27.1.3 圆周角
【题型1】圆周角的定义 1
【题型2】半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角) 2
【题型3】利用圆周角定理求解 3
【题型4】利用圆周角定理求证 5
【题型5】90°的圆周角所对的弦是直径 7
【题型6】圆内接四边形的对角互补 9
【题型1】圆周角的定义
【典型例题】如图，是圆周角的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连结AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
A.∠APB B.∠ABD C.∠ACB D.∠BAC
【举一反三2】下列各图中，为圆周角的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（ ）
A. B. C.或 D.或
【举一反三4】下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A. B. C. D.
【题型2】半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角)
【典型例题】如图，为的直径，点在上，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形工件，根据图形所表示的情形，四个工件中肯定是半圆环形的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在锐角中，以为直径的半圆O分别交，于D，E两点，且，则：的值为 ．
【举一反三3】如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为 ．
【举一反三4】如图，是的直径，弦与相交于点E，．若，求直径的长．
【题型3】利用圆周角定理求解
【典型例题】如图，是的直径，点C，D是圆上两点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知E，F，G为圆上的三点，，则下列四个选项中，P点可能是圆心的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在中，弦相交于点，如果，，那么（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，A，B，C是上三点，，则的度数是 °．
【举一反三5】如图，内接于，，的平分线交于点D，连结，，则 ．
【举一反三6】如图，在中，弦，相交于点，，，则的度数为 ．
【举一反三7】如图， 在的内接四边形中， 点A是的中点，连结， 若，则 ．
【题型4】利用圆周角定理求证
【典型例题】如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，A、B、C、P是上的四个点，，且平分，则的形状是（ ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【举一反三2】如图，A、B、C、D四点在上的位置，其中A、O、D三点共线，且，．若在上取一点P，在上取一点Q，使得，则下列叙述正确的是（ ）
A.Q点在上，且
B.Q点在上，且
C.Q点在上，且
D.Q点在上，且
【举一反三3】如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，A、B、C、P是上的四个点，，且平分，则的形状是（ ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【举一反三5】如图，是的两条弦，且，求证：．
【举一反三6】如图，是的直径，弦于点，连结，
（1）求证：．
（2）作于点，若的半径为，，求的长．
【题型5】90°的圆周角所对的弦是直径
【典型例题】若一个直角三角形的斜边长为10，则这个直角三角形外接圆的半径是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三1】如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，点的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.
【举一反三2】一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．
【举一反三3】如图，四边形内接于，，，，则的值为 ．
【举一反三4】如图，的平分线AD交外接圆于点D，若．连结BD，，时，
（1）求⊙O的半径；
（2）求BD的长；
（3）求AD的长.
【举一反三5】如图，圆周角．若连结，则过圆心O吗？为什么？
【题型6】圆内接四边形的对角互补
【典型例题】如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，点在上，圆心角，则圆周角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，点A是中优弧的中点，，为劣弧上一点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 ．
【举一反三4】如图，四边形内接于圆，若，则的度数是 ．
【举一反三5】如图1，中，，是外接圆上一点，连结，过点B作，交的延长线于点，交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若为直径，，，求的长．27.1.3 圆周角
【题型1】圆周角的定义 1
【题型2】半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角) 3
【题型3】利用圆周角定理求解 5
【题型4】利用圆周角定理求证 9
【题型5】90°的圆周角所对的弦是直径 14
【题型6】圆内接四边形的对角互补 19
【题型1】圆周角的定义
【典型例题】如图，是圆周角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念，
故选：D．
【举一反三1】如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连结AD．下列角中，所对圆周角的是（ ）
A.∠APB B.∠ABD C.∠ACB D.∠BAC
【答案】C
【解析】由图可知：所对圆周角的是∠ACB或∠ADB，
故选C．
【举一反三2】下列各图中，为圆周角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；
B.的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；
C.的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意；
D.符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意；
故选：D．
【举一反三3】已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（ ）
A. B. C.或 D.或
【答案】D
【解析】∵弦把圆周分成两部分，
∴劣弧的度数为：，即：劣弧所对的圆周角的度数为，
优弧的度数为：，即：优弧所对的圆周角的度数为，
∴弦所对圆周角的度数为或；
故选：D．
【举一反三4】下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角，
选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角．
故选C．
【题型2】半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角)
【典型例题】如图，为的直径，点在上，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵为的直径，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【举一反三1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形工件，根据图形所表示的情形，四个工件中肯定是半圆环形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A不能保证左边与圆相切，因此不能确定直径；
由90度的圆周角所对的弦为直径得到D是半圆环形；
对于C，B都不能确定直径．
故选D．
【举一反三2】如图，在锐角中，以为直径的半圆O分别交，于D，E两点，且，则：的值为 ．
【答案】
【解析】连结，
∵是的直径，
∴
在中，
，即，
∵四边形内接于，
∴，，
∴，
∴
∴
故答案为：．
【举一反三3】如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为 ．
【答案】45
【解析】∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：45
【举一反三4】如图，是的直径，弦与相交于点E，．若，求直径的长．
【答案】解 ∵，
∴，
∵是的直径，
∴
∴
【题型3】利用圆周角定理求解
【典型例题】如图，是的直径，点C，D是圆上两点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，是的直径，
∴，
∴，
故选：B．
【举一反三1】如图，在中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
，
故选：
【举一反三2】已知E，F，G为圆上的三点，，则下列四个选项中，P点可能是圆心的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】同弧的圆心角是圆周角的两倍，因此只有选项C满足该条件．
故选：C．
【举一反三3】如图，在中，弦相交于点，如果，，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【举一反三4】如图，A，B，C是上三点，，则的度数是 °．
【答案】45
【解析】．
∵，，
∴，
故答案为：
【举一反三5】如图，内接于，，的平分线交于点D，连结，，则 ．
【答案】
【解析】连结，则：，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【举一反三6】如图，在中，弦，相交于点，，，则的度数为 ．
【答案】
【解析】
又，，
，
故答案为：．
【举一反三7】如图， 在的内接四边形中， 点A是的中点，连结， 若，则 ．
【答案】25
【解析】∵的内接四边形中，，
∴，
∵点A是的中点，
∴，
∴，
故答案为：25．
【题型4】利用圆周角定理求证
【典型例题】如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】是的直径，，
，，，，
故A、B、C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
【举一反三1】如图，A、B、C、P是上的四个点，，且平分，则的形状是（ ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【答案】C
【解析】 A、B、C、P是⊙O上的四个点，，
，
平分，
，
，，
，
，
为等边三角形．
故选：C．
【举一反三2】如图，A、B、C、D四点在上的位置，其中A、O、D三点共线，且，．若在上取一点P，在上取一点Q，使得，则下列叙述正确的是（ ）
A.Q点在上，且
B.Q点在上，且
C.Q点在上，且
D.Q点在上，且
【答案】B
【解析】连结，，，
∵A、O、D三点共线，且，，
，
在圆周上取一点连结，，
，
，
取的中点，连结，
则，
，
点在上，且，
故选B.
【举一反三3】如图，是的弦，是的直径，于点E．在下列结论中，不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】是的直径，，
，，，，
故A、B、C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
【举一反三4】如图，A、B、C、P是上的四个点，，且平分，则的形状是（ ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【答案】C
【解析】 A、B、C、P是⊙O上的四个点，，
，
平分，
，
，，
，
，
为等边三角形．
故选：C．
【举一反三5】如图，是的两条弦，且，求证：．
【答案】解 ∵，
∴，
∴，
又，
∴，
在和中，，，．
∴．
【举一反三6】如图，是的直径，弦于点，连结，
（1）求证：．
（2）作于点，若的半径为，，求的长．
【答案】（1）证明 连结，∵是直径，
∴，
∴；
（2）解 如图，连结．
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴．
【题型5】90°的圆周角所对的弦是直径
【典型例题】若一个直角三角形的斜边长为10，则这个直角三角形外接圆的半径是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】∵90度的圆周角所对的弦是直径，
∴直角三角形的斜边即为该直角三角形外接圆的直径，
∴斜边长为10的直角三角形外接圆半径为5，
故选C．
【举一反三1】如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，点的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.
【答案】B
【解析】∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴为的直径，
∵四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴半径为5，
故选：B．
【举一反三2】一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为 ．
【答案】
【解析】连结AC，
∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：．
【举一反三3】如图，四边形内接于，，，，则的值为 ．
【答案】5
【解析】如图，连结
为直径，则三点共线，
，，
故答案为：5
【举一反三4】如图，的平分线AD交外接圆于点D，若．连结BD，，时，
（1）求⊙O的半径；
（2）求BD的长；
（3）求AD的长.
【答案】解 （1）如图连结BC，
∵，
∴，
∴BC为⊙O的直径，经过点O，
∴在中，，
∴半径；
（2）如图连结OD，
∵，
∴，
∵，
∴在中，；
（3）如图所示，作交AD于点E，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴．
【举一反三5】如图，圆周角．若连结，则过圆心O吗？为什么？
【答案】解 过圆心O．理由如下：
如图，分别连结，
∵，
∴，即B、O、C三点在一条直线上，
∴是的直径，
∴过圆心O．
【题型6】圆内接四边形的对角互补
【典型例题】如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
又∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选B．
【举一反三1】如图，点在上，圆心角，则圆周角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴．
故选：C．
【举一反三2】如图，点A是中优弧的中点，，为劣弧上一点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵点A是中优弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴．
故选：D．
【举一反三3】如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】如图，四边形内接于圆，若，则的度数是 ．
【答案】
【解析】∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【举一反三5】如图1，中，，是外接圆上一点，连结，过点B作，交的延长线于点，交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若为直径，，，求的长．
【答案】（1）证明 ∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解 连结，，如图所示，
∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
∴.
