2026届高三数学一轮复习 课时作业：平面向量的线性运算
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的外接圆圆心为为的中点，且，则（ ）
A．5 B．10 C．13 D．26
【答案】B
【分析】设分别为的中点，连接，利用向量的线性运算以及数量积的定义将转化为，即可求得答案.
【详解】由题意知的外接圆圆心为为的中点，则；
设分别为的中点，连接，则，
，结合，可知，
故，即，
故选：B
2．设单位向量，已知，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】设，求出，再利用不等式即可求解.
【详解】设，
因为单位向量，，则，
则，等号成立时方向相反，故的最小值为.
故选：C
3．在中，点为边上一点，已知，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三点共线、辅助角公式可得，结合的范围即可求解.
【详解】因为在中，点为边上一点，已知，
所以，即，而，所以，解得.
故选：A.
4．如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组.
【详解】因，则，
故，
因三点共线，故设，则，
因，则，解得．故选：D．
5．在平行四边形中，点E是边上的四等分点（靠近点D），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意得，利用向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意有，所以，故选：A.
6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D满足，且，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】由得，进而得到，再结合三角形的面积公式求解即可.
【详解】由得，，
故，即，得，设的高为，可得，
由得，，故，
而，故，则，
故，化简得，故A正确.故选：A
7．已知的内角的对边分别为为的中点.，，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．1或4
【答案】A
【分析】因为为的中点，所以为上的中线，用向量解决中线问题，得到，两边同时平方得到一个关于的方程，解出，再利用余弦定理得到的值.
【详解】由题意，知，所以，
所以且，即，解得或.
当时，，即；当时，，即.
故选：A.
8．已知非零向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用两个向量平行的性质可得，化简可得，利用齐次式即可得到答案.
【详解】因为，为非零向量，所以，即
因为，所以，则，即，
即，由于，所以两边同除，
可得：，解得：或(舍去),所以.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知是椭圆的内接三角形，且，下列说法正确的是（ ）
A．的离心率是
B．的面积的最大值是3
C．若直线的斜率之积为，则
D．若的中点满足方程
【答案】ACD
【分析】对于A选项：直接给出离心率与的关系得出结果.对于B选项：设出、坐标，用三角形面积公式，结合向量点乘与三角函数关系化简，根据三角函数性质求最值判断对错.对于C选项：设出相关点坐标，根据已知条件得到与关系，再结合椭圆方程和直线斜率之积化简，最后根据求出的值.对于D选项：由及前面条件，根据中点坐标公式得到与关系，代入化简得出中点满足的方程.
【详解】对于选项A，，故A正确；
对于选项B，设
，
当时，上式等号成立，故B错误；
对于选项C，设，由题意可得，
所以
.
因为直线的斜率之积为，所以，则.
因为，所以，故C正确；
对于选项D，因为，设，由选项C知.
因为为的中点，所以
所以，则的中点满足方程，故D正确.故选：ACD.
10．已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设，下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹是双曲线 B．是三角形的内心
C． D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】建立直角坐标系，根据双曲线的定义，结合三角形内心的向量表达式、切线长定理、投影向量的定义进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
由，可设，，
所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支（不含右顶点），故A错误；
因为是的角平分线，且，
所以，又表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，
则在的角平分线上，所以也为的角平分线，为的内心，故B正确；
如图，设，
则，，
则由双曲线与内切圆的性质可得，，故C正确；
又，所以，在上的投影长为，
所以在上的投影向量为，故D正确.
故选：BCD
11．下列四个结论正确的是（ ）
A．若平面上四个点P，A，B，C，，则A．B，C三点共线
B．已知向量，若，则为钝角.
C．若G为△ABC的重心，则
D．若，△ABC一定为等腰三角形
【答案】AC
【分析】对于A，利用共线向量定理判断，对于B，举例判断，对于C，由重心性质判断，对于D，利用三角函数的性质判断
【详解】对于A，由，所以，即，所以共线，因为有公共端点，所以A．B，C三点共线，所以A正确，
对于B，当时，，此时，则的夹角为，不是钝角，所以B错误，
对于C，延长，交于，因为G为△ABC的重心，所以为的中点，，
所以，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为，，所以或，所以或，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以D错误，
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 ．
【答案】3
【分析】过点作，交的延长线于点，结合已知得，问题化为求最大值，作，利用相似得，进而得最大，即可得.
【详解】如图1，过点作，交的延长线于点，
由，则，
由共线得，可得．
当最大时，取到最大值，此时，
如图2．作，又，则，即，
由，即，则四边形为平行四边形，故，
易知，可得，，
而，，得，
所以，
因此的最大值为3．
故答案为：3
13．已知平面向量，满足，，则的最大值为 .
【答案】
【分析】把向量，放在单位圆内，确定定点，，用，在单位圆上选择动点，用，结合向量加法法则及向量夹角的概念确定的最大值.
【详解】
如图所示：圆为单位圆，点在单位圆上且，，所以，符合条件，
在单位圆上再取一点，令，易知弦所对的圆心角，弦所对的圆周角，
因为，符合条件，所以当线段为圆的直径时最大，最大值为.
故答案为：
14．已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则 .
【答案】
【分析】根据向量共线可设，进而对比系数列式求解即可.
【详解】因为是两个不共线的向量，，
若与是共线向量，设，则，则，解得.
故答案为：.
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在中，，，．
(1)若，求；
(2)若，，求的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据向量的线性运算，利用向量的模长公式即可求解，
（2）根据正弦定理可得①式和②式，即可作商求解..
【详解】（1）∵，∴，
∴，即，∴．
又，∴，∴．
（2）在中，①，在中， ②，
①÷②得，又，，∴，
所以
16．（15分）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）由共线定理结合齐次式弦化切可求；
（2）由数量积运算性质结合三角函数的恒等变换得，再结合三角函数的性质可得到结果．
【详解】解：（1），，，
，，
（2），，，，
，
，，或，或．
17．（15分）已知向量，.
（1）若∥，求的值；
（2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值.
【答案】（1） （2）最小正周期为 ，最大值为
【分析】（1）由得，再根据二倍角的正切公式直接求解.
（2）根据平面向量的数量积以及三角函数的恒等变换，化简f（x）即可求出T，再根据三角函数的图象与性质，求出x∈[0，]时f（x）的最大值以及对应x的值．
【详解】解：（1）由得, ， ∴ ∴
（2）
∴函数 的最小正周期为
当 时，∴当，即时，.
18．（17分）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，求的长.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换计算可得；
（2）利用余弦定理计算可得，再由向量定比分点以及余弦定理计算可得的长.
【详解】（1）依题意可得，得.
因为，所以，则，
因为，所以，所以
（2）由题意得，解得（负根已舍去）.
因为，所以，
所以由余弦定理可得.
19．（17分）在等腰直角三角形中，为直角顶点，为线段上一点，为射线上一点，.
(1)若，的面积为，求使.
(2)为线段上一点，且，求面积的最小值.
【答案】(1)5 (2)
【分析】（1）根据所给条件计算和，利用正切和角公式计算，得到的长，即可计算出的值.
（2）作辅助线，利用相似、正弦定理及余弦定理确定中有一角及其临边为定值，得到时，有最小值，计算等腰直角三角形面积即可.
【详解】（1）
∵等腰直角三角形中，为直角顶点，,
∴,
在中，，
∵ ，
∴.
法一：由题意得，，
∴.
在中，，
∴,
∴.
法二：
如图，过作，则，
∵ ，
∴
在中，，
∵ 为锐角，
∴，
∴，
∴.
（2）法一：如图，延长到使，连接，
设，则，
∵且，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴与相似，
∴，
∴.
在中, ，，
∴.
在中，由正弦定理得，，
∴.
∵，
∴当时，，
∴面积的最小值为.
法二：
设，则.
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，即，
∴，
∴当时，，
∴面积的最小值为.2026届高三数学一轮复习 课时作业：平面向量的线性运算
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．三角形ABC的外接圆圆心为为的中点，且，则（ ）
A．5 B．10 C．13 D．26
2．设单位向量，已知，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．在三角形ABC中，点为边上一点，已知，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在三角形ABC中，为线段上一点，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在平行四边形中，点E是边上的四等分点（靠近点D），则（ ）
A． B．
C． D．
6．在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若点D满足，且，则（ ）
A． B．2 C． D．4
7．已知三角形ABC的内角的对边分别为为的中点.，，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．1或4
8．已知非零向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知是椭圆的内接三角形，且，下列说法正确的是（ ）
A．的离心率是
B．的面积的最大值是3
C．若直线的斜率之积为，则
D．若的中点满足方程
10．已知点在线段上，是的角平分线，为上一点，且满足，设，下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹是双曲线 B．是三角形的内心
C． D．在上的投影向量为
11．下列四个结论正确的是（ ）
A．若平面上四个点P，A，B，C，，则A．B，C三点共线
B．已知向量，若，则为钝角.
C．若G为△ABC的重心，则
D．若，△ABC一定为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 ．
13．已知平面向量，满足，，则的最大值为 .
14．已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则 .
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在三角形ABC中，，，．
(1)若，求；
(2)若，，求的值．
16．（15分）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值．
17．（15分）已知向量，.
（1）若∥，求的值；
（2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值.
18．（17分）在三角形ABC中，内角所对的边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，求的长.
19．（17分）在等腰直角三角形中，为直角顶点，为线段上一点，为射线上一点，.
(1)若，的面积为，求使.
(2)为线段上一点，且，求面积的最小值.
