27.1.2 圆的对称性
【题型1】利用圆心角、弧、弦的关系求解 1
【题型2】利用圆心角、弧、弦的关系求证 3
【题型3】利用垂径定理求值 4
【题型4】利用垂径定理求平行弦问题 5
【题型5】利用垂径定理求同心圆问题 6
【题型6】垂径定理的推论 7
【题型7】垂径定理的实际应用 9
【题型1】利用圆心角、弧、弦的关系求解
【典型例题】下列命题中真命题的是（ ）
A.长度相等的弧是等弧
B.相等的圆心角所对的弦相等
C.任意三点确定一个圆
D.等弧所对的圆周角都相等
【举一反三1】如图,已知AB是☉O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE= ( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
【举一反三2】如图，在中，，劣弧的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在中，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】已知圆的半径为，圆中一条弦长为，则这条弦所对的圆心角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三5】已知上依次有四个点A、B、C、D，如果，那么弧所对的圆心角的度数为 ．
【举一反三6】如图，是的直径，，，则的度数是 ．
【举一反三7】如图，点A在半圆O上，是直径，，若，则的长为 ．
【举一反三8】如图，是的直径，，，则的度数是 ．
【题型2】利用圆心角、弧、弦的关系求证
【典型例题】如图所示，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.O到的距离相等
【举一反三1】是中的两条弦，若，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.不能确定
【举一反三2】如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF， 那么 （只需写一个正确的结论）．
【举一反三3】已知：如图，等边三角形的三个顶点都在上．求证：．
【题型3】利用垂径定理求值
【典型例题】如图，线段CD是的直径，于点，若，，则的长是（ ）
A.8 B.7 C.6 D.5
【举一反三1】如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨径（）为24米，拱的半径为13米，则拱高（）为（ ）
A.9米 B.8米 C.7米 D.5米
【举一反三2】如图，的直径为26，弦的长为24，且，垂足为M，则的长为（ ）
A.25 B.8 C.5 D.13
【举一反三3】已知弓形的高为1厘米，弓形的半径长为5厘米，那么弓形的弦长为 厘米．
【举一反三4】如图，是的两条弦，利用尺规作图法在上求作一点D，使得点D到B、C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【题型4】利用垂径定理求平行弦问题
【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为 （ ）
A. B. C.6 D.
【举一反三1】半径为5，弦，，，则与间的距离为（ ）
A.1 B.7 C.1或7 D.3或4
【举一反三2】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（ ）
A.2 B.14 C.2或14 D.7或1
【举一反三3】已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为 ．
【举一反三4】如图、是的两条平行且相等的弦，与弦、都相切，若小圆外深色阴影部分的面积为，那么弦的长等于 ．
【举一反三5】如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点.
(1)如图1,当半径为,若,求弦的长;
(2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长.
【举一反三6】如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
【题型5】利用垂径定理求同心圆问题
【典型例题】如图，已知的两条弦、分别与的同心圆交于点E、F、X、Y，，，，则的长度为 ．
【举一反三1】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ．
【举一反三2】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
（1）求证：．
（2）若，大圆的半径，求小圆的半径r．
【举一反三3】如图，两个圆都以点O为圆心．
求证：．
【题型6】垂径定理的推论
【典型例题】如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的直线平分这条直径
D.弦的垂直平分线经过圆心
【举一反三2】如图，在中，直径与弦相交于点E，连结，若，，则的值是（ ）
A. B. C.1 D.
【举一反三3】如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ．
【举一反三4】如图，是的外接圆，AB长为4，，连结CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点，求：
（1）边BC的长；
（2）的半径．
【题型7】垂径定理的实际应用
【典型例题】如图，这是一扇拱形门的示意图，为门框底，，，门框顶部是一段圆心角为的圆弧，是的中点，则点到门框底的距离是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】小明想知道一块扇形铁片中的的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形按如图方式摆放，点恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，的拱高约是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为，则这钢梁圆弧的半径长为 m．
【举一反三3】如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为．
（1）求圆弧形拱顶的半径的长度；
（2）求的长度．
【举一反三4】蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，求高度．27.1.2 圆的对称性
【题型1】利用圆心角、弧、弦的关系求解 1
【题型2】利用圆心角、弧、弦的关系求证 5
【题型3】利用垂径定理求值 7
【题型4】利用垂径定理求平行弦问题 11
【题型5】利用垂径定理求同心圆问题 18
【题型6】垂径定理的推论 21
【题型7】垂径定理的实际应用 24
【题型1】利用圆心角、弧、弦的关系求解
【典型例题】下列命题中真命题的是（ ）
A.长度相等的弧是等弧
B.相等的圆心角所对的弦相等
C.任意三点确定一个圆
D.等弧所对的圆周角都相等
【答案】D
【解析】A．长度相等的弧不一定是等弧，故原命题不是真命题，不符合题意；
B．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故原命题不是真命题，不符合题意；
C．任意三点确定一个圆，是假命题，不符合题意；
D．等弧所对的圆周角都相等，是真命题，符合题意．
故选：D．
【举一反三1】如图,已知AB是☉O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE= ( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
【答案】B
【解析】∵D,C是劣弧EB的三等分点,
∴∠BOE=3∠BOC=120°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=60°
选B.
【举一反三2】如图，在中，，劣弧的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
故劣弧的度数为，
故选：D．
【举一反三3】如图，在中，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，
．
故选：D．
【举一反三4】已知圆的半径为，圆中一条弦长为，则这条弦所对的圆心角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知，弦长与半径围成的三角形的三边长相等，是等边三角形，
∴这条弦所对的圆心角的度数为，
故选：C．
【举一反三5】已知上依次有四个点A、B、C、D，如果，那么弧所对的圆心角的度数为 ．
【答案】
【解析】由题意得：．
故答案为：．
【举一反三6】如图，是的直径，，，则的度数是 ．
【答案】
【解析】，
，
，
，
．
故答案为：．
【举一反三7】如图，点A在半圆O上，是直径，，若，则的长为 ．
【答案】2
【解析】连接，
∵ ，是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴ ．
故答案为：2．
【举一反三8】如图，是的直径，，，则的度数是 ．
【答案】
【解析】，
，
，
，
．
故答案为：．
【题型2】利用圆心角、弧、弦的关系求证
【典型例题】如图所示，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.O到的距离相等
【答案】B
【解析】A.∵，∴，故A成立，不符合题意；
B.当时，，故B不成立，符合题意；
C.∵，∴，故C成立，不符合题意；
D.在和中，
，
∴，
∴O到的距离相等，
故D成立，不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】是中的两条弦，若，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D.不能确定
【答案】A
【解析】如图，取的中点E，则．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【举一反三2】如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF， 那么 （只需写一个正确的结论）．
【答案】AB=CD（答案不唯一）
【解析】∵OE=OF，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，
∴AB=CD．
故答案为：AB=CD（答案不唯一）
【举一反三3】已知：如图，等边三角形的三个顶点都在上．求证：．
【答案】证明 连接，，．
，
．
【题型3】利用垂径定理求值
【典型例题】如图，线段CD是的直径，于点，若，，则的长是（ ）
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】A
【解析】如图，连接，
线段是的直径，于点，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【举一反三1】如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨径（）为24米，拱的半径为13米，则拱高（）为（ ）
A.9米 B.8米 C.7米 D.5米
【答案】B
【解析】因为跨度m，拱所在圆半径为13m，延长到O，使得，则O为圆心，则，
又∵，
在中，
进而得拱高米．
故选B．
【举一反三2】如图，的直径为26，弦的长为24，且，垂足为M，则的长为（ ）
A.25 B.8 C.5 D.13
【答案】B
【解析】连接，
∵的直径为26，
∴，，
∵，弦的长为24，
∴，
在中，，
∴，
故选：B．
【举一反三3】已知弓形的高为1厘米，弓形的半径长为5厘米，那么弓形的弦长为 厘米．
【答案】6
【解析】如图，
过圆心O作，交弧于C．则，连接．
在中，，
则，
∴．
故答案是：6．
【举一反三4】如图，是的两条弦，利用尺规作图法在上求作一点D，使得点D到B、C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解 如图， 连接，过点O作交于点D，则点D即为所求．
【题型4】利用垂径定理求平行弦问题
【典型例题】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为 （ ）
A. B. C.6 D.
【答案】A
【解析】设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，
∵DE∥BC，
∴MN⊥BC，DG⊥DE，
∴四边形DMNG是矩形，
∴DG=MN，
∵OM⊥DE，ON⊥BC，
∴DM=EM=DE，BN=CN，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．
∴CH=DH=CD=3，
∴OH==4，
∴BH=9，
∴BC==3，
∴BN=BC=，
∴ON=，
∵sin∠BCH=，即，
∴DG=，
∴MN=DG=，
∴OM=MN-ON=，
∴DM==，
∴DE=2DM=．
故选A．
【举一反三1】半径为5，弦，，，则与间的距离为（ ）
A.1 B.7 C.1或7 D.3或4
【答案】C
【解析】过点作，为垂足，交与，连，，如图，
，
，
，，
而，，
，，
在中，，；
在中，，；
当圆点在、之间，与之间的距离；
当圆点不在、之间，与之间的距离；
所以与之间的距离为7或1．
故选：C．
【举一反三2】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（ ）
A.2 B.14 C.2或14 D.7或1
【答案】C
【解析】如图，作于E，于F，连，
则，
∵，
∴E、O、F三点共线，
在中，，
在中，，
当圆心O在弦与之间时，与的距离；
当圆心O在弦与的外部时，与的距离．
所以与的距离是14或2．
故选：C．
【举一反三3】已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为 ．
【答案】1或5
【解析】两条平行弦在圆心的同侧时，则两条平行弦间的距离＝3﹣2＝1；
当两条平行弦在圆心的两侧时，则两条平行弦间的距离＝3+2＝5．
故答案为:1或5．
【举一反三4】如图、是的两条平行且相等的弦，与弦、都相切，若小圆外深色阴影部分的面积为，那么弦的长等于 ．
【答案】
【解析】移动，使得两个圆心重合如图所示：
设AB与小圆切于点E，连结OE，OB,
∵AB与小圆切于点E，
∴OE⊥AB，
∴BE=AE=AB,
∵阴影的面积=π OB2 π OE2=π(OB2 OE2)=16π，
又∵直角△OBE中，OB2=OE2+BE2，
∴阴影的面积=π OB2 π OE2=π(OB2 OE2)=π BE2=16π，
∴BE=4，
故AB=8,
故答案为8．
【举一反三5】如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点.
(1)如图1,当半径为,若,求弦的长;
(2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长.
【答案】解 (1) 连接，根据垂径定理求出的长，
即：,
,
设，则，
由勾股定理得：
,
即：，
解得：,
;
(2)连接,过点D作于点M，如图所示：
，
在中根据勾股定理可得：
,
,
，
而,
,
又 在和中，
,
,
,
,
,
,
,
为等腰直角三角形，
,
把代入到中，
解得：.
【举一反三6】如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5．
（1）若，，求的长；
（2）若，且，求弦的长；
【答案】解 （1）如图，连接AO和DO，
∵，且EF过圆心，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，
，
∴；
（2）如图，连接BO和DO，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
，解得，（舍去），
∴，
∴．
【题型5】利用垂径定理求同心圆问题
【典型例题】如图，已知的两条弦、分别与的同心圆交于点E、F、X、Y，，，，则的长度为 ．
【答案】5
【解析】设大圆半径为R，小圆半径为r，的长度为．连结、、、，然后过点分别作交于点，交于点，如图所示：
由垂径定理可得，，
在和，
由勾股定理得，，
即，
则，
那么，
在和，
由勾股定理得，，
即，
则，
那么，
因为，
所以，
解得，
所以．
故答案为：．
【举一反三1】如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形的边和分别是两圆的弦，则矩形面积的最大值是 ．
【答案】16
【解析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连结OA、OD
∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，
∴OM=AP
根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，
∴S矩形APND=S矩形ABCD
∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长
∴S△AOD=S矩形APND=S矩形ABCD
∴S矩形ABCD最大时，S△AOD也最大
过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）
∴S△AOD=AO·h≤AO·OD=×2×4=4
故S△AOD的最大值为4
∴S矩形ABCD的最大值为4÷=16
故答案为：16．
【举一反三2】如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
（1）求证：．
（2）若，大圆的半径，求小圆的半径r．
【答案】（1）证明 过O作于点E，如图1，
由垂径定理可得
∴
∴
（2）解 连结，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得
∴，即小圆的半径r为．
【举一反三3】如图，两个圆都以点O为圆心．
求证：．
【答案】证明 如图，过点O作OE⊥AB于E，
在小⊙O中，∵OE⊥CD，∴EC=ED．
在大⊙O中，∵OE⊥AB，∴EA=EB．
∴AC=BD．
【题型6】垂径定理的推论
【典型例题】如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A．∵，是的直径，是非直径的弦，
∴，故A不符合题意；
B．根据无法判断，故B符合题意；
C．∵，是的直径，是非直径的弦，
∴，故C不符合题意；
D．∵，是的直径，是非直径的弦，
∴，故D不符合题意．
故选：B．
【举一反三1】下列说法正确的是（ ）
A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B.平分弦的直径垂直于弦
C.垂直于直径的直线平分这条直径
D.弦的垂直平分线经过圆心
【答案】D
【解析】A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误；
B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误；
C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误；
D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确．
故选：D．
【举一反三2】如图，在中，直径与弦相交于点E，连结，若，，则的值是（ ）
A. B. C.1 D.
【答案】D
【解析】是直径，，
垂径定理的推论得于E，，
在中，由勾股定理得，
，
故选：D．
【举一反三3】如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为 ．
【答案】
【解析】∵半径经过的中点．
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】如图，是的外接圆，AB长为4，，连结CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点，求：
（1）边BC的长；
（2）的半径．
【答案】证明 （1）∵E为中点，OE为半径，
∴OE垂直平分AB，
∴C在AB垂直平分线上，
∴；
（2）解 如图，连结BO，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【题型7】垂径定理的实际应用
【典型例题】如图，这是一扇拱形门的示意图，为门框底，，，门框顶部是一段圆心角为的圆弧，是的中点，则点到门框底的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，圆心角为的圆弧的圆心为，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，且，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴点到门框底的距离是，
故选：B．
【举一反三1】小明想知道一块扇形铁片中的的拱高（弧的中点到弦的距离）是多少？但他没有任何测量工具，聪明的小明观察发现身旁的墙壁是由的正方形瓷砖密铺而成（接缝忽略不计）．他将扇形按如图方式摆放，点恰好与正方形瓷砖的顶点重合，根据以上操作，的拱高约是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，通过数瓷砖的个数，可以得到OC=30cm，AB=40cm，
∵D为中点，
∴由垂径定理得OC垂直且平分AB，
∴BC=20cm，
∴cm，
∵OD=OB=cm，
∴CD=OD-OC=cm，
即拱高为cm，
故选D．
【举一反三2】如图，一圆弧形钢梁的拱高为，跨径为，则这钢梁圆弧的半径长为 m．
【答案】29
【解析】如图，设圆弧形圆心为，作交于点C，交于点D，连结，设这个门拱的半径为r，
由题意得：，
则，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
即，
∴，
这个门拱的半径为m．
故答案为：．
【举一反三3】如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度为．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都为．
（1）求圆弧形拱顶的半径的长度；
（2）求的长度．
【答案】解 （1）设与交于G，与交于H．
，，，，
，，，
设圆拱的半径为r，
在中，，
，
解得，
圆弧形拱顶的半径的长度为；
（2），
，
在中，，
，
解得，
，
．
【举一反三4】蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，求高度．
【答案】解 根据题意得，在中，，半径，
∴，，，
∴，
故答案是：．
