广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2024高一上·潮阳期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·潮阳期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·潮阳期中）设，，则有（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·潮阳期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高一上·潮阳期中）已知，则下列结论错误的是（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．取值范围为
6．（2024高一上·潮阳期中）有四个幂函数：；；；.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①它是偶函数；②它的值域是且；③它在上单调递增．若他给出的三个性质中有两个正确、一个错误，则他研究的函数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·潮阳期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
8．（2024高一上·潮阳期中）设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
9．（2024高一上·潮阳期中）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．函数在上单调递增
10．（2024高一上·潮阳期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．
D．函数为减函数
11．（2024高一上·潮阳期中）若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最小值为 B．有最小值为
C． 有最小值为 D．有最大值为
12．（2024高一上·潮阳期中） .
13．（2024高一上·潮阳期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
14．（2024高一上·潮阳期中）已知定义在R 上的函数满足：，则= ；若，对任意的都有 则不等式的解集为 .
15．（2024高一上·潮阳期中）设集合，．
（1）当时，求与；
（2）当时，求实数的取值范围．
16．（2024高一上·潮阳期中）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．
17．（2024高一上·潮阳期中）已知定义域是R的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并予以证明；
（3）设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
18．（2024高一上·潮阳期中）已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，解关于的不等式.
19．（2024高一上·潮阳期中）已知集合，如果中的元素满足，就称为“完美集”.
（1）判断集合是否为“完美集”，并说明理由；
（2）已知集合为“完美集”，求证： ；
（3）是否存在，且为“完美集”？若存在，求出所有这样的；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由，
得函数的定义域为.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式被开方数为非负和分式分母不为零，从而列不等式组求解得出函数的定义域.
3．【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：A.
【分析】利用作差法比较出M，N的大小.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，可得，
显然，
所以“”是“必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】由集合的包含关系和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
5．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，
则，
所以的取值范围为，故A正确，不符合题意；
对于B，因为，所以，
又因为，所以，即，
则的取值范围为，故B正确，不符合题意；
对于C，因为，所以，
则，所以，
则的取值范围为，故C正确，不符合题意；
对于D，因为，所以，
则，因为，所以，
则，
所以取值范围为，故D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据的取值范围可得以及的取值范围，再利用相加、相乘的方法，从而逐项判断，进而找出结论错误的选项.
6．【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于，它是定义在上的奇函数，
值域是且，且在上单调递减，不满足题意；
对于，它是定义域为的奇函数，值域是，且在上单调递增，不满足题意；
对于，它是定义域为的奇函数，值域是，且在上单调递增，不满足题意；
对于，它是定义在上的偶函数，值域是，且在上单调递增，满足题意．
故答案为：D.
【分析】结合已知条件和幂函数的性质，从而逐项判断找出他研究的函数.
7．【答案】D
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数，
当时，函数在上单调递减，值域为，
要使函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含，
显然，则函数在上单调递减，其值域为，因此，则，
故实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】根据函数解析式，利用一次函数的单调性求出函数在上的值域，再由已知可得、函数在上的值域包含，列出不等式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由运算“△”和“▽”知，表示数、比较小的数，
表示数、比较大的数．
当，时，，故选项A、C错误；
当时，，故选项B错误；
∵，且，∴，
∵，，∴，故选项D正确．
故答案为：D.
【分析】由运算“Δ”和“”定义，举例可判断选项A、选项B和选项C；由不等式的基本性质可判断选项D，从而找出正确的选项.
9．【答案】A,C,D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由不等式的解集为，可得，故A正确；
B、易知和2是方程有两根，由韦达定理，即，
不等式，
即，解得或，则的解集为，故B错误；
C、由B选项可得：，且，则，故C正确；
D、函数，
因为，所以函数在上单调递增，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由不等式的解集，结合“三个”二次的关系，将问题转化成方程的根，判断的符号，利用韦达定理得到的数量关系，再根据逐项求解判断即可.
10．【答案】B,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：对于函数，
则，解得，
所以函数的定义域为，故A错误；
因为，
又因为，当时，则，
当时，，则，
所以，函数的值域为，故B正确；
又因为，故C正确；
当时，；当时，，
所以不是减函数，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据分母不为求出函数的定义域，则判断出选项A；将函数解析式变形为，再利用函数求值域的方法求出函数的值域，则判断出选项B；根据指数幂的运算法则判断出选项C；根据函数值的特征判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A：因为，所以，
当且仅当时，即当时取等号，故A错误，
对于B，因为，
当且仅当时，即当时取等号，故B正确，
对于C：因为，
所以，
当且仅当时，即当时取等号，故C正确，
对于D：因为，
当且仅当时，即当，时取等号，
这与均为正实数矛盾，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用基本不等式求最值的方法，则判断出选项A、选项C和选项D；巧用“1”的技巧进行化简，再利用基本不等式求最值的方法判断出选项B，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】根据有理指数幂的运算性质化简求值即可.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为函数在上单调递减，
所以，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用绝对值将函数写成分段函数，从而得到函数的单调区间，依题意可得，解不等式得出实数a的取值范围.
14．【答案】1；
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由，
令，得，解得，
设，则，
由，得，
则，
设（），则在上单调递减，
由，得，
则.所以，解得，
则不等式的解集为.
故答案为：1；.
【分析】利用赋值法得出的值；再由构造函数且在上单调递减，再利用函数的单调性解不等式，从而得出不等式的解集.
15．【答案】（1）解：当时，集合，
集合，
则，；
（2）解：当时，
当时，则，解得；
当时，由，可得，解得，
综上所述，实数的取值范围是或.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入，求得集合B，解不等式求得集合A，再根据集合的交集和并集的定义求解即可；
（2）由题意，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），求解即可得实数的取值范围.
（1）解：当时，
又因为，
所以，，.
（2）解：因为，分以下两种情况讨论：
当时，，解得；
当时，由可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
16．【答案】（1）解：因为，
所以.
（2）解：当时，，
由函数性质，可知当时单调递增，
则当时，，
当时，，
由不等式性质，得：
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，
综上所述，当时，.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本，从而可得函数解析式.
（2）利用已知条件和函数单调性求最值的方法、基本不等式求最值的方法，从而分别求出分段函数每一段的最大值，再比较得出当时，.
（1）因为，
所以；
（2）当时，，
由函数性质可知当时单调递增，所以当时，，
当时，，
由不等式性质可知，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
综上当时，.
17．【答案】（1）解：因为函数为定义在上奇函数，所以，即，解得，
经检验，符合题意，故；
（2）证明：由单调递增可知在上为增函数，
证明如下：
，且，
则，
因为函数单调递增，且，所以，所以，即，
故在上为增函数；
（3）解：因为函数为奇函数，所以等价于，
又因为函数在上为增函数，所以，即，
因为，所以，问题转化为在上有解，
由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，可得，解得，
则实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由函数为上的奇函数，可得，求解a的值，注意验证即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）利用函数奇偶性和单调性，问题转化为在上有解，结合对勾函数的单调性求解即可．
（1）由为定义在上奇函数，可知，
即，解得．
经检验，符合题意，
故；
（2）由单调递增可知在上为增函数，证明如下：
对于任意实数，不妨设，
，
递增，且，，，，
故在上为增函数．
（3）由为奇函数得：，等价于．
又由在上为增函数得：，即；
因为，所以．原问题转化为在上有解，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，.
的取值范围是．
18．【答案】（1）解：当时，函数，
由，得，
解得，
所以的解集为.
（2）解：对于任意，不等式恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是.
（3）解：当时，
不等式，
当时，解得；
当时，解得或；
当时，解得或，
则当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）把代入函数解析式，再解一元二次不等式得出不等式的解集.
（2）利用一元二次型不等式恒成立问题求解方法，从而求出的取值范围.
（3）利用已知条件和分类讨论的方法，再由一元二次不等式求解方法求出含参的不等式的解集.
（1）当时，函数，由，得，解得，
所以的解集为.
（2）对于任意，不等式恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是.
（3）当时，不等式，
当时，解得；当时，解得或；当时，解得或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19．【答案】（1）解：集合，
易知，，
因为，所以不是“完美集”；
（2）解：集合为“完美集”，则满足，
因为，所以，所以，
令，则，解得（舍）或，即，
因为，所以；
（3）解：假设存在，且为“完美集”，则，，不妨设，
因为，
即，
所以，
当时，有，故或，
若，则，无解，即不存在满足条件的“完美集”；
若，则，解得，即是“完美集”；
当时，有，
故只能，，则，解得，
即是“完美集”；
当时，因为，
所以，
又，
与矛盾，
所以当时，不存在“完美集”，
综上，存在，，是“完美集”.
【知识点】集合的表示方法；不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【分析】（1）若集合为“完美集”，则满足，据此求解判断即可；
（2）由集合为“完美集”，满足，结合基本不等式和二次不等式的性质证明即可；
（3）设，得到，分，，进行讨论即可求解.
（1）因为，
，，
所以不是“完美集”；
（2）因为，所以，
又，所以，所以，
令，则，解得（舍）或，
即，因为，所以；
（3）假设存在，且为“完美集”，则，，
不妨设，
因为，
即，
所以，
当时，有，故或，
若，则，无解，即不存在满足条件的“完美集”；
若，则，解得，即是“完美集”；
当时，有，
故只能，，则，解得，
即是“完美集”；
当时，因为，
所以，
又，
与矛盾，
所以当时，不存在“完美集”，
综上，存在，，是“完美集”.
1 / 1广东省汕头市潮阳实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2024高一上·潮阳期中）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2024高一上·潮阳期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由，
得函数的定义域为.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式被开方数为非负和分式分母不为零，从而列不等式组求解得出函数的定义域.
3．（2024高一上·潮阳期中）设，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：A.
【分析】利用作差法比较出M，N的大小.
4．（2024高一上·潮阳期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由，可得，
显然，
所以“”是“必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】由集合的包含关系和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
5．（2024高一上·潮阳期中）已知，则下列结论错误的是（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．取值范围为
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，
则，
所以的取值范围为，故A正确，不符合题意；
对于B，因为，所以，
又因为，所以，即，
则的取值范围为，故B正确，不符合题意；
对于C，因为，所以，
则，所以，
则的取值范围为，故C正确，不符合题意；
对于D，因为，所以，
则，因为，所以，
则，
所以取值范围为，故D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据的取值范围可得以及的取值范围，再利用相加、相乘的方法，从而逐项判断，进而找出结论错误的选项.
6．（2024高一上·潮阳期中）有四个幂函数：；；；.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①它是偶函数；②它的值域是且；③它在上单调递增．若他给出的三个性质中有两个正确、一个错误，则他研究的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于，它是定义在上的奇函数，
值域是且，且在上单调递减，不满足题意；
对于，它是定义域为的奇函数，值域是，且在上单调递增，不满足题意；
对于，它是定义域为的奇函数，值域是，且在上单调递增，不满足题意；
对于，它是定义在上的偶函数，值域是，且在上单调递增，满足题意．
故答案为：D.
【分析】结合已知条件和幂函数的性质，从而逐项判断找出他研究的函数.
7．（2024高一上·潮阳期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数，
当时，函数在上单调递减，值域为，
要使函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含，
显然，则函数在上单调递减，其值域为，因此，则，
故实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】根据函数解析式，利用一次函数的单调性求出函数在上的值域，再由已知可得、函数在上的值域包含，列出不等式求解即可.
8．（2024高一上·潮阳期中）设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由运算“△”和“▽”知，表示数、比较小的数，
表示数、比较大的数．
当，时，，故选项A、C错误；
当时，，故选项B错误；
∵，且，∴，
∵，，∴，故选项D正确．
故答案为：D.
【分析】由运算“Δ”和“”定义，举例可判断选项A、选项B和选项C；由不等式的基本性质可判断选项D，从而找出正确的选项.
9．（2024高一上·潮阳期中）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．函数在上单调递增
【答案】A,C,D
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由不等式的解集为，可得，故A正确；
B、易知和2是方程有两根，由韦达定理，即，
不等式，
即，解得或，则的解集为，故B错误；
C、由B选项可得：，且，则，故C正确；
D、函数，
因为，所以函数在上单调递增，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由不等式的解集，结合“三个”二次的关系，将问题转化成方程的根，判断的符号，利用韦达定理得到的数量关系，再根据逐项求解判断即可.
10．（2024高一上·潮阳期中）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．
D．函数为减函数
【答案】B,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：对于函数，
则，解得，
所以函数的定义域为，故A错误；
因为，
又因为，当时，则，
当时，，则，
所以，函数的值域为，故B正确；
又因为，故C正确；
当时，；当时，，
所以不是减函数，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据分母不为求出函数的定义域，则判断出选项A；将函数解析式变形为，再利用函数求值域的方法求出函数的值域，则判断出选项B；根据指数幂的运算法则判断出选项C；根据函数值的特征判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．（2024高一上·潮阳期中）若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． 有最小值为 B．有最小值为
C． 有最小值为 D．有最大值为
【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】对于A：因为，所以，
当且仅当时，即当时取等号，故A错误，
对于B，因为，
当且仅当时，即当时取等号，故B正确，
对于C：因为，
所以，
当且仅当时，即当时取等号，故C正确，
对于D：因为，
当且仅当时，即当，时取等号，
这与均为正实数矛盾，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用基本不等式求最值的方法，则判断出选项A、选项C和选项D；巧用“1”的技巧进行化简，再利用基本不等式求最值的方法判断出选项B，从而找出说法正确的选项.
12．（2024高一上·潮阳期中） .
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】根据有理指数幂的运算性质化简求值即可.
13．（2024高一上·潮阳期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为函数在上单调递减，
所以，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用绝对值将函数写成分段函数，从而得到函数的单调区间，依题意可得，解不等式得出实数a的取值范围.
14．（2024高一上·潮阳期中）已知定义在R 上的函数满足：，则= ；若，对任意的都有 则不等式的解集为 .
【答案】1；
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由，
令，得，解得，
设，则，
由，得，
则，
设（），则在上单调递减，
由，得，
则.所以，解得，
则不等式的解集为.
故答案为：1；.
【分析】利用赋值法得出的值；再由构造函数且在上单调递减，再利用函数的单调性解不等式，从而得出不等式的解集.
15．（2024高一上·潮阳期中）设集合，．
（1）当时，求与；
（2）当时，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，集合，
集合，
则，；
（2）解：当时，
当时，则，解得；
当时，由，可得，解得，
综上所述，实数的取值范围是或.
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入，求得集合B，解不等式求得集合A，再根据集合的交集和并集的定义求解即可；
（2）由题意，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），求解即可得实数的取值范围.
（1）解：当时，
又因为，
所以，，.
（2）解：因为，分以下两种情况讨论：
当时，，解得；
当时，由可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
16．（2024高一上·潮阳期中）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）解：因为，
所以.
（2）解：当时，，
由函数性质，可知当时单调递增，
则当时，，
当时，，
由不等式性质，得：
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，
综上所述，当时，.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本，从而可得函数解析式.
（2）利用已知条件和函数单调性求最值的方法、基本不等式求最值的方法，从而分别求出分段函数每一段的最大值，再比较得出当时，.
（1）因为，
所以；
（2）当时，，
由函数性质可知当时单调递增，所以当时，，
当时，，
由不等式性质可知，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
综上当时，.
17．（2024高一上·潮阳期中）已知定义域是R的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并予以证明；
（3）设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数为定义在上奇函数，所以，即，解得，
经检验，符合题意，故；
（2）证明：由单调递增可知在上为增函数，
证明如下：
，且，
则，
因为函数单调递增，且，所以，所以，即，
故在上为增函数；
（3）解：因为函数为奇函数，所以等价于，
又因为函数在上为增函数，所以，即，
因为，所以，问题转化为在上有解，
由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，可得，解得，
则实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由函数为上的奇函数，可得，求解a的值，注意验证即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）利用函数奇偶性和单调性，问题转化为在上有解，结合对勾函数的单调性求解即可．
（1）由为定义在上奇函数，可知，
即，解得．
经检验，符合题意，
故；
（2）由单调递增可知在上为增函数，证明如下：
对于任意实数，不妨设，
，
递增，且，，，，
故在上为增函数．
（3）由为奇函数得：，等价于．
又由在上为增函数得：，即；
因为，所以．原问题转化为在上有解，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，.
的取值范围是．
18．（2024高一上·潮阳期中）已知函数.
（1）当时，求的解集；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，解关于的不等式.
【答案】（1）解：当时，函数，
由，得，
解得，
所以的解集为.
（2）解：对于任意，不等式恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是.
（3）解：当时，
不等式，
当时，解得；
当时，解得或；
当时，解得或，
则当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）把代入函数解析式，再解一元二次不等式得出不等式的解集.
（2）利用一元二次型不等式恒成立问题求解方法，从而求出的取值范围.
（3）利用已知条件和分类讨论的方法，再由一元二次不等式求解方法求出含参的不等式的解集.
（1）当时，函数，由，得，解得，
所以的解集为.
（2）对于任意，不等式恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，，解得，
所以实数的取值范围是.
（3）当时，不等式，
当时，解得；当时，解得或；当时，解得或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19．（2024高一上·潮阳期中）已知集合，如果中的元素满足，就称为“完美集”.
（1）判断集合是否为“完美集”，并说明理由；
（2）已知集合为“完美集”，求证： ；
（3）是否存在，且为“完美集”？若存在，求出所有这样的；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：集合，
易知，，
因为，所以不是“完美集”；
（2）解：集合为“完美集”，则满足，
因为，所以，所以，
令，则，解得（舍）或，即，
因为，所以；
（3）解：假设存在，且为“完美集”，则，，不妨设，
因为，
即，
所以，
当时，有，故或，
若，则，无解，即不存在满足条件的“完美集”；
若，则，解得，即是“完美集”；
当时，有，
故只能，，则，解得，
即是“完美集”；
当时，因为，
所以，
又，
与矛盾，
所以当时，不存在“完美集”，
综上，存在，，是“完美集”.
【知识点】集合的表示方法；不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【分析】（1）若集合为“完美集”，则满足，据此求解判断即可；
（2）由集合为“完美集”，满足，结合基本不等式和二次不等式的性质证明即可；
（3）设，得到，分，，进行讨论即可求解.
（1）因为，
，，
所以不是“完美集”；
（2）因为，所以，
又，所以，所以，
令，则，解得（舍）或，
即，因为，所以；
（3）假设存在，且为“完美集”，则，，
不妨设，
因为，
即，
所以，
当时，有，故或，
若，则，无解，即不存在满足条件的“完美集”；
若，则，解得，即是“完美集”；
当时，有，
故只能，，则，解得，
即是“完美集”；
当时，因为，
所以，
又，
与矛盾，
所以当时，不存在“完美集”，
综上，存在，，是“完美集”.
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