圆的方程
课前必备知识
课标要求
1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程.2.能根据给定条件求圆标准方程及与圆有关的轨迹方程．
知识梳理
1．圆的定义
在平面内，到__定点__的距离等于__定长__的点的集合叫做圆．
确定一个圆最基本的要素是__圆心__和半径．
2．圆的方程
(1)圆的标准方程：__(x－a)2＋(y－b)2＝r2__，其中(a，b)为圆心，r为半径．
特别地，当a＝b＝0时，表示圆心在原点的圆的方程：x2＋y2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为__(－，－)__，半径r＝____．
3．求圆的方程的方法和步骤
由于圆的方程形式已知，所以求圆的方程常采用__待定系数法__，大致步骤为：
(1)根据题意，选择__标准或一般__方程；
(2)根据条件列出关于__a，b，r或D，E，F__的方程组；
(3)解出__a，b，r或D，E，F__代入标准方程或一般方程．
常用结论
1．点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)点在圆上 __(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2__；
(2)点在圆外 __(x0－a)2＋(y0－b)2>r2__；
(3)点在圆内 __(x0－a)2＋(y0－b)22．平面上定点A与圆P上动点B之间的距离的最值
(1)最大值为|PA|＋r；
(2)最小值为.(其中r为圆P的半径)
3．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
课前训练
1．“a<1”是“方程2x2＋2y2＋2ax＋6y＋5a＝0表示圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 因为方程2x2＋2y2＋2ax＋6y＋5a＝0，即x2＋y2＋ax＋3y＋＝0表示圆，
等价于a2＋9－10a>0，解得a>9或a<1，
故“a<1”是“方程2x2＋2y2＋2ax＋6y＋5a＝0表示圆”的充分不必要条件．故选A.
2．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( )
A． B．－
C．1 D．－1
解析：A 由题可知圆心为(a，0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.故选A.
3．(教材母题选必修习题2.4T8)已知长为2a(a>0)的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为____________.
解析：x2＋y2＝a2 如图，不论直线怎么移动，线段AB的中点P与原点O的连线始终为Rt△OAB斜边上的中线，即|OP|＝a，即x2＋y2＝a2.故所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
4．已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是____________________．
解析：x2＋y2＋4x－2y＝0
设直径的两个端点分别A(a，0)，B(0，b)，圆心C为点(－2，1)，由中点坐标公式，得＝－2，＝1，解得a＝－4，b＝2.所以半径r＝＝，
所以圆的方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.
5．设点P是函数y＝－的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为__________．
解析：－2 如图所示，点P在半圆C(实线部分)上，且由题意知，C(1，0)，点Q在直线l：x－2y－6＝0上．过圆心C作直线l的垂线，垂足为点A，则|CA|＝，故|PQ|min＝|CA|－2＝－2.
课堂核心考点
考点1 圆的方程及求法
【例1】 (1)过两点A(0，4)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上的圆的标准方程是( )
A．(x＋4)2＋(y＋1)2＝25
B．(x＋4)2＋(y－1)2＝25
C．(x－4)2＋(y＋1)2＝25
D．(x－4)2＋(y－1)2＝25
(2)若圆C与y轴相切，与直线l：y＝x也相切，且圆C经过点P(2，)，则圆C的半径为__________.
(3)(2025·湖北高三校联考期末)广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形区域x2＋y2≤4.其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数sgn (x)＝则当x2＋y2≤4时，下列不等式能表示图中阴影部分的是( )
A．x(x2＋(y－sgn (x))2－1)≤0
B．y((x－sgn (y))2＋y2－1)≤0
C．x(x2＋(y－sgn (x))2－1)≥0
D．y((x－sgn (y))2＋y2－1)≥0
解析：(1)D 设圆心坐标为C(2b＋2，b)，由圆过两点A(0，4)，B(4，6)，可得|AC|＝|BC|，即[(2b＋2)－0]2＋(b－4)2＝[(2b＋2)－4]2＋(b－6)2，解得b＝1，可得圆心为(4，1)，半径为5，则所求圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝25.故选D.
(2)1或 由题意，在直线l：y＝x中，倾斜角为30°，
所以圆C的圆心在两切线所成角的平分线y＝x上．
设圆心C(a，a)，
则圆C的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，
将点P(2，)的坐标代入，
得(2－a)2＋(－a)2＝a2，
解得a＝1或a＝，
所以圆C的半径为1或.
(3)C 对于A，当x>0时，x2＋(y－sgn (x))2－1＝x2＋(y－1)2－1≤0，即表示圆x2＋(y－1)2＝1内部及边界，显然不满足，A错误；
对于B，当y>0时，(x－sgn (y))2＋y2－1＝(x－1)2＋y2－1≤0，即表示圆(x－1)2＋y2＝1内部及边界，显然不满足，B错误；
对于C，当x>0时，x2＋(y－sgn (x))2－1＝x2＋(y－1)2－1≥0，即表示圆x2＋(y－1)2＝1外部及边界，满足；
当x<0时，x2＋(y－sgn (x))2－1＝x2＋(y＋1)2－1≤0，即表示圆x2＋(y＋1)2＝1的内部及边界，满足，C正确；
对于D，当y>0时，(x－sgn (y))2＋y2－1＝(x－1)2＋y2－1≥0，即表示圆(x－1)2＋y2＝1外部及边界，显然不满足，D错误．故选C.
(1)直接法．根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得到所求方程．
(2)待定系数法．其一般步骤为：
①根据题意选用圆的方程两种形式中的一种；
②根据所给条件，列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
③解方程组，求出a，b，r或D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．
变式探究
1．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
解析：B 直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，即(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
由
解得
即P(－1，1)，圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心C(2，－3)，|PC|＝5，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.故选B.
2．过直线2x＋y＋4＝0和圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为____________________.
解析：(x＋)2＋(y－)2＝(或x2＋y2＋x－y＋＝0)
联立方程
解得交点坐标为(－3，2)，(－，).
过两交点的圆中，以交点为端点的线段为直径的圆面积最小，故所求圆的圆心坐标为(－，)，
半径为＝，
故所求圆的方程为(x＋)2＋(y－)2＝.
3．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________________．
解析：(x＋1)2＋(y－)2＝1 由题知，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1，因为点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.
因为∠FAC＝120°，所以∠FAO＝30°.
所以OA＝＝＝，所以OA＝，所以A(0，)，如图所示．
所以C(－1，)，圆的半径为CA＝1，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
考点2 与圆有关的最值问题
【例2】 (1)(2025·福建宁德校考)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是_________________．
(2)(2025·广东佛山模拟)已知圆C：(x－1)2＋y2＝4，过点A(0，1)的两条直线l1，l2互相垂直，圆心C到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为( )
A． B．1
C． D．4
(3)(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知实数x1，x2，y1，y2，满足x＋y＝4，x＋y＝9，x1x2＋y1y2＝0，则|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|的最小值是__________．
解析：(1)[4，6] 因为∠APB＝90°，所以点P的轨迹是以AB为直径的圆O，半径为m，
故点P是圆O与圆C的交点，如图所示．
又C：(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心和半径分别为(3，4)，r＝1，|OC|＝＝5，因此两圆相切或相交，即|m－1|≤≤m＋1，解得4≤m≤6.
(2)B 如图，过圆心C分别作直线l1，l2的垂线，垂足分别为E，F.
因为l1，l2互相垂直，所以四边形AECF为矩形．
由圆C：(x－1)2＋y2＝4，可得C(1，0)，
又A(0，1)，
所以d＋d＝|CE|2＋|CF|2＝|AC|2＝2≥2d1d2，
所以d1d2≤1，当且仅当d1＝d2＝1时取等号，即d1d2的最大值为1，故选B.
(3)18－ 依题意，方程x＋y＝4，x＋y＝9分别表示以原点O为圆心，2，3为半径的圆．
令B(x1，y1)，A(x2，y2)，即点B，A分别在x2＋y2＝4，x2＋y2＝9上，如图．
显然＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，·＝x1x2＋y1y2＝0，
即有⊥，
|AB|＝＝.
取线段AB的中点P，连接OP，则|OP|＝|AB|＝，
因此点P在以原点为圆心，为半径的圆上．
而|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|＝(＋)，
即|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|表示点A，B到直线l：x＋y－9＝0的距离和的倍，
过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为M，N，过P作PD垂直于直线l于点D，
于是AM∥PD∥BN，|AM|＋|BN|＝2|PD|，
|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|＝(|AM|＋|BN|)＝2|PD|，
原点O到直线l的距离d＝，
显然|PD|≥d－|OP|＝－，当且仅当点O，P，D共线，且点P在线段OD上时取等号，
所以(|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|)min＝2|PD|min＝2(－)＝18－.
(1)处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，常根据代数式的几何意义，借助数形结合的方法求解．
(2)与圆有关的最值问题，常见类型有：
①形如μ＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题；
④圆上的点到直线的距离的最大、最小值问题．
变式探究
4．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
解析：C (方法1)令x－y＝k，则x＝k＋y，代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0.
因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，故x－y的最大值是3＋1.故选C.
(方法2)x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0，2π)，
则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos (θ＋)＋1，
因为θ∈[0，2π)，所以θ＋∈[，)，则当θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1.故选C.
(方法3)由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9.
设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，
解得1－3≤k≤1＋3，故选C.
5．在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋m(k≠0)与x轴和y轴分别交于A，B两点，|AB|＝2，若CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点(1，1)的距离的最大值为( )
A．4 B．3
C．2 D．
解析：B 由y＝kx＋m(k≠0)得A(－，0)，B(0，m)，故由|AB|＝2得(－)2＋m2＝8，且AB的中点到原点的距离为.
由CA⊥CB得·＝0.
设C(x，y)，则(x＋，y)·(x，y－m)＝0，即(x＋)2＋(y－)2＝＋，即点C的轨迹为一动圆．
设该动圆圆心为(x′，y′)，则x′＝－，y′＝，
整理得k＝－，m＝2y′，代入(－)2＋m2＝8中，
得x′2＋y′2＝2，即点C的轨迹的动圆的圆心在圆x′2＋y′2＝2上，
故点(1，1)与该圆上的点(－1，－1)的连线的距离加上圆的半径即为点C到点(1，1)的距离的最大值，最大值为＋＝3，故选B.
6．已知点P(1，0)及圆C：x2＋y2＝2，点M，N在圆C上，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为( )
A．[－1，＋1]
B．[2－，2＋]
C．[2－－1，2＋]
D．[2－－1，2＋]
解析：A 由题意，设点M，N的中点为D(x，y)，如图所示．
因为PM⊥PN，所以Rt△PMN斜边的中线等于斜边的一半，
即|PD|＝.
又由垂径定理有
＝，
所以|PD|＝，
即|PD|2＝|OM|2－|OD|2，
则有(x－1)2＋y2＝2－(x2＋y2)，
化简得x2－x＋y2＝，即(x－)2＋y2＝()2，
所以点D的轨迹是以(，0)为圆心，为半径的圆．
由圆的性质有
|DP|min＝－，|DP|max＝＋.
又|MN|＝2|PD|，
所以|MN|min＝－1，|MN|max＝＋1，
所以|MN|的取值范围为[－1，＋1]，故选A.
考点3 与圆有关的轨迹问题
【例3】 (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＋＝1(y>0)
B．＋＝1(y>0)
C．＋＝1(y>0)
D．＋＝1(y>0)
(2)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(ⅰ)直角顶点C的轨迹方程；
(ⅱ)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解析：(1)设点M(x，y)，
则P(x，y0)，P′(x，0).
因为M为PP′的中点，
所以y0＝2y，即P(x，2y).
又P在圆x2＋y2＝16(y>0)上，
所以x2＋4y2＝16(y>0)，即＋＝1(y>0)，
即点M的轨迹方程为＋＝1(y>0).故选A.
(2)(ⅰ)(直接法)设C(x，y).因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
(ⅱ)(代入法)设M(x，y)，C(x0，y0).
因为B(3，0)，M是线段BC的中点，
所以x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.
又C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
所以动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
(1)求与圆有关的轨迹方程时，要注意充分利用圆的几何性质．
(2)求与圆有关的轨迹方程常用的方法有：
①直接法：直接根据题目条件列出方程．
②定义法：判断几何条件符合圆的定义，再用待定系数法求．
③代入法：找到所求的点与已知点的关系，再代入已知点所满足的关系式等．
变式探究
7．已知抛物线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(3，1)，圆Q过A，B，C三点，当实数m变化时，存在一条定直线l被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线l的方程为( )
A．x－3y＝0 B．3x－y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x－y＝0
解析：A 设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
由题意可得y＝0时，x2＋Dx＋F＝0与x2＋mx－2＝0等价，可得D＝m，F＝－2，
圆的方程即为x2＋y2＋mx＋Ey－2＝0.
由圆过C(3，1)可得9＋1＋3m＋E－2＝0，
可得E＝－8－3m，即圆的方程为x2＋y2＋mx＋(－8－3m)y－2＝0，整理得(x2＋y2－8y－2)＋m(x－3y)＝0.
因为m为任意实数方程都成立，
所以
解得或
所以圆过定点(3，1)和(－，－)，
此时过两点的弦长为定值
＝，
过两点的直线的斜率为＝，
所以过两点的直线的方程为y－1＝(x－3)，即为x－3y＝0.故选A.
8．(多选)在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(－2，0)，点P满足＝，设点P的轨迹为C，则( )
A．C的周长为4π
B．OP平分∠APB
C．△ABP面积的最大值为6
D．当AP⊥AB时，直线BP与圆C相切
解析：ABD 设P(x，y).因为A(1，0)，B(－2，0)，点P满足＝，所以＝，
整理化简得(x－2)2＋y2＝4，
即曲线C的方程为(x－2)2＋y2＝4，如图所示．
对于A，曲线C为半径为2 的圆，故周长为2π·2＝4π，A正确．
对于B，因为A(1，0)，B(－2，0)，所以＝，所以＝，延长BP到Q，使|AP|＝|PQ|，连接AQ，如图所示．
因为|AP|＝|PQ|，所以＝＝，
所以OP∥AQ，所以∠OPB＝∠Q，∠OPA＝∠QAP.
因为|AP|＝|PQ|，所以∠OPA＝∠Q.
所以∠OPB＝∠OPA，即OP平分∠APB，B正确．
对于C，△ABP的面积S＝|AB|·|yP|＝|yP|.要使△ABP的面积最大，只需|yP|最大，由点P的轨迹为C：(x－2)2＋y2＝4可得|yP|max＝2，所以△ABP面积的最大值为3，C错误．
对于D，当AP⊥AB时，P(1，)或(1，－)，如图所示．不妨取P(1，)，则直线BP：y＝(x＋2)，即y＝(x＋2).
因为圆心C(2，0)到直线BP的距离为d＝＝2，所以d＝r，即直线BP与圆C相切，D正确．故选ABD. 圆的方程
课前必备知识
课标要求
1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程.2.能根据给定条件求圆标准方程及与圆有关的轨迹方程．
知识梳理
1．圆的定义
在平面内，到__定点__的距离等于__定长__的点的集合叫做圆．
确定一个圆最基本的要素是__圆心__和半径．
2．圆的方程
(1)圆的标准方程：__(x－a)2＋(y－b)2＝r2__，其中(a，b)为圆心，r为半径．
特别地，当a＝b＝0时，表示圆心在原点的圆的方程：x2＋y2＝r2.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为__(－，－)__，半径r＝____．
3．求圆的方程的方法和步骤
由于圆的方程形式已知，所以求圆的方程常采用__待定系数法__，大致步骤为：
(1)根据题意，选择__标准或一般__方程；
(2)根据条件列出关于__a，b，r或D，E，F__的方程组；
(3)解出__a，b，r或D，E，F__代入标准方程或一般方程．
常用结论
1．点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)点在圆上 __(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2__；
(2)点在圆外 __(x0－a)2＋(y0－b)2>r2__；
(3)点在圆内 __(x0－a)2＋(y0－b)22．平面上定点A与圆P上动点B之间的距离的最值
(1)最大值为|PA|＋r；
(2)最小值为.(其中r为圆P的半径)
3．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
课前训练
1．“a<1”是“方程2x2＋2y2＋2ax＋6y＋5a＝0表示圆”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( )
A． B．－
C．1 D．－1
3．(教材母题选必修习题2.4T8)已知长为2a(a>0)的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为____________.
4．已知圆的圆心为(－2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是____________________．
5．设点P是函数y＝－的图象上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为__________．
课堂核心考点
考点1 圆的方程及求法
【例1】 (1)过两点A(0，4)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上的圆的标准方程是( )
A．(x＋4)2＋(y＋1)2＝25
B．(x＋4)2＋(y－1)2＝25
C．(x－4)2＋(y＋1)2＝25
D．(x－4)2＋(y－1)2＝25
(2)若圆C与y轴相切，与直线l：y＝x也相切，且圆C经过点P(2，)，则圆C的半径为__________.
(3)(2025·湖北高三校联考期末)广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形区域x2＋y2≤4.其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数sgn (x)＝则当x2＋y2≤4时，下列不等式能表示图中阴影部分的是( )
A．x(x2＋(y－sgn (x))2－1)≤0
B．y((x－sgn (y))2＋y2－1)≤0
C．x(x2＋(y－sgn (x))2－1)≥0
D．y((x－sgn (y))2＋y2－1)≥0
(1)直接法．根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得到所求方程．
(2)待定系数法．其一般步骤为：
①根据题意选用圆的方程两种形式中的一种；
②根据所给条件，列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
③解方程组，求出a，b，r或D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．
变式探究
1．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
2．过直线2x＋y＋4＝0和圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为____________________.
3．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________________．
考点2 与圆有关的最值问题
【例2】 (1)(2025·福建宁德校考)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是_________________．
(2)(2025·广东佛山模拟)已知圆C：(x－1)2＋y2＝4，过点A(0，1)的两条直线l1，l2互相垂直，圆心C到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为( )
A． B．1
C． D．4
(3)(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知实数x1，x2，y1，y2，满足x＋y＝4，x＋y＝9，x1x2＋y1y2＝0，则|x1＋y1－9|＋|x2＋y2－9|的最小值是__________．
(1)处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，常根据代数式的几何意义，借助数形结合的方法求解．
(2)与圆有关的最值问题，常见类型有：
①形如μ＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题；
④圆上的点到直线的距离的最大、最小值问题．
变式探究
4．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是( )
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
5．在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋m(k≠0)与x轴和y轴分别交于A，B两点，|AB|＝2，若CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点(1，1)的距离的最大值为( )
A．4 B．3
C．2 D．
6．已知点P(1，0)及圆C：x2＋y2＝2，点M，N在圆C上，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为( )
A．[－1，＋1]
B．[2－，2＋]
C．[2－－1，2＋]
D．[2－－1，2＋]
考点3 与圆有关的轨迹问题
【例3】 (1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＋＝1(y>0)
B．＋＝1(y>0)
C．＋＝1(y>0)
D．＋＝1(y>0)
(2)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(ⅰ)直角顶点C的轨迹方程；
(ⅱ)直角边BC的中点M的轨迹方程．
(1)求与圆有关的轨迹方程时，要注意充分利用圆的几何性质．
(2)求与圆有关的轨迹方程常用的方法有：
①直接法：直接根据题目条件列出方程．
②定义法：判断几何条件符合圆的定义，再用待定系数法求．
③代入法：找到所求的点与已知点的关系，再代入已知点所满足的关系式等．
变式探究
7．已知抛物线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(3，1)，圆Q过A，B，C三点，当实数m变化时，存在一条定直线l被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线l的方程为( )
A．x－3y＝0 B．3x－y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x－y＝0
8．(多选)在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(－2，0)，点P满足＝，设点P的轨迹为C，则( )
A．C的周长为4π
B．OP平分∠APB
C．△ABP面积的最大值为6
D．当AP⊥AB时，直线BP与圆C相切
