5.7 三角函数的应用
【题型1】三角函数在物理中的应用 2
【题型2】三角函数在生活中的应用 8
【题型3】三角函数“拟合”模型的应用 13
一、三角函数在物理中的应用 1.在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当直角坐标下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0. 2.A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T=，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f==给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相.
如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相.比如y=-sin，应先变成y=sin=sin.
【题型1】三角函数在物理中的应用
（2025春 长兴县月考）如图，弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：．下列说法正确的是（ ）
A．小球在开始振动（即t＝0）时相对于平衡位置的高度是厘米
B．小球的最高点和最低点之间的距离是2厘米
C．经过2秒小球往复振动一次
D．每秒小球能往复振动30次
【答案】C
【分析】求出t＝0时h的值，即可判断出A项的正误；根据振幅的物理意义判断出B项的正误；根据三角函数的周期公式，算出函数的周期T＝2，由此判断出C、D两项的正误，进而可得本题答案．
【解答】解：根据t＝0时，h＝2sin（），
可知小球在开始振动（即t＝0）时相对于平衡位置的高度是厘米，所以A项不正确；
根据函数的振幅为2，
可知小球的最高点和最低点之间的距离是2×2＝4厘米，所以B项不正确；
根据函数的周期T2秒，
可知经过2秒小球往复振动一次，所以C项正确；
由C项的分析，可知每秒小球不能往复振动30次，所以D项不正确．
故选：C．
方法点拨 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
【变式1】（2025春 广东月考）科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”．例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线为，且经过点（1，2），降噪芯片生成的降噪反向声波曲线为g（x）．下述四个结论：
①函数是奇函数；
②函数g（x）在区间（1，2）上单调递减；
③对于 x∈R，都有f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）＝0；
④ n∈N*都有f（1）+f（2）+f（3）+ +f（n）≤2．
其中所有正确结论的编号是 ③④ ．
【答案】③④．
【分析】由f（x）经过（1，2）可求出f（x）的解析式，利用图象平移得到g（x）解析式，可得到g（x）的解析式，可判断①；求出g（x）相位的取值范围，再结合正弦曲线即可判断②；求f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）的值，可判断③，利用f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）＝0，分n＝3k，k∈N*、n＝3k+1，k∈N*、n＝3k+2，k∈N*三种情况求f（1）+f（2）+f（3）+ +f（n）的化简式可判断④．
【解答】解：∵f（x）＝2sin（x+φ）经过点（1，2），则sin（φ）＝1，
∴φ2kπ，k∈Z，解得φ2kπ，k∈Z，
又|φ|，∴φ，∴f（x）＝2sin（x）．
对于①，令函数f（x）的周期为T，则，
由图可知，将噪声声波曲线向左平移，即可得到降噪反向声波曲线，
∴；
∴，
∵，∴函数不是奇函数，①错误；
对于②，∵，
当x∈（1，2）时，，
∴g（x）在x∈（1，2）时单调递增，②错误；
对于③，∵f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）
，
即f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）恒为0，③正确；
对于④，由③可得当n＝3k，k∈N*时，f（1）+f（2）+f（3）+ +f（n）＝0，
则当n＝3k+1，k∈N*时，
∵f（1）+f（2）+f（3）+ +f（n）
＝f（1）+[f（2）+f（3）+f（4）]+...+[f（n﹣2）+f（n﹣1）+f（n）]
，
当n＝3k+2，k∈N*时，
f（1）+f（2）+f（3）+ +f（n）
＝f（1）+f（2）+[f（3）+f（4）+f（5）]+...+[f（n﹣2）+f（n﹣1）+f（n）]，
＝f（1）+f（2）＝2sin（）+2sin（）
＝2sin2sin（π）＝2+2×（）＝1≤2，④正确．
故答案为：③④．
【变式2】（2025 开封二模）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间t（单位：s）时相对于平衡位置的高度（单位：cm）由关系式确定，则下列说法正确的是（ ）
A．小球在开始振动（即t＝0s）时在平衡位置上方处
B．每秒钟小球能往复振动2π次
C．函数h（t）的图象关于直线对称
D．小球从到时运动的路程是5cm
【答案】ACD
【分析】由可判断A；求得周期可求频率判断B；利用可判断C；求得，可判断D．
【解答】解：对于A，当t＝0时，h（0）＝2sin，选项A正确；
对于B，小球往复振动的周期为T2π，所以每秒钟小球能往复振动次，选项B错误；
对于C，因为h（）＝2sin（）＝2sin2，所以函数h（t）的图象关于直线t对称，选项C正确；
对于D，由，又，
，
所以小球从ts到ts时运动的路程是2+2+1＝5cm，选项D正确．
故选：ACD．
【变式3】（2024秋 源汇区月考）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由关系式h（t）＝Asin（ωt+φ）确定，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π．小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．t＝9秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2
C．当0＜t＜t0时，若小球有且只有三次到达最高点，则t0∈[5，7]
D．当0＜t1＜t2＜2时，若t1，t2时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则
【答案】B
【分析】根据周期求出ω，代入t＝0得到φ，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D．
【解答】解：由题可知小球运动的周期T＝2s，
又ω＞0，
所以，解得ω＝π，
当t＝0s时，Asinφ＝﹣A，即sinφ＝﹣1，|φ|＜π，
所以，
则，故A错误；
因为h（9）＝﹣Acos9π＝A，，
所以t＝9秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确；
若0＜t＜t0，则0＜πt＜πt0，又当0＜t＜t0时，小球有且只有三次到达最高点，
所以5π＜πt0≤7π，解得5＜t0≤7，即t0∈（5，7]，故C错误；
因为h（t）＝﹣Acosπt，令，，
则，，
满足0＜t1＜t2＜2且t1，t2时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，
此时，故D错误．
故选：B．
【题型2】三角函数在生活中的应用
（2025春 市南区期末）筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田．如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒A（视为质点）的初始位置P到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心O正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒A转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（ ）
（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，盛水筒A经过t秒后到水面的距离为h米，表达出，t∈[0，48]，作出辅助线，得到不等式，求出，计算出答案．
【解答】解：以筒车中心O为原点，与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设盛水筒A经过t秒后到水面的距离为h米，
由题意可得h＝6sin∠AOx+4＝6sin（∠AOP0+∠P0Ox）+4，
又因为筒车半径为6，点P0的纵坐标为3，
所以，
可得，
可得，t∈[0，48]，
可得，t∈[0，48]，
作弦CD平行且等于盛水槽MN，
由题意在OC＝6，OD＝6，CD＝4，
可得OH4，
可得CD距离水面的高度为，
盛水筒转到盛水槽MN的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽，
即当时符合题意，
所以，解得，所以，
可得，
所以盛水筒A转一圈，有秒能把水倒入盛水槽．
故选：A．
方法点拨 解三角函数应用问题的基本步骤
【变式1】（2025春 南关区月考）半径为2m的圆盘边缘上有一个质点M，它的初始位置为M0．圆盘按逆时针方向做匀速圆周运动，其角速度为rad/s．如图，以圆盘圆心O为原点，建立平面直角坐标系，且∠M0Ox，则点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数关系式为x＝Acos（ωt+φ），求出A的值，当时间为t（s）时，射线OM可视角的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式．
【解答】解：设点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数关系式为x＝Acos（ωt+φ），
由题意可得A＝2，，
当时间为t（s）时，
射线OM可视角的终边，
则．
故选：D．
【变式2】（2025春 西昌市期中）如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y关于时间t的函数表达式为y＝Asin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知摩天轮的半径为50m，其中心点O距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P的起始位置在摩天轮的最低点处．在摩天轮转动一圈内，点P距离地面超过85m有多长时间（ ）
A．5分钟 B．10分钟 C．15分钟 D．20分钟
【答案】B
【分析】由中心点到地面距离得b值，由摩天轮半径得A值，由周期求得ω，再由初始值求得φ得表达式，再解不等式y＞85后可得．
【解答】解：中心点O距地面60m，则b＝60，摩天轮的半径为50m，
即A＝50，T＝30，，
最低点到地面距离为10m，
所以50sinφ+60＝10，sinφ＝﹣1，又φ∈[﹣π，π]，则，
所以表达式为，
那么可得，sin（），
取一个周期内，有，10＜t＜20，20﹣10＝10，
所以在摩天轮转动一圈内，点P有10分钟的时间距离地面超过85m．
故选：B．
【变式3】（2025春 金溪县期中）如图，某摩天轮的半径为77m，最高点距离地面高度为160m，摩天轮的圆周上均匀地安装了60个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要30min，将座舱视为圆周上的点．已知游客从最低点M处进舱，转动tmin后距离地面的高度为H（t）m，建立如图所示的平面直角坐标系，则在转动一周的过程中，H（t）关于时间t的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设H（t）＝Asin（ωt+φ）+B（ω＞0），根据题中信息求出A、B、ω、φ的值，即可得出函数H（t）的解析式．
【解答】解：设函数H（t）＝Asin（ωt+φ）+B（ω＞0），根据题意可得，所以，
H（t）的最小正周期为T＝30，那么，
由于从最低点M处进舱，那么可取，
因此函数解析式为．
故选：A．
【题型3】三角函数“拟合”模型的应用
（2025 杨浦区模拟）如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y关于时间t的函数表达式为y＝Asin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知摩天轮的半径为50m，其中心点O距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P的起始位置在摩天轮的最低点处．
（1）根据条件具体写出y（m）关于t（min）的函数表达式；
（2）在摩天轮转动一圈内，点P有多长时间距离地面超过85m？
【答案】（1）；
（2）10分钟．
【分析】（1）由中心点到地面距离得b值，由摩天轮半径得A值，由周期求得ω，再由初始值求得φ得表达式；
（2）解不等式y＞85后可得．
【解答】解：（1）中心点O距地面60m，则b＝60，摩天轮的半径为50m，即A＝50，T＝30，，
最低点到地面距离为10 m，
所以50sinφ+60＝10，sinφ＝﹣1，又φ∈[﹣π，π]，则，
所以所求表达式为；
（2），，
取一个周期内，有，10＜t＜20，20﹣10＝10．
所以在摩天轮转动一圈内，点P有10分钟的时间距离地面超过85m．
方法点拨 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤 (1)根据原始数据绘出散点图. (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线. (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式. (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
【变式1】（2025春 遂宁期中）如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
（1）已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度f（t）＝Asin（ωt+φ）+h（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π），求函数f（t）解析式及5min时点P距离地面的高度；
（2）当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？
【答案】（1），70m；
（2）0.5min．
【分析】（1）根据题意得到振幅，最小正周期，求出，由f（0）＝10求出，得到函数解析式，求出f（5）；
（2）在（1）的基础上，得到，解不等式，求出，k∈Z，从而求出答案．
【解答】解：（1）依题意，A＝40，h＝50，T＝3，
则，
所以，
由f（0）＝50﹣40＝10，
可得40sinφ+50＝10，sinφ＝﹣1，
因为|φ|＜π，所以，
故在时刻t时点P距离地面的离度，
因此40cos50＝﹣40cos（3π）+50＝40cos50＝70，
故5min时点P距离地面的高度为70m；
（2）由（1）知，其中t≥0．
依题意，令，
即，
所以，
解得，k∈Z，
则，k∈Z，
由，
可知转一圈中有0.5min可以看到公园全貌．
【变式2】（2025春 青岛期中）如图，一个半径为2米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车轴心O距水面的高度为1米，设筒车上某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，φ）．
（1）求d与时间t（单位：分钟）之间的关系式；
（2）某时刻t0（单位：分钟）时，盛水桶P在过O点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶P到水面的距离．
【答案】（1）；
（2）米．
【分析】（1）根据三角函数的周期公式算出ω，由筒车所在圆的半径与轴心O到水面的距离算出A与K，然后根据f（0）＝0确定出φ的值，即可得到d与时间t之间的关系式；
（2）则f（t0），算出，结合同角三角函数的关系算出．然后根据两角和与差的三角函数公式算出f（t0）的值，即可得到本题的答案．
【解答】解：（1）由题意可知，结合ω＞0可得ω＝2．
因为筒车所在圆的半径为2米，筒车的轴心O距水面的高度为1米，所以A＝2且K＝1．
当t＝0时，d＝0，代入d＝2sin（2t+φ）+1，可得2sinφ+1＝0，
即sinφ，结合，解得，所以；
（2）由题意得，解得，其中，k∈Z．
由，解得．
所以，
可得d＝sin[（t0）]+1米．
答：再经过分钟后，盛水桶P到水面的距离为米．
【变式3】（2025春 铁岭月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H（t）＝Asin（ωt+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，）求摩天轮转动一周的解析式H（t）；
（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？
【答案】（1）（0≤t≤30）；
（2）5分钟．
【分析】（1）根据函数关系式H（t）＝Asin（ωt+φ）+B，结合已知条件可知H（t）max＝145，H（t）min＝21，即，求得A，B，利用H（t）的最小正周期T＝30，求出ω，再根据题意知其过点（0，21），求出φ，即可求出摩天轮转动一周的解析式；
（2）令H（t）＝52，求出符合题意的t即可．
【解答】解：（1）因为该摩天轮轮盘直径为124米，且摩天轮最高点距离地面145米，
所以摩天轮最低点距离地面145﹣124＝21米，
即H（t）max＝145，H（t）min＝21，
所以，解得，
又摩天轮匀速转动一周大约需要30分钟，
所以H（t）的最小正周期为T30，
所以，
所以．
又H（0）＝62sinφ+83＝21，即62sinφ＝﹣62，
所以sinφ＝﹣1，
又因为，所以，
所以．
所以摩天轮转动一周的解析式为：（0≤t≤30）；
（2）由（1）知，（0≤t≤30），
要求摩天轮第一次距离地面的高度为52米，
所以0≤t≤15，所以，
令，
所以62cost＝31，，
所以，解得t＝5，
所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米．5.7 三角函数的应用
【题型1】三角函数在物理中的应用 2
【题型2】三角函数在生活中的应用 5
【题型3】三角函数“拟合”模型的应用 9
一、三角函数在物理中的应用 1.在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当直角坐标下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0. 2.A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T=，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f==给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相.
如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相.比如y=-sin，应先变成y=sin=sin.
【题型1】三角函数在物理中的应用
（2025春 长兴县月考）如图，弹簧挂着的小球作上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由下列关系式确定：．下列说法正确的是（ ）
A．小球在开始振动（即t＝0）时相对于平衡位置的高度是厘米
B．小球的最高点和最低点之间的距离是2厘米
C．经过2秒小球往复振动一次
D．每秒小球能往复振动30次
【答案】C
【分析】求出t＝0时h的值，即可判断出A项的正误；根据振幅的物理意义判断出B项的正误；根据三角函数的周期公式，算出函数的周期T＝2，由此判断出C、D两项的正误，进而可得本题答案．
【解答】解：根据t＝0时，h＝2sin（），
可知小球在开始振动（即t＝0）时相对于平衡位置的高度是厘米，所以A项不正确；
根据函数的振幅为2，
可知小球的最高点和最低点之间的距离是2×2＝4厘米，所以B项不正确；
根据函数的周期T2秒，
可知经过2秒小球往复振动一次，所以C项正确；
由C项的分析，可知每秒小球不能往复振动30次，所以D项不正确．
故选：C．
方法点拨 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
【变式1】（2025春 广东月考）科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”．例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线为，且经过点（1，2），降噪芯片生成的降噪反向声波曲线为g（x）．下述四个结论：
①函数是奇函数；
②函数g（x）在区间（1，2）上单调递减；
③对于 x∈R，都有f（x+1）+f（x+2）+f（x+3）＝0；
④ n∈N*都有f（1）+f（2）+f（3）+ +f（n）≤2．
其中所有正确结论的编号是 ③④ ．
【变式2】（2025 开封二模）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间t（单位：s）时相对于平衡位置的高度（单位：cm）由关系式确定，则下列说法正确的是（ ）
A．小球在开始振动（即t＝0s）时在平衡位置上方处
B．每秒钟小球能往复振动2π次
C．函数h（t）的图象关于直线对称
D．小球从到时运动的路程是5cm
【变式3】（2024秋 源汇区月考）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由关系式h（t）＝Asin（ωt+φ）确定，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π．小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．t＝9秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2
C．当0＜t＜t0时，若小球有且只有三次到达最高点，则t0∈[5，7]
D．当0＜t1＜t2＜2时，若t1，t2时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则
【题型2】三角函数在生活中的应用
（2025春 市南区期末）筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000多年的历史，它以水流作动力，取水灌田．如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12米，有24个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12个月和24节气，筒车转一周需48秒，其最高点到水面的距离为10米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒A（视为质点）的初始位置P到水面的距离为7米．为了把水引到高处，在筒车中心O正上方距离水面8米处正中间设置一个宽4米的水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒A转一圈的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽．（ ）
（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，盛水筒A经过t秒后到水面的距离为h米，表达出，t∈[0，48]，作出辅助线，得到不等式，求出，计算出答案．
【解答】解：以筒车中心O为原点，与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设盛水筒A经过t秒后到水面的距离为h米，
由题意可得h＝6sin∠AOx+4＝6sin（∠AOP0+∠P0Ox）+4，
又因为筒车半径为6，点P0的纵坐标为3，
所以，
可得，
可得，t∈[0，48]，
可得，t∈[0，48]，
作弦CD平行且等于盛水槽MN，
由题意在OC＝6，OD＝6，CD＝4，
可得OH4，
可得CD距离水面的高度为，
盛水筒转到盛水槽MN的正上方（即之间），能把水倒入盛水槽，
即当时符合题意，
所以，解得，所以，
可得，
所以盛水筒A转一圈，有秒能把水倒入盛水槽．
故选：A．
方法点拨 解三角函数应用问题的基本步骤
【变式1】（2025春 南关区月考）半径为2m的圆盘边缘上有一个质点M，它的初始位置为M0．圆盘按逆时针方向做匀速圆周运动，其角速度为rad/s．如图，以圆盘圆心O为原点，建立平面直角坐标系，且∠M0Ox，则点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2025春 西昌市期中）如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y关于时间t的函数表达式为y＝Asin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知摩天轮的半径为50m，其中心点O距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P的起始位置在摩天轮的最低点处．在摩天轮转动一圈内，点P距离地面超过85m有多长时间（ ）
A．5分钟 B．10分钟 C．15分钟 D．20分钟
【变式3】（2025春 金溪县期中）如图，某摩天轮的半径为77m，最高点距离地面高度为160m，摩天轮的圆周上均匀地安装了60个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要30min，将座舱视为圆周上的点．已知游客从最低点M处进舱，转动tmin后距离地面的高度为H（t）m，建立如图所示的平面直角坐标系，则在转动一周的过程中，H（t）关于时间t的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3】三角函数“拟合”模型的应用
（2025 杨浦区模拟）如图，摩天轮上一点P距离地面的高度y关于时间t的函数表达式为y＝Asin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知摩天轮的半径为50m，其中心点O距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点P的起始位置在摩天轮的最低点处．
（1）根据条件具体写出y（m）关于t（min）的函数表达式；
（2）在摩天轮转动一圈内，点P有多长时间距离地面超过85m？
【答案】（1）；
（2）10分钟．
【分析】（1）由中心点到地面距离得b值，由摩天轮半径得A值，由周期求得ω，再由初始值求得φ得表达式；
（2）解不等式y＞85后可得．
【解答】解：（1）中心点O距地面60m，则b＝60，摩天轮的半径为50m，即A＝50，T＝30，，
最低点到地面距离为10 m，
所以50sinφ+60＝10，sinφ＝﹣1，又φ∈[﹣π，π]，则，
所以所求表达式为；
（2），，
取一个周期内，有，10＜t＜20，20﹣10＝10．
所以在摩天轮转动一圈内，点P有10分钟的时间距离地面超过85m．
方法点拨 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤 (1)根据原始数据绘出散点图. (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线. (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式. (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
【变式1】（2025春 遂宁期中）如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
（1）已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度f（t）＝Asin（ωt+φ）+h（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π），求函数f（t）解析式及5min时点P距离地面的高度；
（2）当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？
【变式2】（2025春 青岛期中）如图，一个半径为2米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车轴心O距水面的高度为1米，设筒车上某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为d＝Asin（ωt+φ）+K（A＞0，ω＞0，φ）．
（1）求d与时间t（单位：分钟）之间的关系式；
（2）某时刻t0（单位：分钟）时，盛水桶P在过O点竖直直线的左侧，到水面的距离为米，再经过分钟后，求盛水桶P到水面的距离．
【变式3】（2025春 铁岭月考）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H（t）＝Asin（ωt+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，）求摩天轮转动一周的解析式H（t）；
（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？
