5.6 第二课时 函数y=Asin（ωx+φ）
【题型1】“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 2
【题型2】已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 8
【题型3】利用函数y=Asin(ωx+φ)解决实际问题 13
【题型4】函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题 19
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的有关性质 y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)定义域R值域[-A，A]周期性T=对称性对称中心(k∈Z)对称轴x=+(k∈Z)奇偶性当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ=kπ+(k∈Z)时是偶函数单调性通过整体代换可求出其单调区间
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)是周期上函数，可以根据周期，最大值，最小值.除此以外，我们还可以得到函数的单调性、对称轴、对称中心、函数的零点等函数的性质.由此，我们可以推出整个函数的性质.
【题型1】“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
（2025春 儋州期中）用五点法作y＝2sin3x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A． B．
C．0，π，2π，3π，4π D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的“五点作图法”进行求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，分别设3x＝0、、π、、2π，可解得x＝0、、、、，
因此，应描出的五点的横坐标分别是0、、、、，B项符合题意．
故选：B．
方法点拨 “五点法”作图的实质 (1)利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象. (2)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤. 第一步：列表. ωx+φ0π2πx-----f(x)0A0-A0
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象. (3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定ωx+φ整体取的第一个值，然后再确定ωx+φ整体后面的取值.
【变式1】（2024秋 中牟县期末）已知函数．
（1）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（2）若，，求sin2α的值；
（3）请在同一平面直角坐标系上画出函数f（x）和g（x）＝cosx在[0，3π]上的图象（不要求写作法）；并根据图象求曲线f（x）和g（x）的交点个数．
【答案】（1），．
（2）．
（3）7个．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数f（x），再由正弦函数的单调性求解即可；
（2）利用同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解即可；
（3）作出两函数图象，数形结合即可得解．
【解答】解：（1）
，
令，
解得，
分别取k＝0，1，得，，
所以f（x）在[0，π]上的单调递增区间为，．
（2）因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以sin2α＝sin[（2α）]＝sin（2α）coscos（2α）sin（）．
（3）图象如图所示．
由图可知，y＝f（x）与y＝g（x）的图象在[0，3π]上共有7个交点．
【变式2】（2024秋 丽江期末）已知函数f（x）＝3sin（）+3，x∈R．
（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（过程可以不写，只需画出图即可）
（2）求函数的单调区间；
（3）写出如何由函数y＝sinx的图象得到函数f（x）＝3sin（）+3的图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由0，，π，，2π得到相应的x的值，列表描点，利用五点作图法作图即可；
（2）利用正弦函数的单调性即可求解．
（3）由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换即可求解．
【解答】解：（1）f（x）＝3sin（）+3，x∈R，
令，，π，，2π，得到相应的x的值，列表如下：
x
0 π 2π
y 3 6 3 0 3
描点，用光滑的曲线把各点连接，作图如下：
，
（2）由，k∈Z，得：，k∈Z，可得其增区间为[4kπ，4kπ]，k∈Z，
同理，由，k∈Z，得：，k∈Z，可得其减区间为[4kπ，4kπ]，k∈Z．
（3）y＝sinx向左平移个单位，得到y＝sin（x），再将横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin（），
纵坐标伸长为原来的3倍，得到y＝3sin（），最后向上平移3个单位得到y＝3sin（）+3的图象．
【变式3】（2025 石门县开学）已知函数，
0 π x1 2π
x x2 x3
f（x） 0 x4 0 ﹣2 0
（1）若ω＝3，
（ⅰ）根据如上表格，直接写出x1，x2，x3，x4的值；
（ⅱ）利用上述表格，使用“五点法”画出函数f（x）在[x2，x3]的图象；
（2）若函数f（x）在[0，π]上恰有两个最值点，求ω的取值范围．
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）图象见解析；
（2）．
【分析】（1）（i）根据表格数据求x1，x2，x3，x4；（ii）应用五点法画出函数图象；
（2）由题设，讨论f（x）在、、取得最小值，分别求出对应参数范围，即可得．
【解答】解：（1）（ⅰ）由表格，，，；
（ⅱ）列表如下：
0 π 2π
x
f（x） 0 2 0 ﹣2 0
五点法画出函数图象如下：
（2）当x∈[0，π]时，，
当f（x）在取得最小值时，，解得，
当f（x）在取得最小值时，，解得，
当f（x）分别在取得最小值时，，解得，
综上：ω的取值范围为．
【题型2】已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
（2025秋 云南月考）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的单调递增区间为，k∈Z
C．f（x）的图象向左平移个单位后的函数是偶函数
D．f（x）在上有3个零点
【答案】ABC
【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的性质，依次求出A、ω、φ，可得f（x）的解析式，然后根据正弦函数的图象与性质对各项的结论逐一分析，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得f（x）的最大值为A＝2，
函数的周期T满足，解得T＝π，所以ω＝2，
所以f（x）＝2sin（2x+φ），
因为当x时，f（x）取得最大值，所以2φ2kπ（k∈Z），
结合，取k＝0，解得，则，
令，
解得f（x）的递增区间为，可知A、B两项都正确；
将f（x）的图象向左平移个单位，可得f（x）＝2sin[2（x）]＝2cos2x，
根据余弦函数是偶函数，可知f（x）为偶函数，故C项正确；
令，则，解得，
当时，k＝0时，；k＝1时，，
所以f（x）在上有2个零点，故D项错误．
故选：ABC．
方法点拨 给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ，或选取最大值点时代入公式ωx+φ=+2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx+φ=+2kπ，k∈Z. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数解析式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式. (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y=Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数.
【变式1】（2025 河北区一模）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：
①；
②当时，；
③函数f（x）的单调递减区间为；
④将f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝2sin2x的图象．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由函数f（x）的部分图象求出A、T和ω、φ的值，写出函数解析式，再判断所给的命题是否正确．
【解答】解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，A＝2，最小正周期为T＝4×（）＝π，所以ω2，
由f（）＝2sin（2φ）＝2，得φ2kπ，k∈Z；又|φ|，所以φ，f（x）＝2sin（2x）；
对于①，f（）＝2sin（2）＝﹣2sin，①正确；
对于②，当x∈[，0]时，2x∈[，]，所以f（x）＝2sin（2x）∈[﹣2，]，②正确；
对于③，令2kπ≤2x2kπ，k∈Z，解得kπ≤xkπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ]，k∈Z；③正确；
对于④，将f（x）的图象向右平移个单位，得y＝f（x）＝2sin[2（x）]＝2sin（2x）的图象，④错误；
综上，正确的结论序号是①②③，共3个．
故选：C．
【变式2】（2025 自贡模拟）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）的图象关于直线对称
B．函数y＝f（x）的图象关于点对称
C．函数y＝f（x）在上单调递减
D．当时，f（x）∈[1，2]
【答案】D
【分析】根据函数图象，求出函数f（x）的解析式，代入检验法可判断AB；根据正弦函数的单调性可判断C，根据三角函数的值域可判断D．
【解答】解：由f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，A＝2，T＝4×（）＝π，所以ω2，
因为f（x）过点（，2），所以2sin（2φ）＝2，
即sin（φ）＝1，又|φ|，所以φ，所以f（x）＝2sin（2x），
对于A，f（）＝2sin（）＝0，所以函数y＝f（x）的图象关于点（，0）对称，选项A错误；
对于B，f（）＝2sin（）＝﹣2，
所以函数y＝f（x）的图象关于直线x对称，选项B错误；
对于C：令2kπ≤2x2kπ，k∈Z，
解得kπ≤xkπ，k∈Z，
取k＝﹣1，得x，
所以函数y＝f（x）在[，]上单调递减，选项C错误；
对于D，，所以，所以，
所以，所以f（x）的值域为[1，2]，选项D正确．
故选：D．
【变式3】（2025 蓟州区模拟）已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ）
A．
B．将f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝2sin2x的图象
C． x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4
D．函数的单调递减区间为，k∈Z
【答案】B
【分析】根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解．
【解答】解：由题意，根据函数的部分图象，
可得，即，
所以ω＝2，
由题意，
根据为下降零点，
则，则，
又因为，
所以，
所以f（x）的解析式为：，
对A，，故A正确；
对B，由题意可得的图象，故B错误；
对C，由三角函数的性质知，﹣2≤f（x）≤2，
所以 x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，故C正确；
对D，由，得，
所以函数f（x）的单调递减区间为，故D正确．
故选：B．
【题型3】利用函数y=Asin(ωx+φ)解决实际问题
（2025 金安区模拟）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）．
【答案】（1）H＝55sin（）+65，0≤l≤30．
（2）37.5m．
（3）h＝110|sinsin（）|，0≤t≤30；约为7.2m．
【分析】摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转．在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画．
【解答】解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）设t＝0min时，游客甲位于点P（0，﹣55），以OP为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，
可知座舱转动的角速度约为rad/min，由题意可得H＝55sin（）+65，0≤t≤30．
（2）当t＝5时，H＝55sin（）+65＝37.5．所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m．
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，满足∠AOB．
经过tmin后甲距离地面的高度为H1＝55sin（）+65，点B相对于点A始终落后rad，
类似地，可以算出乙距离地面的高度为H2＝55sin（）+65．
则甲、乙距离地面的高度差h＝|H1﹣H2|＝55|sin（）﹣sin（）|＝55|sin（）+sin（）|，
利用sinθ+sinφ＝2sin，可得h＝110|sinsin（）|，0≤t≤30．
当（或），即t≈7.8（或22.8）时，h的最大值为110sin7.2．
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m．
方法点拨 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行 (1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论. (2)建立三角函数模型，将实际问题数学化. (3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解. (4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解. (5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.
【变式1】海水受日月引力的影响，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：
时间 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深（m） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
（1）根据以上数据，求出函数y＝f（t）的近似表达式；
（2）若一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.75m，安全规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能停留多久？
【答案】（1）；
（2）16h．
【分析】（1）根据周期确定ω，根据最值确定A和h，由此确定解析式；（2）由题可知水深应不小于4.75+1.5＝6.25，由此解三角不等式即可．
【解答】解：（1）根据数据画出散点图，光滑曲线连接如图．
根据图象，可考虑用函数y＝Asin（ωt+φ）+h刻画水深与时间 之间的对应关系，
则周期T＝12，振幅A＝2.5，h＝5，∴；
（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于4.75+1.5＝6.25（m），
即5≥6.25，∴，∴ ，
∴12k+1≤t≤12k+5（k∈Z），∵0≤t≤24，
∴在同一天内取k＝0或k＝1，则1≤t≤5或13≤t≤17．
所以该船最早能在凌晨1时进港，最晚17时出港，在港口最多停留16h．
【变式2】（2024春 潍坊期中）建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调．如图是该市夏季一天的气温（单位：℃）随时间（0≤t≤24，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数y＝Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）关系．
（1）求函数y＝f（x）的表达式；
（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据函数图象可知周期T，进而根据求得ω的值；结合函数的最大值和最小值，可求得A，代入最低点坐标（2，16），即可求得φ，进而得函数f（t）的解析式．
（2）根据题意，令，解不等式，结合t的取值范围即可求得开启和关闭中央空调时间．
【解答】解：（1）由图知，T＝2（14﹣2）＝24，
所以，
解得：．
由图知，，
A，
所以：f（t）＝8sin（）+24．
将点（2，16）代入函数解析式得：，
得（k∈Z），
即：（k∈Z），
又因为|φ|＜π，
得．
所以：．
（2）依题意，
令，
可得，
所以：（∈Z），
解得：24k+10＜t＜24k+18（k∈Z）
令k＝0，
得，10＜t＜18，
故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭．
【变式3】（2024春 武昌区月考）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设函数解析式为h＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|），由题意求出A、ω和φ的值即可．
【解答】解：设点P距离水面的高度为h（米）和t（秒）的函数解析式为h＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|），
由题意，hmax＝3，hmin＝﹣1，
所以，解得，
由T60，得ω，
所以h＝2sin（t+φ）+1．
当t＝0时，h＝0，
所以2sinφ+1＝0，则sinφ，
又因为|φ|，所以φ．
则h＝2sin（t）+1．
故选：A．
【题型4】函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题
（2025秋 绵阳月考）已知周期为π的函数（ω＞0）．
（1）求函数f（x）的最大值及相应的x的值；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到g（x）的图象，若g（x）在区间[0，m]上有且仅有3个零点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）当，k∈Z时，f（x）取得最大值3；
（2）[）．
【分析】（1）根据三角恒等变换公式，将f（x）的解析式化简成正弦型函数表达式，然后利用正弦型函数的周期与最值进行求解，即可得到本题的答案；
（2）根据三角函数的图象变换求得g（x）的解析式，然后结合零点的定义，结合正弦型函数的性质建立关于m的不等式，解之可得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得f（x）＝4cosωx（cosωxsinωx）
，
根据f（x）的周期T，解得ω＝1，
当，k∈Z，即，k∈Z时，函数f（x）取得最大值，最大值为3；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
可得函数y＝2sin（4x）+1的图象，
再将所得图象向右平移个单位，得到g（x）的图象，
所以，
令g（x）＝0得到，解得或，k∈Z，
当k＝0时，或；当k＝1时，或；当k＝2时，或，
要使g（x）在区间[0，m]上有且仅有3个零点，则，即m的取值范围是[）．
方法点拨 对于综合性问题，需要掌握之前所学知识，熟悉诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、二倍角公式等，熟悉三角函数的性质，函数图象的特点.
【变式1】（2025秋 延吉市月考）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）求函数的值域．
【答案】（1）；
（2）；
（3）[﹣2，2]．
【分析】（1）根据图中相邻的对称轴与对称中心的距离算出f（x）的周期，结合三角函数的周期公式求出ω，然后根据图象的最高点坐标求出φ值，可得f（x）的解析式；
（2）根据正弦函数的单调性，解关于x的不等式，即可得到f（x）的单调递减区间；
（3）利用两角和与差的正弦公式化简g（x）的表达式，结合正弦函数的性质求值域，可得答案．
【解答】解：（1）由图可知f（x）的周期T满足，可得Tπ，
解得ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），
因为当x时，f（x）取得最大值，
所以，解得，
结合，求得，所以；
（2）令，
解得f（x）的单调递减区间为；
（3）由题意得
，
根据sin2x∈[﹣1，1]，可知函数g（x）的值域为[﹣2，2]．
【变式2】（2025春 漯河期末）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g（x）图象，若不等式g（x）﹣m≤4对任意成立，求m的取值范围．
【答案】（1）f（x）＝3sin（2x），[kπ，kπ]，k∈Z；（2）{m|m≥﹣1}．
【分析】（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象求出A，T和ω，φ，写出f（x）的解析式，根据正弦函数的单调性求出单调递增区间；
（2）根据函数图象平移法则求出函数g（x）的解析式，根据不等式g（x）﹣m≤4恒成立列不等式求解即可．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，A＝3，
T＝4×（）＝π，所以ω2，
由f（）＝3sin（2φ）＝3，得φ2kπ，k∈Z；
解得φ2kπ，k∈Z；
又﹣π＜φ＜π，所以φ，f（x）＝3sin（2x），
令2kπ≤2x2kπ，k∈Z；
解得kπ≤xkπ，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z；
（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，
得函数y＝f（x）＝3sin[2（x）]＝3sin（2x）的图象，
所以g（x）＝3sin（2x），
不等式g（x）﹣m≤4可化为sin（2x），
x∈[0，]时，2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]，
由题意，令1，解得m≥﹣1，
所以m的取值范围是{m|m≥﹣1}．
【变式3】（2025秋 天津月考）函数的部分图象如下图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在区间上的最值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）最大值为3，最小值为0．
【分析】（1）根据所给函数图象，结合“五点作图法”的原理求出解析式；
（2）利用正弦函数的单调性解关于x的不等式组，即可求出f（x）的单调递增区间；
（3）根据三角函数的图象变换求出g（x），然后利用正弦函数单调性与最值，求出g（x）在区间上的最值．
【解答】解：（1）由题意得f（x）的最大值为A＝2，周期，解得ω＝2，
由，可得，结合，解得φ，
所以f（x）的解析式是．
（2）由（1）知，
根据，
解得f（x）的单调递增区间为．
（3）由题意得，
当时，，
可知当，即时，g（x）max＝3；
当或，即x＝0或时，g（x）min＝0，
因此，g（x）在区间上的最大值为3，最小值为0．5.6 第二课时 函数y=Asin（ωx+φ）
【题型1】“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象 2
【题型2】已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 5
【题型3】利用函数y=Asin(ωx+φ)解决实际问题 8
【题型4】函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题 12
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的有关性质 y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)定义域R值域[-A，A]周期性T=对称性对称中心(k∈Z)对称轴x=+(k∈Z)奇偶性当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ=kπ+(k∈Z)时是偶函数单调性通过整体代换可求出其单调区间
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)是周期上函数，可以根据周期，最大值，最小值.除此以外，我们还可以得到函数的单调性、对称轴、对称中心、函数的零点等函数的性质.由此，我们可以推出整个函数的性质.
【题型1】“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
（2025春 儋州期中）用五点法作y＝2sin3x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A． B．
C．0，π，2π，3π，4π D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的“五点作图法”进行求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：根据题意，分别设3x＝0、、π、、2π，可解得x＝0、、、、，
因此，应描出的五点的横坐标分别是0、、、、，B项符合题意．
故选：B．
方法点拨 “五点法”作图的实质 (1)利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象. (2)用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象的步骤. 第一步：列表. ωx+φ0π2πx-----f(x)0A0-A0
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象. (3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定ωx+φ整体取的第一个值，然后再确定ωx+φ整体后面的取值.
【变式1】（2024秋 中牟县期末）已知函数．
（1）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间；
（2）若，，求sin2α的值；
（3）请在同一平面直角坐标系上画出函数f（x）和g（x）＝cosx在[0，3π]上的图象（不要求写作法）；并根据图象求曲线f（x）和g（x）的交点个数．
【变式2】（2024秋 丽江期末）已知函数f（x）＝3sin（）+3，x∈R．
（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（过程可以不写，只需画出图即可）
（2）求函数的单调区间；
（3）写出如何由函数y＝sinx的图象得到函数f（x）＝3sin（）+3的图象．
【变式3】（2025 石门县开学）已知函数，
0 π x1 2π
x x2 x3
f（x） 0 x4 0 ﹣2 0
（1）若ω＝3，
（ⅰ）根据如上表格，直接写出x1，x2，x3，x4的值；
（ⅱ）利用上述表格，使用“五点法”画出函数f（x）在[x2，x3]的图象；
（2）若函数f（x）在[0，π]上恰有两个最值点，求ω的取值范围．
【题型2】已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
（2025秋 云南月考）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的单调递增区间为，k∈Z
C．f（x）的图象向左平移个单位后的函数是偶函数
D．f（x）在上有3个零点
【答案】ABC
【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的性质，依次求出A、ω、φ，可得f（x）的解析式，然后根据正弦函数的图象与性质对各项的结论逐一分析，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得f（x）的最大值为A＝2，
函数的周期T满足，解得T＝π，所以ω＝2，
所以f（x）＝2sin（2x+φ），
因为当x时，f（x）取得最大值，所以2φ2kπ（k∈Z），
结合，取k＝0，解得，则，
令，
解得f（x）的递增区间为，可知A、B两项都正确；
将f（x）的图象向左平移个单位，可得f（x）＝2sin[2（x）]＝2cos2x，
根据余弦函数是偶函数，可知f（x）为偶函数，故C项正确；
令，则，解得，
当时，k＝0时，；k＝1时，，
所以f（x）在上有2个零点，故D项错误．
故选：ABC．
方法点拨 给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ，或选取最大值点时代入公式ωx+φ=+2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx+φ=+2kπ，k∈Z. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数解析式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式. (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y=Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数.
【变式1】（2025 河北区一模）已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：
①；
②当时，；
③函数f（x）的单调递减区间为；
④将f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝2sin2x的图象．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（2025 自贡模拟）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝f（x）的图象关于直线对称
B．函数y＝f（x）的图象关于点对称
C．函数y＝f（x）在上单调递减
D．当时，f（x）∈[1，2]
【变式3】（2025 蓟州区模拟）已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ）
A．
B．将f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝2sin2x的图象
C． x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4
D．函数的单调递减区间为，k∈Z
【题型3】利用函数y=Asin(ωx+φ)解决实际问题
（2025 金安区模拟）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）．
【答案】（1）H＝55sin（）+65，0≤l≤30．
（2）37.5m．
（3）h＝110|sinsin（）|，0≤t≤30；约为7.2m．
【分析】摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转．在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画．
【解答】解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）设t＝0min时，游客甲位于点P（0，﹣55），以OP为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要30min，
可知座舱转动的角速度约为rad/min，由题意可得H＝55sin（）+65，0≤t≤30．
（2）当t＝5时，H＝55sin（）+65＝37.5．所以，游客甲在开始转动5min后距离地面的高度约为37.5m．
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点A，B表示，满足∠AOB．
经过tmin后甲距离地面的高度为H1＝55sin（）+65，点B相对于点A始终落后rad，
类似地，可以算出乙距离地面的高度为H2＝55sin（）+65．
则甲、乙距离地面的高度差h＝|H1﹣H2|＝55|sin（）﹣sin（）|＝55|sin（）+sin（）|，
利用sinθ+sinφ＝2sin，可得h＝110|sinsin（）|，0≤t≤30．
当（或），即t≈7.8（或22.8）时，h的最大值为110sin7.2．
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m．
方法点拨 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行 (1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论. (2)建立三角函数模型，将实际问题数学化. (3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解. (4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解. (5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案.
【变式1】海水受日月引力的影响，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：
时间 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深（m） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
（1）根据以上数据，求出函数y＝f（t）的近似表达式；
（2）若一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4.75m，安全规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能停留多久？
【变式2】（2024春 潍坊期中）建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调．如图是该市夏季一天的气温（单位：℃）随时间（0≤t≤24，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数y＝Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）关系．
（1）求函数y＝f（x）的表达式；
（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？
【变式3】（2024春 武昌区月考）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【题型4】函数y=Asin(ωx+φ)的综合问题
（2025秋 绵阳月考）已知周期为π的函数（ω＞0）．
（1）求函数f（x）的最大值及相应的x的值；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到g（x）的图象，若g（x）在区间[0，m]上有且仅有3个零点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）当，k∈Z时，f（x）取得最大值3；
（2）[）．
【分析】（1）根据三角恒等变换公式，将f（x）的解析式化简成正弦型函数表达式，然后利用正弦型函数的周期与最值进行求解，即可得到本题的答案；
（2）根据三角函数的图象变换求得g（x）的解析式，然后结合零点的定义，结合正弦型函数的性质建立关于m的不等式，解之可得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得f（x）＝4cosωx（cosωxsinωx）
，
根据f（x）的周期T，解得ω＝1，
当，k∈Z，即，k∈Z时，函数f（x）取得最大值，最大值为3；
（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
可得函数y＝2sin（4x）+1的图象，
再将所得图象向右平移个单位，得到g（x）的图象，
所以，
令g（x）＝0得到，解得或，k∈Z，
当k＝0时，或；当k＝1时，或；当k＝2时，或，
要使g（x）在区间[0，m]上有且仅有3个零点，则，即m的取值范围是[）．
方法点拨 对于综合性问题，需要掌握之前所学知识，熟悉诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、二倍角公式等，熟悉三角函数的性质，函数图象的特点.
【变式1】（2025秋 延吉市月考）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）求函数的值域．
【变式2】（2025春 漯河期末）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g（x）图象，若不等式g（x）﹣m≤4对任意成立，求m的取值范围．
【变式3】（2025秋 天津月考）函数的部分图象如下图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在区间上的最值．
