4.2 等差数列
题型01 等差数列的通项 6
题型02 等差数列的判断 7
题型03 等差数列的性质 10
题型04 等差数列的前n项和 11
题型05 等差数列前n项和的性质 13
题型06 等差数列前n项和的最值 15
知识点1：等差数列的概念
1．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．
2．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零．
知识点2： 等差中项
1．由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．
2．A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b．
知识点3： 等差数列的通项
1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d．
2．an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)．
3．an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．
4．d＝(m，n∈N*，且m≠n)．
知识点4： 等差数列的性质
1．若{an}，{bn}是等差数列，则{c＋an}、{c·an}、{an＋an＋k}、{pan＋qbn}也为等差数列．
2．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq．
3．若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap．
知识点5： 等差数列的前n项和公式
1．Sn．
2．Sn＝na1n（n﹣1）．
知识点6： 等差数列前n项和的性质
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为．
2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d．
3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝．
4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝．
知识点7： 等差数列前n项和的最值
1．当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n由不等式组确定．
2．当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n由不等式组确定．
3．若d≠0，则从二次函数的角度看，当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．
1．等差数列的判断．
(1)定义法: an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) {an}是等差数列．
(2)等差中项法: 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) 数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法:数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列．
2．等差数列通项公式的求解．
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．
3．等差中项．
(1)若a，A，b成等差数列，则A＝．
(2)由A＝也可得到a，A，b成等差数列．
(3) A是a，b的等差中项 A＝．
4．等差数列的求解．
(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar．
(3)利用基本量求值:等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(4)结合等差数列的性质解题:等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
5．等差数列前n项和的求解．
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．
(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
6．等差数列前n项和的最值问题．
(1)寻找正、负项的分界点，可用等差数列性质或用或来寻找．
(2)运用二次函数求最值．
题型01 等差数列的通项
（2025春 曲阜市校级月考）在等差数列{an}中，已知a1，a4+a5，若an＝33，则n＝（ ）
A．50 B．49 C．48 D．47
【答案】A
【分析】设等差数列{an}的公差是d，根据条件和通项公式求出d，再由an＝33求出项数n．
【解答】解：设等差数列{an}的公差是d，
∵a1，a4+a5，∴2a1+7d，解得d，
则an33，
解得n＝50，
故选：A．
【变式练1】（2025秋 朝阳区期中）在等差数列﹣10，﹣7，﹣4，﹣1，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列{an}，则a8＝（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
【解答】解：新的等差数列{an}的首项为﹣10，公差为：（﹣10），
则a8＝﹣10+7．
故选：B．
【变式练2】（2025秋 广东月考）设等差数列{an}满足a3+a7＝20，a8＝4，则{an}的首项为 ．
【答案】18．
【分析】根据等差数列的通项公式及项的性质列式计算得出a5，d，进而计算求解．
【解答】解：由等差数列{an}满足a3+a7＝20，a8＝4，
可得．
故答案为：18．
【变式练3】（2025春 丽江校级期末）已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为 ．
【答案】an＝2n﹣3．
【分析】由已知结合等差中项的概念列式求得a，则等差数列的前三项可求，由此求出首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．
【解答】解：由题意可得，2（a+1）＝（a﹣1）+（2a+3），解得a＝0．
∴等差数列{an}的前三项为﹣1，1，3．则a1＝﹣1，d＝2．
∴an＝﹣1+2（n﹣1）＝2n﹣3．
故答案为：an＝2n﹣3．
题型02 等差数列的判断
（2025秋 绵阳校级月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝9，S4＝24．
（1）求{an}的通项公式．
（2）令bn，求证数列{bn}为等差数列．
【答案】（1）an＝2n+1；
（2）详见解答过程．
【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式先求出a1，d，然后结合通项公式即可求解；
（2）结合等差数列求和公式先求出bn，然后结合等差数列的定义即可证明．
【解答】（1）解：等差数列{an}中，a4＝9，S4＝24，
所以，解得a1＝3，d＝2，
所以an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
（2）证明：由（1）得，Sn＝3nn（n+2），则bn2n，
bn﹣bn﹣1＝2n﹣2（n﹣1）＝2，（n＞1），
所以数列{bn}为等差数列．
【变式练1】（2025春 临泉县期末）已知数列{an}满足an+1﹣an＝1，若a8＝﹣10，am＝0，则m＝（ ）
A．28 B．13 C．18 D．20
【答案】C
【分析】根据题意可得{an}是以d＝1为公差的等差数列，进一步根据a8＝a1+7d＝﹣10可求出a1，最后利用am＝0建立关于m的方程即可求出m的值．
【解答】解：∵数列{an}满足an+1﹣an＝1，
∴{an}是以d＝1为公差的等差数列，
又∵a8＝﹣10，∴a1+7d＝﹣10，∴a1＝﹣17，
∴am＝a1+（m﹣1）d＝﹣17+m﹣1＝m﹣18＝0，
∴m＝18．
故选：C．
【变式练2】（2025秋 吴中区校级月考）设数列{an}的前n项和为Sn，若an＝λn+8，a15＝10，则S29＝（ ）
A．110 B．130 C．290 D．190
【答案】C
【分析】由题意求出λ，进而求出an并判断数列{an}是等差数列，再由等差数列的前n项和公式计算即可．
【解答】解：由题意得a15＝15λ+8＝10，解得，
所以，则，，
所以数列{an}是以为首项，为公差的等差数列，
则．
故选：C．
【变式练3】（多选）（2025秋 广西月考）已知等差数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的有（ ）
A．an是关于n的二次函数
B．Sn是关于n的二次函数
C．数列{an+bn}是等差数列
D．若数列{anbn}是等差数列，则d1d2＝0
【答案】CD
【分析】由等差数列定义、通项公式、及求和公式逐项判断即可．
【解答】解：对于A，∵{an}是等差数列，∴an是关于n的一次函数，故A错误；
对于B，当公差d1＝0时，Sn＝na1不是关于n的二次函数，故B错误；
对于C，∵（an+1+bn+1）﹣（an+bn）＝（an+1﹣an）+（bn+1﹣bn）＝d1+d2，
且d1+d2为常数，
∴数列{an+bn}是等差数列，故C正确；
对于D，∵数列{anbn}是等差数列，
∴2a2b2＝a1b1+a3b3，
∴2（a1+d1）（b1+d2）＝a1b1+（a1+2d1）（b1+2d2），
即2（a1b1+a1d2+b1d1+d1d2）＝a1b1+（a1b1+2a1d2+2b1d1+4d1d2）
化简得d1d2＝0，故D正确．
故选：CD．
题型03 等差数列的性质
（2025 甘肃校级开学）在等差数列{an}中，已知a1+a5+a9＝15，则a4+a6＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】直接由已知a1+a5+a9＝15，结合等差数列的性质求解答案．
【解答】解：∵数列{an}是等差数列，∴a1+a9＝a4+a6＝2a5，
又a1+a5+a9＝15，∴，
解得a4+a6＝10．
故选：A．
【变式练1】（2025春 河南校级月考）已知在单调递增的等差数列{an}中，a3与a7的等差中项为8，且a2 a8＝﹣17，则{an}的公差d＝（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
【解答】解：a3与a7的等差中项为8，
则a2+a8＝a3+a7＝16①，
a2 a8＝﹣17②，
数列{an}为单调递增的等差数列，联立①②解得a2＝﹣1，a8＝17，
则6d＝a8﹣a2＝18，解得d＝3．
故选：C．
【变式练2】（2025 武安市校级开学）已知（1，3），（3，﹣1）是等差数列{an}对应图象上的两点，若5是p，q的等差中项，则ap+aq的值为 ．
【答案】﹣10．
【分析】根据已知条件，结合等差数列的通项公式，以及等差数列的性质，即可求解．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
∵（1，3），（3，﹣1）是等差数列{an}对应图象上的两点，∴a1＝3，a3＝﹣1，
∵a3＝a1+2d，∴d＝﹣2，∴等差数列的通项公式为an＝﹣2n+5，
∵5是p，q的等差中项，∴p+q＝2×5，
∴ap+aq＝2×（﹣2×5+5）＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【变式练3】（2025春 宜春月考）已知等差数列{an}满足，则a7＝ ．
【答案】﹣2．
【分析】由等差数列的性质可得a3+a5＝2a4，代入条件式，可求得a4，再根据a1+a7＝2a4，可得解．
【解答】解：在等差数列{an}中，
∵等差数列{an}满足，
又a3+a5＝2a4，∴1＝0，解得a4＝1，
又a1＝4，而a1+a7＝2a4，解得a7＝﹣2．
故答案为：﹣2．
题型04 等差数列的前n项和
（2025春 雁塔区校级月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a6＝12，则S7＝（ ）
A．48 B．42 C．24 D．21
【答案】B
【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．
【解答】解：等差数列{an}中，a2+a6＝12，
．
故选：B．
【变式练1】（2025秋 靖远县期中）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a7＝4，a5a9＝20，则Sn＝ ．．
【答案】n2﹣7n．
【分析】由等差数列基本量的运算计算即可求得．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
因为a3+a7＝4，所以2a5＝4，所以a5＝2，
因为a5a9＝20，所以a9＝10，所以，
所以a1＝a5﹣4d＝﹣6，
所以前n项和Snd＝﹣6n+n（n﹣1）＝n2﹣7n．
故答案为：n2﹣7n．
【变式练2】（2025春 大余县月考）已知等差数列{an}．
（1）若a6＝10，a8＝16，求S5；
（2）若，求S5．
【答案】（1）5；（2）24．
【分析】（1）结合等差数列的通项公式求出a1，d，然后结合等差数列的求和公式即可求解；
（2）结合等差数列的性质及求和公式即可求解．
【解答】解：（1）设等差数列{an}中a6＝10，a8＝16，
∴，解得d＝3，a1＝﹣5，
∴．
（2）∵a2+a4＝a1+a5，∴，
∴．
【变式练3】（2025春 抚州校级月考）已知等差数列{an}满足：a5＝9，a10＝19．
（1）求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；
（2）求a2+a4+a6+…+a20的值．
【答案】（1）an＝2n﹣1，；
（2）210．
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式求解；
（2）明确a2，a4，a6…，用等差数列的求和公式求和．
【解答】解：（1）等差数列{an}中a5＝9，a10＝19，
所以，
所以an＝a5+（n﹣5）d＝9+2（n﹣5）＝2n﹣1，则a1＝1，
所以．
（2）由等差数列的性质得a2，a4，a6，…是以3为首项公差为4的等差数列，
所以a2+a4+a6+ +a2030+180＝210．
题型05 等差数列前n项和的性质
（2025秋 阆中市校级月考）在等差数列{an}中，已知S6＝10，S12＝30，则S18＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由等差数列的前n项和公式可得，，解方程可求a1，d，然后代入等差数列的求和公式即可求解
法二；由等差数列的性质可知，s6，s12﹣s6，s18﹣s12成等差数列，代入即可求解
【解答】解：由等差数列的前n项和公式可得，
解得a1，d
∴S1818960
故答案为：60
法二；由等差数列的性质可知，s6，s12﹣s6，s18﹣s12成等差数列
即10，20，s18﹣30成等差数列，∴10+s18﹣30＝40
∴s18＝60
故答案为：60
【变式练1】（2025秋 广西月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝12，则S20＝（ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
【答案】D
【分析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解．
【解答】解：因为等差数列{an}中，S4＝4a1+6d＝2，S8＝8a1+28d＝12，
解得a1，d，
则S20＝2090．
故选：D．
【变式练2】（2025秋 江苏校级月考）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别记为Sn和Tn，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意和等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得，代入已知式子计算可得．
【解答】解：由题意和等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得：
故选：A．
【变式练3】（2025春 四川校级期末）设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意正整数n都有，则的值为 ．
【答案】．
【分析】根据等差数列的性质和求和公式计算即可．
【解答】解：因为{an}，{bn}为等差数列，，
由等差数列的性质可得，．
故答案为：．
题型06 等差数列前n项和的最值
（2025 衡水开学）已知等差数列{an}的前n项和是Sn，若S15＞0，S16＜0，则Sn最大值是（ ）
A．S1 B．S7 C．S8 D．S15
【答案】C
【分析】由已知条件推导出a8＞0，a9＜0，由此能求出结果．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和是Sn，若S15＞0，S16＜0，
∴，∴a8＞0，a9＜0，
∴n＝8时，Sn最大．
故选：C．
【变式练1】（多选）（2025 河南开学）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的有（ ）
A．a6+a7＜0 B．a7＜0
C．d可以取负整数 D．对任意n∈N*，有Sn≤S6
【答案】BD
【分析】先由题设 ，然后根据a3＝12求得d的取值范围，再逐个选项判断正误即可．
【解答】解：∵S12＞0，S13＜0，
∴，即，
∴，故选项A错误，B、D正确；
又由a3＝12可得：，解得：﹣4＜d＜﹣3，故选项C错误，
故选：BD．
【变式练2】（2025春 思明区校级期中）记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）求使Sn＞an成立的n的最小值．
【答案】（Ⅰ）an＝2n﹣6．
（Ⅱ）n的最小正值为7．
【分析】（Ⅰ）直接利用等差数列的性质和前n项和的应用求出数列的通项公式；
（Ⅱ）直接利用作差法的应用和数列的分解因式的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）数列Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．
根据等差数列的性质，a3＝S5＝5a3，故a3＝0，
根据a2a4＝S4可得（a3﹣d）（a3+d）＝（a3﹣2d）+（a3﹣d）+a3+（a3+d），
整理得﹣d2＝﹣2d，可得d＝2（d＝0不合题意），
故an＝a3+（n﹣3）d＝2n﹣6．
（Ⅱ）an＝2n﹣6，a1＝﹣4，Sn＝﹣4n2＝n2﹣5n，
Sn＞an，即n2﹣5n＞2n﹣6，整理得n2﹣7n+6＞0，
当n＞6或n＜1时，Sn＞an成立，
由于n为正整数，
故n的最小正值为7．
【变式练3】（2025秋 宁德校级月考）已知等差数列{an}中，a1+a3+a5＝18，a5+a7＝﹣6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn的最大值．
【答案】（1）an＝﹣3n+15；（2）30．
【分析】（1）利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1＝12，d＝﹣3，由此能求出{an}的通项公式；
（2）求出Sn＝12n（n）2，由此能求出{an}的前n项和Sn的最大值．
【解答】解：（1）等差数列{an}中，a1+a3+a5＝18，a5+a7＝﹣6，
∴，解得a1＝12，d＝﹣3，
∴{an}的通项公式an＝12+（n﹣1）×（﹣3）＝﹣3n+15；
（2）Sn＝12n（n）2，
∴n＝4或n＝5时，{an}的前n项和Sn取最大值30．4.2 等差数列
题型01 等差数列的通项 5
题型02 等差数列的判断 6
题型03 等差数列的性质 7
题型04 等差数列的前n项和 8
题型05 等差数列前n项和的性质 9
题型06 等差数列前n项和的最值 10
知识点1：等差数列的概念
1．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．
2．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零．
知识点2： 等差中项
1．由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．
2．A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b．
知识点3： 等差数列的通项
1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d．
2．an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)．
3．an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．
4．d＝(m，n∈N*，且m≠n)．
知识点4： 等差数列的性质
1．若{an}，{bn}是等差数列，则{c＋an}、{c·an}、{an＋an＋k}、{pan＋qbn}也为等差数列．
2．在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq．
3．若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap．
知识点5： 等差数列的前n项和公式
1．Sn．
2．Sn＝na1n（n﹣1）．
知识点6： 等差数列前n项和的性质
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为．
2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d．
3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝．
4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝．
知识点7： 等差数列前n项和的最值
1．当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n由不等式组确定．
2．当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n由不等式组确定．
3．若d≠0，则从二次函数的角度看，当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．
1．等差数列的判断．
(1)定义法: an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) {an}是等差数列．
(2)等差中项法: 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) 数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法:数列{an}的通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数) 数列{an}为等差数列．
2．等差数列通项公式的求解．
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”．
(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数．
3．等差中项．
(1)若a，A，b成等差数列，则A＝．
(2)由A＝也可得到a，A，b成等差数列．
(3) A是a，b的等差中项 A＝．
4．等差数列的求解．
(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar．
(3)利用基本量求值:等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(4)结合等差数列的性质解题:等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．
5．等差数列前n项和的求解．
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．
(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
6．等差数列前n项和的最值问题．
(1)寻找正、负项的分界点，可用等差数列性质或用或来寻找．
(2)运用二次函数求最值．
题型01 等差数列的通项
（2025春 曲阜市校级月考）在等差数列{an}中，已知a1，a4+a5，若an＝33，则n＝（ ）
A．50 B．49 C．48 D．47
【答案】A
【分析】设等差数列{an}的公差是d，根据条件和通项公式求出d，再由an＝33求出项数n．
【解答】解：设等差数列{an}的公差是d，
∵a1，a4+a5，∴2a1+7d，解得d，
则an33，
解得n＝50，
故选：A．
【变式练1】（2025秋 朝阳区期中）在等差数列﹣10，﹣7，﹣4，﹣1，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列{an}，则a8＝（ ）
A． B． C．1 D．
【变式练2】（2025秋 广东月考）设等差数列{an}满足a3+a7＝20，a8＝4，则{an}的首项为 ．
【变式练3】（2025春 丽江校级期末）已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为 ．
题型02 等差数列的判断
（2025秋 绵阳校级月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝9，S4＝24．
（1）求{an}的通项公式．
（2）令bn，求证数列{bn}为等差数列．
【答案】（1）an＝2n+1；
（2）详见解答过程．
【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式先求出a1，d，然后结合通项公式即可求解；
（2）结合等差数列求和公式先求出bn，然后结合等差数列的定义即可证明．
【解答】（1）解：等差数列{an}中，a4＝9，S4＝24，
所以，解得a1＝3，d＝2，
所以an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
（2）证明：由（1）得，Sn＝3nn（n+2），则bn2n，
bn﹣bn﹣1＝2n﹣2（n﹣1）＝2，（n＞1），
所以数列{bn}为等差数列．
【变式练1】（2025春 临泉县期末）已知数列{an}满足an+1﹣an＝1，若a8＝﹣10，am＝0，则m＝（ ）
A．28 B．13 C．18 D．20
【变式练2】（2025秋 吴中区校级月考）设数列{an}的前n项和为Sn，若an＝λn+8，a15＝10，则S29＝（ ）
A．110 B．130 C．290 D．190
【变式练3】（多选）（2025秋 广西月考）已知等差数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2，{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的有（ ）
A．an是关于n的二次函数
B．Sn是关于n的二次函数
C．数列{an+bn}是等差数列
D．若数列{anbn}是等差数列，则d1d2＝0
题型03 等差数列的性质
（2025 甘肃校级开学）在等差数列{an}中，已知a1+a5+a9＝15，则a4+a6＝（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【分析】直接由已知a1+a5+a9＝15，结合等差数列的性质求解答案．
【解答】解：∵数列{an}是等差数列，∴a1+a9＝a4+a6＝2a5，
又a1+a5+a9＝15，∴，
解得a4+a6＝10．
故选：A．
【变式练1】（2025春 河南校级月考）已知在单调递增的等差数列{an}中，a3与a7的等差中项为8，且a2 a8＝﹣17，则{an}的公差d＝（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式练2】（2025 武安市校级开学）已知（1，3），（3，﹣1）是等差数列{an}对应图象上的两点，若5是p，q的等差中项，则ap+aq的值为 ．
【变式练3】（2025春 宜春月考）已知等差数列{an}满足，则a7＝ ．
题型04 等差数列的前n项和
（2025春 雁塔区校级月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a6＝12，则S7＝（ ）
A．48 B．42 C．24 D．21
【答案】B
【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．
【解答】解：等差数列{an}中，a2+a6＝12，
．
故选：B．
【变式练1】（2025秋 靖远县期中）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a7＝4，a5a9＝20，则Sn＝ ．．
【变式练2】（2025春 大余县月考）已知等差数列{an}．
（1）若a6＝10，a8＝16，求S5；
（2）若，求S5．
【变式练3】（2025春 抚州校级月考）已知等差数列{an}满足：a5＝9，a10＝19．
（1）求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；
（2）求a2+a4+a6+…+a20的值．
题型05 等差数列前n项和的性质
（2025秋 阆中市校级月考）在等差数列{an}中，已知S6＝10，S12＝30，则S18＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由等差数列的前n项和公式可得，，解方程可求a1，d，然后代入等差数列的求和公式即可求解
法二；由等差数列的性质可知，s6，s12﹣s6，s18﹣s12成等差数列，代入即可求解
【解答】解：由等差数列的前n项和公式可得，
解得a1，d
∴S1818960
故答案为：60
法二；由等差数列的性质可知，s6，s12﹣s6，s18﹣s12成等差数列
即10，20，s18﹣30成等差数列，∴10+s18﹣30＝40
∴s18＝60
故答案为：60
【变式练1】（2025秋 广西月考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝12，则S20＝（ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
【变式练2】（2025秋 江苏校级月考）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别记为Sn和Tn，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式练3】（2025春 四川校级期末）设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意正整数n都有，则的值为 ．
题型06 等差数列前n项和的最值
（2025 衡水开学）已知等差数列{an}的前n项和是Sn，若S15＞0，S16＜0，则Sn最大值是（ ）
A．S1 B．S7 C．S8 D．S15
【答案】C
【分析】由已知条件推导出a8＞0，a9＜0，由此能求出结果．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和是Sn，若S15＞0，S16＜0，
∴，∴a8＞0，a9＜0，
∴n＝8时，Sn最大．
故选：C．
【变式练1】（多选）（2025 河南开学）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的有（ ）
A．a6+a7＜0 B．a7＜0
C．d可以取负整数 D．对任意n∈N*，有Sn≤S6
【变式练2】（2025春 思明区校级期中）记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）求使Sn＞an成立的n的最小值．
【变式练3】（2025秋 宁德校级月考）已知等差数列{an}中，a1+a3+a5＝18，a5+a7＝﹣6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn的最大值．
