课件26张PPT。第二章函数 函数的奇偶性与周期性(3)2019年3月10日星期日人教课标版高中数学必修1复习人教课标版高中数学必修1复习第二章函数 函数的奇偶性与周期性(3)2019年3月10日星期日偶函数定义:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有 ,那么函数f(x)就叫做偶函数。奇函数的定义:
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有____________,那么函数f(x)就叫做奇函数.f(-x)= - f(x)f(-x)=f(x)偶函数 f(x)=f(-x) f(x) -f(-x) =0
奇函数 f(-x)=-f(x) f(x) +f(-x) =0
一、基础知识函数奇偶性的性质: 1、分析定义域是否关于原点对称,若定义域
不关于原点对称,则不一定具有奇偶性。 2、偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象
关于原点对称3、函数y=ax +bx+c是偶函数的充要条件是b=02 4、若奇函数的定义域包含0,则f(0)=0;偶函
数f(x)=f(|x|).5、奇函数在(a,b)上单调性与(-b,-a)单调性相同
偶函数在(a,b)上单调性与(-b,-a)单调性相反周期函数: 若存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立,则称T为函数f(x)的一个周期,一般所说的周期是指函数的最小正周期. 周期函数的定义域一定是无界集.f ( x )=f (x+T), T是周期
f ( x )=-f (x+a), 2a是周期
f (a-x) = f (b-x) ,a-b是周期
f (a-x) =-f (b-x), 2(a-b)是周期1、周期:2、函数自身关于直线 x = a 对称 , 有:
f (x) = f (2a – x ) 或 f (a + x) = f (a – x ) 推广:函数自身关于直线对称 , 有:
f (x) = f (2a – x ) 或 f (a + x) = f (a – x )
则对称轴为 x = a 1、(2005年高考·江西卷·理13文13)若函数 是奇函数,则a= . 二、基础过关:f(0)=02、(2007辽宁文13).已知函数f(x)为奇函数,
若 ,则 . -f(2)+f(3)=113、(2006福建文)已知f(x)是周期为2的奇函数,当 时, 设 则 (A) (B) (C) (D).D=f( -2 )=f( -2 )=f( -2 )=f( - )= -f( )=f (- )=f ( )=-f ( )4、(2006重庆文)已知定义域为R的函数 是奇函数。(Ⅰ)求的a、b值;(Ⅱ)若对任意的 ,不等 式 恒成立,求的k取值范围; (1)因为是f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即 又由f(1)= -f(-1)知 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 因为减函数,由上式推得: 从而判别式对一切 5.关于奇偶函数的问题x∈R ∴ a=1. 说明:使用此法时,函数是奇函数,定义域中有元素0. 6、已知f(x)定义在(-1,1)上的偶函数,且在
[0,1)上为增函数,若f(a-2)-f(4-a ) <0,
求a的取值范围。2解:由f(a-2)-f(4-a ) <0,得f(a-2) <f(4-a ) 22因为f(x)是(-1,1)上的偶函数,且在[0,1)上为增函数,则-1<a-2 <1-1<4-a <12|a-2|<|4-a |2解得:< a<2或 2< a <7、(2005福建理12)f(x)是定义在R上的以3为
周期的奇函数,且f(2)=0 , 则方程f(x)=0在区间
(0,6)内解的个数的最小值是( )
A 2 B 3 C 4 D 5解:因为f(x)是以3为周期的奇函数,f(2)=0,所以f(5)= f(2)=0 ,f(-1)= f(2)=0 -f(1)=0 ,所以f(1)=0
f(-4)= f(2-6)= f(2)=0, -f(4)= 0,所以f(4)=0
f(3)= f(3-3)= f(0)= 0 所以1、2、3、4、5都可以为f(x)=0的解D8、(2005福建文12)f(x)是定义在R上的以3为
周期的偶函数,且f(2)=0 , 则方程f(x)=0在区间
(0,6)内解的个数的最小值是( )
A 2 B 3 C 4 D 5解:因为f(x)是以3为周期的偶函数,f(2)=0,所以f(5)= f(2+3)= f(2)=0 ,f(1)= f(1-3)=f(-2) )=f(2)= 0 ,所以f(1)=0 ;
f(4)= f(3+1)= f(1)=0, 所以f(4)=0 所以1、2、4、5都可以为f(x)=0的解c9、(2005年高考·重庆卷·理3文3)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x) <0的x的取值范围是( ) A. B. C. D.(-2,2)解:因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=0-22所以f(x) <0的x的取值范围
是(-2,2)D10、已知f(x)=ax +bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则a=__,b=_.2因为f(x)是偶函数,所以b=0,a-1=-2aa=1/3011、(2005年高考·天津卷·文10)设f(x)是定义在R上以6为周期的函数,f(x)在(0,3)内单调递减,且y=f(x)的图象关于直线x=3对称,则下面正确的结论是 ( )A. f(1.5)f(3.5)=f(2.5)又因为y=f(x)是以6为周期的函数,所以
f(6.5) =f(0.5) ,在(0,3)内单调递减所以f(0.5) >f(1.5) >f(2.5) 所以f(6.5) >f(1.5) >f(3.5) B12、设f(x)定义在R上的偶函数,其图像关于直线X=1对称,对任意x1,x2在[0,1/2]都有f(x1+x2)=f(x1) ·f(x2) ,
(1)设f(1)=2,求f(1/2),f(1/4)的值;
(2)证明f(x)是周期函数。f(1)=f(1/2+1/2)=f (1/2)2所以f(1/2)=21/2f(1/2)=f(1/4+1/4)=f (1/4)2所以f(1/4)=21/4解(1)(2)依题意,设y=f(x)关于直线x=1对称,故
f(x)=f(2×1-x)=f(2-x)(x R)又因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),
所以f(-x)=f(2-x),将-x以x代换所以f(x)=f(2+x) )(x R) ,这表明f(x)是R上的周期
函数,且2是它的一个周期。1、(2007广东文3).若函数 ( ),则函数 y=f(-x) 在其定义域上是 A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单凋递增的偶函数 D.单涮递增的奇函数√三、高考链接2(全国Ⅰ卷理9)设奇函数 在 上为增函数,且 ,则不等式的解集为( )A. B.C. D.由奇函数可知 取f(x)=且x≠0,则 <0所以:-1<x<1,且x≠0D3.(安徽卷理11)若函数 分别是 上的奇函数、偶函数,且满足 ,则有( )A. B.C. D. 解: 用-X代换x得: 而f(x)单调递增且大于等于0,所以 0<f(2) <f(3) g(0)=-1 , D4.(辽宁卷理12)设f(x)是连续的偶函数,且当x>0时f(x)是单调函数,则满足的所有x之和为( )A. -3 B. 3 C.-8 D.8依题当满足 时, 即 时, 得 ,此时 又是f(x)连续的偶函数,所以 另一种情形是 ,即 所有之和为C5.(辽宁卷文2)若函数为偶函数,则a=( )A. -2 B.-1 C. 1 D.2C6.(重庆卷理6)若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2 R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是( )(A)f(x)为奇函数 (B)f(x)为偶函数(C) f(x)+1为奇函数 (D)f(x)+1为偶函数解:令 ,得 , ,所以 所以 f(x)+1为奇函数,选 c7.(四川卷理11文9)设定义在 上的函数f(x)满足 ,若 ,则 ( )(A)13 (B) 2 (C) (D)因为且所以∴ ∴ C 8.(湖北卷文6)已知f(x)在R上是奇函数,且 A.-2 B.2 C.-98 D.98解:由题设A 本讲到此结束,请同学们课后再做好复习. 谢谢!再见!