5.4 第三课时 三角函数的图象与性质
【题型1】正切函数的定义域、周期性与奇偶性 2
【题型2】正切函数的图象与对称性 3
【题型3】正切函数的单调性与最值(值域) 5
【题型4】正切函数图象与性质的综合应用 7
一、正切函数的定义域、周期性与奇偶性 1.周期性：由诱导公式tan(x+π)=tan x，x∈R，且x≠+kπ，k∈Z可知，正切函数是周期函数，周期是π. 2.奇偶性：由诱导公式tan(-x)=-tan x，x∈R，且x≠+kπ，k∈Z可知，正切函数是奇函数. 二、正切函数图象与对称性 正切函数的对称中心为(k∈Z). 三、正切函数的单调性与最值(值域) 1.单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增. 2.值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R.
（1）注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周期的公式：T=. （2）正切函数只有对称中心，没有对称轴.
【题型1】正切函数的定义域、周期性与奇偶性
（2025春 汉中月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将函数中的与正切函数的无意义点进行关联，列出关于x不等式求解即可．
【解答】解：由xkπ，k∈Z，可得x≠kπ，k∈Z．
所以函数f（x）＝tan（x）的定义域为．
故选：A．
方法点拨 (1)判断函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y=tan x有意义，即x≠+kπ，k∈Z. (2)与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 ①一般地，函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=，常常利用此公式来求周期. ②判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.
【变式1】（2025秋 河北月考）若点是函数f（x）＝tan（x﹣φ）的图象的一个对称中心，则φ的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025 雅安模拟）下列函数中为奇函数的是（ ）
A．y＝x+1 B．y＝cosx C．y＝tan2x D．
【变式3】（2025秋 青岛月考）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．1
【题型2】正切函数的图象与对称性
（2025 新高考Ⅰ）若点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的对称中心可得a的表达式，再由a＞0可得a的最小值．
【解答】解：由已知，aπ，k∈Z，所以aπ，k∈Z，
因为a＞0，所以取k＝0时，得a的最小值为60°．
故选：C．
方法点拨 正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键.
【变式1】（2025秋 安徽月考）若函数y＝tanx的图象与直线x＝a没有交点，则|a|的最小值为（ ）
A．0 B． C．π D．2π
【变式2】（2025春 南昌期末）若点（a，0）（a＞0）是函数图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2025春 沙河口区月考）函数在某一周期内的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3】正切函数的单调性与最值(值域)
（2025 新蔡县模拟）下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．（0，π）
【答案】A
【分析】根据正切函数的性质即可求解．
【解答】解：，
因为tanu的递增区间为，
而f（x）的递减区间对应的递增区间，
所以令：，解得（k∈Z），
当k＝0时，单调递减区间为．
故选：A．
方法点拨 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系. (2)求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法 当ω>0时，把ωx+φ看成一个整体，解-+kπ<ωx+φ<+kπ，k∈Z即可；当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
【变式1】（2025春 河南月考）已知函数在区间上单调，则ω的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（0，1] C． D．
【变式2】（2025春 信阳期中）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．函数f（x）的定义域为
C．函数f（x）的图象的对称中心为，（k∈Z）
D．函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z
【变式3】（2023秋 武汉期末）函数，的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【题型4】正切函数图象与性质的综合应用
（2025春 琼山区月考）已知函数，则下列命题正确的有（ ）个．
①
②f（x）在上单调递增
③为f（x）的一个对称中心
④f（x）最小正周期为π
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角函数函数值判断命题①的真假；根据正切函数的单调区间、对称性与周期公式依次判断命题②③④的真假，进而可得本题答案．
【解答】解：根据，可得，可知①错误；
当x∈时，2x∈（，），
根据正切函数在（，）上为增函数，可知f（x）在上单调递增，故②正确；
将代入f（x），可得，
所以为f（x）图象的一个对称中心，故③正确；
根据正切函数的周期为π，可知f（x）的最小正周期，故④错误．
综上所述，其中的正确命题有②③，共2个．
故选：C．
方法点拨 解答正切函数图象与性质问题的注意点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴. (2)单调性：正切函数在每一个区间 (k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增.
【变式1】（2025春 横峰县期中）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．点是函数f（x）图象的一个对称中心
C．函数f（x）的定义域为
D．函数f（x）在区间单调递增
【变式2】（2025春 潍坊期末）已知函数，则（ ）
A．f（x）在定义域内是增函数
B．f（x）是奇函数
C．f（x）的最小正周期为π
D．f（x）图象的一个对称中心是
【变式3】（2025春 内蒙古月考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若f（x）的最小正周期是2π，则ω＝2
B．当ω＝1时，f（x）的对称中心为
C．当ω＝2时，
D．若f（x）在区间上单调递增，则5.4 第三课时 三角函数的图象与性质
【题型1】正切函数的定义域、周期性与奇偶性 2
【题型2】正切函数的图象与对称性 4
【题型3】正切函数的单调性与最值(值域) 7
【题型4】正切函数图象与性质的综合应用 9
一、正切函数的定义域、周期性与奇偶性 1.周期性：由诱导公式tan(x+π)=tan x，x∈R，且x≠+kπ，k∈Z可知，正切函数是周期函数，周期是π. 2.奇偶性：由诱导公式tan(-x)=-tan x，x∈R，且x≠+kπ，k∈Z可知，正切函数是奇函数. 二、正切函数图象与对称性 正切函数的对称中心为(k∈Z). 三、正切函数的单调性与最值(值域) 1.单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增. 2.值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R.
（1）注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周期的公式：T=. （2）正切函数只有对称中心，没有对称轴.
【题型1】正切函数的定义域、周期性与奇偶性
（2025春 汉中月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将函数中的与正切函数的无意义点进行关联，列出关于x不等式求解即可．
【解答】解：由xkπ，k∈Z，可得x≠kπ，k∈Z．
所以函数f（x）＝tan（x）的定义域为．
故选：A．
方法点拨 (1)判断函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y=tan x有意义，即x≠+kπ，k∈Z. (2)与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 ①一般地，函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=，常常利用此公式来求周期. ②判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.
【变式1】（2025秋 河北月考）若点是函数f（x）＝tan（x﹣φ）的图象的一个对称中心，则φ的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用正切函数图象的对称性列式求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：对于f（x）＝tan（x﹣φ），令x﹣φ，k∈Z，
解得x＝φ，k∈Z，可得f（x）图象的对称中心为（φ，0），k∈Z，
根据点是f（x）图象的一个对称中心，
可知存在整数k满足φ，所以当k＝0时，φ的最小正值为．
故选：B．
【变式2】（2025 雅安模拟）下列函数中为奇函数的是（ ）
A．y＝x+1 B．y＝cosx C．y＝tan2x D．
【答案】C
【分析】直接利用奇函数的定义求出结果．
【解答】解：根据奇函数的定义：①定义域所在的区间关于原点对称；
②满足f（﹣x）＝﹣f（x），
故对于A：不满足f（﹣x）＝﹣f（x），故A错误；
对于B：函数不满足f（﹣x）＝﹣f（x），故B错误；
对于C：函数的定义域满足{x|x}（k∈Z），且满足f（﹣x）＝﹣f（x），故C正确；
对于D：函数不满足定义域所在的区间关于原点对称，故D错误．
故选：C．
【变式3】（2025秋 青岛月考）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．1
【答案】A
【分析】根据正切型三角函数最小正周期的求法即可求得正确答案．
【解答】解：函数的最小正周期T．
故选：A．
【题型2】正切函数的图象与对称性
（2025 新高考Ⅰ）若点（a，0）（a＞0）是函数y＝2tan（x）的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的对称中心可得a的表达式，再由a＞0可得a的最小值．
【解答】解：由已知，aπ，k∈Z，所以aπ，k∈Z，
因为a＞0，所以取k＝0时，得a的最小值为60°．
故选：C．
方法点拨 正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键.
【变式1】（2025秋 安徽月考）若函数y＝tanx的图象与直线x＝a没有交点，则|a|的最小值为（ ）
A．0 B． C．π D．2π
【答案】B
【分析】直接利用正切函数的图象和函数的值的应用求出结果．
【解答】解：由于函数y＝tanx的图象与直线x＝a没有交点，
所以a＝kπ，k∈Z，
则|a|的最小值为．
故选：B．
【变式2】（2025春 南昌期末）若点（a，0）（a＞0）是函数图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正切函数的图象对称性进行求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：根据点（a，0）是函数图象的一个对称中心，
可得a，k∈Z，结合a＞0，取k＝3，可得正数a的最小值是．
故选：C．
【变式3】（2025春 沙河口区月考）函数在某一周期内的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由正切函数性质结合图象利用排除法可得答案．
【解答】解：函数，所以函数f（x）的最小正周期，排除B，D；
因为，所以排除A．
故选：C．
【题型3】正切函数的单调性与最值(值域)
（2025 新蔡县模拟）下列区间中，函数单调递减的区间是（ ）
A． B． C． D．（0，π）
【答案】A
【分析】根据正切函数的性质即可求解．
【解答】解：，
因为tanu的递增区间为，
而f（x）的递减区间对应的递增区间，
所以令：，解得（k∈Z），
当k＝0时，单调递减区间为．
故选：A．
方法点拨 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系. (2)求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法 当ω>0时，把ωx+φ看成一个整体，解-+kπ<ωx+φ<+kπ，k∈Z即可；当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
【变式1】（2025春 河南月考）已知函数在区间上单调，则ω的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（0，1] C． D．
【答案】D
【分析】根据正切函数的单调减区间，结合题意，得出不等式组求出ω的取值范围即可．
【解答】解：由，
因为在区间上单调，
可知，解得，
又ω＞0，故ω的取值范围为．
故选：D．
【变式2】（2025春 信阳期中）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．函数f（x）的定义域为
C．函数f（x）的图象的对称中心为，（k∈Z）
D．函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z
【答案】C
【分析】直接利用正切型函数的性质判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：由于函数，则函数的最小正周期为T，故A正确；
对于B：函数f（x）的定义域满足2x，（k∈Z），整理得（k∈Z），故函数的定义域为{x|}（k∈Z），故B正确；
对于C：令，（k∈Z），整理得，（k∈Z），故函数f（x）的对称中心为（）（k∈Z），故C错误；
对于D：令，（k∈Z），整理得，（k∈Z），故函数的单调递增区间为，k∈Z，故D正确．
故选：C．
【变式3】（2023秋 武汉期末）函数，的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意，利用正切函数的定义域和值域，求得结果．
【解答】解：当x∈（0，）时，x∈（，），
所以y＝tan（x）∈（，1）．
故选：B．
【题型4】正切函数图象与性质的综合应用
（2025春 琼山区月考）已知函数，则下列命题正确的有（ ）个．
①
②f（x）在上单调递增
③为f（x）的一个对称中心
④f（x）最小正周期为π
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角函数函数值判断命题①的真假；根据正切函数的单调区间、对称性与周期公式依次判断命题②③④的真假，进而可得本题答案．
【解答】解：根据，可得，可知①错误；
当x∈时，2x∈（，），
根据正切函数在（，）上为增函数，可知f（x）在上单调递增，故②正确；
将代入f（x），可得，
所以为f（x）图象的一个对称中心，故③正确；
根据正切函数的周期为π，可知f（x）的最小正周期，故④错误．
综上所述，其中的正确命题有②③，共2个．
故选：C．
方法点拨 解答正切函数图象与性质问题的注意点 (1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴. (2)单调性：正切函数在每一个区间 (k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增.
【变式1】（2025春 横峰县期中）已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．点是函数f（x）图象的一个对称中心
C．函数f（x）的定义域为
D．函数f（x）在区间单调递增
【答案】B
【分析】根据正切函数的周期性、对称性、定义域和单调性相应的理论进行求解判断即可．
【解答】解：对于A，根据正切函数的周期公式T，得函数f（x）的最小正周期为2π，选项A错误；
对于B，根据正切函数的对称中心为（，0），令x，解得x＝kπ，k∈Z，
所以当k＝1时得到f（x）图象的一个对称中心为，选项B正确；
对于C：令xkπ，k∈Z，解得x2kπ，k∈Z，
得到f（x）的定义域为，选项C错误；
对于D，令时，，函数没有意义，选项D错误．
故选：B．
【变式2】（2025春 潍坊期末）已知函数，则（ ）
A．f（x）在定义域内是增函数
B．f（x）是奇函数
C．f（x）的最小正周期为π
D．f（x）图象的一个对称中心是
【答案】D
【分析】根据函数图象的连续性判断出A项的正误；根据奇函数的性质判断出B项的正误；由正切型函数的周期公式判断出C项的正误；根据正切函数图象的对称性判断出D项的正误，进而可得本题答案．
【解答】解：对于A，由于f（x）的定义域为{x|2xkπ，k∈Z}，
所以f（x）在的图象不连续，可知f（x）在定义域内不是增函数，故A错误，
对于B，由于f（x）在x＝0处有定义，
且，可知f（x）不是奇函数，故B错误，
对于C，f（x）的最小正周期T，可知C错误，
对于D，由，
可知是f（x）图象的一个对称中心，故D正确．
故选：D．
【变式3】（2025春 内蒙古月考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若f（x）的最小正周期是2π，则ω＝2
B．当ω＝1时，f（x）的对称中心为
C．当ω＝2时，
D．若f（x）在区间上单调递增，则
【答案】D
【分析】按照周期和对称中心计算公式计算周期和对称中心可判断AB选项；当ω＝2时，代入以及，并根据周期性转化到同一周期，结合正切函数的单调性可比较大小，从而判断C；根据正切函数的单调性整体代入法列出不等式求解可得出ω的范围，可判断D．
【解答】解：对于A选项：函数，由于f（x）的最小正周期是，所以，故A错误；
对于B选项：当ω＝1时，令，则，所以f（x）的对称中心为，故B错误；
对于C选项；ω＝2时，，
，
，y＝tanx在上单调递增，所以，即，故C错误；
对于D选项：若f（x）在区间上单调递增，则，又因为ω＞0，所以，故D正确．
故选：D．
