实数与数轴
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(共27张PPT)
1.41421356237309504880
168872420969807856967
187537694807317667973
79907324784621070···
√2 =
复习:1、有理数包括哪些数？
有理数
整数
分数
正整数
零
负整数
正分数
负分数
有理数
正有理数
零
负有理数
正整数
正分数
负整数
负分数
零
2、有理数中的分数能化为小数吗？
化为什么样的小数？举例加以说明
答：任何一个分数可写成小数的形式，必是
有限小数或者无限循环小数
例如
结果约为：1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605715……
问题1：用计算机计算 ，结果将如何呢？
2
问题2：你能利用平方关系验算得到的结果吗？问题1中的结果平方后会等于2吗？
做一做
问题3：验证的结果不是2，而是接近2， 这说明什么？
做一做
结果为：1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605715……
就是说求得 的 的值只是一个近似值。
2
问题4:后面能否写完？后面有没有规律？那么它属于什么小数？
在数学上已经证明，没有一个有理数（即整数或分数）的平方等于2，也就是说，
不是一个有理数．
问题5：是否有一个有理数的平方等于2？如果 不是有理数，那么它是一个怎么样的数呢？
2
是一个无限不循环小数
2
无理数：
无限不循环小数叫做无理数。
概 念 整 理
有理数
整数
分数
有限小数
无限循环小数
无理数
无限不循环小数
有理数的分类：
实数
有理数
无理数
实数
实数的分类
1、无限不循环小数叫做无理数
如： 等。
2、有理数与无理数统称为实数。
正有理数 整数 正有理数
正数 有理数 或 零
正无理数 分数 负有理数
零 或
负有理数 正无理数
负数 无理数
负无理数 负无理数
实数的分类
你学会了吗
实数
实数
注意:
(2)无理数不一定都是用根号表示的数.如：π
(3)无理数有无数多个.
(4)无理数可分为正无理数和负无理数.
(1)用根号表示的数不一定是无理数.如：
巩固 练 习
◣ ◢
巩固
把下列各数分别填入相应的括号内：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
。
有理数
无理数
把下列各数分别填入相应的括号内：
正数集合
负数集合
把下列各数填入相应的集合内：
（1）有理数集合：
（2）无理数集合：
（3）整数集合：
（4）负数集合：
（5）分数集合：
（6）实数集合：
0
1
-1
√2
如图是两个边长1的正方形
拼成的长方形, 其面积是2.
现剪下两个角重新拼成一个
正方形,
新正方形的边长是_____
√2
√2
2
√2
下图数轴中, 正方形的对角线长
为____,
以原点为圆心, 对角线长为
√2
半径画弧截得一点,
该点
与原点的距离是____,
√2
该点表示的数是____.
√2
实数与数轴上的点是一一对应关系.
√2
-
我们也可以这样来思考：
2
1
1
正方形的面积为2
在数轴上画一个边长为1的正方形,以O为圆心,对角线长为半径画弧与数轴相交于一点,这点就表示
2
实数与数轴上的点的对应
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。
-2
-1
0
1
2
反过来 ，数轴上的每一个点都表示一个实数。
（数 点）
（点 数）
A
{ 实数 }：
数 a
数 a
点 A
一一对应
实数范围内的相关概念
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义 ，
和有理数范围内 的相反数、倒数、绝对值的意义 ，
完全一样。
例如：
正实数的大小比较和运算，
通常可取它们的近似值来进行
解：用计算器求得
而
所以
解：用计算器求得
≈－0.778 539 072，
于是
≈0.778 539 072，
所以
≈1.570 796 327－0.778 539 072
＝0.792 257 255
≈0.79
练 习
1.判断下列说法是否正确：
（1）两个数相除，如果不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数
（2）任意一个无理数的绝对值是正数.
2.计算： .（结果保留两位小数）
3.比较下列各组数中两个实数的大小：
（1） （2）
随堂练习
一、判断：
1.实数不是有理数就是无理数。（ ）
2.无理数都是无限不循环小数。（ ）
3.无理数都是无限小数。（ ）
4.带根号的数都是无理数。（ ）
5.无理数一定都带根号。（ ）
6.无理数都是开方开不尽的数。（ ）
7. 无理数包括正无理数、零、负无理数。（ ）
9.数轴上的任何一点都可以表示实数。（ ）
×
×
×
8.有理数都是有限小数。（ ）
×
×
随堂练习
二、填空
２、 的相反数是 ，绝对值是 ．
３、绝对值等于 的数是 ， 的平方是 ．
４、比较大小：－７
１、正实数的绝对值是 ，０的绝对值是 ，
负实数的绝对值是 .
5、在实数 中，
整数有
有理数有
无理数有
实数有
它本身
0
它的相反数
写出绝对值小于 的所有整数.
√10
1、无理数与实数:
2、实数与数轴:
每个实数都能在数轴上找到一个对应的点,
无理数的运算适用于有理数的一切运算法则.
无理数与有理数统称为实数.
无限不循环小数叫做无理数.
反之, 数轴上每一个点都对应一个实数.
(一一对应)
3、无理数的运算:
正有理数 整数 正有理数
正数 有理数 或 零
正无理数 分数 负有理数
零 或
负有理数 正无理数
负数 无理数
负无理数 负无理数
实数的分类
实数
实数
作 业： P14 A组题
1.41421356237309504880
168872420969807856967
187537694807317667973
79907324784621070···
√2 =
复习:1、有理数包括哪些数？
有理数
整数
分数
正整数
零
负整数
正分数
负分数
有理数
正有理数
零
负有理数
正整数
正分数
负整数
负分数
零
2、有理数中的分数能化为小数吗？
化为什么样的小数？举例加以说明
答：任何一个分数可写成小数的形式，必是
有限小数或者无限循环小数
例如
结果约为：1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605715……
问题1：用计算机计算 ，结果将如何呢？
2
问题2：你能利用平方关系验算得到的结果吗？问题1中的结果平方后会等于2吗？
做一做
问题3：验证的结果不是2，而是接近2， 这说明什么？
做一做
结果为：1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605715……
就是说求得 的 的值只是一个近似值。
2
问题4:后面能否写完？后面有没有规律？那么它属于什么小数？
在数学上已经证明，没有一个有理数（即整数或分数）的平方等于2，也就是说，
不是一个有理数．
问题5：是否有一个有理数的平方等于2？如果 不是有理数，那么它是一个怎么样的数呢？
2
是一个无限不循环小数
2
无理数：
无限不循环小数叫做无理数。
概 念 整 理
有理数
整数
分数
有限小数
无限循环小数
无理数
无限不循环小数
有理数的分类：
实数
有理数
无理数
实数
实数的分类
1、无限不循环小数叫做无理数
如： 等。
2、有理数与无理数统称为实数。
正有理数 整数 正有理数
正数 有理数 或 零
正无理数 分数 负有理数
零 或
负有理数 正无理数
负数 无理数
负无理数 负无理数
实数的分类
你学会了吗
实数
实数
注意:
(2)无理数不一定都是用根号表示的数.如：π
(3)无理数有无数多个.
(4)无理数可分为正无理数和负无理数.
(1)用根号表示的数不一定是无理数.如：
巩固 练 习
◣ ◢
巩固
把下列各数分别填入相应的括号内：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
。
有理数
无理数
把下列各数分别填入相应的括号内：
正数集合
负数集合
把下列各数填入相应的集合内：
（1）有理数集合：
（2）无理数集合：
（3）整数集合：
（4）负数集合：
（5）分数集合：
（6）实数集合：
0
1
-1
√2
如图是两个边长1的正方形
拼成的长方形, 其面积是2.
现剪下两个角重新拼成一个
正方形,
新正方形的边长是_____
√2
√2
2
√2
下图数轴中, 正方形的对角线长
为____,
以原点为圆心, 对角线长为
√2
半径画弧截得一点,
该点
与原点的距离是____,
√2
该点表示的数是____.
√2
实数与数轴上的点是一一对应关系.
√2
-
我们也可以这样来思考：
2
1
1
正方形的面积为2
在数轴上画一个边长为1的正方形,以O为圆心,对角线长为半径画弧与数轴相交于一点,这点就表示
2
实数与数轴上的点的对应
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。
-2
-1
0
1
2
反过来 ，数轴上的每一个点都表示一个实数。
（数 点）
（点 数）
A
{ 实数 }：
数 a
数 a
点 A
一一对应
实数范围内的相关概念
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义 ，
和有理数范围内 的相反数、倒数、绝对值的意义 ，
完全一样。
例如：
正实数的大小比较和运算，
通常可取它们的近似值来进行
解：用计算器求得
而
所以
解：用计算器求得
≈－0.778 539 072，
于是
≈0.778 539 072，
所以
≈1.570 796 327－0.778 539 072
＝0.792 257 255
≈0.79
练 习
1.判断下列说法是否正确：
（1）两个数相除，如果不管添多少位小数，永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数
（2）任意一个无理数的绝对值是正数.
2.计算： .（结果保留两位小数）
3.比较下列各组数中两个实数的大小：
（1） （2）
随堂练习
一、判断：
1.实数不是有理数就是无理数。（ ）
2.无理数都是无限不循环小数。（ ）
3.无理数都是无限小数。（ ）
4.带根号的数都是无理数。（ ）
5.无理数一定都带根号。（ ）
6.无理数都是开方开不尽的数。（ ）
7. 无理数包括正无理数、零、负无理数。（ ）
9.数轴上的任何一点都可以表示实数。（ ）
×
×
×
8.有理数都是有限小数。（ ）
×
×
随堂练习
二、填空
２、 的相反数是 ，绝对值是 ．
３、绝对值等于 的数是 ， 的平方是 ．
４、比较大小：－７
１、正实数的绝对值是 ，０的绝对值是 ，
负实数的绝对值是 .
5、在实数 中，
整数有
有理数有
无理数有
实数有
它本身
0
它的相反数
写出绝对值小于 的所有整数.
√10
1、无理数与实数:
2、实数与数轴:
每个实数都能在数轴上找到一个对应的点,
无理数的运算适用于有理数的一切运算法则.
无理数与有理数统称为实数.
无限不循环小数叫做无理数.
反之, 数轴上每一个点都对应一个实数.
(一一对应)
3、无理数的运算:
正有理数 整数 正有理数
正数 有理数 或 零
正无理数 分数 负有理数
零 或
负有理数 正无理数
负数 无理数
负无理数 负无理数
实数的分类
实数
实数
作 业： P14 A组题