27.2.1 点与圆的位置关系
【题型1】判断点与圆的位置关系 1
【题型2】利用点与圆的位置关系求长度 2
【题型3】判断确定圆的条件 3
【题型4】求能确定的圆的个数 4
【题型5】尺规作图：确定圆心 5
【题型6】三角形外接圆与外心的说法辨析 7
【题型7】求三角形的外心坐标 8
【题型8】确定三角形外接圆的圆心位置 9
【题型9】求特殊三角形外接圆的半径 11
【题型1】判断点与圆的位置关系
【典型例题】平面内， 已知的半径是， 线段， 则点P（ ）
A.在外 B.在上 C.在内 D.不能确定
【举一反三1】已知的直径为，点A到圆心的距离为，则点A与的位置关系是（ ）
A.点A在圆内 B.点A在圆上 C.点A在圆外 D.无法确定
【举一反三2】已知的半径是6，平面内有一点A，若，则点A与的位置关系是（ ）
A.点A在圆上 B.点A在圆外 C.点A在圆内 D.无法确定
【举一反三3】在平面直角坐标系中，有一点，以原点为圆心，5为半径作，则点A与的位置关系是（ ）
A.点A在内
B.点A在外
C.点A在上
D.无法确定
【举一反三4】平面内，已知的半径是，线段，则点（ ）
A.在外 B.在上 C.在内 D.不能确定
【举一反三5】已知直径为8，点A到点距离为4，则点A在 ．（填“上、内或外”）
【举一反三6】在平面直角坐标系中，的半径为5（点是坐标原点），则点与的位置关系是：点P在 ．（填“外”或“上”或“内”）．
【举一反三7】请你将下面的数学概念正确、规范、工整地书写在横线上．
点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
【题型2】利用点与圆的位置关系求长度
【典型例题】已知的半径为5，点A在内，则长度可能是（ ）
A. B.5 C.6 D.7
【举一反三1】已知点P到圆心O的距离为3，若点P在圆外，则的半径可能为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三2】已知点P在⊙O内，且点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径可能为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三3】已知半径为，点为内一点，，则满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】已知的半径为r，点P到圆心O的距离为5，若使点P在外，则r的值可以是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【举一反三5】如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的取值范围是 ．
【举一反三6】已知的半径为，点在上，则的长为 ．
【举一反三7】已知的半径为，点在外，则点到圆心的距离的取值范围是 ．
【题型3】判断确定圆的条件
【典型例题】下列命题中，正确的个数是（ ）
（1）三点确定一个圆；（2）等弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）直径所对的圆周角是直角．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】下列说法中，正确的是（ ）
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.过任意三点可以画一个圆
C.周长相等的圆是等圆
D.平分弦的直径垂直于弦
【举一反三2】下列说法错误的是（ ）
A.已知圆心和半径可以作一个圆
B.经过一个已知点A的圆能做无数个
C.经过两个已知点A，B的圆能做两个
D.经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆
【举一反三3】下列事件必然发生的是（ ）
A.某人买一张彩票就中了大奖
B.李明同学下次数学考试满分
C.三点确定一个圆
D.两点确定一条直线
【举一反三4】下列判断中正确的是（ ）
A.平分弦的直径垂直于弦
B.垂直于弦的直线平分弦所对的弧
C.平分弧的直径平分弧所对的的弦
D.三点确定一个圆
【举一反三5】点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； 的三个点确定一个圆．
【举一反三6】不在同一直线上的三个点确定一个圆，说法是： 的．
【举一反三7】平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
【题型4】求能确定的圆的个数
【典型例题】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三1】在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.0或1
【举一反三2】如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三3】如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【举一反三4】如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个．
【举一反三5】如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．
【举一反三6】平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 ．
【举一反三7】过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆．
【题型5】尺规作图：确定圆心
【典型例题】如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（ ）
A. B. C.距离一样 D.无法判断
【举一反三1】如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，，，点A在轴上，点的坐标为，则该圆弧所在圆内的圆心坐标为 ．
【举一反三3】如图，线段是的一条弦．请用尺规作图法，作出圆心．（保留作图痕迹，不写作法）
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点．
（1）在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ；
（2）判断与轴的位置关系： ．
【题型6】三角形外接圆与外心的说法辨析
【典型例题】下列事件属于必然事件的是（ ）
A.从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡
B.太阳东升西落
C.三角形外心到三边距离相等
D.足球运动员在罚球区射门一定射中
【举一反三1】三角形的外心具有的性质是（ ）
A.外心在三角形外
B.外心在三角形内
C.外心到三角形三边距离相等
D.外心到三角形三个顶点距离相等
【举一反三2】下列命题中，真命题是（ ）
A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.过三点一定可以作圆
C.优弧一定大于劣弧
D.任意三角形一定有一个外接圆
【举一反三3】用尺规作图作三角形的外接圆时，用到了哪些基本作图（ ）
A.作一条线段等于已知线段
B.作一个角等于已知角
C.作一个角的平分线
D.作一条线段的垂直平分线
【举一反三4】下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑥直角三角形的内心在斜边的中点上．正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【题型7】求三角形的外心坐标
【典型例题】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，点A、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为 ．
【举一反三3】如图，外接圆的圆心坐标为 ．
【举一反三4】如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点的坐标为．
（1）将绕原点顺时针方向旋转得到对应的，请画出；
（2）的外接圆的圆心坐标是___________．
【题型8】确定三角形外接圆的圆心位置
【典型例题】如图，点，C在平面直角坐标系中，则的外心在（ ）
A.第四象限 B.第三象限 C.原点O处 D.y轴上
【举一反三1】如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图所示的网格由边长均为1的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F在小正方形的顶点上，则外接圆的圆心是点 ，弧的长是 ．
【举一反三3】在中，，，，则的外心在的 （填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为 ．
【举一反三4】在格点图中，已知的三个顶点A，B，C均在格点上．
（1）将向上移五格，得到；
（2）用直尺作出的外接圆圆心O．（保留作图痕迹）
【举一反三5】如图，在三角形中，，用尺规作图，在三角形内作点，使得．（保留作图迹，不写作法）．
【题型9】求特殊三角形外接圆的半径
【典型例题】已知在中，，则的外接圆直径为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A.cm B.cm C.cm D.cm
【举一反三2】直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（ ）
A.或 B.或 C. D.
【举一反三3】在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三4】已知直角的斜边长为5，则这个三角形的外接圆的半径为 .
【举一反三5】若中，，则它的外接圆的直径为 ．
【举一反三6】已知一个直角三角形的两直角边长分别为6和8．设它的外接圆半径长为R，内切圆半径长为r，则 ．27.2.1 点与圆的位置关系
【题型1】判断点与圆的位置关系 1
【题型2】利用点与圆的位置关系求长度 3
【题型3】判断确定圆的条件 6
【题型4】求能确定的圆的个数 8
【题型5】尺规作图：确定圆心 11
【题型6】三角形外接圆与外心的说法辨析 15
【题型7】求三角形的外心坐标 17
【题型8】确定三角形外接圆的圆心位置 21
【题型9】求特殊三角形外接圆的半径 26
【题型1】判断点与圆的位置关系
【典型例题】平面内， 已知的半径是， 线段， 则点P（ ）
A.在外 B.在上 C.在内 D.不能确定
【答案】C
【解析】的半径是， 线段，
点P到圆心O的距离小于半径，
点P在内，
故选C．
【举一反三1】已知的直径为，点A到圆心的距离为，则点A与的位置关系是（ ）
A.点A在圆内 B.点A在圆上 C.点A在圆外 D.无法确定
【答案】C
【解析】∵的直径为，
∴的半径为，
∵点A到圆心的距离为，
∴点A与的位置关系是点A在圆外．
故选：C
【举一反三2】已知的半径是6，平面内有一点A，若，则点A与的位置关系是（ ）
A.点A在圆上 B.点A在圆外 C.点A在圆内 D.无法确定
【答案】C
【解析】∵的半径为6，，
∴点A到圆心的距离小于圆的半径，
∴点A在内．
故选：C．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，有一点，以原点为圆心，5为半径作，则点A与的位置关系是（ ）
A.点A在内
B.点A在外
C.点A在上
D.无法确定
【答案】C
【解析】点到圆心的距离，
，
点A在上，
故选：C．
【举一反三4】平面内，已知的半径是，线段，则点（ ）
A.在外 B.在上 C.在内 D.不能确定
【答案】C
【解析】 的半径是，线段，
点到圆心的距离小于半径，
点在内．
故选：C．
【举一反三5】已知直径为8，点A到点距离为4，则点A在 ．（填“上、内或外”）
【答案】上
【解析】由题意得：⊙O的半径,
∵点A到点距离为4，
∴点A在上,
故答案为：上
【举一反三6】在平面直角坐标系中，的半径为5（点是坐标原点），则点与的位置关系是：点P在 ．（填“外”或“上”或“内”）．
【答案】上
【解析】∵点，
∴，
∴点在上；
故答案为：上．
【举一反三7】请你将下面的数学概念正确、规范、工整地书写在横线上．
点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
【答案】点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
【解析】点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
故答案为：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．
【题型2】利用点与圆的位置关系求长度
【典型例题】已知的半径为5，点A在内，则长度可能是（ ）
A. B.5 C.6 D.7
【答案】A
【解析】∵的半径为5，点A在内，
∴，
∴长度可能是，
故选A．
【举一反三1】已知点P到圆心O的距离为3，若点P在圆外，则的半径可能为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
∵点P在圆外，且，
∴，
故选：A．
【举一反三2】已知点P在⊙O内，且点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径可能为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】D
【解析】设半径为r，
根据题意得，
故选：D．
【举一反三3】已知半径为，点为内一点，，则满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵半径为，点为内一点，，
∴．
故选：B
【举一反三4】已知的半径为r，点P到圆心O的距离为5，若使点P在外，则r的值可以是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】A
【解析】的半径为，点到圆心距离．
点P在外，
，
即．
故选：A．
【举一反三5】如图，在中，．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在内且点B在外时，r的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵点C在内且点B在，
∴．
故答案为：．
【举一反三6】已知的半径为，点在上，则的长为 ．
【答案】
【解析】∵的半径为，点在上，
∴，
故答案为：．
【举一反三7】已知的半径为，点在外，则点到圆心的距离的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵的半径为，点在外，
∴点到圆心的距离的取值范围是．
故答案为：．
【题型3】判断确定圆的条件
【典型例题】下列命题中，正确的个数是（ ）
（1）三点确定一个圆；（2）等弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）直径所对的圆周角是直角．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
（2）等弧所对的圆周角相等，故正确；
（3）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
（4）直径所对的圆周角是直角，故正确；
故选B．
【举一反三1】下列说法中，正确的是（ ）
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.过任意三点可以画一个圆
C.周长相等的圆是等圆
D.平分弦的直径垂直于弦
【答案】C
【解析】A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；
B.不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；
C.周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；
D.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；
故选：C．
【举一反三2】下列说法错误的是（ ）
A.已知圆心和半径可以作一个圆
B.经过一个已知点A的圆能做无数个
C.经过两个已知点A，B的圆能做两个
D.经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆
【答案】C
【解析】A. 已知圆心和半径可以作一个圆，正确，不符合题意；
B. 经过一个已知点A的圆能做无数个，正确，不符合题意；
C. 经过两个已知点A，B的圆能做无数个，错误，符合题意；
D. 经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能做一个圆，正确，不符合题意；
故选：C．
【举一反三3】下列事件必然发生的是（ ）
A.某人买一张彩票就中了大奖
B.李明同学下次数学考试满分
C.三点确定一个圆
D.两点确定一条直线
【答案】D
【解析】A. 某人买一张彩票就中了大奖，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
B. 李明同学下次数学考试满分，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
C. 三点确定一个圆，是随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
D. 两点确定一条直线，是必然事件，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【举一反三4】下列判断中正确的是（ ）
A.平分弦的直径垂直于弦
B.垂直于弦的直线平分弦所对的弧
C.平分弧的直径平分弧所对的的弦
D.三点确定一个圆
【答案】C
【解析】A.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误；
B.垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故选项错误；
C.平分弧的直径平分弧所对的的弦，故选项正确；
D.不共线的三点确定一个圆，故选项错误；
故选C．
【举一反三5】点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； 的三个点确定一个圆．
【答案】不在同一直线上（不共线）
【解析】不在同一直线上的三个点确定一个圆．
故答案为：不在同一直线上（不共线）
【举一反三6】不在同一直线上的三个点确定一个圆，说法是： 的．
【答案】正确
【解析】∵不在同一直线上的三个点确定一个圆，
∴这一说法正确．
故答案为正确．
【举一反三7】平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
【答案】不能
【解析】∵，，，在这条直线上，，
∴三个点，，不能确定一个圆．
故答案为：不能．
【题型4】求能确定的圆的个数
【典型例题】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】B
【解析】∵不共线的三点可以确定一个圆，
∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆，
∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点），
故选B．
【举一反三1】在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.0或1
【答案】D
【解析】当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；
当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；
故选D．
【举一反三2】如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个，
故选：C．
【举一反三3】如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】D
【解析】依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆，
∴共有6个，
故选：D．
【举一反三4】如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个．
【答案】3
【解析】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆，
故答案为3．
【举一反三5】如图①，若是和的公共斜边，则A、B、C、D在以为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，的三条高、、相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为 ．
【答案】6
【解析】如图，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
以为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆，
综上分析可知，共6组．
故答案为：6．
【举一反三6】平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 ．
【答案】1个或3个或4个
【解析】（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；
（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；
（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．
故答案为：1个或3个或4个．
【举一反三7】过一点可以作 个圆；过两点可以作 个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的 上；过不在同一条直线上的三个点可以作 个圆．
【答案】无数 无数 垂直平分线 一
【解析】利用过点作圆的个数即可求解．
过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆，
故答案为：无数；无数；垂直平分线；一．
【题型5】尺规作图：确定圆心
【典型例题】如图，在围成新月形的两条劣弧（和）中，哪条弧所在圆的圆心到线段的距离更小？（ ）
A. B. C.距离一样 D.无法判断
【答案】B
【解析】如图所示，点P为所在圆的圆心，点Q为所在圆的圆心，
∵点P到线段的距离小于点Q到线段的距离
∴所在圆的圆心到线段的距离更小．
故选：B．
【举一反三1】如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．
故选：A．
【举一反三2】如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，，，点A在轴上，点的坐标为，则该圆弧所在圆内的圆心坐标为 ．
【答案】
【解析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．
故答案为：．
【举一反三3】如图，线段是的一条弦．请用尺规作图法，作出圆心．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解 如图，圆心即为所求，
．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点．
（1）在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ；
（2）判断与轴的位置关系： ．
【答案】解 （1）连结、，分别作、的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径的圆即为所求，如图所示：
点坐标为：
故答案为：；
（2）∵，
即：的半径，
点到轴的距离，
∵，
∴与轴相交，
故答案为：相交．
【题型6】三角形外接圆与外心的说法辨析
【典型例题】下列事件属于必然事件的是（ ）
A.从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡
B.太阳东升西落
C.三角形外心到三边距离相等
D.足球运动员在罚球区射门一定射中
【答案】B
【解析】A.从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡，是不可能事件，故本选项不符合题意；
B.太阳东升西落是必然事件，故本选项符合题意；
C.三角形外心到三边距离相等，是不确定事件，故本选项不符合题意；
D.足球运动员在罚球区射门一次，射中是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】三角形的外心具有的性质是（ ）
A.外心在三角形外
B.外心在三角形内
C.外心到三角形三边距离相等
D.外心到三角形三个顶点距离相等
【答案】D
【解析】A．外心不一定在三角形外，错误；
B．外心不一定在三角形内，错误；
C．外心到三角形三角距离相等，错误；
D．外心到三角形三个顶点距离相等，正确；
故选D．
【举一反三2】下列命题中，真命题是（ ）
A.垂直于半径的直线是圆的切线
B.过三点一定可以作圆
C.优弧一定大于劣弧
D.任意三角形一定有一个外接圆
【答案】D
【解析】A.垂直于半径并且垂足在圆上的直线是圆的切线，故本选项假命题，不符合题意；
B.过不在同一直线上的三点一定可以作圆，故本选项假命题，不符合题意；
C.在等圆或同圆中，优弧一定大于劣弧，故本选项假命题，不符合题意；
D.任意三角形一定有一个外接圆，故本选项真命题，符合题意；
故选：D．
【举一反三3】用尺规作图作三角形的外接圆时，用到了哪些基本作图（ ）
A.作一条线段等于已知线段
B.作一个角等于已知角
C.作一个角的平分线
D.作一条线段的垂直平分线
【答案】D
【解析】∵由三角形的外心的定义可知，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，
∴三角形的外心在三边的垂直平分线上，
所以用到了基本作图：作一条线段的垂直平分线．
故选D．
【举一反三4】下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑥直角三角形的内心在斜边的中点上．正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】①不在同一直线上三点可以确定一个圆，原说法错误；
②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，原说法错误；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误；
④圆内接四边形对角互补，说法正确；
⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，说法正确；
⑥直角三角形的外心在斜边的中点上，原说法错误；
正确的为④⑤，
故选B．
【题型7】求三角形的外心坐标
【典型例题】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
作图得：
与的交点即为所求的的外心，
的外心坐标是．
故选：C．
【举一反三1】如图，点A、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心，
由图可知，点的坐标是：，
故选：B．
【举一反三2】如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为 ．
【答案】
【解析】，
，
是直角三角形，
则外接圆的圆心坐标为，即，
故答案为：．
【举一反三3】如图，外接圆的圆心坐标为 ．
【答案】
【解析】如图：外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点，
∵垂直平分线的交点坐标为，
∴外接圆的圆心坐标为，
故答案为：．
【举一反三4】如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点的坐标为．
（1）将绕原点顺时针方向旋转得到对应的，请画出；
（2）的外接圆的圆心坐标是___________．
【答案】解 （1）作图如下：
（2）由图可知：
的中垂线相交于点P，
故的外接圆的圆心坐标是：.
【题型8】确定三角形外接圆的圆心位置
【典型例题】如图，点，C在平面直角坐标系中，则的外心在（ ）
A.第四象限 B.第三象限 C.原点O处 D.y轴上
【答案】B
【解析】如图，作AB、BC的垂直平分线，交点在第三象限，
故选B．
【举一反三1】如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，由勾股定理得：，
∴P到B、C、E的距离相等，
∴P是的外心，
故选：D．
【举一反三2】如图所示的网格由边长均为1的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F在小正方形的顶点上，则外接圆的圆心是点 ，弧的长是 ．
【答案】D
【解析】根据题意可知，点D是外心．
连结，
∵，，，
，，
∴是等腰直角三角形，
∴弧的长是，
故答案为：D，．
【举一反三3】在中，，，，则的外心在的 （填“内部”、“外部”或“边上”）；其外接圆的半径为 ．
【答案】边上
【解析】如图：的外心在的斜边上，
∵，
∴为直径，
∵，，
∴，
∴半径为：．
故答案为：边上，．
【举一反三4】在格点图中，已知的三个顶点A，B，C均在格点上．
（1）将向上移五格，得到；
（2）用直尺作出的外接圆圆心O．（保留作图痕迹）
【答案】解 （1）如图所示，即为所求：
（2）的外接圆圆心如图所示．
【举一反三5】如图，在三角形中，，用尺规作图，在三角形内作点，使得．（保留作图迹，不写作法）．
【答案】解 如图，点为所作．
．
【题型9】求特殊三角形外接圆的半径
【典型例题】已知在中，，则的外接圆直径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵在中，，
∴，
∴的外接圆直径为，
故选：C．
【举一反三1】小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A.cm B.cm C.cm D.cm
【答案】A
【解析】由题意画图如下，则为等边三角形，且内接于，
，．
过点作于点，则，
连结，，则，
，
．
，
，
∴，
在中，，，
∴，
．
故选：A．
【举一反三2】直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（ ）
A.或 B.或 C. D.
【答案】B
【解析】由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为时，这个三角形的外接圆半径为； ②当两条直角边长分别为和，则直角三角形的斜边长 因此这个三角形的外接圆半径为．
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于或．
故选：B
【举一反三3】在中，若两条直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】如图，
在中，若两条直角边的长分别为6和8，即，，
，
，
是外接圆直径，
这个三角形的外接圆半径为，
故选：C．
【举一反三4】已知直角的斜边长为5，则这个三角形的外接圆的半径为 .
【答案】
【解析】∵该三角形为直角三角形，
∴它的外接圆的半径=斜边上的中线，
故答案为：．
【举一反三5】若中，，则它的外接圆的直径为 ．
【答案】26cm
【解析】∵，
∴，
∵，
∴AB即为的外接圆的直径，即它的外接圆的直径为26cm；
故答案为26cm．
【举一反三6】已知一个直角三角形的两直角边长分别为6和8．设它的外接圆半径长为R，内切圆半径长为r，则 ．
【答案】3
【解析】如图所示：
∵，，
∴，
∴外接圆半径为5，
∴，
设内切圆半径长为r，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3
