5.5 第二课时 三角恒等变换
【题型1】两角和与差的正切公式 3
【题型2】两角和与差的正切给值求值(角) 4
【题型3】两角和与差的正切公式的综合应用 5
【题型4】二倍角的正弦、余弦、正切公式 7
【题型5】利用二倍角公式给值求值 8
【题型6】倍角公式的综合运用 9
一、两角和与差的正切公式 1.两角和的正切公式 tan(α+β)=，其中α，β，α+β≠kπ+(k∈Z)，简记作T(α+β). 2.两角差的正切公式 tan(α-β) =，其中α，β，α-β≠kπ+(k∈Z)，简记作T(α-β). 3.T(α+β)的变形： tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)； tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β)； tan αtan β=1-. 4.T(α-β)的变形： tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)； tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β) =tan(α-β)； tan αtan β=-1. 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角的正弦公式 sin 2α=2sin αcos α，其中α∈R，简记作S2α. 2.二倍角的余弦公式 cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，其中α∈R，简记作C2α. 3.二倍角的正切公式 tan 2α=，其中α，2α≠kπ+(k∈Z)，简记作T2α.
(1)只有当α，β，α-β，α+β≠kπ+(k∈Z)时，上述公式才能成立. (2)公式的符号变化简记为“分子同，分母反”. (3)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去. (4)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α+β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想. (5)正切二倍角的范围：α≠+且α≠+kπ(k∈Z). (6)常见二倍角公式的变形：cos 2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)； 1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2； 降幂公式：sin αcos α=sin 2α；cos2α=；sin2α=. 升幂公式：1+cos 2α=2cos2α；1-cos 2α=2sin2α.
【题型1】两角和与差的正切公式
（2025春 旌阳区月考）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知结合和差角公司及诱导公式检验各选项即可判断．
【解答】解：tan15°＝tan（45°﹣30°）2，A错误；
tan120，B错误；
tan30°，C错误；
tan75°＝tan（45°+30°）2，D正确．
故选：D．
方法点拨 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式：应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换. (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1=tan ”“=tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值.
【变式1】（2024春 城关区期中） 的值等于（ ）
A．2 B．2 C．1 D．﹣1
【变式2】（2025春 红河州期中）tan15°﹣tan75°＝（ ）
A．﹣4 B．﹣6 C． D．
【变式3】（2024 新课标Ⅰ）tan255°＝（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．2 D．2
【题型2】两角和与差的正切给值求值(角)
（2025春 大连期中）已知tan（α+β），tan（），则tan（）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知利用两角差的正切函数公式即可化简求值得解．
【解答】解：∵tan（α+β），tan（），
∴tan（）＝tan[（α+β）﹣（）]．
故选：C．
方法点拨 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解. (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.
【变式1】（2024春 襄阳期末）已知tan（α）＝2，tan（β）＝﹣3，则tan（α﹣β）＝（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
【变式2】（2023秋 丰台区期末）已知，则tanα的值为（ ）
A．3 B．1 C．﹣3 D．﹣1
【变式3】（2024秋 重庆期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3】两角和与差的正切公式的综合应用
（2024秋 苏州期末）在△ABC中，tanB+1＝tanAtanB，则角C的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】A
【分析】求出tan（A+B），由tanC＝tan（π﹣（A+B））＝﹣tan（A+B），由C∈（0°，180°），求出C即可．
【解答】解：因为tan（A+B），
所以tanC＝tan（π﹣（A+B））＝﹣tan（A+B），
又C∈（0°，180°），
故C＝30°，
故选：A．
方法点拨 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围.
【变式1】在△ABC，若tanA，则tanB＝﹣2，则角C等于 ．
【变式2】（2024秋 随州期末）在△ABC中，∠C＝120°，，则tanAtanB的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024秋 龙岗区期末）已知tanα＝3，求：
（1）；
（2）．
【题型4】二倍角的正弦、余弦、正切公式
（2025秋 山西月考）已知0＜α＜π，，则tan2α＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数基本关系及正切二倍角公式计算即可求解．
【解答】解：根据题意可得，
所以，
所以．
故选：B．
方法点拨 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
【变式1】（2025秋 朝阳月考）若，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025 厦门学业考试）已知，则cos2α的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2025 宜昌开学）若为第二象限角，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
【题型5】利用二倍角公式给值求值
（2025春 栖霞区期末）已知，则tan2θ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和差公式，二倍角公式即可求值．
【解答】解：若，可得，
化简得，∴tanθ，
由二倍角公式得．
故选：C．
方法点拨 解决给值求值问题的方法 (1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系. (2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x=cos=cos 2 =2cos2-1=1-2sin2. ②cos 2x=sin=sin 2 =2sincos.
【变式1】（2025 河南模拟）若，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025秋 丰顺县月考）已知，则cosθ＝（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2025春 寿光市期末）已知，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
【题型6】倍角公式的综合运用
（2025春 上饶期末）已知sin（α），则cos（2α）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得cos（），再由二倍角的余弦求解．
【解答】解：∵sin（α），∴sin（），
则cos（），
∴cos（2α）．
故选：B．
方法点拨 要结合之前所学的所有的公式，对它们灵活运用，融会贯通，在解决具体问题时，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断.尤其是在三角形中，其最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正，余弦和正切值并不一定为正.
【变式1】（2025 泉州模拟）已知，则cos2α＝（ ）
A．1 B． C．0 D．﹣1
【变式2】（2025春 淄博月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2025 沁源县开学）已知，且θ是第二象限的角，则（ ）
A． B． C． D．5.5 第二课时 三角恒等变换
【题型1】两角和与差的正切公式 3
【题型2】两角和与差的正切给值求值(角) 5
【题型3】两角和与差的正切公式的综合应用 7
【题型4】二倍角的正弦、余弦、正切公式 9
【题型5】利用二倍角公式给值求值 11
【题型6】倍角公式的综合运用 13
一、两角和与差的正切公式 1.两角和的正切公式 tan(α+β)=，其中α，β，α+β≠kπ+(k∈Z)，简记作T(α+β). 2.两角差的正切公式 tan(α-β) =，其中α，β，α-β≠kπ+(k∈Z)，简记作T(α-β). 3.T(α+β)的变形： tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)； tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β)； tan αtan β=1-. 4.T(α-β)的变形： tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)； tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β) =tan(α-β)； tan αtan β=-1. 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角的正弦公式 sin 2α=2sin αcos α，其中α∈R，简记作S2α. 2.二倍角的余弦公式 cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α，其中α∈R，简记作C2α. 3.二倍角的正切公式 tan 2α=，其中α，2α≠kπ+(k∈Z)，简记作T2α.
(1)只有当α，β，α-β，α+β≠kπ+(k∈Z)时，上述公式才能成立. (2)公式的符号变化简记为“分子同，分母反”. (3)这里的倍角专指二倍角，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去. (4)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α+β作为的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想. (5)正切二倍角的范围：α≠+且α≠+kπ(k∈Z). (6)常见二倍角公式的变形：cos 2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)； 1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2； 降幂公式：sin αcos α=sin 2α；cos2α=；sin2α=. 升幂公式：1+cos 2α=2cos2α；1-cos 2α=2sin2α.
【题型1】两角和与差的正切公式
（2025春 旌阳区月考）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知结合和差角公司及诱导公式检验各选项即可判断．
【解答】解：tan15°＝tan（45°﹣30°）2，A错误；
tan120，B错误；
tan30°，C错误；
tan75°＝tan（45°+30°）2，D正确．
故选：D．
方法点拨 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式：应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换. (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1=tan ”“=tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值.
【变式1】（2024春 城关区期中） 的值等于（ ）
A．2 B．2 C．1 D．﹣1
【答案】D
【分析】利用，结合两角和的正切公式进行求解即可．
【解答】解：原式．
故选：D．
【变式2】（2025春 红河州期中）tan15°﹣tan75°＝（ ）
A．﹣4 B．﹣6 C． D．
【答案】D
【分析】将15°变成45°﹣30°，75°变成45°+30°，然后利用和差倍角的正切值进行计算．
【解答】解：由于．
由于，
所以．
故选：D．
【变式3】（2024 新课标Ⅰ）tan255°＝（ ）
A．﹣2 B．﹣2 C．2 D．2
【答案】D
【分析】利用诱导公式变形，再由两角和的正切求解．
【解答】解：tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°）
．
故选：D．
【题型2】两角和与差的正切给值求值(角)
（2025春 大连期中）已知tan（α+β），tan（），则tan（）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知利用两角差的正切函数公式即可化简求值得解．
【解答】解：∵tan（α+β），tan（），
∴tan（）＝tan[（α+β）﹣（）]．
故选：C．
方法点拨 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解. (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小.
【变式1】（2024春 襄阳期末）已知tan（α）＝2，tan（β）＝﹣3，则tan（α﹣β）＝（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
【答案】D
【分析】利用两角差的正切公式，求得tan（α﹣β）的值．
【解答】解：∵tan（α）＝2，tan（β）＝﹣3，则tan（α﹣β）＝tan[（α﹣β）+π]＝tan[（α）﹣（β）]
1，
故选：D．
【变式2】（2023秋 丰台区期末）已知，则tanα的值为（ ）
A．3 B．1 C．﹣3 D．﹣1
【答案】C
【分析】由条件利用两角和的正切公式，求得tanα的值．
【解答】解：∵已知tan（α）＝2，
则tanα＝tan[（α）]3．
故选：C．
【变式3】（2024秋 重庆期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合正切的二倍角公式，求出tanα，再将弦化切，即可求解．
【解答】解：，
则，解得tan，
故．
故选：A．
【题型3】两角和与差的正切公式的综合应用
（2024秋 苏州期末）在△ABC中，tanB+1＝tanAtanB，则角C的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】A
【分析】求出tan（A+B），由tanC＝tan（π﹣（A+B））＝﹣tan（A+B），由C∈（0°，180°），求出C即可．
【解答】解：因为tan（A+B），
所以tanC＝tan（π﹣（A+B））＝﹣tan（A+B），
又C∈（0°，180°），
故C＝30°，
故选：A．
方法点拨 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围.
【变式1】在△ABC，若tanA，则tanB＝﹣2，则角C等于 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用诱导公式已经两角和的正切函数化简即可．
【解答】解：在△ABC，若tanA，则tanB＝﹣2，
tanC＝tan（π﹣（A+B））＝﹣tan（A+B）1．
可得C．
故答案为：．
【变式2】（2024秋 随州期末）在△ABC中，∠C＝120°，，则tanAtanB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据A+B＝180°﹣C＝60°，先求出tan（A+B）的值，再求tanAtanB．
【解答】解：，
故，即．
故选：B．
【变式3】（2024秋 龙岗区期末）已知tanα＝3，求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）﹣2；（2）2．
【分析】（1）利用正切的和角公式化简即可求解；（2）利用弦化切即可求解．
【解答】解：（1）因为tanα＝3，
则tan（）2；
（2）2．
【题型4】二倍角的正弦、余弦、正切公式
（2025秋 山西月考）已知0＜α＜π，，则tan2α＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数基本关系及正切二倍角公式计算即可求解．
【解答】解：根据题意可得，
所以，
所以．
故选：B．
方法点拨 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
【变式1】（2025秋 朝阳月考）若，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将两边平方，结合同角三角函数基本关系与二倍角公式，求解即可．
【解答】解：因为，
所以，
即1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α，
所以．
故选：A．
【变式2】（2025 厦门学业考试）已知，则cos2α的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知利用二倍角的余弦公式即可求解．
【解答】解：因为，，
所以cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2．
故选：D．
【变式3】（2025 宜昌开学）若为第二象限角，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】借助诱导公式、同角三角函数基本关系与二倍角公式计算即可得．
【解答】解：由，又α为第二象限角，
则，
故．
故选：B．
【题型5】利用二倍角公式给值求值
（2025春 栖霞区期末）已知，则tan2θ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用两角和差公式，二倍角公式即可求值．
【解答】解：若，可得，
化简得，∴tanθ，
由二倍角公式得．
故选：C．
方法点拨 解决给值求值问题的方法 (1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系. (2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x=cos=cos 2 =2cos2-1=1-2sin2. ②cos 2x=sin=sin 2 =2sincos.
【变式1】（2025 河南模拟）若，则tanα＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合正切函数的二倍角公式，即可求解．
【解答】解：若，
则．
故选：D．
【变式2】（2025秋 丰顺县月考）已知，则cosθ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据θ＝2，运用二倍角的余弦公式进行解答，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得cosθ＝2cos21＝2×（）2﹣1．
故选：C．
【变式3】（2025春 寿光市期末）已知，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知结合倍角公式及诱导公式求解．
【解答】解：由，得，
则cos（），
∴，则sin2α．
故选：D．
【题型6】倍角公式的综合运用
（2025春 上饶期末）已知sin（α），则cos（2α）＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得cos（），再由二倍角的余弦求解．
【解答】解：∵sin（α），∴sin（），
则cos（），
∴cos（2α）．
故选：B．
方法点拨 要结合之前所学的所有的公式，对它们灵活运用，融会贯通，在解决具体问题时，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断.尤其是在三角形中，其最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正，余弦和正切值并不一定为正.
【变式1】（2025 泉州模拟）已知，则cos2α＝（ ）
A．1 B． C．0 D．﹣1
【答案】C
【分析】利用两角和的正弦公式与两角差的余弦公式化简等式可得tanα＝1，利用二倍角的余弦公式以及同角三角函数的关系可得结果．
【解答】解：由已知可得，
可得，
解得tanα＝1，
所以．
故选：C．
【变式2】（2025春 淄博月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式求出cos2θ，然后运用二倍角的余弦公式求出答案．
【解答】解：由题意得cos2θ，
因为cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2，所以．
故选：C．
【变式3】（2025 沁源县开学）已知，且θ是第二象限的角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据θ的象限求得cosθ的值，结合二倍角公式算出sin2θ、cos2θ，代入数据算出答案．
【解答】解：因为，且θ是第二象限的角，所以cosθ，
可得sin2θ＝2sinθcosθ＝2（），cos2θ＝1﹣2sin2θ，
可得．
故选：B．
