广东省广州市十三中2024-2025学年高一上学期期中考数学试题
1．（2024高一上·越秀期中）集合的子集的个数是（ ）
A．3 B．7 C．8 D．4
【答案】C
【知识点】有限集合的子集个数
【解析】【解答】解：因为集合中有3个元素，
所以子集个数为.
故答案为：C.
【分析】利用集合含有个元素，从而得出的子集的个数.
2．（2024高一上·越秀期中）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，则.
故答案为：B.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
3．（2024高一上·越秀期中）已知函数，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数，则.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数解析式直接代值求解即可.
4．（2024高一上·越秀期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，即充分性成立；
由时，解得得或，即必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的定义判断即可.
5．（2024高一上·越秀期中）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对于A，函数定义域为，函数定义域为，A不是；
对于B，函数的值域为，函数的值域为，B不是；
对于C，与的定义域均为，且，即对应法则相同，C是；
对于D，函数定义域为，函数定义域为，D不是.
故答案为：C
【分析】两个函数的定义域和对应法则都完全相同，才是同一个函数.分别分析每个选项中两个函数的定义域和对应法则.
6．（2024高一上·越秀期中）下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对A，函数的定义域为，故函数为非奇非偶函数，故A不符题意；
对B，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，故B不符题意；
对C，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，故C不符题意；
对D，函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，
又因为函数在区间上都单调递增，所以函数在区间上单调递增，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据函数的奇偶性定义和单调性的判断方法，对每个选项逐一分析.
7．（2024高一上·越秀期中）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：根据指数函数的单调性可得：，
，则.
故答案为：D.
【分析】将化为，利用指数函数的单调性得，，即可判断，，的大小关系 .
8．（2024高一上·越秀期中）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数的定义域是，
满足，即函数为偶函数，排除BC；
当时，函数为增函数，排除A．
故答案为：D．
【分析】求函数的定义域、判断函数的奇偶性，结合时函数的单调性判断即可．
9．（2024高一上·越秀期中）下列各式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、，，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：ABC．
【分析】根据根式的性质、指数幂的运算法则逐项求解判断即可．
10．（2024高一上·越秀期中）下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．的最小值为1
C．的最大值为2 D．最小值为
【答案】B,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、当时，，当且仅当，即时等号成立，
但当时，无最小值，故A错误；
B、因为，所以，故B正确；
C、，则的最大值为1，故C错误；
D、，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】当时，利用基本不等式求得的最小值为2，但当时，无最小值即可判断A；利用得到即可判断B；利用配方法得，求最大值为1即可判断C；变形为，利用基本不等式求出最小值即可判断D.
11．（2024高一上·越秀期中）已知函数则（ ）
A．在上单调递增
B．的值域为R
C．的解集为
D．若关于的方程恰有3个不同的解，则
【答案】B,D
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，
A、当时，函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
B、当时，；当时，，
则函数值域是=R，故B正确；
C、当时，，解得，
当时，，解得，
综上，的解集为，故C错误；
D、画出图像，如图所示：
问题转化为直线与图像只有三个交点，
由图可得：，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由函数的解析式可得函数在上单调性即可判断A；分别求出在及值域，再求出两值域的并集即可判断B；分别在与时解不等式即可判断C；画出函数图像，问题转化为直线与图像只有三个交点，数形结合太求解即可.
12．（2024高一上·越秀期中）函数 的定义域是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ，解得 .
【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.
13．（2024高一上·越秀期中）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：因为函数是定义在R上的奇函数， 当时，，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意，根据奇函数的性质求解即可.
14．（2024高一上·越秀期中）设且，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，且，
则，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
15．（2024高一上·越秀期中）（1）求不等式的解集：；
（2）计算：
【答案】解：（1）由，可得，解得或，
则不等式的解集为或；
（2）
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）不等式转化为，利用一元二次不等式的解法求解即可；
（2）根据分数、有理数指数幂的运算法则求解即可.
16．（2024高一上·越秀期中）已知集合或
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围
【答案】（1）解：当时，集合 或 ，
则；
（2）解：因为，所以或，则或．
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入求得集合A，再根据集合的交集计算即可；
（2）由可得或，求解即可.
（1）因为，所以，
因为或，所以或；
（2）因为，所以或，
或．
17．（2024高一上·越秀期中）已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数为幂函数，所以，解得 或 3 ，
又因为函数 是偶函数，所以，则；
（2）解：易知函数， 对称轴是，
若 在上不是单调函数，则， 解得，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数求得m的值，再根据函数为偶函数确定的值，即可得函数的解析式；
(2) 易知函数， 求其对称轴，根据函数的单调性求出的范围即可.
（1）由题意，
解得： 或 3 ，
若 是偶函数，则，
故；
（2），
的对称轴是，
若 在上不是单调函数，
则， 解得：.
所以实数的取值范围为.
18．（2024高一上·越秀期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足．
（1）求和的值
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）解：由题知，是定义在区间上的增函数，且，
令，可得，，
令，可得，
则，；
（2）解：因为是定义在区间上的增函数，且，，
所以，等价于，
则，解得，
即该不等式解集为.
【知识点】函数单调性的性质；抽象函数及其应用；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由题意，利用赋值法直接求解即可；
（2）根据函数的单调性结合题意，不等式转化为，求解即可.
（1）由题知，是定义在区间上的增函数，
且，
令，则，，
令，则，
即，.
（2）因为是定义在区间上的增函数，
且，，
所以，等价于，
所以，解得，
即该不等式解集为.
19．（2024高一上·越秀期中）已知函数为定义在上的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）当时，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
（3）当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数为R上的奇函数，所以，解得，
经检验符合题意，则；
（2）证明：由（1）得：，当时，在为减函数，
证明如下：，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
则在为减函数；
（3）解：若对任意的，总存在，使得成立，
则函数在上的值域为函数在上的值域的子集，
因为函数在上单调递减，则当时，
不妨记函数在区间内的值域为，
① 当时，在上单调递减，
则，得在区间内的值域为，
因，故对任意的，总存在，使得成立；
② 当时，为开口向下的二次函数，对称轴，
所以在上单调递减，则，
所以在区间内的值域为．
因，故，所以；
③ 当时，
（i）当时，，在上单调递减，且，
则，
得在区间内的值域为，
因，故对任意的，总存在，使得成立；
（ii）当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，
得在区间内的值域为，
所以，该不等式组无解；
（iii）当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，
得在区间内的值域为，不符合题意，
综上，实数的取值范围为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1） 根据函数为定义在上的奇函数，可得求得b的值，注意检验即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）对任意的，总存在，使得成立，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集即可.
（1）因为为R上的奇函数，所以，
所以；
（2）由（1）得：，当时，在为减函数.
证明如下：
取且，
因为，所以
所以，即，
所以在为减函数.
（3）若对任意的，总存在，使得成立，
则函数在上的值域为函数在上的值域的子集，
因为函数在上单调递减，则当时
不妨记函数在区间内的值域为.
① 当时，在上单调递减，
则，得在区间内的值域为．
因，故对任意的，总存在，使得成立；
② 当时，为开口向下的二次函数，对称轴，
所以在上单调递减，则，
所以在区间内的值域为．
因，故，所以；
③ 当时，
（i）当时，，在上单调递减，且，
则，
得在区间内的值域为．
因，故对任意的，总存在，使得成立；
（ii）当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，
得在区间内的值域为．
所以，该不等式组无解；
（iii）当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，
得在区间内的值域为，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
1 / 1广东省广州市十三中2024-2025学年高一上学期期中考数学试题
1．（2024高一上·越秀期中）集合的子集的个数是（ ）
A．3 B．7 C．8 D．4
2．（2024高一上·越秀期中）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一上·越秀期中）已知函数，则（ ）
A． B． C．3 D．
4．（2024高一上·越秀期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
5．（2024高一上·越秀期中）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
6．（2024高一上·越秀期中）下列函数中，在区间上单调递增且是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·越秀期中）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·越秀期中）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高一上·越秀期中）下列各式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一上·越秀期中）下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．的最小值为1
C．的最大值为2 D．最小值为
11．（2024高一上·越秀期中）已知函数则（ ）
A．在上单调递增
B．的值域为R
C．的解集为
D．若关于的方程恰有3个不同的解，则
12．（2024高一上·越秀期中）函数 的定义域是 ．
13．（2024高一上·越秀期中）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ．
14．（2024高一上·越秀期中）设且，则的最小值为 ．
15．（2024高一上·越秀期中）（1）求不等式的解集：；
（2）计算：
16．（2024高一上·越秀期中）已知集合或
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围
17．（2024高一上·越秀期中）已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若在上不是单调函数，求实数的取值范围.
18．（2024高一上·越秀期中）已知函数是定义在区间上的增函数，满足．
（1）求和的值
（2）解关于的不等式．
19．（2024高一上·越秀期中）已知函数为定义在上的奇函数．
（1）求实数的值；
（2）当时，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
（3）当时，设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有限集合的子集个数
【解析】【解答】解：因为集合中有3个元素，
所以子集个数为.
故答案为：C.
【分析】利用集合含有个元素，从而得出的子集的个数.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，，则.
故答案为：B.
【分析】根据集合的交集运算求解即可.
3．【答案】C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数，则.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数解析式直接代值求解即可.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，即充分性成立；
由时，解得得或，即必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的定义判断即可.
5．【答案】C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对于A，函数定义域为，函数定义域为，A不是；
对于B，函数的值域为，函数的值域为，B不是；
对于C，与的定义域均为，且，即对应法则相同，C是；
对于D，函数定义域为，函数定义域为，D不是.
故答案为：C
【分析】两个函数的定义域和对应法则都完全相同，才是同一个函数.分别分析每个选项中两个函数的定义域和对应法则.
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对A，函数的定义域为，故函数为非奇非偶函数，故A不符题意；
对B，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，故B不符题意；
对C，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，故C不符题意；
对D，函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，
又因为函数在区间上都单调递增，所以函数在区间上单调递增，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据函数的奇偶性定义和单调性的判断方法，对每个选项逐一分析.
7．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：根据指数函数的单调性可得：，
，则.
故答案为：D.
【分析】将化为，利用指数函数的单调性得，，即可判断，，的大小关系 .
8．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数的定义域是，
满足，即函数为偶函数，排除BC；
当时，函数为增函数，排除A．
故答案为：D．
【分析】求函数的定义域、判断函数的奇偶性，结合时函数的单调性判断即可．
9．【答案】A,B,C
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、，，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：ABC．
【分析】根据根式的性质、指数幂的运算法则逐项求解判断即可．
10．【答案】B,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、当时，，当且仅当，即时等号成立，
但当时，无最小值，故A错误；
B、因为，所以，故B正确；
C、，则的最大值为1，故C错误；
D、，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】当时，利用基本不等式求得的最小值为2，但当时，无最小值即可判断A；利用得到即可判断B；利用配方法得，求最大值为1即可判断C；变形为，利用基本不等式求出最小值即可判断D.
11．【答案】B,D
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数，
A、当时，函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
B、当时，；当时，，
则函数值域是=R，故B正确；
C、当时，，解得，
当时，，解得，
综上，的解集为，故C错误；
D、画出图像，如图所示：
问题转化为直线与图像只有三个交点，
由图可得：，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由函数的解析式可得函数在上单调性即可判断A；分别求出在及值域，再求出两值域的并集即可判断B；分别在与时解不等式即可判断C；画出函数图像，问题转化为直线与图像只有三个交点，数形结合太求解即可.
12．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】依题意 ，解得 .
【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：因为函数是定义在R上的奇函数， 当时，，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意，根据奇函数的性质求解即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，且，
则，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.
15．【答案】解：（1）由，可得，解得或，
则不等式的解集为或；
（2）
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）不等式转化为，利用一元二次不等式的解法求解即可；
（2）根据分数、有理数指数幂的运算法则求解即可.
16．【答案】（1）解：当时，集合 或 ，
则；
（2）解：因为，所以或，则或．
【知识点】集合间关系的判断；集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入求得集合A，再根据集合的交集计算即可；
（2）由可得或，求解即可.
（1）因为，所以，
因为或，所以或；
（2）因为，所以或，
或．
17．【答案】（1）解：因为函数为幂函数，所以，解得 或 3 ，
又因为函数 是偶函数，所以，则；
（2）解：易知函数， 对称轴是，
若 在上不是单调函数，则， 解得，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数求得m的值，再根据函数为偶函数确定的值，即可得函数的解析式；
(2) 易知函数， 求其对称轴，根据函数的单调性求出的范围即可.
（1）由题意，
解得： 或 3 ，
若 是偶函数，则，
故；
（2），
的对称轴是，
若 在上不是单调函数，
则， 解得：.
所以实数的取值范围为.
18．【答案】（1）解：由题知，是定义在区间上的增函数，且，
令，可得，，
令，可得，
则，；
（2）解：因为是定义在区间上的增函数，且，，
所以，等价于，
则，解得，
即该不等式解集为.
【知识点】函数单调性的性质；抽象函数及其应用；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由题意，利用赋值法直接求解即可；
（2）根据函数的单调性结合题意，不等式转化为，求解即可.
（1）由题知，是定义在区间上的增函数，
且，
令，则，，
令，则，
即，.
（2）因为是定义在区间上的增函数，
且，，
所以，等价于，
所以，解得，
即该不等式解集为.
19．【答案】（1）解：因为函数为R上的奇函数，所以，解得，
经检验符合题意，则；
（2）证明：由（1）得：，当时，在为减函数，
证明如下：，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
则在为减函数；
（3）解：若对任意的，总存在，使得成立，
则函数在上的值域为函数在上的值域的子集，
因为函数在上单调递减，则当时，
不妨记函数在区间内的值域为，
① 当时，在上单调递减，
则，得在区间内的值域为，
因，故对任意的，总存在，使得成立；
② 当时，为开口向下的二次函数，对称轴，
所以在上单调递减，则，
所以在区间内的值域为．
因，故，所以；
③ 当时，
（i）当时，，在上单调递减，且，
则，
得在区间内的值域为，
因，故对任意的，总存在，使得成立；
（ii）当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，
得在区间内的值域为，
所以，该不等式组无解；
（iii）当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，
得在区间内的值域为，不符合题意，
综上，实数的取值范围为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1） 根据函数为定义在上的奇函数，可得求得b的值，注意检验即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）对任意的，总存在，使得成立，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集即可.
（1）因为为R上的奇函数，所以，
所以；
（2）由（1）得：，当时，在为减函数.
证明如下：
取且，
因为，所以
所以，即，
所以在为减函数.
（3）若对任意的，总存在，使得成立，
则函数在上的值域为函数在上的值域的子集，
因为函数在上单调递减，则当时
不妨记函数在区间内的值域为.
① 当时，在上单调递减，
则，得在区间内的值域为．
因，故对任意的，总存在，使得成立；
② 当时，为开口向下的二次函数，对称轴，
所以在上单调递减，则，
所以在区间内的值域为．
因，故，所以；
③ 当时，
（i）当时，，在上单调递减，且，
则，
得在区间内的值域为．
因，故对任意的，总存在，使得成立；
（ii）当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，
得在区间内的值域为．
所以，该不等式组无解；
（iii）当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，
得在区间内的值域为，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
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