2025-2026学年江苏省常州市溧阳市九年级（上）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年江苏省常州市溧阳市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程为一元二次方程的是（　　）
A. x2-2=x（x-3） B. C. x2-4x=-1 D. 4x2-6xy=5
2.以下一元二次方程有两个相等实数根的是（　　）
A. x2-6x=0 B. x2-9=0 C. x2-6x+6=0 D. x2-6x+9=0
3.若x=-1是方程ax2+bx+c=0的解，则下列式子正确的是（　　）
A. a+b+c=1 B. a-b+c=0 C. -a+b+c=0 D. a-b-c=0
4.如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠OAC=25°，则∠AOB的度数是（　　）
A. 25°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
5.根据下列表格的对应值：
x 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44
x2+2x-1 -0.040 -0.012 0.016 0.045 0.074
判断方程x2+2x-1=0一个解的取值范围是（　　）
A. 0.40＜x＜0.41 B. 0.41＜x＜0.42 C. 0.42＜x＜0.43 D. 0.43＜x＜0.44
6.如图，AB是⊙O的直径，C、D是半圆上的两点，若∠CAB=20°，则∠ADC=（　　）
A. 110°
B. 120°
C. 130°
D. 140°
7.m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2025的值是（　　）
A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028
8.如图，在△ABC的外接圆⊙O中，AO∥BC，CD是直径，作OE⊥AC交AC于点F，交BC于点E，连接AE，下列结论不一定正确的是（　　）
A.
B. AB=OE
C. ∠AOD=∠BAC
D. 四边形AOCE为菱形
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.关于x的方程（m-1）x2+2mx-3=0是一元二次方程，则m的范围是 .
10.关于x的一元二次方程（x-2）2=a有实数根，则a的取值范围是 .
11.已知是一元二次方程的一个根，则c= .
12.若正数a是一元二次方程x2-5x+m=0的一个根，-a是一元二次方程x2+5x-m=0的一个根，则a的值是______．
13.如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为______.
14.等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两个解，则这个等腰三角形的周长是______．
15.如图，⊙O与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F.若AB=3，则⊙O的半径长为 .
16.如果方程（x-1）（x2-2x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是______．
17.小张家里有一块如图所示的四边形木板余料，小张想用该木板裁剪出一个面积最大的圆形木板，已知AB=AD=6m,CB=CD=8cm,∠B为直角，那么裁剪出来的圆形木板的半径为 cm.
18.如图，已知扇形OAB的半径OA=4，∠AOB=α（0°＜α＜180°），点P为弧AB上一动点，作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足为M、N，当MN取最大值时，扇形OAB的面积为 .
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题20分)
解方程：
（1）x2-1=8；
（2）2x（x-1）+（x-1）=0；
（3）x2-4x-3=0；
（4）（5x-1）2-（x+5）2=0.
20.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
21.(本小题6分)
如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，点A、点B、点C的坐标分别为（0，4）、（4，4）、（6，2）.
（1）该圆弧所在圆的圆心坐标为______；
（2）求该圆弧AC的长.
22.(本小题6分)
生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支.现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出多少个小分支？
23.(本小题6分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB，交CD于点F.
（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的半径；
（2）若FM=FD，求∠D的度数.
24.(本小题9分)
规定：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中常数项c是该方程的一个根，则该方程就叫做常数根一元二次方程.
（1）已知关于x的方程x2+x+c=0是常数根一元二次方程，则c的值为______；
（2）如果关于x的方程x2+2mx+m+1=0是常数根一元二次方程，求该方程的解；
（3）若关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根时，求代数式的值.
25.(本小题5分)
如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，动点P在边AB上以每秒2个单位的速度从点B出发，沿BA向点A运动，同时动点Q在对角线AC上以每秒5个单位的速度从点A出发，沿AC向点C运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为t秒.
（1）当P、Q两点间的距离为时，运动时间t=______；
（2）当以P、A、Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点时，求出此时t的值.
26.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），以点A为圆心，OA为半径的⊙A，交x轴的于点P.点B是⊙A上的一个动点，作点P关于点B的对称点Q，连接PQ.
（1）当点Q刚好落在y轴上时，点B的坐标为______；
（2）点B在运动过程中，若线段PQ与反比例函数有交点，求交点横坐标x的取值范围；
（3）若由点Q所组成的图形与直线y=kx-6k（k≠0）有且仅有一个交点时，请直接写出k的值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】m≠1
10.【答案】a≥0
11.【答案】6
12.【答案】5
13.【答案】π
14.【答案】7或8
15.【答案】2
16.【答案】3＜k≤4
17.【答案】
18.【答案】4π
19.【答案】x1=3，x2=-3；
x1=1，x2=-；
x1=2+，x2=2-；
x1=-，x2=
20.【答案】解：（1）由a≠0，Δ=b2-4ac=（a+2）2-4a×1=a2+4a+4-4a=a2+4．
∵a2＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=b2-4a=0．
可取b=2，a=1，则原方程可变为x2+2x+1=0，
解得x1=x2=-1（本题答案不唯一）．
21.【答案】（2，0）；

22.【答案】这种植物每个支干长出6个小分支．
23.【答案】20；
30°
24.【答案】0或-2；
x1=，x2=1或x1=0，x2=2；
0或-2
25.【答案】1或；
t的值为或或
26.【答案】（-2，2）或（-2，-2）；
1≤x≤；
k=±
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