5.5 第三课时 三角恒等变换
【题型1】半角公式 2
【题型2】三角函数式的化简、证明 4
【题型3】辅助角公式及其应用 6
【题型4】三角恒等变换在几何中的应用 7
【题型5】三角恒等变换在实际问题中的应用 8
一、半角公式 半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求所在的范围，然后根据所在的范围选用符号. 二、和差化积、积化和差 1.积化和差 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]； cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]； cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]； sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 2.和差化积 sin θ+sin φ=2sin ； sin θ-sin φ=2cos ； cos θ+cos φ=2cos ； cos θ-cos φ=-2sin . 三、辅助角公式及其应用 y=asin x+bcos x=sin(x+φ).
(1)该函数的最大值为，最小值为-. (2)有时y=asin x+bcos x=cos(x-φ).
【题型1】半角公式
（2024秋 吉林期末）已知且，求的值．
【答案】，，．
【分析】根据给定条件，由同角公式及二倍角的余弦公式计算得解．
【解答】解：由得cosθ＜0，
因为，所以，
又，则，而，
所以cos，sin，
所以．
方法点拨 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，常常借助半角公式求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ==，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2=，cos2=计算.
【变式1】（2024 吴兴区模拟）设5π＜θ＜6π，cosa，则sin等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024 海淀区开学）已知cosα，α∈（，2π），则sin等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2025春 环县期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2】三角函数式的化简、证明
（2025秋 长汀县月考）（1）求证：；
（2）求值：．
【答案】（1）左端，
右端，
故成立；
（2）2．
【分析】（1）利用二倍角公式及商关系化简、证明即可；
（2）利用两角和与差的三角函数公式化简求值即可．
【解答】解：（1）证明：左端，
右端，
故等式成立；
（2）由
＝tan15°
＝tan（60°﹣45°）
．
方法点拨 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简. (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子. (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同. (4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”. (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
【变式1】（2025春 内蒙古月考）求证：
（1）．
（2）．
【变式2】（2025春 如皋市月考）化简与证明：
（1）．
（2）cos（α+β）cos（α﹣β）＝cos2β﹣sin2α．
【变式3】（2024春 乌兰浩特市期中）（1）化简：；
（2）求证：．
【题型3】辅助角公式及其应用
（2025 泉州模拟）（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】D
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．
【解答】解：．
故选：D．
方法点拨 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式，将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x-φ)的形式，以便研究函数的性质.
【变式1】（2025春 南京期中）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025 宿迁模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2025 河南模拟）“x”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【题型4】三角恒等变换在几何中的应用
（2025春 宁波月考）已知函数．
（1）化简f（x），并求的值；
（2）在锐角△ABC中，内角A满足，求cos2A的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）将函数中的切化弦，再分子分母同时乘以cos2x，利用二倍角公式及辅助角公式即可化简，化简后将代入解析式即可求得结果；
（2）将A代入解析式，再由已知求出的取值范围，即可求出的值，再利用凑角及两角和差公式代入数值即可求得结果．
【解答】解：（1）因为
，所以，
所以；
（2）因为，所以，所以，
又因为且，所以，则，
因为，所以，
，
所以．
方法点拨 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角恒等变换来解决，体现了数学中的化归思想.
【变式1】（2024春 桥西区月考）在锐角三角形ABC，∠A＝60°，则sinB+sinC的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025 文昌一模）在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式3】（2024春 河南月考）已知角A是△ABC的一个内角，且，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断△ABC的形状
【题型5】三角恒等变换在实际问题中的应用
（2024 徐汇区三模）如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P（点P不与A，B重合），并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P．当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝θ，公路MB，MN的总长为f（θ）．
（1）求f（θ）关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）当θ为何值时，投资费用最低？并求出f（θ）的最小值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用平面几何知识和三角函数关系式的恒等变换求出结果．
（2）利用三角函数关系式的恒等变换和基本不等式求出结果．
【解答】解：（1）连结OM．
在Rt△OPA中，OP＝2，∠POA＝θ，
故PN＝2tanθ．
据平面几何知识可知，MB＝MP，，
在Rt△BOM中，OB＝2，，
故BM＝2tan（）．
所以f（θ）＝AP+2BM＝2tanθ+4tan（）．
显然θ，所以函数f（θ）的定义域为．
（2）令α，则θ，且．
所以f（θ）＝2tan（）+4tanα4tanα，
，
，
，
当且仅当，
即：等号成立．
时，投资最低f（θ）＝2．
方法点拨 实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题.
【变式1】（2024春 沙坪坝区期末）喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受，若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v喷向空气中时，水柱在水平方向上移动的距离为Dsin2α，能够达到的最高高度为H（1﹣cos2α）（如图所示，其中g为重力加速度）若tanα，则H与D的比值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025春 谷城县月考）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝2AD＝100m，现要将此空地规划出一个以P为顶点等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，N，M分别在线段AD，DC，圆弧AB上，MN⊥CD）．设．
（1）当θ时，求△PMN的面积；
（2）求三角形区域PMN面积的最大值．
【变式3】（2025春 苏州期末）如图，已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一个定点，过A作l1，l2的垂线分别交l1，l2于D，E两点，AD＝AE＝2，B，C分别是l1，l2上的两个动点（B，C均在DE的右侧）．设∠BAC＝α，∠ABD＝θ，△ABC的周长和面积分别为L（θ）和S（θ）．
（1）当时，求L（θ）的最小值；
（2）当时，求S（θ）的最小值．5.5 第三课时 三角恒等变换
【题型1】半角公式 2
【题型2】三角函数式的化简、证明 5
【题型3】辅助角公式及其应用 8
【题型4】三角恒等变换在几何中的应用 10
【题型5】三角恒等变换在实际问题中的应用 13
一、半角公式 半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求所在的范围，然后根据所在的范围选用符号. 二、和差化积、积化和差 1.积化和差 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]； cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]； cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]； sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 2.和差化积 sin θ+sin φ=2sin ； sin θ-sin φ=2cos ； cos θ+cos φ=2cos ； cos θ-cos φ=-2sin . 三、辅助角公式及其应用 y=asin x+bcos x=sin(x+φ).
(1)该函数的最大值为，最小值为-. (2)有时y=asin x+bcos x=cos(x-φ).
【题型1】半角公式
（2024秋 吉林期末）已知且，求的值．
【答案】，，．
【分析】根据给定条件，由同角公式及二倍角的余弦公式计算得解．
【解答】解：由得cosθ＜0，
因为，所以，
又，则，而，
所以cos，sin，
所以．
方法点拨 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，常常借助半角公式求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ==，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2=，cos2=计算.
【变式1】（2024 吴兴区模拟）设5π＜θ＜6π，cosa，则sin等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知结合二倍角公式即可求解．
【解答】解：因为5π＜θ＜6π，
所以，
所以sin0，
因为cosa＝1﹣2sin2，
所以sin．
故选：D．
【变式2】（2024 海淀区开学）已知cosα，α∈（，2π），则sin等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的半角公式，即可求解．
【解答】解：∵cosα，α∈（，2π），∴∈（，π），
∴sin．
故选：B．
【变式3】（2025春 环县期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出sinα，然后根据tan，代入数据求出答案．
【解答】解：由，，得sinα，
所以tan．
故选：D．
【题型2】三角函数式的化简、证明
（2025秋 长汀县月考）（1）求证：；
（2）求值：．
【答案】（1）左端，
右端，
故成立；
（2）2．
【分析】（1）利用二倍角公式及商关系化简、证明即可；
（2）利用两角和与差的三角函数公式化简求值即可．
【解答】解：（1）证明：左端，
右端，
故等式成立；
（2）由
＝tan15°
＝tan（60°﹣45°）
．
方法点拨 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简. (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子. (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同. (4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”. (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
【变式1】（2025春 内蒙古月考）求证：
（1）．
（2）．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据二倍角的三角函数公式，对分子、分母分别化简，约分后运用同角三角函数的关系证出结论；
（2）将等式右边进行通分后，利用同角三角函数的平方关系与整式乘法公式进行化简，即可证出等式成立．
【解答】证明：（1）左边，
右边，所以左边＝右边，等式成立．
（2）右边
左边，所以等式成立．
【变式2】（2025春 如皋市月考）化简与证明：
（1）．
（2）cos（α+β）cos（α﹣β）＝cos2β﹣sin2α．
【答案】（1）；
（2）证明见详解．
【分析】（1）将sin（2α+β）变成sin[α+（α+β）]，利用两角和差的正弦公式化简得解；
（2）利用两角和与差的余弦公式，平方关系从左向右证化简证明．
【解答】证明：（1）原式2cos（α+β）
．
（2）左边cos（α+β）cos（α﹣β）
＝（cosαcosβ﹣sinαsinβ）（cosαcosβ+sinαsinβ）
＝cos2αcos2β﹣sin2αsin2β
＝（1﹣sin2α）cos2β﹣sin2α（1﹣cos2β）
＝cos2β﹣sin2αcos2β﹣sin2α+sin2αcos2β
＝cos2β﹣sin2α．
∴左边＝右边，得证．
【变式3】（2024春 乌兰浩特市期中）（1）化简：；
（2）求证：．
【答案】（1）tan（α+β）；
（2）证明详见解析．
【分析】（1）结合正弦、余弦的两角和与差公式，即可求解；
（2）结合正弦、余弦的二倍角公式，即可求解．
【解答】解：（1）原式；
（2）证明：左边，
右边，
综上所述，．
【题型3】辅助角公式及其应用
（2025 泉州模拟）（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】D
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．
【解答】解：．
故选：D．
方法点拨 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个过程中通常利用辅助角公式，将y=asin x+bcos x转化为y=sin(x+φ)或y=cos(x-φ)的形式，以便研究函数的性质.
【变式1】（2025春 南京期中）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式进行求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得cosαsinα＝2（sinαcoscosαsin）＝2sin（α），
可得，所以．
故选：C．
【变式2】（2025 宿迁模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式得，又，利用二倍角的余弦公式即可求解．
【解答】解：由得，2cos（）＝1，即cos（），
则2cos2（）＝21．
故选：B．
【变式3】（2025 河南模拟）“x”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将原方程化简，得到，解得或，其中k为整数，利用充分必要条件定义即可判断．
【解答】解：将原方程化简，得到，
解得或，其中k为整数，
当时，满足原方程，
因此是原方程的充分条件，
但满足原方程的x不仅限于，
因此不是原方程的必要条件．
故选：A．
【题型4】三角恒等变换在几何中的应用
（2025春 宁波月考）已知函数．
（1）化简f（x），并求的值；
（2）在锐角△ABC中，内角A满足，求cos2A的值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）将函数中的切化弦，再分子分母同时乘以cos2x，利用二倍角公式及辅助角公式即可化简，化简后将代入解析式即可求得结果；
（2）将A代入解析式，再由已知求出的取值范围，即可求出的值，再利用凑角及两角和差公式代入数值即可求得结果．
【解答】解：（1）因为
，所以，
所以；
（2）因为，所以，所以，
又因为且，所以，则，
因为，所以，
，
所以．
方法点拨 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角恒等变换来解决，体现了数学中的化归思想.
【变式1】（2024春 桥西区月考）在锐角三角形ABC，∠A＝60°，则sinB+sinC的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定出B的范围，用B表示出C代入sinB+sinC中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角得正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．
【解答】解：∵△ABC是锐角三角形，∠A＝60°，
∴0＜B，0＜CB，
∴B，
∴sinB+sinC＝sinB+sin（B）sinBcosBsin（B），
∵B，∴B，
∴sin（B）≤1，即sin（B），
则sinB+sinC的范围为（，]．
故选：C．
【变式2】（2025 文昌一模）在△ABC中，若，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据二倍角的余弦公式、两角差的余弦公式，化简得到cos（C﹣B）＝1，可得B＝C，进而判断出△ABC的形状．
【解答】解：由，可得2sinC sinB＝1+cosA，
因为△ABC中，cosA＝﹣cos（B+C）＝sinC sinB﹣cosCcosB，
所以2sinC sinB＝1+sinC sinB﹣cosCcosB，
整理得cosCcosB+sinC sinB＝1，即cos（C﹣B）＝1，
结合B、C都是三角形的内角，可得C﹣B＝0，
所以B＝C，可得AC＝AB，△ABC是等腰三角形．
故选：A．
【变式3】（2024春 河南月考）已知角A是△ABC的一个内角，且，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法判断△ABC的形状
【答案】C
【分析】利用倍角公式得到tanA40．由此推知三角形ABC的形状．
【解答】解：∵，
∴tanA40．
又角A是△ABC的一个内角，
∴90°＜A＜180°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选：C．
【题型5】三角恒等变换在实际问题中的应用
（2024 徐汇区三模）如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P（点P不与A，B重合），并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P．当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝θ，公路MB，MN的总长为f（θ）．
（1）求f（θ）关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）当θ为何值时，投资费用最低？并求出f（θ）的最小值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用平面几何知识和三角函数关系式的恒等变换求出结果．
（2）利用三角函数关系式的恒等变换和基本不等式求出结果．
【解答】解：（1）连结OM．
在Rt△OPA中，OP＝2，∠POA＝θ，
故PN＝2tanθ．
据平面几何知识可知，MB＝MP，，
在Rt△BOM中，OB＝2，，
故BM＝2tan（）．
所以f（θ）＝AP+2BM＝2tanθ+4tan（）．
显然θ，所以函数f（θ）的定义域为．
（2）令α，则θ，且．
所以f（θ）＝2tan（）+4tanα4tanα，
，
，
，
当且仅当，
即：等号成立．
时，投资最低f（θ）＝2．
方法点拨 实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题.
【变式1】（2024春 沙坪坝区期末）喷泉是流动的艺术，美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受，若不考虑空气阻力，当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v喷向空气中时，水柱在水平方向上移动的距离为Dsin2α，能够达到的最高高度为H（1﹣cos2α）（如图所示，其中g为重力加速度）若tanα，则H与D的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先表示，然后结合二倍角公式进行化简即可求解．
【解答】解：tanα．
故选：B．
【变式2】（2025春 谷城县月考）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝2AD＝100m，现要将此空地规划出一个以P为顶点等腰三角形区域PMN种植观赏树木，其余区域种植花卉（其中P，N，M分别在线段AD，DC，圆弧AB上，MN⊥CD）．设．
（1）当θ时，求△PMN的面积；
（2）求三角形区域PMN面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）利用锐角三角函数的定义求出MN、AE的长，然后根据面积公式算出△PMN的面积；
（2）根据题意，用关于θ的三角函数式表示出三角形区域PMN的面积S，然后根据换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质求出三角形区域PMN面积的最大值．
【解答】解：（1）根据题目：长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝2AD＝100m，
设MN与AB相交于点E，则，
可得，，
因为AE等于P到MN的距离，
所以，
即当θ时，△PMN的面积为．
（2）过点P作PF⊥MN于点F，则PF＝AE＝50+50cosθ，
且MN＝ME+EN＝50+50sinθ，三角形区域PMN面积为
＝1250（1+sinθ+cosθ+sinθcosθ），
设sinθ+cosθ＝t，由，得
所以，
结合，可得．
当时，S取得最大值，．
即PMN面积的最大值为．
【变式3】（2025春 苏州期末）如图，已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一个定点，过A作l1，l2的垂线分别交l1，l2于D，E两点，AD＝AE＝2，B，C分别是l1，l2上的两个动点（B，C均在DE的右侧）．设∠BAC＝α，∠ABD＝θ，△ABC的周长和面积分别为L（θ）和S（θ）．
（1）当时，求L（θ）的最小值；
（2）当时，求S（θ）的最小值．
【答案】（1）4+4；
（2）S（θ）min．
【分析】（1）根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出L（θ），再利用sinθcosθ与sinθ+cosθ的关系，结合换元法求出最小值．
（2）利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求出S（θ），再利用三角恒等变换，结合正弦函数单调性求出最小值．
【解答】解：（1）依题意，当时，，
在Rt△ACE和Rt△ABD中，，，则，
因，
令，sinθcosθ，
则L（θ）＝f（t），f（t）在（1，]上单调递减，
f（t）min＝f（）＝4+4；
（2）当时，，，
Rt△ACE和RT△ABD中，AC，AB，
S（θ）ACsinα
，
而，
所以，
故sin（2）＝1时，S（θ）min．
