27.1.1 圆的基本元素
【题型1】圆的基本概念辨析 1
【题型2】求圆中弦的条数 2
【题型3】求过圆内一点的最长弦 4
【题型4】求一点到圆上距离的最值 5
【题型5】圆的周长和面积问题 7
【题型1】圆的基本概念辨析
【典型例题】如图是一个等边三角形放置于中，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应旋转的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】等于圆周的弧叫做（ ）
A.劣弧 B.半圆 C.优弧 D.圆
【举一反三2】2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家（ ）的圆周率．
A.祖冲之 B.赵爽 C.刘徽 D.朱世杰
【举一反三3】下列说法正确的是（ ）
A.弦是直径
B.半圆是弧
C.等弧就是长度相等的两条弧
D.圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径
【举一反三4】给定下列图形可以确定一个圆的是（ ）
A.已知圆心 B.已知半径 C.已知直径 D.已知三个点
【举一反三5】如图所示，为的弦，，则的度数为 ．
【举一反三6】如图，A、、是上的三点，，，连结交于点，连结，则的度数为 ．
【举一反三7】如图所示，为的弦，，则的度数为 ．
【举一反三8】到点P的距离等于的点的轨迹是 ．
【题型2】求圆中弦的条数
【典型例题】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
【举一反三2】如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦.
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三3】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三4】如图，在中，弦的条数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.以上均不正确
【举一反三5】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ．
【举一反三6】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ．
【举一反三7】过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条直径．
【题型3】求过圆内一点的最长弦
【典型例题】一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离为5cm，那么圆的半径为（ ）
A.5cm B.3cm C.8cm D.4cm
【举一反三1】已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【举一反三2】如图，圆的弦中最长的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A.8 B.10 C.12 D.14
【举一反三4】已知的半径为，且A、是上不同的两点，则弦的范围是 ．
【举一反三5】已知的半径为，且A、是上不同的两点，则弦的范围是 ．
【举一反三6】已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为 cm
【题型4】求一点到圆上距离的最值
【典型例题】在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于A、两点，若点A、点关于原点对称，则的最大值为（ ）
A.13 B.14 C.12 D.28
【举一反三2】如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.
【举一反三3】如图，中，于点是半径为4的上一动点，连结，若是的中点，连结，则长的最大值为（ ）
A.8 B. C.9 D.
【举一反三4】如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连结，若点Q是的中点，连结，，则的最小值为（ ）
A. B. C.6 D.
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，的半径为2，点C为上一动点，D为的中点，连结，则的最大值为 ．
【举一反三6】如图，在平面直角坐标系中，点是以为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知，，连结，，则的最小值是 ．
【举一反三7】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值 ．
【举一反三8】如图，⊙A的半径为2，圆心A的坐标为（﹣3，4），点P是⊙A上的运动点，则点P到点O的最大距离 ．
【题型5】圆的周长和面积问题
【典型例题】已知圆的周长为m，则这个圆的面积是（ ）m2．
A. B. C. D.
【举一反三1】一个圆的面积为，则它的半径为（ ）
A. B. C.0 D.1
【举一反三2】适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是 ．
【举一反三4】如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是 ．
【举一反三5】如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．27.1.1 圆的基本元素
【题型1】圆的基本概念辨析 1
【题型2】求圆中弦的条数 4
【题型3】求过圆内一点的最长弦 7
【题型4】求一点到圆上距离的最值 9
【题型5】圆的周长和面积问题 18
【题型1】圆的基本概念辨析
【典型例题】如图是一个等边三角形放置于中，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应旋转的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．
故选：B．
【举一反三1】等于圆周的弧叫做（ ）
A.劣弧 B.半圆 C.优弧 D.圆
【答案】C
【解析】根据直径所对的两条弧是半圆，大于半圆的弧是优弧，则等于圆周的弧是优弧，
故选．
【举一反三2】2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家（ ）的圆周率．
A.祖冲之 B.赵爽 C.刘徽 D.朱世杰
【答案】A
【解析】由题干材料判断是祖冲之，
故选：A.
【举一反三3】下列说法正确的是（ ）
A.弦是直径
B.半圆是弧
C.等弧就是长度相等的两条弧
D.圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径
【答案】B
【解析】直径是经过圆心的弦，不是所有的弦都是直径，故A错误；
圆上任意两点间的部分是弧，所以半圆是弧，故B正确；
只有在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才是等弧，故C错误；
圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线，故D错误．
故选：B．
【举一反三4】给定下列图形可以确定一个圆的是（ ）
A.已知圆心 B.已知半径 C.已知直径 D.已知三个点
【答案】C
【解析】A.不能确定．因为半径不确定，故不符合题意；
B.不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
C.能确定，给定一直径，则圆心和半径确定，所以可以确定一个圆，故符合题意；
D.不能确定，不在同一直线上三点可以确定一个圆．故不符合题意．
故选：C．
【举一反三5】如图所示，为的弦，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】为的弦，
，
，
，
，
故答案为：．
【举一反三6】如图，A、、是上的三点，，，连结交于点，连结，则的度数为 ．
【答案】
【解析】，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【举一反三7】如图所示，为的弦，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】为的弦，
，
，
，
，
故答案为：．
【举一反三8】到点P的距离等于的点的轨迹是 ．
【答案】以P为圆心，长为半径的圆
【解析】到点P的距离等于的点的轨迹是以P为圆心，以为半径的圆．
故答案为：以P为圆心，以为半径的圆．
【题型2】求圆中弦的条数
【典型例题】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3，
故选：B．
【举一反三1】如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
【答案】B
【解析】弦为，共有3条，
故选：B．
【举一反三2】如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦.
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】根据弦的概念，AB、BC、EC为圆的弦，共有3条弦.
故选B.
【举一反三3】如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3，
故选：B．
【举一反三4】如图，在中，弦的条数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.以上均不正确
【答案】C
【解析】在中，有弦、弦、弦、弦，
共有4条弦．
故选：C．
【举一反三5】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ．
【答案】3 ，，
【解析】图中的弦有，，共三条．
故答案为：三；，，．
【举一反三6】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ．
【答案】3 ，，
【解析】图中的弦有，，共三条．
故答案为：三；，，．
【举一反三7】过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条直径．
【答案】无数 一
【解析】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径．
故答案为：无数，1．
【题型3】求过圆内一点的最长弦
【典型例题】一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离为5cm，那么圆的半径为（ ）
A.5cm B.3cm C.8cm D.4cm
【答案】D
【解析】圆内的点到圆上的最近距离和最远距离之和为此圆的直径，故半径为cm.
故选D.
【举一反三1】已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】D
【解析】∵圆的弦长小于等于直径长，
∴，
故选：D．
【举一反三2】如图，圆的弦中最长的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图可知，弦AB经过圆心O，故圆的弦中最长的是．
故选：．
【举一反三3】已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（ ）
A.8 B.10 C.12 D.14
【答案】D
【解析】∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故选：D．
【举一反三4】已知的半径为，且A、是上不同的两点，则弦的范围是 ．
【答案】
【解析】A、是上不同的两点，
，
的半径为，，
的直径为，直径是圆中最长的弦，
，
故答案为：．
【举一反三5】已知的半径为，且A、是上不同的两点，则弦的范围是 ．
【答案】
【解析】A、是上不同的两点，
，
的半径为，，
的直径为，直径是圆中最长的弦，
，
故答案为：．
【举一反三6】已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为 cm
【答案】8
【解析】∵⊙O中最长的弦为16cm，即直径为16cm，
∴⊙O的半径为8cm．
【题型4】求一点到圆上距离的最值
【典型例题】在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，
由题意得，，，
当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，
此时，点到直线的最大距离是，
当点在与的交点时，点到直线的距离最小，
此时，点到直线的最小距离是，
点到直线的距离，
故点到直线的距离不可能是，
故选：．
【举一反三1】如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于A、两点，若点A、点关于原点对称，则的最大值为（ ）
A.13 B.14 C.12 D.28
【答案】D
【解析】连结，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，
∴，
若要使取得最大值，则需取得最大值，
连结，并延长交于点，当点位于位置时，取得最大值，
过点作轴于点，
则、，
∴，
又∵，
∴，
∴；
故选：D．
【举一反三2】如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.
【答案】C
【解析】作点关于直线的对称点，连结交圆于一点即为最小距离和的点，如图所示，
∵矩形中，，，
∴，，，
∴，
∴的最小值是：，
故选：C．
【举一反三3】如图，中，于点是半径为4的上一动点，连结，若是的中点，连结，则长的最大值为（ ）
A.8 B. C.9 D.
【答案】D
【解析】连结，
，，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
当取最大值时，的长最大，
是半径为2的上一动点，
当过圆心时，最大，
，，
，
的半径为4，
的最大值为，
长的最大值为，
故选：．
【举一反三4】如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连结，若点Q是的中点，连结，，则的最小值为（ ）
A. B. C.6 D.
【答案】B
【解析】取点B关于直线的对称点M，连结，两线交于点O，连结，，，过O作于点N，
∵点Q是的中点，
∴，
∴点Q在以O为圆心，半径为1的圆上运动，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴当、 、、四点共线时的值最小，
，
∴的最小值为： ，
故选：B．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，的半径为2，点C为上一动点，D为的中点，连结，则的最大值为 ．
【答案】3.5
【解析】∵点A的坐标为，点B的坐标为
∴，
如图1，作点B关于x轴的对称点，连结，
∴，
∵D是的中点，
∴是的中位线，
∴
∴当最大时，有最大值，
如图2，当，C，A共线时，有最大值，
由勾股定理得：
∴，
此时有最大值是，
故答案为：3.5．
【举一反三6】如图，在平面直角坐标系中，点是以为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知，，连结，，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】如图，连结，
设，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
当点P位于与圆的交点上时，取得最小值，
∴的最小值为，
∴的最小值为．
故答案为：
【举一反三7】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值 ．
【答案】
【解析】对于，当时，，
解得：，，
点的坐标为，
对于，当时，，
点的坐标为，
作点关于轴对称的点，则点，
连结交与y轴于，交于，过点作轴于，连结，
当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长．
理由如下：
当点与点不重合，点与点不重合时，
根据轴对称的性质可知：，
，
根据“两点之间线段最短”可知：，
即：，
，
，
即：，
当点与点重合，点与点重合时，为最小．
点，，
，，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
．
即为最小值为．
故答案为：．
【举一反三8】如图，⊙A的半径为2，圆心A的坐标为（﹣3，4），点P是⊙A上的运动点，则点P到点O的最大距离 ．
【答案】7
【解析】连结OA，并延长交⊙A于点P'，则OP'即使点P到点O的最大距离，
∵A的坐标为（﹣3，4），
∴OA=，
∴OP'=5+2=7．
故答案为：7
【题型5】圆的周长和面积问题
【典型例题】已知圆的周长为m，则这个圆的面积是（ ）m2．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意：圆的半径是
∴圆的面积是
故选B．
【举一反三1】一个圆的面积为，则它的半径为（ ）
A. B. C.0 D.1
【答案】D
【解析】设圆的半径为，
由题意得：，
∴，
故选：D．
【举一反三2】适时的休闲可以缓解学习压力，如图是火影忍者中的仙法·白激之术，其形状外围大致为正圆，整体可看成为两个同心圆，像素，，那么周围圆环面积约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，设同心圆的圆心为，连结，则大圆的半径为，小圆的半径为，
∴设小圆的半径为，大圆的半径，
∵像素，，
∴，
在中，，即，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【举一反三3】把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是 ．
【答案】1：：：2
【解析】设最小的圆的面积是，则其它三个圆的面积分别是，，，
所有的圆都是相似形，面积的比等于半径的比的平方，
因而半径的比是，周长的比等于相似比，即半径的比，是．
故答案为：．
【举一反三4】如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是 ．
【答案】π．
【解析】由题意得：
四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，
∴四叶幸运草的周长＝2π×2＝π；
故答案为π．
【举一反三5】如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．
【答案】解 大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长．
大圆的周长，两个小圆的周长和，
∴大圆的周长＝两个小圆的周长和，
∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长．
