5.4 第二课时 三角函数的图象与性质
【题型1】利用单调性比较大小 2
【题型2】求正弦函数、余弦函数的单调区间 4
【题型3】求正弦函数、余弦函数的最值(值域) 7
【题型4】形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题 10
【题型5】函数性质的综合应用 12
一、正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z) 正弦函数余弦函数图象值域［-1，1］［-1，1］单调性在， 上单调递增，在 上单调递减在［-π+2kπ，2kπ］上单调递增，在［2kπ，π+2kπ］上单调递减最值当x=+2kπ时，ymax=1； 当x=-+2kπ时，ymin=-1当x=2kπ时，ymax=1； 当x=π+2kπ时，ymin=-1
(1)正、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间. (2)利用单调性，可以比较同一个单调区间内同名三角函数值的大小.
【题型1】利用单调性比较大小
（2025春 北京期中）已知，，，则（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【答案】B
【分析】根据三角函数的诱导公式与正弦函数的单调性进行求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得a＝sin（）＝sin（﹣4π）＝sin，
，，
结合正弦函数在（，）上是增函数，
可得，所以b＞a＞c．
故选：B．
方法点拨 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数. (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上. (3)利用函数的单调性比较大小.
【变式1】（2025春 沈阳月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【答案】C
【分析】首先转化，再利用y＝sinx的单调性判断大小．
【解答】解：∵，
∵y＝sinx在单调递增，，
∴，即b＜c＜a．
故选：C．
【变式2】（2024秋 龙港区月考）比较cos与cos的大小 coscos ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用诱导公式先化简式子的值，再利用余弦函数的单调性，得出结论．
【解答】解：∵coscos（）＝cos，coscos（）＝cos，
而函数y＝cosx在（0，）上是减函数，，∴coscos，即 coscos，
故答案为：coscos．
【变式3】（2024 北京模拟）cos1，cos2，cos3的大小关系是（ ）
A．cos1＞cos2＞cos3 B．cos1＞cos3＞cos2
C．cos3＞cos2＞cos1 D．cos2＞cos1＞cos3
【答案】A
【分析】利用余弦函数的单调性即可判断cos1，cos2，cos3的大小关系．
【解答】解：∵余弦函数y＝cosx在（0，π）上单调递减，
又0＜1＜2＜3＜π，
∴cos1＞cos2＞cos3．
故选：A．
【题型2】求正弦函数、余弦函数的单调区间
（2025春 永州期中）函数y＝sinπ的单调递增区间是（ ）
A．[4kπ，（4k+1）π]（k∈Z） B．[4k，4k+2]（k∈Z）
C．[2kπ，（2k+2）π]（k∈Z） D．[2k，2k+2]（k∈Z）
【答案】B
【分析】利用诱导公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性即可得到结论．
【解答】解：由数y＝sinπ＝sin（）＝﹣cos，
由2kπ2kπ+π，k∈Z，
解得4k≤x≤4k+2，k∈Z，
故函数y＝sinπ的单调递增区间是[4k，4k+2]（k∈Z），
故选：B．
方法点拨 求正、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间. (2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx+φ”看作一个整体“z”，即通过求y=Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，方法亦如此.
【变式1】（2024秋 房县期末）已知函数，则f（x）的增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】函数的增区间可以通过分析正弦函数的单调性得到．
【解答】解：正弦函数在区间上单调递增，其中k为整数，
将代入上述区间，得到，
解此不等式，得到，
因此，函数f（x）的增区间为，，其中k为整数．
故选：C．
【变式2】（2025 陕西模拟）函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B．（0，π）
C． D．
【答案】C
【分析】根据余弦函数的单调性，解关于x的不等式，可得f（x）的单调递减区间，进而可得答案．
【解答】解：由，解得，
所以f（x）的单调减区间为，
当k＝0时，（，）是f（x）的一个单调递减区间，C项符合题意．
故选：C．
【变式3】（2025春 上海期中）函数在（0，π）上的单调递减区间为 ．
【答案】．
【分析】由，计算结合条件可求单调递减区间．
【解答】解：由题意，函数，
令，
可得，
又x∈（0，π），
可得x∈[，π），
所以的单调递减区间为．
故答案为：．
【题型3】求正弦函数、余弦函数的最值(值域)
（2025春 仙游县期末）已知函数的最小正周期为π，则f（x）在区间上的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦函数的周期性得到ω，写出f（x）的解析式，再利用换元法结合正弦函数性质求解最大值．
【解答】解：因为函数f（x）＝sin（ωx）的最小正周期为T＝π，
所以ω2，f（x）＝sin（2x），
因为x∈[0，]，所以2x∈[0，π]，2x∈[，]，
令t＝2x，则t∈[，]，f（x）可化为g（t）＝sint，
由正弦函数性质得g（t）在[，]上单调递增，
在（，]上单调递减，可得g（t）max＝g（）＝sin1，
即f（x）在区间上的最大值为1，选项B正确．
故选：B．
方法点拨 三角函数的值域(最值)问题的求解方法 (1)形如y=Asin x(或y=Acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论. (2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型，可先由定义域求得ωx+φ的范围，然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围，最后求得值域(最值). (3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t=ωx+φ，转换成y=Asin t(或y=Acos t)型的函数求值.
【变式1】（2025 太原模拟）设函数f（x）＝sin2x在区间的最小值和最大值分别为m和M，则M﹣m＝（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】由x的范围求得2x的范围，则答案可求．
【解答】解：∵x∈，
∴2x∈[]，则f（x）＝sin2x∈[，1]，
即M＝1，m，则M﹣m．
故选：B．
【变式2】（2025春 自贡期末）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在上的值域；
（3）求f（x）＜﹣1在[﹣π，π]的解集．
【答案】（1）；
（2）[﹣2，1]；
（3）．
【分析】（1）根据余弦函数的性质计算可得．
（2）由x的取值范围求出，再根据余弦函数的性质计算可得．
（3）利用整体的思想结合余弦函数的图象列不等式求解即可．
【解答】解：（1）由余弦型函数的性质，令，
解得，
所以函数f（x）的单调递减区间为．
（2）因为，所以，
可得，则，
即函数f（x）在上的值域为[﹣2，1]．
（3）由题设，即，
因为x∈[﹣π，π]，所以，
所以，
可得．
所以不等式解集为．
【变式3】（2024春 泰和县月考）函数，的值域为 [1，4] ．
【答案】[1，4]．
【分析】求出整体角的范围，再利用余弦函数的值域求解即可．
【解答】解：因为，所以，
所以，
所以．
所以函数的值域为[1，4]．
故答案为：[1，4]．
【题型4】形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
（2024春 徐汇区期中）函数y＝cos2x+2sinx﹣2的值域为 [﹣4，0] ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由y＝cos2x+2sinx﹣2可得由y＝﹣（sinx﹣1）2，再利用二次函数的相关性质求出最值即可．
【解答】解：y＝cos2x+2sinx﹣2
＝﹣sin2x+2sinx﹣1
＝﹣（sinx﹣1）2，
∵x∈R，∴sinx∈[﹣1，1]，
∴当sinx＝1时，ymax＝0；当sinx＝﹣1时，ymin＝﹣4，
∴函数y的值域为[﹣4，0]．
故答案为：[﹣4，0]．
方法点拨 求y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数最值(值域)的方法 形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型，可利用换元思想，设t=sin x，转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的范围需要根据定义域来确定.若f(x)=asin2x+bcos x+c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值.
【变式1】若x∈[，]，函数y＝cosx﹣sin2x的值域为 [，1] ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先可将原函数变成y，而由x的范围，根据余弦函数的图象可求出，通过上面函数解析式即可求出原函数的最大值，最小值，从而求出其值域．
【解答】解：y＝cos2x+cosx﹣1；
，
∴；
∴时，原函数取最小值；
cosx＝1时，原函数取最大值1；
∴原函数的值域为．
故答案为：[，1]．
【变式2】（2024秋 南昌期末）函数f（x）＝1﹣sin2x+sinx在（，]上的值域是 [，]
【答案】见试题解答内容
【分析】利用换元法设t＝sinx，转化为关于t的一元二次函数进行求解即可．
【解答】解：令t＝sinx，
∵x，
∴sinsinx≤sin，
即t≤1，
则f（x）＝1﹣sin2x+sinx等价为y＝1﹣t2+t＝﹣t2+t+1，
抛物线开口向下，对称轴t，
∴当t时，函数取得最大值为y1，
当t时，函数取得最小值为y1，
即函数的值域为[，]，
故答案为：[，]．
【变式3】（2023春 金山区月考）函数y＝sin2x﹣4sinx的最小值是 ﹣3 ．
【答案】﹣3．
【分析】令sinx＝t，使用换元法进行求解即可．
【解答】解：令sinx＝t，当x∈R时，t∈[﹣1，1]，
则y＝t2﹣4t，t∈[﹣1，1]，
由二次函数知识，y＝t2﹣4t＝（t﹣2）2﹣4，
∴当t∈[﹣1，1]时，y＝t2﹣4t单调递减，
∴当t＝1时，y＝t2﹣4t取最小值，最小值为，
∴当sinx＝1，即，k∈Z时，函数y＝sin2x﹣4sinx的最小值是﹣3．
故答案为：﹣3．
【题型5】函数性质的综合应用
（2024秋 宝安区期末）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的周期为2π
B．f（x）在上单调递减
C．当时，f（x）取得最大值
D．
【答案】C
【分析】由已知结合正弦函数性质检验各选项即可判断．
【解答】解：因为，
所以Tπ，A错误；
当时，2，k∈Z，此时f（x）单调递增，B错误；
当x，k∈Z时，2k，k∈Z，此时f（x）取得最大值，C正确；
因为f（）＝2sin1，f（）＝2sin，D错误．
故选：C．
方法点拨 研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合.用整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等.
【变式1】（2024春 高州市期中）设函数，则下列说法错误的是（ ）
A．若ω＝1，则f（x）的图象关于直线对称
B．若ω＝1，，
C．若f（x）在区间上单调递增，则
D．若f（x）在区间[0，2π]上恰有2个零点，则
【答案】C
【分析】根据正弦函数的图象与性质逐项判断即可
【解答】解：对于A，若ω＝1，则，令，k∈Z，得，k∈Z，
所以f（x）的图象关于直线对称，故选项A正确；
对于B，若ω＝1，则，
所以f（α）＝sin（），，
所以cos（），sinα＝sin（）sin（）cos（）
，B正确；
对于C，由，得，因为f（x）在区间上单调递增，
则，解得，故选项C错误；
对于D，由x∈[0，2π]，得，因为f（x）在区间[0，2π]上恰有2个零点，
所以解得，故选项D正确．
故选：C．
【变式2】（2025春 江西月考）已知函数，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为
B．f（x）的图象关于点对称
C．f（x）在区间上单调递减
D．若f（x）的图象关于直线x＝x0对称，则|x0|的最小值为
【答案】D
【分析】求f（x）的最小正周期可判断A；由f（x）的对称中心的性质可判断B；求出f（x）的单调递减区间可判断C；求出f（x）的对称轴方程可判断D．
【解答】解：由已知，f（x）的最小正周期为，故A错误；
由，故B错误；
当时，，
所以由余弦函数的单调性知，在区间上单调递增，故C错误；
由f（x）的图象关于直线x＝x0对称，
得的最小值为，D正确．
故选：D．
【变式3】（2025春 北京月考）已知函数f（x）＝1﹣cos2x，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）的最小正周期为2π
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）有最大值，没有最小值
【答案】C
【分析】根据余弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．
【解答】解：由f（﹣x）＝1﹣cos（﹣2x）＝1﹣cos2x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，所以A不正确；
由函数f（x）＝1﹣cos2x，可得函数f（x）的最小正周期为，所以B不正确；
又令2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z，解得，
所以函数f（x）单调递增区间为，k∈Z，
令k＝0，f（x）的其中一个单调递增区间为，所以C正确．
因为cos2x∈[﹣1，1]，所以当cos2x＝1时，f（x）min＝0，故D不正确．
故选：C．5.4 第二课时 三角函数的图象与性质
【题型1】利用单调性比较大小 2
【题型2】求正弦函数、余弦函数的单调区间 4
【题型3】求正弦函数、余弦函数的最值(值域) 5
【题型4】形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题 7
【题型5】函数性质的综合应用 8
一、正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z) 正弦函数余弦函数图象值域［-1，1］［-1，1］单调性在， 上单调递增，在 上单调递减在［-π+2kπ，2kπ］上单调递增，在［2kπ，π+2kπ］上单调递减最值当x=+2kπ时，ymax=1； 当x=-+2kπ时，ymin=-1当x=2kπ时，ymax=1； 当x=π+2kπ时，ymin=-1
(1)正、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间. (2)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值大小.
【题型1】利用单调性比较大小
（2025春 北京期中）已知，，，则（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【答案】B
【分析】根据三角函数的诱导公式与正弦函数的单调性进行求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得a＝sin（）＝sin（﹣4π）＝sin，
，，
结合正弦函数在（，）上是增函数，
可得，所以b＞a＞c．
故选：B．
方法点拨 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数. (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上. (3)利用函数的单调性比较大小.
【变式1】（2025春 沈阳月考）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【变式2】（2024秋 龙港区月考）比较cos与cos的大小 coscos ．
【变式3】（2024 北京模拟）cos1，cos2，cos3的大小关系是（ ）
A．cos1＞cos2＞cos3 B．cos1＞cos3＞cos2
C．cos3＞cos2＞cos1 D．cos2＞cos1＞cos3
【题型2】求正弦函数、余弦函数的单调区间
（2025春 永州期中）函数y＝sinπ的单调递增区间是（ ）
A．[4kπ，（4k+1）π]（k∈Z） B．[4k，4k+2]（k∈Z）
C．[2kπ，（2k+2）π]（k∈Z） D．[2k，2k+2]（k∈Z）
【答案】B
【分析】利用诱导公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性即可得到结论．
【解答】解：由数y＝sinπ＝sin（）＝﹣cos，
由2kπ2kπ+π，k∈Z，
解得4k≤x≤4k+2，k∈Z，
故函数y＝sinπ的单调递增区间是[4k，4k+2]（k∈Z），
故选：B．
方法点拨 求正、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间. (2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx+φ”看作一个整体“z”，即通过求y=Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，方法亦如此.
【变式1】（2024秋 房县期末）已知函数，则f（x）的增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025 陕西模拟）函数的一个单调递减区间为（ ）
A． B．（0，π）
C． D．
【变式3】（2025春 上海期中）函数在（0，π）上的单调递减区间为 ．
【题型3】求正弦函数、余弦函数的最值(值域)
（2025春 仙游县期末）已知函数的最小正周期为π，则f（x）在区间上的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦函数的周期性得到ω，写出f（x）的解析式，再利用换元法结合正弦函数性质求解最大值．
【解答】解：因为函数f（x）＝sin（ωx）的最小正周期为T＝π，
所以ω2，f（x）＝sin（2x），
因为x∈[0，]，所以2x∈[0，π]，2x∈[，]，
令t＝2x，则t∈[，]，f（x）可化为g（t）＝sint，
由正弦函数性质得g（t）在[，]上单调递增，
在（，]上单调递减，可得g（t）max＝g（）＝sin1，
即f（x）在区间上的最大值为1，选项B正确．
故选：B．
方法点拨 三角函数的值域(最值)问题的求解方法 (1)形如y=Asin x(或y=Acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论. (2)形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型，可先由定义域求得ωx+φ的范围，然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围，最后求得值域(最值). (3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t=ωx+φ，转换成y=Asin t(或y=Acos t)型的函数求值.
【变式1】（2025 太原模拟）设函数f（x）＝sin2x在区间的最小值和最大值分别为m和M，则M﹣m＝（ ）
A．2 B． C． D．
【变式2】（2025春 自贡期末）已知函数．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在上的值域；
（3）求f（x）＜﹣1在[﹣π，π]的解集．
【变式3】（2024春 泰和县月考）函数，的值域为 ．
【题型4】形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
（2024春 徐汇区期中）函数y＝cos2x+2sinx﹣2的值域为 [﹣4，0] ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由y＝cos2x+2sinx﹣2可得由y＝﹣（sinx﹣1）2，再利用二次函数的相关性质求出最值即可．
【解答】解：y＝cos2x+2sinx﹣2
＝﹣sin2x+2sinx﹣1
＝﹣（sinx﹣1）2，
∵x∈R，∴sinx∈[﹣1，1]，
∴当sinx＝1时，ymax＝0；当sinx＝﹣1时，ymin＝﹣4，
∴函数y的值域为[﹣4，0]．
故答案为：[﹣4，0]．
方法点拨 求y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数最值(值域)的方法 形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型，可利用换元思想，设t=sin x，转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的范围需要根据定义域来确定.若f(x)=asin2x+bcos x+c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值.
【变式1】若x∈[，]，函数y＝cosx﹣sin2x的值域为 ．
【变式2】（2024秋 南昌期末）函数f（x）＝1﹣sin2x+sinx在（，]上的值域是
【变式3】（2023春 金山区月考）函数y＝sin2x﹣4sinx的最小值是 ．
【题型5】函数性质的综合应用
（2024秋 宝安区期末）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的周期为2π
B．f（x）在上单调递减
C．当时，f（x）取得最大值
D．
【答案】C
【分析】由已知结合正弦函数性质检验各选项即可判断．
【解答】解：因为，
所以Tπ，A错误；
当时，2，k∈Z，此时f（x）单调递增，B错误；
当x，k∈Z时，2k，k∈Z，此时f（x）取得最大值，C正确；
因为f（）＝2sin1，f（）＝2sin，D错误．
故选：C．
方法点拨 研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合.用整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等.
【变式1】（2024春 高州市期中）设函数，则下列说法错误的是（ ）
A．若ω＝1，则f（x）的图象关于直线对称
B．若ω＝1，，
C．若f（x）在区间上单调递增，则
D．若f（x）在区间[0，2π]上恰有2个零点，则
【变式2】（2025春 江西月考）已知函数，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为
B．f（x）的图象关于点对称
C．f（x）在区间上单调递减
D．若f（x）的图象关于直线x＝x0对称，则|x0|的最小值为
【变式3】（2025春 北京月考）已知函数f（x）＝1﹣cos2x，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）的最小正周期为2π
C．f（x）在区间上单调递增
D．f（x）有最大值，没有最小值
