26.3 实践与探索
【题型1】动点问题 1
【题型2】拱桥问题 4
【题型3】销售问题 6
【题型4】投球问题 7
【题型5】增长率问题 10
【题型6】喷水问题 11
【题型7】其他问题 12
【题型1】动点问题
【典型例题】如图，已知菱形ABCD的边长为4，，动点E从A开始，以每秒2个单位的速度沿路径A—B—C—D移动，动点F从点A开始，以每秒2个单位的速度沿路径A—D移动，F点到达终点D点后停下来不动，另一个动点继续向终点D点移动，直至终点D才停下来，设点E移动的时间为x（单位：s），的面积记为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，矩形中，，，动点和同时从点出发，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止．设点运动（秒）时，的面积为，则关于的函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒个单位的速度在射线AB，AC上运动，设运动时间为x秒，以点A为顶点的正方形AEFG与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，中，，，为中点．、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止．当为 时，的面积最大．
【举一反三4】如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 ．
【举一反三5】如图，二次函数的图象过、、三点
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
【举一反三6】在中，，，现有动点从点出发，沿线段向点方向运动：动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求：
（1）当时，、两点之间的距离是多少？
（2）若的面积为，求关于的函数关系式．
（3）当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？
【题型2】拱桥问题
【典型例题】 “卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（ ）米．
A.11 B.13 C.22 D.26
【举一反三1】如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为（ ）米．
A.3 B.6 C.8 D.9
【举一反三2】随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多的下沉式立交桥.下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉武立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点．某下沉式立交桥的主路桥截面是抛物线形，如图以主路桥面最低点O为原点，以原点所在的水平直线为x轴建立平面直角坐标系．已知主路桥面跨径，主路桥面的最低点O到的距离为．由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象，在一次暴雨后，桥面有积水且积水跨径为，已知普通轿车的安全涉水深度大于，若一位普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径的长度不能超过 米．
【举一反三3】如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面处安装夜景灯带，则夜景灯带的长是 ．
【举一反三4】信阳位于中国南北地理分界线，地处淮河中上游，素有“北国江南，江南北国”美誉，自古雨水充沛，河流众多，降雨量和人均水资源量久居河南第一，素以“水广桥多”著称，被誉为“千湖之市”．其中一座桥的桥洞形状符合抛物线形状，如图1所示，桥墩高3米，拱顶A与起拱线相距4米，桥孔宽6米．
（1）若以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标．
（2）河面的平均水位2米，信阳游客服务部门打算建造河上观赏船，故应考虑船下水后的吃水线问题．额定载客后，观赏船吃水线上面部分的截面图为矩形（如图2），当船宽为3米时．①求吃水线上船高约多少米时，可以恰好通过此桥；②若考虑涝季水面会再往上升1米，则求此时吃水线上船高的设计范围．
【题型3】销售问题
【典型例题】 “燎原书店”销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（ ）
A.元 B.元 C.元 D.元
【举一反三1】某商店购进一批成本为5角的面包，如果以单价7角销售，每天可销售160个．在此基础上，这种面包单价每提高1角，每天就会少卖出20个，若设每个面包上涨角，每天销售利润为角，可列函数式为：，在所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是（ ）
A.表示涨价后面包的单价
B.表示涨价后少卖出面包的数量
C.表示涨价后卖出面包的数量
D.表示涨价后面包的单价
【举一反三2】超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝－5x＋150，该商品售价定为 元/件时，每天销售该商品获利最大．
【举一反三3】某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
【举一反三4】某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【题型4】投球问题
【典型例题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与小球运动的时间秒之间的关系式为若小球在第秒与第秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是（ ）
A.第秒 B.第秒 C.第秒 D.第秒
【举一反三1】竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ）
A.5 B.10 C.1 D.2
【举一反三3】如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．
【举一反三4】如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是 ．
【举一反三5】根据以下素材，探究完成任务．
【举一反三6】掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处距离地面的高度是2，实心球的落地点为处，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3时，达到最大高度3的处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4，小鹏此次投掷的成绩能上80分吗？
【题型5】增长率问题
【典型例题】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（ ）
A.1.2 B. C. D.
【举一反三2】某工厂1月份的产值为200万元，若平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为y，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ．
【举一反三4】某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为 ．（不要求写定义域）
【举一反三5】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
【题型6】喷水问题
【典型例题】某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离OC为处达到最高，高度CD为，水柱落地处离池中心的水平距离OA为，那么水管的设计高度OB应为 ．
【举一反三1】大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车、中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当两辆消防车喷射口位置的水平距离为米时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为 米
【举一反三2】小明的爸爸给小明买了一个高级水枪，想测试一下水枪的射程远近．如图，在一个外墙距地面的点和的点处，各设置了一个点，小明站在设置点的正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次尝试时，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到外墙的水平距离为，建立平面直角坐标系，水流的高度与到外墙的水平距离之间的关系如图所示，点在轴上，点在轴上，为地面（水枪到地面的高度忽略不计）．
（1）求小明第一次射水时水流所在抛物线的函数表达式；
（2）待处试射后，小明前进到点（水流从点射出，）处进行第二次试射，若两次试射时，水流所在抛物线的形状完全相同，请判断第二次试射水流能否到达点处，并说明理由．
【举一反三3】要修建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，水柱落地点A与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高m时，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为．以O为原点，所在的直线为x轴，水管所在的直线为y轴，建立如图的直角坐标系．
（1）求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式；
（2）求水柱落地点A到水池中心O的距离．
【题型7】其他问题
【典型例题】游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（ ）秒．
A.2 B.4 C.6 D.8
【举一反三1】使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（ ）
A.33° B.36° C.42° D.49°
【举一反三2】加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为 ．
【举一反三3】标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ．
【举一反三4】在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．
小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
（1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
（2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．26.3 实践与探索
【题型1】动点问题 1
【题型2】拱桥问题 8
【题型3】销售问题 13
【题型4】投球问题 16
【题型5】增长率问题 21
【题型6】喷水问题 24
【题型7】其他问题 27
【题型1】动点问题
【典型例题】如图，已知菱形ABCD的边长为4，，动点E从A开始，以每秒2个单位的速度沿路径A—B—C—D移动，动点F从点A开始，以每秒2个单位的速度沿路径A—D移动，F点到达终点D点后停下来不动，另一个动点继续向终点D点移动，直至终点D才停下来，设点E移动的时间为x（单位：s），的面积记为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当E在AB边上时，0＜x＜2，AE=AF=2x，
在Rt△AEF中，此时
y=AE×AF×sin60°=，是一段开口向上的抛物线；
当E在BC边上时，2≤x≤4，
此时△AEF的面积不变，为菱形面积的一半，
y=×4×4×sin60°=，是一条线段；
当E在CD边上时，4＜x≤6，DE=12-2x，
此时y=DE×AD×sin60°=，也是一条线段；
综上，只有C选项符合题意，
故选：C．
【举一反三1】如图，矩形中，，，动点和同时从点出发，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止，点以每秒的速度沿的方向运动，到达点时停止．设点运动（秒）时，的面积为，则关于的函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，
∴y与x的函数图象分三段：
①当0≤x≤2时，
AE＝2x，AF＝4x，
∴y＝ 2x 4x＝4x2，
这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项A和选项D；
②当2＜x≤3时，点F在线段BC上，
AE＝4，
此时y＝×4×8＝16，
③当3＜x≤5时，
y＝×4×（4＋8＋4 4x）＝32 8x，由此可排除选项C．
故选：B．
【举一反三2】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒个单位的速度在射线AB，AC上运动，设运动时间为x秒，以点A为顶点的正方形AEFG与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】①当0＜x≤4时，y=x2；
②当4＜x≤8时，y=×4×4-2××（4-x）2=x2+4x-8；
③当x＞8时，y=8，
故选：B．
【举一反三3】如图，中，，，为中点．、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止．当为 时，的面积最大．
【答案】4
【解析】根据题意得：，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大．
故答案为：4.
【举一反三4】如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 ．
【答案】
【解析】∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），
∴x＝4时，y＝0，
∴BC＝4，
作FH⊥BC于H，当BD＝2时， BDEF的面积为3，
∵3＝2FH，
∴FH＝，
∵∠ABC＝60°，
∴BF＝＝，
∵DEAB，
∴AB＝2BF＝，
故答案为：．
【举一反三5】如图，二次函数的图象过、、三点
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
【答案】解 （1）把、、代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）如图，∵，，
∴其中点E的坐标为，
设直线OB的解析式为y=kx，
把代入得，
解得k=，
∴直线OB的解析式为y=x，
∵直线CD垂直平分OB，
∴可设直线CD的解析式为y=-x+m,
把E代入得，
解得m=，
∴直线CD的解析式为y=-x+；
（3）联立，
得到，
解得x1=-,x2=1，
设P的横坐标为t，则P（t,），
∵过点P作轴，交直线CD于Q，
∴Q（t，-t+），
∴PQ=（-t+）-（）=-，
故当t=-时PQ有最大值，
此时P的坐标为（-，）．
【举一反三6】在中，，，现有动点从点出发，沿线段向点方向运动：动点从点出发，沿线段向点方向运动．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求：
（1）当时，、两点之间的距离是多少？
（2）若的面积为，求关于的函数关系式．
（3）当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？
【答案】解 （1）由题意得则
当秒时，，，
由勾股定理得；
故、两点之间的距离是；
（2）由题意得则
∴，
由题意可知，
∴关于的函数关系式为；
（3）当时，
，即，
解得，
当时，
，即，
解得，
综上所述：或．
【题型2】拱桥问题
【典型例题】 “卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（ ）米．
A.11 B.13 C.22 D.26
【答案】D
【解析】由题意知，抛物线经过点，代入解析式中：
得到：，
解得，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米，
故选：D．
【举一反三1】如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为（ ）米．
A.3 B.6 C.8 D.9
【答案】B
【解析】建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴轴通过中点且通过点，则通过画图可得为原点，抛物线以轴为对称轴，且经过、两点，和可求出为的一半为米，抛物线的顶点坐标为，
设顶点式为，代入点的坐标，
得出，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当水面下降2.5米时，即当时，，
解得：，
水面的宽度为（米），
故选：B．
【举一反三2】随着国民经济和城市化建设的不断发展，城市道路的功能得到不断完善，复杂的城市道路网要求设置越来越多的下沉式立交桥.下沉式立交桥将相交道路设置在地面层或地上半层，主路设置在地下层或地下半层，下沉武立交桥也因此具有比高架立交景观条件好、比隧道立交造价低的特点．某下沉式立交桥的主路桥截面是抛物线形，如图以主路桥面最低点O为原点，以原点所在的水平直线为x轴建立平面直角坐标系．已知主路桥面跨径，主路桥面的最低点O到的距离为．由于下沉式立交桥的主路桥面低于周边地面且纵坡较大，所以容易出现桥面积水现象，在一次暴雨后，桥面有积水且积水跨径为，已知普通轿车的安全涉水深度大于，若一位普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径的长度不能超过 米．
【答案】
【解析】∵，主路桥面的最低点到的距离为，
∴点的坐标为，
设抛物线的表达式为，把点代入，得，
解得．
∴抛物线的表达式为．
令，则，
解得：，，
即：当普通轿车的安全涉水深度等于时，，，此时，
∴要想普通轿车驾驶员能驾车从这个下沉式立交桥安全通过，则积水跨径的长度不能超过米，
故答案为：．
【举一反三3】如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面处安装夜景灯带，则夜景灯带的长是 ．
【答案】
【解析】由题意得，
，
解得：，，
．
故答案为：．
【举一反三4】信阳位于中国南北地理分界线，地处淮河中上游，素有“北国江南，江南北国”美誉，自古雨水充沛，河流众多，降雨量和人均水资源量久居河南第一，素以“水广桥多”著称，被誉为“千湖之市”．其中一座桥的桥洞形状符合抛物线形状，如图1所示，桥墩高3米，拱顶A与起拱线相距4米，桥孔宽6米．
（1）若以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标．
（2）河面的平均水位2米，信阳游客服务部门打算建造河上观赏船，故应考虑船下水后的吃水线问题．额定载客后，观赏船吃水线上面部分的截面图为矩形（如图2），当船宽为3米时．①求吃水线上船高约多少米时，可以恰好通过此桥；②若考虑涝季水面会再往上升1米，则求此时吃水线上船高的设计范围．
【答案】解 （1）以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，所在线为轴，过点作的垂线为轴，建立的平面直角坐标系如下：
根据所建立的平面直角坐标系可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为、点的坐标为，
因此设抛物线的函数表达式为，
将代入得：，
解得：，
则所求的抛物线的函数表达式为；
（2）①由题意，当船的中轴线与桥拱的对称轴重合时，而且恰好通过此桥，如图：
∵，则、的横坐标，
当得，即坐标为，
∵河面的平均水位2米，
故（米），
船高约4米时，可以恰好通过此桥，
②若考虑涝季水面会再往上升1米，则要求吃水线上船高的减少1米，
吃水线上船高，即若考虑涝季水面会再往上升1米，则要求吃水线上船高小于3米.
【题型3】销售问题
【典型例题】 “燎原书店”销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（ ）
A.元 B.元 C.元 D.元
【答案】C
【解析】每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为，
设日利润为，
∴，
∴最大利润为：元，
故选：C．
【举一反三1】某商店购进一批成本为5角的面包，如果以单价7角销售，每天可销售160个．在此基础上，这种面包单价每提高1角，每天就会少卖出20个，若设每个面包上涨角，每天销售利润为角，可列函数式为：，在所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是（ ）
A.表示涨价后面包的单价
B.表示涨价后少卖出面包的数量
C.表示涨价后卖出面包的数量
D.表示涨价后面包的单价
【答案】A
【解析】A．表示涨价后面包的每个的利润，故原说法错误，符合题意；
B．表示涨价后少卖出面包的数量，故原说法正确，不符合题意；
C．表示涨价后卖出面包的数量，故原说法正确，不符合题意；
D．表示涨价后面包的单价，故原说法正确，不符合题意；
故选：A．
【举一反三2】超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝－5x＋150，该商品售价定为 元/件时，每天销售该商品获利最大．
【答案】20
【解析】设获利W元，则W=（x-10）·y，
∴W=（x-10）（-5x+150）
=-5x2+200x-1500，
当x===20时，W的值最大，
∴当x=20时，每天销售该商品获利最大．
故答案为：20．
【举一反三3】某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？
【答案】解 （1）设y关于x的函数表达式为．
将和分别代入，得：
，
解得：，
∴y关于x的函数表达式是：；
（2），
∵，
∴当时，在的范围内，
W取到最大值，最大值是2250．
答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．
【举一反三4】某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解 设y与x之间的函数关系式为，根据题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解 （-5x+150）（x-8）=425，
整理得：，
解得：，
∵8≤x≤15，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）解 根据题意得：
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【题型4】投球问题
【典型例题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与小球运动的时间秒之间的关系式为若小球在第秒与第秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是（ ）
A.第秒 B.第秒 C.第秒 D.第秒
【答案】B
【解析】由题意可得，
当时，取得最大值，
当时，取得最大值，
故选：B．
【举一反三1】竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意得：=，=，
把=，=代入得
当时，
故小球达到的离地面的最大高度为：
故选：C
【举一反三2】一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（ ）
A.5 B.10 C.1 D.2
【答案】D
【解析】球弹起后又回到地面时，即，
解得（不合题意，舍去），，
∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2，
故选：D
【举一反三3】如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．
【答案】①
【解析】由的顶点为，
得篮球行进过程中距离地面的最大高度为，即①正确；
由当时，，即②不正确；
故答案为：①．
【举一反三4】如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是 ．
【答案】4
【解析】当时，，解得：或，
结合图形可知：，
故答案为：4.
【举一反三5】根据以下素材，探究完成任务．
【答案】任务1：解 建立如图所示的直角坐标系，
由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，过点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
得（舍去），
∴素材1中的投掷距离为4m；
任务2：解 建立直角坐标系，如图，
设素材2中抛物线的解析式为，
由题意得，过点，
∴，
解得，
∴
∴顶点纵坐标为，
（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为；
任务3：解 应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．
【举一反三6】掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处距离地面的高度是2，实心球的落地点为处，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3时，达到最大高度3的处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4，小鹏此次投掷的成绩能上80分吗？
【答案】解 （1）根据题意，可得，该抛物线顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
将点代入，可得，
解得，
∴该抛物线解析式为；
（2）对于抛物线，
令，可得，
整理可得，
解得，，
∵点在轴正半轴上，
∴，
又∵，
∴小鹏此次投掷的成绩不能上80分．
【题型5】增长率问题
【典型例题】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，
依题意得第三个月投放垃圾桶辆，
则．
故选：．
【举一反三1】共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（ ）
A.1.2 B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为．
故选：C
【举一反三2】某工厂1月份的产值为200万元，若平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为y，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为，
，
故选：C．
【举一反三3】某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ．
【答案】
【解析】由题意知，8月份生产玩具万只，9月份生产该玩具万只，
依题意得，，
故答案为：．
【举一反三4】某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为 ．（不要求写定义域）
【答案】y＝10(1+x)2
【解析】∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x，
∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元，
∴y＝10（1+x）2．
故答案为：y＝10（1+x）2．
【举一反三5】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
【答案】解 （1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元），
∴依题意得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴每次降价的百分率为20%．
【题型6】喷水问题
【典型例题】某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离OC为处达到最高，高度CD为，水柱落地处离池中心的水平距离OA为，那么水管的设计高度OB应为 ．
【答案】0.44
【解析】如图，
根据题意抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为；
设抛物线解析式为，
把代入得：，
解得，
，
令得：，
水管的高度应为．
故答案为：0.44．
【举一反三1】大型客机是我国首次按照国际通行适航标准自行研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机，如图在某次大型客机过水门仪式中，两条水柱从两辆消防车、中斜向上射出，形似抛物线，以两车所连水平直线的中点为坐标原点，平行于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当两辆消防车喷射口位置的水平距离为米时，“水门”最高点距离喷射口的竖直高度为 米
【答案】25
【解析】，
将代入可得．
，
（米．
故答案为：25
【举一反三2】小明的爸爸给小明买了一个高级水枪，想测试一下水枪的射程远近．如图，在一个外墙距地面的点和的点处，各设置了一个点，小明站在设置点的正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次尝试时，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到外墙的水平距离为，建立平面直角坐标系，水流的高度与到外墙的水平距离之间的关系如图所示，点在轴上，点在轴上，为地面（水枪到地面的高度忽略不计）．
（1）求小明第一次射水时水流所在抛物线的函数表达式；
（2）待处试射后，小明前进到点（水流从点射出，）处进行第二次试射，若两次试射时，水流所在抛物线的形状完全相同，请判断第二次试射水流能否到达点处，并说明理由．
【答案】解 （1）依题意顶点坐标为，
∴设小明第一次射水时水流所在抛物线的函数表达式为，
将点代入得，，
解得：，
∴小明第一次射水时水流所在抛物线的函数表达式为：；
（2）不能，理由如下，
依题意，小明第二次射水时，水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移个单位得到，
∴小明第二次射水时，水流所在抛物线的函数表达式为：，
令，解得：，
即小明第二次射水时，水流所在抛物线不过，
∴水流不能到达点处．
【举一反三3】要修建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，水柱落地点A与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高m时，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为．以O为原点，所在的直线为x轴，水管所在的直线为y轴，建立如图的直角坐标系．
（1）求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式；
（2）求水柱落地点A到水池中心O的距离．
【答案】解 （1）根据题意知，抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，
把代入解析式得，，
解得，
∴水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为；
（2）令，则，
解得（舍去），
∴，
∴，
∴水柱落地点A到水池中心O的距离为．
【题型7】其他问题
【典型例题】游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（ ）秒．
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】D
【解析】由函数图象发现当摆锤第一次到达左侧最高点到第一次到达右侧最高点一共用了4秒，从右侧最高点回到左侧最高点也是4秒，
∴摆锤从A点出发再次回到A点需要秒，
故选：D．
【举一反三1】使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（ ）
A.33° B.36° C.42° D.49°
【答案】C
【解析】由图象可知，物线开口向上，
该函数的对称轴x＞且x＜54，
∴36＜x＜54，
即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，
故选：C．
【举一反三2】加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为 ．
【答案】3.75
【解析】∵的对称轴为（min），
故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75．
【举一反三3】标准大气压下，质量一定的水的体积与温度之间的关系满足二次函数，则当温度为时，水的体积为 ．
【答案】120
【解析】，
当时，，
水的体积为．
故答案为：．
【举一反三4】在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处．
小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
（1）直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）
（2）当黑球减速后运动距离为时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
【答案】解 （1）根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为v=kt+b，代入（0，10），（1，9.5）得，
，解得，
∴，
根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入（0，0），（1，9.75），（2，19）得
，解得，
∴;
（2）依题意，得，
∴，
解得，，；
当时，；当时，（舍）；
答：黑球减速后运动时的速度为．
（3）设黑白两球的距离为，
，
∵，∴当时，的值最小为6，
∴黑、白两球的最小距离为，大于0，黑球不会碰到白球．
