椭 圆
课前必备知识
课标要求
1.了解椭圆的实际背景和实际应用，理解椭圆的定义与几何图形，会求椭圆标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质并能应用，体会数形结合思想．
知识梳理
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．
2．椭圆的标准方程与简单几何性质
标准 方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0)
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
长短轴 长轴长|A1A2|＝__2a__，短轴长|B1B2|＝__2b__
焦距 |F1F2|＝2c(c>0)，c2＝__a2－b2__
离心率 e＝____(0常用结论
1．椭圆标准方程的统一形式
Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).
2．P是椭圆上一点，F是椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
3．椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦．
4．离心率e＝.
5．P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c).
6．P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则S△PF1F2＝b2tan ，其中θ为∠F1PF2.
课前训练
1．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
2．(教材母题选必修3.1.1练习T1改编)椭圆＋＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为( )
A．6 B．3
C．4 D．2
3．设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )
A． B．
C． D．2
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)，则椭圆C的方程为________________．
5．已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且3|AB|＝2|BC|，则该椭圆的离心率为________．
课堂核心考点
考点1 椭圆的定义、标准方程
【例1】 (1)已知B(－，0)是圆A：(x－)2＋y2＝16内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为________________．
(2)(2025·陕西西安模拟预测)P为椭圆＋＝1上一点，曲线＋|y|＝1与坐标轴的交点为A，B，C，D，若|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝4，则点P到x轴的距离为( )
A． B．
C． D．
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定义进行求解，点在椭圆上，则点P一定满足椭圆的定义．
(2)求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，要注意“定型”和“定量”两方面的要求．
(3)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(4)注意掌握与焦点三角形有关的一些常用结论，如：
①椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦．
②P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则
△PF1F2的周长为2(a＋c).
③P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝b2tan ，其中θ＝∠F1PF2.
变式探究
1．“1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2024·广东湛江一模)已知圆O：x2＋y2＝9，点A(2，0)，点P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是______________．
考点2 椭圆的几何性质及应用
【例2】 (1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，下顶点为B，点M为C上的任意一点，则|MB|的最大值是( )
A．b B．b
C．b D．2b
(2)(2025·河南开封模拟预测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，A，B分别是C的左顶点和上顶点，F是C的左焦点，若tan∠FAB＝2tan∠FBA，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
(1)求椭圆的离心率主要有两种方法：
①直接求出a，c的值，代入e＝求得e；
②建立a，b，c的齐次等式，转化为关于e的方程求解．
(2)讨论或利用椭圆的几何性质解题时，一是注意椭圆中的不等关系，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围或离心率的范围等不等关系；二是注意要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要厘清它们之间的内在联系．
变式探究
3．已知直线l：3x＋4y－11＝0与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，若点P(1，2)恰为弦AB的中点，则椭圆C的离心率是( )
A． B．
C． D．
4．(2025·华师大二附中校考模拟预测)设M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，P是C上的一个动点．当P运动到下顶点时，|PM|取得最大值，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．[，1) B．(0，]
C．[，1) D．(0，]
考点3 椭圆的综合应用
【例3】 如图，在平面直角坐标系中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，上顶点A到右焦点的距离为.过点D(0，m)(m≠0)作不垂直于x轴、y轴的直线l，交椭圆E于P，Q两点，C为线段PQ的中点，且AC⊥OC.
(1)求椭圆E的方程；
(2)延长AC交椭圆E于点B，记△AOB与△AOC的面积分别为S1，S2，若＝，求直线l的方程．
(1)椭圆的综合运用问题，要注意掌握椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，同时要注意与其他知识的综合运用，并有意识地注意运算求解能力及综合分析能力的培养．
(2)求解圆锥曲线的试题，首先要考虑画图，其次要考虑定义与几何性质．对涉及焦点三角形的问题，要特别注意解三角形知识及三角恒等变换等知识的应用．
变式探究
5．(2023·天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，已知|A1F|＝3，|A2F|＝1.
(1)求椭圆的方程及其离心率；
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是△A2FP面积的二倍，求直线A2P的方程． 椭 圆
课前必备知识
课标要求
1.了解椭圆的实际背景和实际应用，理解椭圆的定义与几何图形，会求椭圆标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质并能应用，体会数形结合思想．
知识梳理
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．
2．椭圆的标准方程与简单几何性质
标准 方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0)
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
长短轴 长轴长|A1A2|＝__2a__，短轴长|B1B2|＝__2b__
焦距 |F1F2|＝2c(c>0)，c2＝__a2－b2__
离心率 e＝____(0常用结论
1．椭圆标准方程的统一形式
Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B).
2．P是椭圆上一点，F是椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
3．椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦．
4．离心率e＝.
5．P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则△PF1F2的周长为2(a＋c).
6．P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，则S△PF1F2＝b2tan ，其中θ为∠F1PF2.
课前训练
1．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：C 依题意可知，c＝b，又a＝＝c，所以椭圆的离心率e＝＝.故选C.
2．(教材母题选必修3.1.1练习T1改编)椭圆＋＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为( )
A．6 B．3
C．4 D．2
解析：A 由椭圆方程＋＝1，得a2＝25，即a＝5，
设下焦点为F1，上焦点为F2，
则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
因为|PF2|＝4，所以|PF1|＝6，即点P到下焦点的距离为6.故选A.
3．设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )
A． B．
C． D．2
解析：A 设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝－(2y＋)2＋.当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝.故选A.
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1)，则椭圆C的方程为________________．
解析：＋＝1
由题意可得解得故椭圆方程为＋＝1.
5．已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，边AD和BC分别经过椭圆的左、右焦点，且3|AB|＝2|BC|，则该椭圆的离心率为________．
解析： 由椭圆的方程＋＝1(a＞b＞0)可得当x＝c时，y＝±，所以|AB|＝2c，|BC|＝.因为3|AB|＝2|BC|，所以6c＝，所以3ac＝2b2＝2a2－2c2，所以3e＝2－2e2，解得e＝或e＝－2(舍).
课堂核心考点
考点1 椭圆的定义、标准方程
【例1】 (1)已知B(－，0)是圆A：(x－)2＋y2＝16内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为________________．
(2)(2025·陕西西安模拟预测)P为椭圆＋＝1上一点，曲线＋|y|＝1与坐标轴的交点为A，B，C，D，若|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝4，则点P到x轴的距离为( )
A． B．
C． D．
解析：(1)＋y2＝1 如图，连接BD.由题意，|BD|＝|CD|，则|BD|＋|DA|＝|CD|＋|DA|＝4>2＝|AB|.由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为(±，0)，长半轴长为2，所以短半轴长为1，故轨迹方程为＋y2＝1.
(2)D 在＋|y|＝1中，令x＝0得y＝±1，
令y＝0得x＝±2.
不妨设A(－2，0)，B(2，0)，C(0，－1)，D(0，1)，
则点A，B为椭圆＋＝1的焦点，如图所示，故|PA|＋|PB|＝2.
因为|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝4，
所以|PC|＋|PD|＝2.
又|CD|＝2，|PC|＋|PD|>|CD|，
由椭圆定义可知，P点在以C(0，－1)，D(0，1)为焦点的椭圆上，其中2a＝2，2c＝2，
故a＝，c＝1，b2＝6－1＝5，
所以P为椭圆＋＝1上一点．
由
解得y2＝，则|y|＝，
故点P到x轴的距离为.故选D.
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定义进行求解，点在椭圆上，则点P一定满足椭圆的定义．
(2)求椭圆的标准方程的基本方法是待定系数法，要注意“定型”和“定量”两方面的要求．
(3)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(4)注意掌握与焦点三角形有关的一些常用结论，如：
①椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为，通径是最短的焦点弦．
②P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则
△PF1F2的周长为2(a＋c).
③P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝b2tan ，其中θ＝∠F1PF2.
变式探究
1．“1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：B 若方程表示椭圆，
则解得1又{k|12．(2024·广东湛江一模)已知圆O：x2＋y2＝9，点A(2，0)，点P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是______________．
解析：＋＝1 设AP的中点为M，切点为N，连接ON，MN，如图所示，
则O，M，N三点共线，且|OM|＋|MN|＝|ON|＝3.
取A关于y轴的对称点A1，连接A1P.
根据中位线的性质有|A1P|＝2|OM|，
又|AP|＝2|MN|，所以|A1P|＋|AP|＝2(|OM|＋|MN|)＝6，且当点P坐标为(±3，0)时也满足题意．
所以点P的轨迹是以A1，A为焦点，长轴长为6的椭圆，其中a＝3，c＝2，b＝，
则动点P的轨迹方程是＋＝1.
考点2 椭圆的几何性质及应用
【例2】 (1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，下顶点为B，点M为C上的任意一点，则|MB|的最大值是( )
A．b B．b
C．b D．2b
(2)(2025·河南开封模拟预测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，A，B分别是C的左顶点和上顶点，F是C的左焦点，若tan∠FAB＝2tan∠FBA，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：(1)A 由椭圆C的离心率e＝，可得a＝b，所以椭圆的方程为＋＝1.
设M(x0，y0)，则＋＝1，可得x＝3b2－3y.
又由点B(0，－b)，
可得|MB|2＝x＋(y0＋b)2＝3b2－3y＋(y0＋b)2
＝－2(y0－)2＋.
因为－b≤y0≤b，所以|MB|＝，
所以|MB|max＝.故选A.
(2)C 由题意作出图形，如图所示．
可知|OA|＝a，|OB|＝b，|OF|＝c.
在Rt△ABO中，tan ∠BAO＝tan ∠FAB＝.
在Rt△BFO中，tan ∠BFO＝，
所以tan ∠FBA＝tan (∠BFO－∠FAB)
＝
＝＝.
因为tan ∠FAB＝2tan ∠FBA，
所以＝2·.
又b2＝a2－c2，整理得c2＋a2－3ac＝0，即e2－3e＋1＝0，解得e＝.
又e∈(0，1)，所以e＝，故选C.
(1)求椭圆的离心率主要有两种方法：
①直接求出a，c的值，代入e＝求得e；
②建立a，b，c的齐次等式，转化为关于e的方程求解．
(2)讨论或利用椭圆的几何性质解题时，一是注意椭圆中的不等关系，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围或离心率的范围等不等关系；二是注意要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要厘清它们之间的内在联系．
变式探究
3．已知直线l：3x＋4y－11＝0与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，若点P(1，2)恰为弦AB的中点，则椭圆C的离心率是( )
A． B．
C． D．
解析：A 依题意，直线l的斜率为－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝－，且
由两式相减得
＝－，
于是＝－·＝×＝，
解得m2＝6，此时椭圆C：＋＝1.
显然点P(1，2)在椭圆C内，符合要求，
所以椭圆C的离心率e＝＝＝.故选A.
4．(2025·华师大二附中校考模拟预测)设M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，P是C上的一个动点．当P运动到下顶点时，|PM|取得最大值，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A．[，1) B．(0，]
C．[，1) D．(0，]
解析：B 设P(x0，y0)，M(0，b).
因为＋＝1，a2＝b2＋c2，
所以|PM|2＝x＋(y0－b)2＝a2(1－)＋(y0－b)2＝－(y0＋)2＋＋a2＋b2(－b≤y0≤b).
由题意知当y0＝－b时，|PM|2取得最大值，
所以－≤－b，可得a2≥2c2，即e2≤，
则0考点3 椭圆的综合应用
【例3】 如图，在平面直角坐标系中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，上顶点A到右焦点的距离为.过点D(0，m)(m≠0)作不垂直于x轴、y轴的直线l，交椭圆E于P，Q两点，C为线段PQ的中点，且AC⊥OC.
(1)求椭圆E的方程；
(2)延长AC交椭圆E于点B，记△AOB与△AOC的面积分别为S1，S2，若＝，求直线l的方程．
解析：(1)由椭圆的离心率e＝＝，
则a＝c.
因为上顶点A到右焦点的距离为，
所以a＝，则b＝c＝1，
则椭圆的标准方程＋y2＝1.
(2)由A(0，1)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，C(x0，y0)，且x1≠x2，2x0＝x1＋x2，2y0＝y1＋y2.
因为P，Q在椭圆上，所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，
两式相减得×＝－.
由＝，得×＝－，
整理得x＝2y0(m－y0).①
由AC⊥OC，则×＝－1，
整理得x＝y0(1－y0).②
由①②解得y0＝2m－1，x＝2(1－2m)(m－1)>0，
解得设B(x3，y3)，由B在椭圆E上，x＋2y＝2，③
由BC⊥OC，则×＝－1，
即y3＝－x3＋1.
代入③式消去y3，得x3＝，
所以＝＝||
＝||
＝||＝.
又＝，所以＝，解得m＝.
此时y0＝2m－1＝，x＝2(1－2m)(m－1)＝，解得x0＝±，
此时C(±，)，D(0，).
所以直线方程为y＝x＋或y＝－x＋.
(1)椭圆的综合运用问题，要注意掌握椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，同时要注意与其他知识的综合运用，并有意识地注意运算求解能力及综合分析能力的培养．
(2)求解圆锥曲线的试题，首先要考虑画图，其次要考虑定义与几何性质．对涉及焦点三角形的问题，要特别注意解三角形知识及三角恒等变换等知识的应用．
变式探究
5．(2023·天津卷)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F，已知|A1F|＝3，|A2F|＝1.
(1)求椭圆的方程及其离心率；
(2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A2P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是△A2FP面积的二倍，求直线A2P的方程．
解析：(1)由题意得解得
所以b＝＝＝，
所以椭圆的方程为＋＝1，离心率为e＝＝.
(2)如图，
由题意得，直线A2P的斜率存在．
由(1)可得A2(2，0)，
设直线A2P的方程为y＝k(x－2).
联立方程组
消去y整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，
由韦达定理得xA2xP＝，所以xP＝，
所以P(，－)，Q(0，－2k).
因为S△A2QA1＝×4×|yQ|，S△A2PF＝×1×|yP|，S△A1A2P＝×4×|yP|，
所以S△A2QA1＝S△A1PQ＋S△A1A2P＝2S△A2PF＋S△A1A2P，
所以2|yQ|＝3|yP|，
即2|－2k|＝3|－|，解得k＝±，
所以直线A2P的方程为y＝±(x－2).
