函数的奇偶性与周期性
图片预览
文档简介
课件26张PPT。第二章函数 函数的奇偶性与周期性(3)2019年3月10日星期日人教课标版高中数学必修1复习人教课标版高中数学必修1复习第二章函数 函数的奇偶性与周期性(3)2019年3月10日星期日偶函数定义: 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有 ，那么函数f(x)就叫做偶函数。奇函数的定义：
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x, 都有____________,那么函数f（x）就叫做奇函数.f(-x)= - f(x)f(-x)=f(x)偶函数 f(x)=f(-x) f(x) -f(-x) =0
奇函数 f(-x)=-f(x) f(x) +f(-x) =0
一、基础知识函数奇偶性的性质： 1、分析定义域是否关于原点对称，若定义域
不关于原点对称，则不一定具有奇偶性。 2、偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象
关于原点对称3、函数y=ax +bx+c是偶函数的充要条件是b=02 4、若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0；偶函
数f(x)=f(|x|).5、奇函数在（a,b)上单调性与(-b,-a）单调性相同
偶函数在（a,b)上单调性与(-b,-a）单调性相反周期函数: 若存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的一个周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期. 周期函数的定义域一定是无界集.f ( x )=f (x+T)， T是周期
f ( x )=－f (x+a)， 2a是周期
f (a－x) = f (b－x) ，a－b是周期
f (a－x) =－f (b－x)， 2（a－b）是周期1、周期：2、函数自身关于直线 x = a 对称 ， 有：
f (x) = f (2a – x ) 或 f (a + x) = f (a – x ) 推广：函数自身关于直线对称 ， 有：
f (x) = f (2a – x ) 或 f (a + x) = f (a – x )
则对称轴为 x = a 1、(2005年高考·江西卷·理13文13)若函数 是奇函数，则a= . 二、基础过关:f(0)=02、（2007辽宁文13）．已知函数f(x)为奇函数，
若 ，则 ． -f(2)+f(3)=113、（2006福建文）已知f(x)是周期为2的奇函数，当 时， 设 则 （A） （B） （C） （D）.D=f( -2 )=f( -2 )=f( -2 )=f( - )= -f( )=f (- )=f ( )=-f ( )4、（2006重庆文） 已知定义域为R的函数 是奇函数。 （Ⅰ）求的a、b值；（Ⅱ）若对任意的 ，不等 式 恒成立，求的k取值范围； (1)因为是f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即 又由f（1）= -f（-1）知 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 因为减函数，由上式推得： 从而判别式对一切 5．关于奇偶函数的问题x∈R ∴ a=1. 说明：使用此法时，函数是奇函数，定义域中有元素0. 6、已知f(x)定义在（-1，1）上的偶函数，且在
[0，1）上为增函数，若f(a-2)-f(4-a ) ＜0，
求a的取值范围。2解：由f(a-2)-f(4-a ) ＜0，得f(a-2) ＜f(4-a ) 22因为f(x)是（-1，1）上的偶函数，且在[0，1）上为增函数，则-1＜a-2 ＜1-1＜4-a ＜12|a-2|＜|4-a |2解得：＜ a＜2或 2＜ a ＜7、（2005福建理12）f(x)是定义在R上的以3为
周期的奇函数，且f(2)=0 , 则方程f(x)=0在区间
（0，6）内解的个数的最小值是（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5解：因为f(x)是以3为周期的奇函数，f(2)=0,所以f(5)= f(2)=0 ,f(-1)= f(2)=0 -f(1)=0 ,所以f(1)=0
f(-4)= f(2-6)= f(2)=0， -f(4)= 0，所以f(4)=0
f(3)= f(3-3)= f(0)= 0 所以1、2、3、4、5都可以为f（x)=0的解D8、（2005福建文12）f(x)是定义在R上的以3为
周期的偶函数，且f(2)=0 , 则方程f(x)=0在区间
（0，6）内解的个数的最小值是（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5解：因为f(x)是以3为周期的偶函数，f(2)=0,所以f(5)= f(2+3)= f(2)=0 ，f(1)= f(1-3)=f(-2) )=f(2)= 0 ,所以f(1)=0 ;
f(4)= f(3+1)= f(1)=0， 所以f(4)=0 所以1、2、4、5都可以为f（x)=0的解c9、(2005年高考·重庆卷·理3文3)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞,0]上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x) ＜0的x的取值范围是（ ） A． B． C． D．（－2，2）解：因为f(x)是R上的偶函数，所以f(-2)=0-22所以f(x) ＜0的x的取值范围
是（－2，2）D10、已知f（x）＝ax ＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝__，b＝_.2因为f(x)是偶函数，所以b=0,a-1=-2aa=1/3011、(2005年高考·天津卷·文10)设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且y=f(x)的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 ( ) A． f(1.5)f(3.5)=f(2.5)又因为y=f(x)是以6为周期的函数，所以
f(6.5) =f(0.5) ,在(0,3)内单调递减所以f(0.5) ＞f(1.5) ＞f(2.5) 所以f(6.5) ＞f(1.5) ＞f(3.5) B12、设f(x)定义在R上的偶函数，其图像关于直线X=1对称，对任意x1,x2在[0，1/2]都有f(x1+x2)=f(x1) ·f(x2) ，
（1）设f(1)=2,求f(1/2),f(1/4)的值；
（2）证明f(x)是周期函数。f(1)=f(1/2+1/2)=f (1/2)2所以f(1/2)=21/2f(1/2)=f(1/4+1/4)=f (1/4)2所以f(1/4)=21/4解（1）（2）依题意，设y=f(x)关于直线x=1对称，故
f(x)=f(2×1-x)=f(2-x)(x R)又因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x),
所以f(-x)=f(2-x),将-x以x代换所以f(x)=f(2+x) )(x R) ,这表明f(x)是R上的周期
函数，且2是它的一个周期。1、（2007广东文3）．若函数 ( )，则函数 y=f(-x) 在其定义域上是 A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C．单凋递增的偶函数 D.单涮递增的奇函数√三、高考链接2（全国Ⅰ卷理9）设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D．由奇函数可知 取f(x)=且x≠0,则 ＜0所以：-1＜x＜1，且x≠0D3.（安徽卷理11）若函数 分别是 上的奇函数、偶函数，且满足 ，则有（ ） A． B． C． D． 解： 用-X代换x得： 而f(x)单调递增且大于等于0，所以 0＜f(2) ＜f(3) g(0)=-1 ， D4.（辽宁卷理12）设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足 的所有x之和为（ ） A． -3 B． 3 C．-8 D．8依题当满足 时， 即 时， 得 ，此时 又是f(x)连续的偶函数，所以 另一种情形是 ，即 所有之和为C5.（辽宁卷文2）若函数 为偶函数，则a=（ ） A． -2 B．-1 C． 1 D．2C6.（重庆卷理6）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2 R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是（ ） (A)f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数 (C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数解：令 ，得 ， ，所以 所以 f(x)+1为奇函数,选 c7.（四川卷理11文9）设定义在 上的函数f(x)满足 ，若 ，则 ( ) （Ａ）13 （Ｂ） 2 （Ｃ） （Ｄ）因为且所以∴ ∴ C 8.（湖北卷文6）已知f(x)在R上是奇函数，且 A.-2 B.2 C.-98 D.98解：由题设A 本讲到此结束，请同学们课后再做好复习. 谢谢！再见！
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x, 都有____________,那么函数f（x）就叫做奇函数.f(-x)= - f(x)f(-x)=f(x)偶函数 f(x)=f(-x) f(x) -f(-x) =0
奇函数 f(-x)=-f(x) f(x) +f(-x) =0
一、基础知识函数奇偶性的性质： 1、分析定义域是否关于原点对称，若定义域
不关于原点对称，则不一定具有奇偶性。 2、偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象
关于原点对称3、函数y=ax +bx+c是偶函数的充要条件是b=02 4、若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0；偶函
数f(x)=f(|x|).5、奇函数在（a,b)上单调性与(-b,-a）单调性相同
偶函数在（a,b)上单调性与(-b,-a）单调性相反周期函数: 若存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的一个周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期. 周期函数的定义域一定是无界集.f ( x )=f (x+T)， T是周期
f ( x )=－f (x+a)， 2a是周期
f (a－x) = f (b－x) ，a－b是周期
f (a－x) =－f (b－x)， 2（a－b）是周期1、周期：2、函数自身关于直线 x = a 对称 ， 有：
f (x) = f (2a – x ) 或 f (a + x) = f (a – x ) 推广：函数自身关于直线对称 ， 有：
f (x) = f (2a – x ) 或 f (a + x) = f (a – x )
则对称轴为 x = a 1、(2005年高考·江西卷·理13文13)若函数 是奇函数，则a= . 二、基础过关:f(0)=02、（2007辽宁文13）．已知函数f(x)为奇函数，
若 ，则 ． -f(2)+f(3)=113、（2006福建文）已知f(x)是周期为2的奇函数，当 时， 设 则 （A） （B） （C） （D）.D=f( -2 )=f( -2 )=f( -2 )=f( - )= -f( )=f (- )=f ( )=-f ( )4、（2006重庆文） 已知定义域为R的函数 是奇函数。 （Ⅰ）求的a、b值；（Ⅱ）若对任意的 ，不等 式 恒成立，求的k取值范围； (1)因为是f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即 又由f（1）= -f（-1）知 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 因为减函数，由上式推得： 从而判别式对一切 5．关于奇偶函数的问题x∈R ∴ a=1. 说明：使用此法时，函数是奇函数，定义域中有元素0. 6、已知f(x)定义在（-1，1）上的偶函数，且在
[0，1）上为增函数，若f(a-2)-f(4-a ) ＜0，
求a的取值范围。2解：由f(a-2)-f(4-a ) ＜0，得f(a-2) ＜f(4-a ) 22因为f(x)是（-1，1）上的偶函数，且在[0，1）上为增函数，则-1＜a-2 ＜1-1＜4-a ＜12|a-2|＜|4-a |2解得：＜ a＜2或 2＜ a ＜7、（2005福建理12）f(x)是定义在R上的以3为
周期的奇函数，且f(2)=0 , 则方程f(x)=0在区间
（0，6）内解的个数的最小值是（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5解：因为f(x)是以3为周期的奇函数，f(2)=0,所以f(5)= f(2)=0 ,f(-1)= f(2)=0 -f(1)=0 ,所以f(1)=0
f(-4)= f(2-6)= f(2)=0， -f(4)= 0，所以f(4)=0
f(3)= f(3-3)= f(0)= 0 所以1、2、3、4、5都可以为f（x)=0的解D8、（2005福建文12）f(x)是定义在R上的以3为
周期的偶函数，且f(2)=0 , 则方程f(x)=0在区间
（0，6）内解的个数的最小值是（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5解：因为f(x)是以3为周期的偶函数，f(2)=0,所以f(5)= f(2+3)= f(2)=0 ，f(1)= f(1-3)=f(-2) )=f(2)= 0 ,所以f(1)=0 ;
f(4)= f(3+1)= f(1)=0， 所以f(4)=0 所以1、2、4、5都可以为f（x)=0的解c9、(2005年高考·重庆卷·理3文3)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞,0]上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x) ＜0的x的取值范围是（ ） A． B． C． D．（－2，2）解：因为f(x)是R上的偶函数，所以f(-2)=0-22所以f(x) ＜0的x的取值范围
是（－2，2）D10、已知f（x）＝ax ＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝__，b＝_.2因为f(x)是偶函数，所以b=0,a-1=-2aa=1/3011、(2005年高考·天津卷·文10)设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递减，且y=f(x)的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 ( ) A． f(1.5)
f(6.5) =f(0.5) ,在(0,3)内单调递减所以f(0.5) ＞f(1.5) ＞f(2.5) 所以f(6.5) ＞f(1.5) ＞f(3.5) B12、设f(x)定义在R上的偶函数，其图像关于直线X=1对称，对任意x1,x2在[0，1/2]都有f(x1+x2)=f(x1) ·f(x2) ，
（1）设f(1)=2,求f(1/2),f(1/4)的值；
（2）证明f(x)是周期函数。f(1)=f(1/2+1/2)=f (1/2)2所以f(1/2)=21/2f(1/2)=f(1/4+1/4)=f (1/4)2所以f(1/4)=21/4解（1）（2）依题意，设y=f(x)关于直线x=1对称，故
f(x)=f(2×1-x)=f(2-x)(x R)又因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x),
所以f(-x)=f(2-x),将-x以x代换所以f(x)=f(2+x) )(x R) ,这表明f(x)是R上的周期
函数，且2是它的一个周期。1、（2007广东文3）．若函数 ( )，则函数 y=f(-x) 在其定义域上是 A．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C．单凋递增的偶函数 D.单涮递增的奇函数√三、高考链接2（全国Ⅰ卷理9）设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D．由奇函数可知 取f(x)=且x≠0,则 ＜0所以：-1＜x＜1，且x≠0D3.（安徽卷理11）若函数 分别是 上的奇函数、偶函数，且满足 ，则有（ ） A． B． C． D． 解： 用-X代换x得： 而f(x)单调递增且大于等于0，所以 0＜f(2) ＜f(3) g(0)=-1 ， D4.（辽宁卷理12）设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足 的所有x之和为（ ） A． -3 B． 3 C．-8 D．8依题当满足 时， 即 时， 得 ，此时 又是f(x)连续的偶函数，所以 另一种情形是 ，即 所有之和为C5.（辽宁卷文2）若函数 为偶函数，则a=（ ） A． -2 B．-1 C． 1 D．2C6.（重庆卷理6）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2 R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是（ ） (A)f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数 (C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数解：令 ，得 ， ，所以 所以 f(x)+1为奇函数,选 c7.（四川卷理11文9）设定义在 上的函数f(x)满足 ，若 ，则 ( ) （Ａ）13 （Ｂ） 2 （Ｃ） （Ｄ）因为且所以∴ ∴ C 8.（湖北卷文6）已知f(x)在R上是奇函数，且 A.-2 B.2 C.-98 D.98解：由题设A 本讲到此结束，请同学们课后再做好复习. 谢谢！再见！