甘肃省兰州市第六十一中学（兰化一中）2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2024高二上·兰州期中）直线的纵截距为（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（2024高二上·兰州期中）已知数列满足，若，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
3．（2024高二上·兰州期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或1
4．（2024高二上·兰州期中）在等差数列中，若，，则（ ）
A．10 B．20 C．25 D．30
5．（2024高二上·兰州期中）已知数列满足，，则的值为（ ）
A．22 B．42 C．79 D．149
6．（2024高二上·兰州期中）设为直线上的动点，，为圆的两条切线，为切点，则四边形的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
7．（2024高二上·兰州期中）已知正项等比数列的前n项和为，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
8．（2024高二上·兰州期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·兰州期中）（多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二上·兰州期中）设是公差为d的等差数列，为其前n项和．能说明“若，则数列为递增数列”是假命题的一组和d的值可以为（ ）
A．， B．， C．， D．，
11．（2024高二上·兰州期中）已知数列对，满足，设为数列的前n项之积，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高二上·兰州期中）直线的一个方向向量为 ．
13．（2024高二上·兰州期中）已知圆的方程为，过点的该圆的三条弦的长构成等差数列，则数列的公差的最大值是 ．
14．（2024高二上·兰州期中）下图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，设这个数列为，则 ，数列的通项公式为 ．
15．（2024高二上·兰州期中）已知数列的前n项和为且满足．
（1）求，值；
（2）证明数列为等比数列并求其通项公式．
16．（2024高二上·兰州期中）（1）已知圆和．求证：圆和圆相交；
（2）设直线和直线的交点为P，若直线m与直线关于点P对称，求直线m的方程．
17．（2024高二上·兰州期中）设数列满足：，且（），.
（1）求的通项公式：
（2）求数列的前项和.
18．（2024高二上·兰州期中）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求的前n项和．
19．（2024高二上·兰州期中）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为．
（1）若，求切线所在直线方程；
（2）求的最小值；
（3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解：直线即，所以纵截距为-2.
故答案为：A.
【分析】根据纵截距的定义，即可求得纵截距。
2．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：数列中，，，则，
因此数列是周期数列，其周期为3，
所以.
故答案为：B
【分析】根据数列的递推公式，依次计算出数列的前几项，观察发现数列具有周期性，周期为，再根据周期规律求出的值。
3．【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：由直线与直线平行，得，解得或，
所以实数a的值为或1.
故答案为：D
【分析】根据两直线平行的条件，先通过系数关系列出方程求解a的可能值，再验证排除重合情况，从而确定a的取值。
4．【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：在等差数列中，，
根据等差数列通项公式，设公差为，
可知，解得，
故，
故答案为：C.
【分析】根据等差数列的性质，分析、、之间的关系，再结合等差数列的公差性质进行求解.
5．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：数列中，，，
.
故答案为：C
【分析】利用累加法，将表示为与从到的的和，再分别计算每一项后求和。
6．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，
，
要使四边形的面积最小， 只需最小，
当PC垂直直线时，
取最小值为，
四边形的面积最小值为，
即四边形的面积的最小值为1．
故答案为：D．
【分析】将四边形面积转化为与相关的表达式，利用点到直线距离公式求出的最小值，进而得到四边形面积的最小值。
7．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为为正项等比数列，则为等比数列，
可得，即，
又因为 S8-2S4=5， 则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 a9+a10+a11+a12的最小值为 20
故答案为：C.
【分析】根据题意结合等比数列的和项性质可得，再结合S8-2S4=5利用基本不等式运算求解.
8．【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：曲线可整理为，，
所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下：
直线表示过点的直线，
如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点，
与半圆相切，则，解得，
经过点，则，解得，
所以.
故答案为：B.
【分析】先将曲线化为圆的标准方程，确定其图形为上半圆，再分析直线过定点，通过直线与圆相切及过圆上特定点的情况，结合几何图形确定k的取值范围。
9．【答案】A,B,D
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：对于A，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故A中通项公式正确；
对于B显然正确；
对于C，当时，，显然不符合；
对于D，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故D中通项公式正确.
故答案为：ABD．
【分析】对每个选项中的通项公式进行分析，将代入公式，验证所得项是否与已知数列的前4项（2，0，2，0）一致，从而确定正确选项.
10．【答案】A,C
【知识点】等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A，，，数列不递增，A正确；
B，数列的通项公式为，，，则数列为递增数列，B错误；
C，，，数列不递增，C正确；
D，数列的通项公式为，，，
则数列为递增数列，D错误.
故答案为：AC
【分析】根据等差数列前项和的单调性，结合数列的通项公式，通过计算前几项和或分析的符号，判断是否递增，从而找出能说明命题为假的选项。
11．【答案】A,B,C
【知识点】数列的前n项和
【解析】【解答】解：A，，A正确；
B，，B正确；
C，，则，C正确；
D，，D错误.
故答案为：ABC
【分析】利用对数函数的单调性、换底公式，对数列的项和前n项积分别分析计算，逐一判断选项的正确性。
12．【答案】
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】解：因为直线：，方向向量为或
所以的，即一个方向向量，
故答案为：
【分析】利用直线一般式方程与方向向量的关系，根据给定的直线方程系数，直接套用方向向量的公式来确定方向向量。
13．【答案】2
【知识点】等差数列的性质；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：，
数列的公差的取最大值时，为最短弦，为最大弦（直径），，因此公差的最大值是
故答案为：2
【分析】先将圆方程化为标准式，确定圆心和半径，求出过定点的最长弦（直径）和最短弦的长度，再利用等差数列的性质求出公差的最大值。
14．【答案】；
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由图知，；
，由此得，
则，而，因此数列是以为首项，8为公比的等比数列，
则，所以数列的通项公式为.
故答案为：；
【分析】先通过观察图形确定数列的前几项，再根据图形规律得出递推关系，然后利用构造法将递推数列转化为等比数列，进而求出通项公式。
15．【答案】（1）解： 数列的前n项和为，由得，解得，
，解得，所以，
（2）证明： 当时，，则当时，，
两式相减得，整理得，
而，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，
通项公式
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）将、代入递推公式，结合前项和与首项的关系求解、.
（2）用推导数列的递推关系，再根据等比数列的定义证明并求通项公式.
（1）数列的前n项和为，由得，解得，
，解得，
所以，.
（2）当时，，则当时，，
两式相减得，整理得，而，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，通项公式.
16．【答案】（1）证明：圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
则，即，
所以圆和圆相交.
（2）解：由，解得，即点，
设直线上任意一点，则点关于点对称的点为，
依题意，点在直线上，得，
化简得：，所以直线的方程为.
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）把两圆方程化为标准式，求出圆心和半径，计算圆心距，通过比较圆心距与两圆半径和、差的大小关系，判断两圆相交。
（2）先求两直线交点，再利用点关于点对称的性质，设出直线上一点，求出其对称点，代入已知直线方程，化简得到直线的方程。
17．【答案】(1)解：由()可知数列是等差数列，设公差为，
因为，所以，解得，
所以的通项公式为：()；
(2)解：由(1)知，
所以数列的前项和：
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式；等差数列与等比数列的综合；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据已知递推关系判断数列类型为等差数列，设出公差，结合求出公差，进而得到通项公式。
（2）先对数列的通项进行裂项，再利用裂项相消法，消去中间项，求出前项和。
18．【答案】（1）解：依题意，设等差数列的公差为，，
由，得，
由成等比数列，得，即，
则，整理得，而，解得，
所以数列的通项公式.
（2）解：由（1）得，则，
因此，
两式相减得
，
则，
所以的前n项和.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）用等差数列前项和公式求出，再结合等比中项性质建立方程，求出首项和公差，进而得到通项公式.
（2）根据（1）的结果得到的表达式，采用错位相减法求出前项和.
（1）依题意，设等差数列的公差为，，
由，得，
由成等比数列，得，即，
则，整理得，而，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得，
则，
因此，
两式相减得，
则，
所以的前n项和.
19．【答案】解：（1）易知切线斜率存在，
设切线方程为，即，
则圆心到切线的距离，解得或，
则切线方程为，；
（2）连接交于点，设，则，
在中，，
因为，所以，所以，则；
（3）设切线方程为，即，的斜率为，
故圆心到切线的距离，得，
由韦达定理可得：，，
在切线方程中，令，可得，
故，则，
此时，故的最小值为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【分析】（1）由题意可知：切线斜率存在，设切线方程为，利用圆心到切线距离等于半径列式求得斜率，即可得切线方程；
（2）连接交于，利用，结合正余弦求最值即可；
（3）利用（1）的方法，设切线方程为，根据圆心到直线的距离等于1列式，利用韦达定理，用含的式子表示去表示，结合二次函数的性质求解即可．
1 / 1甘肃省兰州市第六十一中学（兰化一中）2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2024高二上·兰州期中）直线的纵截距为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解：直线即，所以纵截距为-2.
故答案为：A.
【分析】根据纵截距的定义，即可求得纵截距。
2．（2024高二上·兰州期中）已知数列满足，若，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：数列中，，，则，
因此数列是周期数列，其周期为3，
所以.
故答案为：B
【分析】根据数列的递推公式，依次计算出数列的前几项，观察发现数列具有周期性，周期为，再根据周期规律求出的值。
3．（2024高二上·兰州期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或1
【答案】D
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：由直线与直线平行，得，解得或，
所以实数a的值为或1.
故答案为：D
【分析】根据两直线平行的条件，先通过系数关系列出方程求解a的可能值，再验证排除重合情况，从而确定a的取值。
4．（2024高二上·兰州期中）在等差数列中，若，，则（ ）
A．10 B．20 C．25 D．30
【答案】C
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：在等差数列中，，
根据等差数列通项公式，设公差为，
可知，解得，
故，
故答案为：C.
【分析】根据等差数列的性质，分析、、之间的关系，再结合等差数列的公差性质进行求解.
5．（2024高二上·兰州期中）已知数列满足，，则的值为（ ）
A．22 B．42 C．79 D．149
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：数列中，，，
.
故答案为：C
【分析】利用累加法，将表示为与从到的的和，再分别计算每一项后求和。
6．（2024高二上·兰州期中）设为直线上的动点，，为圆的两条切线，为切点，则四边形的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：如图，
，
要使四边形的面积最小， 只需最小，
当PC垂直直线时，
取最小值为，
四边形的面积最小值为，
即四边形的面积的最小值为1．
故答案为：D．
【分析】将四边形面积转化为与相关的表达式，利用点到直线距离公式求出的最小值，进而得到四边形面积的最小值。
7．（2024高二上·兰州期中）已知正项等比数列的前n项和为，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为为正项等比数列，则为等比数列，
可得，即，
又因为 S8-2S4=5， 则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 a9+a10+a11+a12的最小值为 20
故答案为：C.
【分析】根据题意结合等比数列的和项性质可得，再结合S8-2S4=5利用基本不等式运算求解.
8．（2024高二上·兰州期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：曲线可整理为，，
所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下：
直线表示过点的直线，
如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点，
与半圆相切，则，解得，
经过点，则，解得，
所以.
故答案为：B.
【分析】先将曲线化为圆的标准方程，确定其图形为上半圆，再分析直线过定点，通过直线与圆相切及过圆上特定点的情况，结合几何图形确定k的取值范围。
9．（2024高二上·兰州期中）（多选）已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：对于A，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故A中通项公式正确；
对于B显然正确；
对于C，当时，，显然不符合；
对于D，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故D中通项公式正确.
故答案为：ABD．
【分析】对每个选项中的通项公式进行分析，将代入公式，验证所得项是否与已知数列的前4项（2，0，2，0）一致，从而确定正确选项.
10．（2024高二上·兰州期中）设是公差为d的等差数列，为其前n项和．能说明“若，则数列为递增数列”是假命题的一组和d的值可以为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A,C
【知识点】等差数列的前n项和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A，，，数列不递增，A正确；
B，数列的通项公式为，，，则数列为递增数列，B错误；
C，，，数列不递增，C正确；
D，数列的通项公式为，，，
则数列为递增数列，D错误.
故答案为：AC
【分析】根据等差数列前项和的单调性，结合数列的通项公式，通过计算前几项和或分析的符号，判断是否递增，从而找出能说明命题为假的选项。
11．（2024高二上·兰州期中）已知数列对，满足，设为数列的前n项之积，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】数列的前n项和
【解析】【解答】解：A，，A正确；
B，，B正确；
C，，则，C正确；
D，，D错误.
故答案为：ABC
【分析】利用对数函数的单调性、换底公式，对数列的项和前n项积分别分析计算，逐一判断选项的正确性。
12．（2024高二上·兰州期中）直线的一个方向向量为 ．
【答案】
【知识点】直线的一般式方程
【解析】【解答】解：因为直线：，方向向量为或
所以的，即一个方向向量，
故答案为：
【分析】利用直线一般式方程与方向向量的关系，根据给定的直线方程系数，直接套用方向向量的公式来确定方向向量。
13．（2024高二上·兰州期中）已知圆的方程为，过点的该圆的三条弦的长构成等差数列，则数列的公差的最大值是 ．
【答案】2
【知识点】等差数列的性质；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：，
数列的公差的取最大值时，为最短弦，为最大弦（直径），，因此公差的最大值是
故答案为：2
【分析】先将圆方程化为标准式，确定圆心和半径，求出过定点的最长弦（直径）和最短弦的长度，再利用等差数列的性质求出公差的最大值。
14．（2024高二上·兰州期中）下图中的三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，设这个数列为，则 ，数列的通项公式为 ．
【答案】；
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由图知，；
，由此得，
则，而，因此数列是以为首项，8为公比的等比数列，
则，所以数列的通项公式为.
故答案为：；
【分析】先通过观察图形确定数列的前几项，再根据图形规律得出递推关系，然后利用构造法将递推数列转化为等比数列，进而求出通项公式。
15．（2024高二上·兰州期中）已知数列的前n项和为且满足．
（1）求，值；
（2）证明数列为等比数列并求其通项公式．
【答案】（1）解： 数列的前n项和为，由得，解得，
，解得，所以，
（2）证明： 当时，，则当时，，
两式相减得，整理得，
而，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，
通项公式
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）将、代入递推公式，结合前项和与首项的关系求解、.
（2）用推导数列的递推关系，再根据等比数列的定义证明并求通项公式.
（1）数列的前n项和为，由得，解得，
，解得，
所以，.
（2）当时，，则当时，，
两式相减得，整理得，而，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，通项公式.
16．（2024高二上·兰州期中）（1）已知圆和．求证：圆和圆相交；
（2）设直线和直线的交点为P，若直线m与直线关于点P对称，求直线m的方程．
【答案】（1）证明：圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
则，即，
所以圆和圆相交.
（2）解：由，解得，即点，
设直线上任意一点，则点关于点对称的点为，
依题意，点在直线上，得，
化简得：，所以直线的方程为.
【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【分析】（1）把两圆方程化为标准式，求出圆心和半径，计算圆心距，通过比较圆心距与两圆半径和、差的大小关系，判断两圆相交。
（2）先求两直线交点，再利用点关于点对称的性质，设出直线上一点，求出其对称点，代入已知直线方程，化简得到直线的方程。
17．（2024高二上·兰州期中）设数列满足：，且（），.
（1）求的通项公式：
（2）求数列的前项和.
【答案】(1)解：由()可知数列是等差数列，设公差为，
因为，所以，解得，
所以的通项公式为：()；
(2)解：由(1)知，
所以数列的前项和：
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式；等差数列与等比数列的综合；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）根据已知递推关系判断数列类型为等差数列，设出公差，结合求出公差，进而得到通项公式。
（2）先对数列的通项进行裂项，再利用裂项相消法，消去中间项，求出前项和。
18．（2024高二上·兰州期中）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求的前n项和．
【答案】（1）解：依题意，设等差数列的公差为，，
由，得，
由成等比数列，得，即，
则，整理得，而，解得，
所以数列的通项公式.
（2）解：由（1）得，则，
因此，
两式相减得
，
则，
所以的前n项和.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）用等差数列前项和公式求出，再结合等比中项性质建立方程，求出首项和公差，进而得到通项公式.
（2）根据（1）的结果得到的表达式，采用错位相减法求出前项和.
（1）依题意，设等差数列的公差为，，
由，得，
由成等比数列，得，即，
则，整理得，而，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）得，
则，
因此，
两式相减得，
则，
所以的前n项和.
19．（2024高二上·兰州期中）如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为．
（1）若，求切线所在直线方程；
（2）求的最小值；
（3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值．
【答案】解：（1）易知切线斜率存在，
设切线方程为，即，
则圆心到切线的距离，解得或，
则切线方程为，；
（2）连接交于点，设，则，
在中，，
因为，所以，所以，则；
（3）设切线方程为，即，的斜率为，
故圆心到切线的距离，得，
由韦达定理可得：，，
在切线方程中，令，可得，
故，则，
此时，故的最小值为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【分析】（1）由题意可知：切线斜率存在，设切线方程为，利用圆心到切线距离等于半径列式求得斜率，即可得切线方程；
（2）连接交于，利用，结合正余弦求最值即可；
（3）利用（1）的方法，设切线方程为，根据圆心到直线的距离等于1列式，利用韦达定理，用含的式子表示去表示，结合二次函数的性质求解即可．
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