2026届高三数学一轮复习 课时作业：三角函数图象与性质
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数的图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图象的最值得到的值，由两个零点求出，最后代入特殊点求得，即可得到函数解析式.
【详解】观察图象可得函数的最大值为，最小值为，又，
所以，
又∵，∴，∴，因为时函数取最大值，
所以，，又，∴，∴.
故选：C.
2．已知定义在上的函数为奇函数，且也为奇函数，函数，则的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先判断是周期为4的函数，然后判断是周期为4的偶函数，结合即可判断选项.
【详解】因为是奇函数，所以.
因为也是奇函数，所以，
令，所以，所以.所以，所以的周期为4.
.所以为偶函数.
因为的周期为4，的周期为，所以的周期为4.
选项A图像显示周期为2，所以A错误；又，所以C、D错误，B正确.
故选：B.
3．已知函数，则曲线在区间上的对称中心的个数为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】结合正弦型函数性质计算可得对称中心的横坐标，，再计算其中在区间中的个数即可得.
【详解】对于函数，其对称中心的横坐标满足，
故，，解得，，
其在区间上的横坐标可以为，，，，，
于是曲线在区间上有个对称中心.
故选：D.
4．将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先得出平移后的解析式，再根据奇偶性得出，，最后根据范围即可.
【详解】将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象的解析式为
，
因为的图象关于y轴对称，
所以，，解得，，
因为，所以.
故选：D.
5．“”是“函数的图象关于对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据余弦型函数的对称轴及充分条件、必要条件求解即可.
【详解】若函数的图象关于对称，
则，即，
可得是函数的图象关于对称的充分不必要条件.
故选：A
6．在中，向量与向量垂直，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到，求得，利用正弦定理，得到，进而求得，化简，结合正弦函数的性质，即可求解.
【详解】设的三边对的三角分别为，
因为向量与向量垂直，可得，
即,可得，所以，
又因为，可得，即，
所以，可得，
因为，所以，
所以，
又因为，所以，
所以当，即时，取得最大值.
故选：A.
7．已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可得为函数的最大值或最小值，即可求出的取值集合，再由周期求出的范围，即可求出的值，从而得解.
【详解】，为函数的最大值或最小值.
，，解得.又
函数的最小正周期满足，且，
，解得，当时，满足题意，.
故选：B.
8．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象的平移变换，可得，结合题意可知该函数为奇函数，利用奇函数的性质列式，化简求值，即得答案.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
所得的图象对应的函数为，
由题意知的图象关于原点对称，即函数为奇函数，
故，
即，
故，
即，
因为，故当时，m取最小值.
另解：由题意知的图象关于原点对称，
故，即，
因为，故当时，m取最小值，
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在上的最小值为 D．的图象关于点对称
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断得解.
【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确；
对于B，，不是函数的最值，
因此的图象关于直线不对称，B错误；
对于C，由，得，当，即时，，C正确；
对于D，，的图象关于点对称，D错误.
故选：AC
10．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．将函数图象的向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
C．图象的一个对称中心为点
D．的单调递增区间为
【答案】ACD
【分析】由辅助角公式得到，再结合周期公式，对称中心、单调区间的计算和三角函数的奇偶性，逐项判断即可.
【详解】由
，
最小正周期为，A正确，
将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象的函数表达式为：，不是奇函数，B错误，
因为，所以图象的一个对称中心为点，C正确，
由，
得，，
所以的单调递增区间为，D正确，
故选：ACD
11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
【答案】ABD
【分析】由图象可求得，即可判断A；再由函数过点，可求得，根据三角函数的对称性可判断B，C；利用诱导公式得，根据图象的平移法则可判断D.
【详解】因为，即，所以，故A正确；
而，则，
又因为过点，则，即，
所以，
对于B，因为，
所以是函数图象的一个对称中心，故B正确；
对于C，，
所以直线不是函数图象的对称轴，故C错误；
对于D，，
所以函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，若两个不等的实数满足且 的最小值为，则 .
【答案】2
【分析】根据辅助角公式，可得，根据，可得或，根据正弦型函数的图象与性质，分析可得与间的最小距离为一个周期，根据周期公式，即可得答案.
【详解】由题意得，
因为，且，所以或，
所以与间的最小距离为一个周期，即，所以2.
故答案为：2
13．已知函数的最小正周期为，，则等于 .
【答案】2
【分析】根据周期得出，再根据结合，得出，最后代入计算求解.
【详解】，又因为得，
所以，即得，
又因为，所以，因此，.
故答案为：2.
14．已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且图象经过点，则的值为 ．（写出一个满足条件的答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数的图象与性质求出、，注意的正负，再由，结合的取值范围，即可写出满足条件的.
【详解】设函数的最小正周期为，则由其图象相邻两条对称轴之间的距离为，得，则，由，得，则，所以．由函数的图象经过点，得，则．
当时，，则或，得或．
当时，，则或，得或．由可知的值可以为．
故答案为：.（答案不唯一，写出一个满足条件的值即可.）
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数的最小正周期为．
(1)求的单调递减区间；
(2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）首先根据周期公式求出的值，进而得到函数的表达式，再根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间；
（2）然后根据三角函数图象的伸缩和平移变换规则求出的表达式，最后通过求解不等式恒成立问题，确定实数m的取值范围．
【详解】（1）因为的最小正周期为，
所以，所以．
令，得，
故的单调递减区间为．
（2）的横坐标变为原来的2倍得到，
再将所得图象向左平移个单位长度得到．
令
令，则，
因为，所以当时，取得最大值，
所以，解得或，
故实数的取值范围为．
16．（15分）已知函数.
(1)求的最大值；
(2)将图象的横坐标缩短到原来的，并向右平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和的正弦公式和辅助角公式化简得，然后根据正弦函数的性质求解最值即可；
（2）先利用平移公式求函数的解析式，再利用整体思想，根据正弦函数的单调性求解函数在指定区间上的单调性.
【详解】（1），
因为，所以，
所以当即时，；
（2）将横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度后，
可得.
令，解得，
又，所以时，的单调递增区间为.
17．（15分）已知函数的部分图象如图所示，，
(1)求的解析式；
(2)若，求函数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据函数图象得到，，再根据，即可得到的解析式.
（2）根据（1）结合两角差余弦公式计算化简得出，再应用应用正弦函数图象求解即可.
【详解】（1）由图知：,，所以.
因为，且，所以，.
（2）
，
因为，所以，所以，所以的取值范围是.
18．（17分）已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)若函数的图象关于点中心对称，求在上的值域．
【答案】(1)最小正周期，单调递减区间为， (2)
【分析】（1）先利用倍角公式化简得，结合正弦函数的单调区间及最小正周期即可求解；
（2）先写出，由关于点中心对称解出，再结合正弦函数的值域即可求解．
【详解】（1）
， 所以的最小正周期．
令，，可得，，
所以的单调递减区间为，；
（2）
因为的图象关于点中心对称，所以，，可得．
因为，所以．所以．
因为，所以，所以，．
19．（17分）已知函数（其中），直线是函数图象的一条对称轴．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集；
(3)函数，求在区间上的值域．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据正弦函数对称轴的性质求出的值，进而确定的解析式；
（2）根据正弦函数的取值范围求解不等式；
（3）通过换元法将函数转化为二次函数，再结合二次函数的性质和的取值范围求出函数的值域.
【详解】（1）由题可知，
因此，
，，；
（2）由，得，
，
；
（3）
，
令，则．
，，，
当时，取最大值，为，
当或时，取最小值，为1，
所以函数的值域为．2026届高三数学一轮复习 课时作业：三角函数图象与性质
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数的图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知定义在上的函数为奇函数，且也为奇函数，函数，则的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数，则曲线在区间上的对称中心的个数为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．5
4．将函数的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
5．“”是“函数的图象关于对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在中，向量与向量垂直，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若且函数的最小正周期满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在上的最小值为 D．的图象关于点对称
10．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．将函数图象的向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
C．图象的一个对称中心为点
D．的单调递增区间为
11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，若两个不等的实数满足且 的最小值为，则 .
13．已知函数的最小正周期为，，则等于 .
14．已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且图象经过点，则的值为 ．（写出一个满足条件的答案即可）
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数的最小正周期为．
(1)求的单调递减区间；
(2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
16．（15分）已知函数.
(1)求的最大值；
(2)将图象的横坐标缩短到原来的，并向右平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的单调递增区间.
17．（15分）已知函数的部分图象如图所示，，
(1)求的解析式；
(2)若，求函数的取值范围.
18．（17分）已知函数．
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)若函数的图象关于点中心对称，求在上的值域．
19．（17分）已知函数（其中），直线是函数图象的一条对称轴．
(1)求的解析式；
(2)求不等式的解集；
(3)函数，求在区间上的值域．
