敦煌市期末）（1）已知，求的值；
（2）化简：．
【题型4】化简求值
（2024秋 宣威市期末）已知角α的终边过点（﹣5，12），则（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】由三角函数的定义求得tanα，利用诱导公式化为齐次式，进而求解即可．
【解答】解：因为角α的终边过点（﹣5，12），所以，
所以．
故选：D．
方法点拨 利用诱导公式化简、求值的策略 (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用. (2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围.
【变式1】（2024秋 大理州期末）已知α为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024秋 庐江县期末）已知sin（π+α），则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2025春 东营期末）若，且α是第三象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【题型5】诱导公式的综合应用
（2024秋 丹阳市期末）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，﹣4），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义以及诱导公式即可求解．
【解答】解：因为角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣3，﹣4），
所以cosθ，
则cosθ．
故选：B．
方法点拨 诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.常见的互余的角：-α与+α，+α与-α等；常见的互补的角：+α与-α，+α与-α，+α与-α等. 二看函数名称：一般是弦切互化. 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式.
【变式1】（2024秋 陕西期末）已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（1，﹣2），则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024秋 许昌期末）角α的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋 柳东新区期末）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣2，4），则（ ）
A． B． C．0 D．
