5.5 第一课时 三角恒等变换
【题型1】两角差的余弦公式 2
【题型2】给值求值 4
【题型3】给值求角 6
【题型4】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式 10
【题型5】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式给值求值 11
【题型6】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式给值求角 14
一、两角差的余弦公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β，其中α，β为任意角，简记作C(α-β). 二、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式 1.两角和的余弦公式 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β，其中α，β∈R，简记作C(α+β). 2.两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α+β)； sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α-β).
(1)该公式对任意角都能成立. (2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角同名三角函数值积的和. (3)公式的逆用仍然成立. (4)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”. (5)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序.
【题型1】两角差的余弦公式
（2024秋 福建期末）cos105°cos45°+sin105°sin45°＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式及特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：．
故选：A．
方法点拨 两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解. (2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解. (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解.
【变式1】（2024秋 湘潭期末）cos87°cos57°+sin87°sin57°的值为 ．
【答案】．
【分析】逆用两角差的余弦公式化简求值．
【解答】解：原式＝cos（87°﹣57°）＝cos30°．
故答案为：．
【变式2】（2024春 色尼区期末）计算cos43°cos13°+sin43°sin13°的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用两角差的余弦求解．
【解答】解：cos43°cos13°+sin43°sin13°
＝cos（43°﹣13°）＝cos30°．
故选：A．
【变式3】（2025春 石狮市月考）cos（﹣15°）的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意利用诱导公式、两角差的余弦公式，求得cos（﹣15°）的值．
【解答】解：cos（﹣15°）＝cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°
，
故选：D．
【题型2】给值求值
（2023秋 湖北月考）已知，，则cosθ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用，结合两角和的余弦公式求值．
【解答】解：因为，所以，
又，所以为锐角，且．
∴．
故选：C．
方法点拨 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系. (2)在运用两角差的余弦公式进行解题时，可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有①α=(α+β)-β；②α=-；③2α=(α+β)-(β-α)；④2β=(α+β)-(α-β).
【变式1】（2024秋 长沙期末）已知，且α∈（，π），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角α的范围及同角三角函数的基本关系求出cos（α），再利用诱导公式求解即可．
【解答】解：因为α∈（，π），所以α∈（，），
因为，所以cos（α），
所以cos[π﹣（α）]＝﹣cos（α）．
故选：C．
【变式2】（2024春 海安市期末）已知，若，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由可得的范围，可知，再由同角三角函数的基本关系和两角和的余弦公式求解即可得出答案．
【解答】解：因为，所以，所以，
所以，
所以
．
故选：A．
【变式3】（2024春 顺德区期中）若，，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用同角公式求出，再利用差角的余弦公式计算得解．
【解答】解：由，得，则，
所以
．
故选：D．
【题型3】给值求角
（2025春 海勃湾区期中）若，，且，，则α+β＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据角的范围和题设条件求出sin2α与cos（β﹣α）的值，再由和角的余弦公式求出cos（α+β），即可求得α+β．
【解答】解：由可得，
又，
则sin2α＞0，
即，
又，
则，
因，
则，
故cos（α+β）＝cos[2α+（β﹣α）]
＝cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）
，
因，
故．
故选：B．
方法点拨 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解，最好选取在范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
【变式1】（2024春 扬中市期中）已知，且．求：
（1）sin（2α﹣β）的值；
（2）β的值．
【答案】（1）．（2）．
【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得 cosα、cos（α﹣β），再利用两角和差的三角公式，求得 sin（2α﹣β）＝sin[α+（α﹣β）]的值．
（2）先求得cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，结合β∈（ 0，π），可得β的值．
【解答】解：（1）∵已知，且，∴α﹣β 为锐角，
∴cosα，cos（α﹣β），
∴sin（2α﹣β）＝sin[α+（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）+cosαsin（α﹣β） ．
（2）由于cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β） ，
结合β∈（ 0，π），可得β．
【变式2】（2025春 余江区期末）已知，且α，β均为锐角．
（1）求的值；
（2）求α+β的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据同角关系求解cosα，cosβ的值，即可根据二倍角公式以及和差角公式求解；
（2）根据余弦的和差角公式即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可知，α，β均为锐角，，所以，
根据同角关系，则，
又，所以，
，
，
故；
（2），
因为，所以0＜α+β＜π，
所以．
【变式3】（2024秋 陕西期末）已知f（α）．
（1）化简：f（α）；
（2）若α，β均为锐角，f（α），sin（α﹣β），求β的值．
【答案】（1）﹣sinα．
（2）．
【分析】（1）由题意，利用诱导公式，计算求得结果．
（2）由题意求出sinα的值，可得cosα的值，由，得cos（α﹣β）的值，再根据cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式计算求得结果．
【解答】解：（1）f（α）sinα．
（2）由（1），得f（α），所以．
因为α，β均为锐角，所以．
又0＜α，，所以，
由，得，
所以cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）．
又β为锐角，故．
【题型4】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式
（2024春 东城区期中）cos14°cos16°﹣cos76°sin16°＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合诱导公式及两角和的余弦公式进行化简即可求解．
【解答】解：cos14°cos16°﹣cos76°sin16°＝cos14°cos16°﹣sin14°sin16°＝cos30°．
故选：B．
方法点拨 探究解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式.
【变式1】（2025春 秦淮区期中）cos225°cos45°﹣sin225°sin45°的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】根据两角和的余弦公式即可求解．
【解答】解：cos225°cos45°﹣sin225°sin45°＝cos（225°+45°）＝cos270°＝0．
故选：B．
【变式2】（2024秋 海伦市期末）sin66°cos36°﹣sin24°cos54°＝（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求得答案．
【解答】解：因为sin66°＝sin（90°﹣24°）＝cos24°，cos54°＝cos（90°﹣36°）＝sin36°，
所以．
故选：C．
【变式3】（2024 北京模拟）cos24°cos36°﹣sin24°cos54°的值等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意利用诱导公式、两角和的余弦公式，计算求得结果．
【解答】解：cos24°cos36°﹣sin24°cos54°＝cos24°cos36°﹣sin24°sin36°
＝cos（24°+36°）＝cos60°，
故选：B．
【题型5】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式给值求值
（2025春 普陀区期中）已知sinα+sinβ＝0，，则cos（α+β）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平方关系式的应用及两角和的余弦公式求解即可．
【解答】解：∵sinα+sinβ＝0，
∴（sinα+sinβ）2＝sin2α+sin2β+2sinαsinβ＝0，①
又，
∴（cosα﹣cosβ）2＝cos2α+cos2β﹣2cosαcosβ＝3，②
①+②，得2﹣2（cosαcosβ﹣sinαsinβ）＝2﹣2cos（α+β）＝3，
解得cos（α+β）．
故选：B．
方法点拨 给值求值的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
【变式1】（2024春 大理市期中）已知α是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用同角公式、和角的余弦公式计算即得．
【解答】解：由α是锐角，得，
由，得，
所以
．
故选：D．
【变式2】（2024秋 渭滨区期中）已知α为锐角，且cos（α），则sinα为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件求得sin（α），再根据sinα＝sin[（α）]利用两角和的正弦公式求得结果．
【解答】解：∵cos（α）（α为锐角），
∴α为锐角，
∴sin（α），
∴sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin
，
故选：C．
【变式3】已知的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据α与β的范围，求出α+β的范围，然后根据角的范围分别利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）和sinβ的值，把α变为（α+β）﹣β，然后利用两角差的余弦函数公式化简后，把各项的值代入即可求出．
【解答】解：因为α∈（0，），β∈（，π），
所以α+β∈（，），
则cos（α+β），sinβ，
所以cosα＝cos[（α+β）﹣β]＝cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ＝（）×（）
故选：B．
【题型6】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式给值求角
（2025秋 山东月考）已知，，tanα＝5tanβ，则α﹣β＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得，，得到，结合，进而得到答案．
【解答】解：由题意，可得，可得sinαcosβ＝5cosαsinβ，
又由于，
可得，，
可得，
又由于，
所以，
可得．
故选：B．
方法点拨 解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值.
【变式1】（2025春 合江县期中）已知锐角α，β，且满足．
（1）求sinα；
（2）求α+β．
【答案】（1）．（2）．
【分析】（1）利用同角的关系式求出sinβ的值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．
（2）利用两角和差的余弦公式先求出cos（α+β）的值，然后进行求角即可．
【解答】解：（1）∵α，β是锐角，∴，，
∵β为锐角，，sin2β+cos2β＝1，∴，
∵，，，
∴cos（α﹣β）＞0，即，
则sinα＝sin[（α﹣β）+β]＝sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ．
（2）∵α是锐角，由，∴cosα，
由，，得α+β∈（0，π），
，
∵α+β∈（0，π），．
【变式2】（2024秋 芦淞区期末）已知锐角α，β，且满足，．
（1）求sinβ；
（2）求α+β．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求出sinα和cos（β﹣α），利用两角和的正弦弦公式求出sinβ；
（2）根据同角三角函数的基本关系求出cosβ，然后利用两角和的余弦公式求cos（α+β），结合角的范围可得答案．
【解答】解：（1）因为α，β是锐角，所以，，
∵α为锐角，，且sin2α+cos2α＝1，∴，，，，
所以，sinβ＝sin[（β﹣α）+α]＝sin（β﹣α）cosα+cos（β﹣α）sinα；
（2）因为β是锐角，由，则，
由，，所以α+β∈（0，π），
，
∵α+β∈（0，π），
∴．
【变式3】（2024 天心区模拟）已知锐角α，β满足sinα，则α+β的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由同角三角函数的基本关系可得cosα和sinβ，而cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，代值计算可得α+β．
【解答】解：∵sinα，cosβ，又α，β为锐角，
∴cosα，sinβ，
cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，
∴α+β
故选：B．5.5 第一课时 三角恒等变换
【题型1】两角差的余弦公式 2
【题型2】给值求值 4
【题型3】给值求角 6
【题型4】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式 10
【题型5】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式给值求值 11
【题型6】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式给值求角 14
一、两角差的余弦公式 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β，其中α，β为任意角，简记作C(α-β). 二、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式 1.两角和的余弦公式 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β，其中α，β∈R，简记作C(α+β). 2.两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α+β)； sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，其中α，β∈R，简记作S(α-β).
(1)该公式对任意角都能成立. (2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角同名三角函数值积的和. (3)公式的逆用仍然成立. (4)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”. (5)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序.
【题型1】两角差的余弦公式
（2024秋 福建期末）cos105°cos45°+sin105°sin45°＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式及特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：．
故选：A．
方法点拨 两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解. (2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解. (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解.
【变式1】（2024秋 湘潭期末）cos87°cos57°+sin87°sin57°的值为 ．
【变式2】（2024春 色尼区期末）计算cos43°cos13°+sin43°sin13°的值（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2025春 石狮市月考）cos（﹣15°）的值是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】给值求值
（2023秋 湖北月考）已知，，则cosθ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用，结合两角和的余弦公式求值．
【解答】解：因为，所以，
又，所以为锐角，且．
∴．
故选：C．
方法点拨 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系. (2)在运用两角差的余弦公式进行解题时，可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有①α=(α+β)-β；②α=-；③2α=(α+β)-(β-α)；④2β=(α+β)-(α-β).
【变式1】（2024秋 长沙期末）已知，且α∈（，π），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024春 海安市期末）已知，若，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024春 顺德区期中）若，，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
【题型3】给值求角
（2025春 海勃湾区期中）若，，且，，则α+β＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据角的范围和题设条件求出sin2α与cos（β﹣α）的值，再由和角的余弦公式求出cos（α+β），即可求得α+β．
【解答】解：由可得，
又，
则sin2α＞0，
即，
又，
则，
因，
则，
故cos（α+β）＝cos[2α+（β﹣α）]
＝cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）
，
因，
故．
故选：B．
方法点拨 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解，最好选取在范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
【变式1】（2024春 扬中市期中）已知，且．求：
（1）sin（2α﹣β）的值；
（2）β的值．
【变式2】（2025春 余江区期末）已知，且α，β均为锐角．
（1）求的值；
（2）求α+β的值．
【变式3】（2024秋 陕西期末）已知f（α）．
（1）化简：f（α）；
（2）若α，β均为锐角，f（α），sin（α﹣β），求β的值．
【题型4】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式
（2024春 东城区期中）cos14°cos16°﹣cos76°sin16°＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合诱导公式及两角和的余弦公式进行化简即可求解．
【解答】解：cos14°cos16°﹣cos76°sin16°＝cos14°cos16°﹣sin14°sin16°＝cos30°．
故选：B．
方法点拨 探究解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式.
【变式1】（2025春 秦淮区期中）cos225°cos45°﹣sin225°sin45°的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【变式2】（2024秋 海伦市期末）sin66°cos36°﹣sin24°cos54°＝（ ）
A． B．0 C． D．
【变式3】（2024 北京模拟）cos24°cos36°﹣sin24°cos54°的值等于（ ）
A．0 B． C． D．
【题型5】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式给值求值
（2025春 普陀区期中）已知sinα+sinβ＝0，，则cos（α+β）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平方关系式的应用及两角和的余弦公式求解即可．
【解答】解：∵sinα+sinβ＝0，
∴（sinα+sinβ）2＝sin2α+sin2β+2sinαsinβ＝0，①
又，
∴（cosα﹣cosβ）2＝cos2α+cos2β﹣2cosαcosβ＝3，②
①+②，得2﹣2（cosαcosβ﹣sinαsinβ）＝2﹣2cos（α+β）＝3，
解得cos（α+β）．
故选：B．
方法点拨 给值求值的解题策略 (1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： ①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差； ②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. (2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.
【变式1】（2024春 大理市期中）已知α是锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024秋 渭滨区期中）已知α为锐角，且cos（α），则sinα为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知的值是（ ）
A． B． C． D．
【题型6】两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式给值求角
（2025秋 山东月考）已知，，tanα＝5tanβ，则α﹣β＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得，，得到，结合，进而得到答案．
【解答】解：由题意，可得，可得sinαcosβ＝5cosαsinβ，
又由于，
可得，，
可得，
又由于，
所以，
可得．
故选：B．
方法点拨 解决给值求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值.
【变式1】（2025春 合江县期中）已知锐角α，β，且满足．
（1）求sinα；
（2）求α+β．
【变式2】（2024秋 芦淞区期末）已知锐角α，β，且满足，．
（1）求sinβ；
（2）求α+β．
【变式3】（2024 天心区模拟）已知锐角α，β满足sinα，则α+β的值为（ ）
A． B． C． D．或
